• Rezultati Niso Bili Najdeni

6.3 Polinomske vija£ne krivulje stopnje 7

6.3.1 Kubi£na reparametrizacija

Kot v poglavju 6.2.2 tudi zdaj reparametriziramo parameter t z racionalno para-metrizacijo, le da tokrat izberemo polinoma f in g tretje stopnje namesto druge stopnje. Dobimo povsem analogen izraz

z(t) = α0(1−t)313(1−t)2t+α23(1−t)t23t3 β0(1−t)313(1−t)2t+β23(1−t)t23t3 ,

kjer soαi =fi(a1−a0) +gia0 inβi =fi(b1−b0) +gib0, i= 0,1,2,3,Bernsteinovi koecienti polinomov αin β. S programom Mathematica preverimo, da je izraz za polinom proporcionalnosti

α(t)β(t)−α(t)β(t) = h(t)(a0b1−a1b0)

povsem analogen kot v poglavju 6.2.2, saj jeh(t) =f(t)g(t)−f(t)g(t).Bernsteinovi koecienti tega polinoma so enaki

h0 = 3(f1g0−f0g1), h1 = 3

2(f2g0−f0g2), h2 = 3

2(f2g1−f1g2) + 1

2(f3g0−f0g3), (6.15) h3 = 3

2(f3g1−f1g3), h4 = 3(f3g2−f2g3).

Vidimo, da je DPH-pogoj (4.18) izpolnjen in veljast(h) = 4 ter st(w) = 0.Dobimo splo²no PH-vija£nico stopnje 7.

Oglejmo si ²e pripadajo£ kvaternionski polinom A(t) = α(t) +kβ(t). Kot v poglavju 6.2.2 se Bernsteinovi koecienti tega polinoma izraºajo na enak na£in kot v (6.10), in sicer:

Ai =fi(︁

a1−a0+k(b1−b0))︁

+gi(︁

a0+kb0)︁

, i= 0,1,2,3. (6.16)

Sklep je podoben kot prej. Vsi ti koecienti so linearna kombinacija kvaternionov a1−a0+k(b1−b0) ina0+kb0. Potemtakem se koecienta A1 inA2 da izraziti s pomo£jo koecientov A0 inA3 kot

A1 =A0c10+A3c13 in A2 =A0c20+A3c23 (6.17) za primerne realne konstante c10, c13, c20 inc23. Ko vstavimo vrednosti koecientov (6.16) v (6.17) in iz njih izrazimo vrednosti konstant, vidimo, da se konstante izraºajo s pomo£jo Bernsteinovih koecientov polinomah,ki smo jih ºe omenili v (6.15), ter s pomo£jo vrednosti k =f3g0−f0g3. Velja namre£

c10 = 2h3

3k , c13= h0

3k, c20= h4

3k, c23 = 2h1 3k . 6.3.2 Mnoºenje s kvadrati£nim polinomom

Podobno kot smo v poglavju 6.2.3 pri krivuljah stopnje 5 mnoºili ²tevec in imenovalec ulomka (6.5) s kompleksnim linearnim polinomom, tokrat mnoºimo s kompleksnim kvadrati£nim polinomom. Polinoma α inβ sta enaka

α(t) = (︁

a0(1−t) +a1t)︁(︁

w0(1−t)2+w12(1−t)t+w2t2)︁

, β(t) = (︁

b0(1−t) +b1t)︁(︁

w0(1−t)2+w12(1−t)t+w2t2)︁

. (6.18) Potemtakem so Bernsteinovi koecienti obeh polinomov enaki

α0 =a0w0, α1 = 1

3(2a0w1 +a1w0), α2 = 1

3(2a1w1+a0w2), α3 =a1w2, (6.19) β0 =b0w0, β1 = 1

3(2b0w1 +b1w0), β2 = 1

3(2b1w1+b0w2), β3 =b1w2. (6.20) Mathematica nam ponovno olaj²a delo pri preverjanju, da je polinom proporcional-nosti enak

α(t)β(t)−α(t)β(t) = (a0b1−a1b0)(︁

w0(1−t)2+w12(1−t)t+w2t2)︁2

. DPH-pogoj (4.18) je tokrat izpolnjen pri st(h) = 0 in st(w) = 2. Iz istega razloga kot v poglavju 6.2.3 je pridobljena vija£nica monotono vija£na.

Oglejmo si ²e analizo s kvaternioni. Tokrat imamo opravka s kubi£nim kvater-nionskim polinomom A(t) =α(t) +kβ(t)z naslednjimi Bernsteinovimi koecienti

A0 = (a0+kb0)w0, A1 = 1 3

(︁2(a0 +kb0)w1+ (a1+kb1)w0)︁

, A2 = 1

3

(︁2(a1+kb1)w1+ (a0+kb0)w2)︁

, A3 = (a1+kb1)w2,

ki sledijo iz (6.19) in (6.20). Podobno kot v poglavju 6.2.3 lahko izrazimo koecienta A1 inA2 s pomo£jo A0 in A3 v obliki

A1 =A0c10+A3c13 in A2 =A0c20+A3c23. (6.21)

Ni teºko preveriti, da so koecienti c10, c13, c20 in c23 pravzaprav kompleksna

²tevila kvaternioni, ki so enaki 0 pri komponentahjinkter se izraºajo s pomo£jo w0,w1 inw2 kot Tudi pri polinomskih vija£nih krivuljah stopnje 7 pride do prekrivanja primerov kubi£ne reparametrizacije in mnoºenja s kvadrati£nim polinomom, podobno kot smo ºe videli pri polinomskih vija£nih krivuljah stopnje 5. ƒe je