Poleg kvaternionske oblike poznamo ²e en na£in za izraºanje prostorskih PH-krivulj, in sicer s Hopfovo preslikavo. Deniramo jo na naslednji na£in.
Denicija 3.14. Hopfova preslikava H je preslikava, ki slika iz C×C → R3 in je zaα,β∈C dolo£ena z naslednjim predpisom:
H(α,β) = (|α|2− |β|2,2 Re(αβ¯ ),2 Im(αβ¯ )). (3.33) S pomo£jo ºe znanih polinomov u, v, p in q lahko deniramo kompleksna poli-noma α(t) = u(t) + iv(t) ter β(t) = q(t) + ip(t). Z malo ra£unanja ugotovimo, da velja ravno r′(t) =H(α(t),β(t)).
Parametri£na hitrost ima v Hopfovi predstavitvi enostaven zapis, in sicer
∥r′(t)∥=|α(t)|2+|β(t)|2.
Kot bomo videli v nadaljevanju, je Hopfova oblika primernej²a za obravnavo DPH-krivulj.
3.4.1 Pretvorba med predstavitvama
Spoznali smo dva na£ina, kako izraziti hodograf PH-krivulje: s pomo£jo kvaternion-ske predstavitve ter predstavitve s Hopfovo preslikavo. Pretvorba med eno in drugo predstavitvijo je dokaj enostavna. e identiciramo imaginarno enoto i v komple-ksnih ²tevilih z imaginarno enoto i v kvaternionih, vidimo, da se do kvaternionske oblike A(t) = u(t) +v(t)i+p(t)j+q(t)kda priti s pomo£jo kompleksnih polinomov α(t) = u(t) + iv(t) in β(t) = q(t) + ip(t) na naslednji na£in:
α(t) +kβ(t) = u(t) + iv(t) +k(q(t) + ip(t))
=u(t) +v(t)i+p(t)j+q(t)k (3.34)
=A(t).
Tudi kompleksna polinoma α(t) in β(t) ni teºko pridobiti iz kvaternionskega polinoma A(t). Hitro se da preveriti, da velja
α(t) = 1 2
(︁A(t)−iA(t)i)︁
in β(t) = 1 2k(︁
A(t) +iA(t)i)︁
. (3.35)
Opomba 3.15. Za dani hodograf r′(t) = (x′(t), y′(t), z′(t))je moºno pridobiti eno-parametri£no druºino kvaternionskih polinomov. Ker je r′ = AiA∗, je po lemi 2.1 kvaternionski polinom A enak
A(t) =
√︃1
2(σ(t) +x′(t))(︂
−sinϕ+ cosϕi+y′(t) cosϕ+z′(t) sinϕ σ(t) +x′(t) j +z′(t) cosϕ−y′(t) sinϕ
σ(t) +x′(t) k)︂
,
kjer je ϕ prosti parameter. Prav tako lahko preko pretvorbe (3.35) vidimo, da je za dani hodograf moºno pridobiti enoparametri£no druºino kompleksnih polinomov α in β, ki ustrezajo danemu hodografu:
α(t) =
√︃1
2(σ(t) +x′(t))(︁
−sinϕ+ i cosϕ)︁
, β(t) =
(︁z′(t) cosϕ−y′(t) sinϕ)︁
+ i(︁
y′(t) cosϕ+z′(t) sinϕ)︁
√︁2(σ(t) +x′(t)) .
4 DPH-krivulje
Kot smo ºe videli v poglavju 3.2, sta za krivuljo r s pitagorejskim hodografom v splo²nem tangentatin torzijska ukrivljenostτ racionalni funkciji parametra krivulje, normala p, binormala b ter eksijska ukrivljenost κ pa niso, saj vsebujejo £len
∥r′×r′′∥,ki je v splo²nem koren nekega polinoma. Zanimajo nas pogoji, pri katerih so vse omenjene koli£ine racionalne funkcije parametra krivulje, torej Frenetovo ogrodje(t,p,b) in obe ukrivljenosti κ inτ.
Iz ena£be (3.17) je mo£ razbrati naslednje: £e je koli£ina ρ(t) popolni kvadrat, je potem tudi koli£ina∥r′(t)×r′′(t)∥polinom in ne koren nekega polinoma, kar vodi do racionalne odvisnosti Frenetovega ogrodja ter ukrivljenosti od parametra t.
Denicija 4.1. Za prostorsko polinomsko krivuljo r pravimo, da je DPH-krivulja ali dvojna PH-krivulja (angl.: double PH curve), £e sta tako ∥r′∥ kot ∥r′ ×r′′∥ polinomski funkciji parametra t, torej £e sta izpolnjena pogoja
∥r′∥2 =x′2+y′2 +z′2 =σ2, (4.1)
∥r′×r′′∥2 = (y′z′′−y′′z′)2+ (z′x′′−z′′x′)2+ (x′y′′−x′′y′)2 = (σω)2 (4.2) za neka polinomaσ inω. Pogoju (4.2) pravimo DPH-pogoj.
Vsaka DPH-krivulja je o£itno tudi PH-krivulja. Na DPH-pogoj lahko pogledamo tudi s pomo£jo karakterizacije PH-krivulj s polinomiu, v, qinp.Koli£inaρv ena£bi (3.19) mora biti enaka kvadratu nekega polinoma ω. Zapi²imo sedaj formule za Frenetovo ogrodje in ukrivljenosti pri DPH-krivuljah:
t= r′ σ, p= r′×r′′
∥r′×r′′∥ ×t= r′×r′′
σω ×r′
σ = (−r′′·r′)r′+σ2r′′
σ2ω
= −((σ′t+σκp)·(σt))r′ +σ2r′′
σ2ω = σr′′−σ′r′
σω , (4.3)
b= r′×r′′
∥r′×r′′∥ = r′×r′′
σω , κ= ∥r′×r′′∥
σ3 = ω
σ2, τ = (r′×r′′)·r′′′
∥r′×r′′∥2 = (r′×r′′)·r′′′
σ2ω2 .
e si ²e enkrat ogledamo ena£bo (3.19),
ρ= 4[(up′−u′p+vq′−v′q)2+ (uq′−u′q−vp′+v′p)2] =ω2, (4.4) vidimo, da polinomi 2(up′ −u′p+vq′ −v′q), 2(uq′ −u′q−vp′ +v′p) in ω tvorijo pitagorejsko trojico. Po opombi 3.4 mora biti trojica oblike
up′−u′p+vq′−v′q =h(a2 −b2),
uq′−u′q−vp′+v′p= 2hab, (4.5) ω =h(a2 +b2)
za polinome h, a, bkjer sta siainb tuja. e sta si tudi polinomaup′−u′p+vq′−v′q inuq′−u′q−vp′+v′ptuja, lahko potem vzamemoh≡1.V takem primeru pravimo, da imamo primitivno pitagorejsko trojico.
4.1 DPH-krivulje in vija£nice
V trditvi 3.12 smo pokazali, da so vse polinomske vija£nice hkrati tudi PH-krivulje.
Da se pokazati ²e ve£.
Trditev 4.2. e je polinomska krivulja vija£nica, potem je tudi DPH-krivulja.
Dokaz. Dokaz je povzet po [1, str. 117]. Naj bo rpolinomska vija£nica, ki ima os v smeri enotskega vektorjaa.Po (3.21) jea·t= cosψ =k,kjer smo sk ∈Rpoudarili, da je ta skalarni produkt med a in t enak konstantni vrednosti. Iz dokaza izreka 3.11 lahko sklepamo, da velja tudi a·b =√
1−k2.Ker veljat= ∥rr′′∥ inb= ∥rr′′×r×r′′′′∥, lahko oba skalarna produkta preoblikujemo ter dobimo
a·r′ =k∥r′∥ in a·(r′ ×r′′) = √
1−k2∥r′×r′′∥. (4.6) Po istem razmisleku kot pri dokazu trditve 3.12 vidimo, da sta levi strani obeh zgor-njih ena£b enaki polinomu, kar pomeni, da morata biti tudi desni strani polinomski.
Tako je poleg hitrosti ∥r′∥tudi koli£ina ∥r′×r′′∥enaka polinomu, torej je izpolnjen DPH-pogoj. Pokazali smo, da je krivulja r res DPH-krivulja.
Za DPH-krivuljo tretje in pete stopnje velja tudi obrat trditve.
Izrek 4.3. Polinomska krivulja stopnje tri ali pet je vija£nica natanko tedaj, ko je DPH-krivulja.
Dokaz. Dokaz je dostopen v [1, str. 121].
Iz primera 3.13 tudi vidimo, da je krivulja r pravzaprav DPH-krivulja. Ker je razmerje med ukrivljenostma nekonstantno, potem ta DPH-krivulja sedme stopnje ni vija£nica. Izrek 4.3 v splo²nem torej za krivulje stopenj ve£ kot pet ne drºi.
Iz ena£be (3.24) je razvidno, da je za DPH-krivulje razmerje med eksijsko in torzijsko ukrivljenostjo enako
κ
τ = ω3
(r′ ×r′′)·r′′′. (4.7)
e je polinomska krivulja r vija£nica, je po trditvi 4.2 hkrati tudi DPH-krivulja in zato mora biti po Lancretovem izreku 3.11 razmerje med ω3 in (r′ ×r′′)· r′′′
konstantno. e je stopnja PH-krivulje enaka n, je potem stopnja polinoma ρ enaka 2n−6, kot smo videli v trditvi 3.8. Iz tega sledi, da jest(ω) =n−3.
To pomeni, da je razmerje med ukrivljenostma za kubi£ne PH-krivulje vedno konstantno, saj sta obe koli£iniω3 in(r′×r′′)·r′′′konstantni. Slednje lahko preverimo po dalj²em, a elementarnem ra£unanju. Torej lahko sklepamo, da je vsaka kubi£na PH-krivulja hkrati vija£nica in tako tudi DPH-krivulja.
Primer 4.4. Dana je krivulja r(t) = (13t3−t,23t3−2t2+ 2t,−23t3+t2−2t). Hitro lahko vidimo, da je njen hodograf enak r′(t) = (t2−1,2t2−4t+ 2,−2t2+ 2t−2).
Z nekaj ra£unanja preverimo, da je parametri£na hitrost te krivulje enaka σ(t) = 3t2−4t+ 3,
torej imamo res opravka s PH-krivuljo. Izra£unajmo ²er′×r′′: r′(t)×r′′(t) = (︁
4(t2−1),2(t2 −4t+ 1),4(t−1)2)︁
.
Preverimo lahko, da je kvadrat norme zgornjega vektorskega produkta enak
∥r′(t)×r′′(t)∥2 = 4(3t2−4t+ 3)2 = 4σ2(t).
Po (4.2) je potem ta krivulja DPH-krivulja in veljaω ≡2,torej je tudiω3konstantna funkcija. Izra£unajmo sedaj ²e me²ani produkt(r′ ×r′′)·r′′′. Enak je
(︁r′(t)×r′′(t))︁
·r′′′(t) = −16.
Po ena£bi (4.7) je potem razmerje med eksijsko in torzijsko ukrivljenostjo enako
−12. Tako smo za to PH-krivuljo stopnje 3 preverili, da je hkrati tudi vija£nica in DPH-krivulja.
Polinomske vija£nice stopnje 5, ki so po izreku 4.3 tudi DPH-krivulje, tvorijo pravo podmnoºico mnoºice vseh PH-krivulj stopnje 5. To dejstvo je razvidno iz naslednjega primera.
Primer 4.5. Dana je krivulja r(t) =
(︃17
5 t5−7t4+ 10 3 t3,−6
5t5+t4− 4
3t3+ 2t2,−6t5+ 11t4− 14
3 t3−2t )︃
. Njen hodograf je enak
r′(t) = (−4t3+ 2t2−1,8t4−12t3+ 12t2−6t+ 2,4t3−8t2+ 6t−2) in parametri£na hitrost te krivulje se poenostavi v
σ(t) = 35t4−52t3+ 18t2+ 2.
Dana krivulja je torej PH-krivulja stopnje 5. Podobno kot v prej²njem primeru izra£unamor′×r′′:
r′(t)×r′′(t) = (︁
−8(t−2)t(2t2−2t+1)2,6(2t2−2t+1)2,−2(2t2−2t+1)2(4t2+4t−3))︁
. Kvadrat norme tega vektorskega produkta je enak
∥r′(t)×r′′(t)∥2 = 16(2t4+ 6t3+ 3t2−4t+ 1)(35t4−52t3+ 18t2+ 2)2 =ρ(t)σ2(t), pri £emer jeρ(t) = 16(2t4+ 6t3+ 3t2−4t+ 1). Po (4.2) potem na²a PH-krivulja ni DPH-krivulja, saj polinom ρni kvadrat nobenega drugega polinoma.
Podobno kot pri stopnji 5, tudi za stopnjo 7 (ali ve£) tvorijo DPH-krivulje pravo podmnoºico PH-krivulj. Pri stopnji 7 ali ve£ pa imamo lahko tako vija£ne kot nevija£ne DPH-krivulje. e DPH-krivulja sedme oziroma vi²je stopnje izpolnjuje enakost
(r′ ×r′′)·r′′′ = cotψ ω3 (4.8) za nek konstanten kot ψ, je potem tudi vija£nica, kar sledi iz pogoja (3.25). To enakost se lahko uporablja kot sito, ki lo£uje vija£ne od nevija£nih DPH-krivulj stopenj 7 ali ve£.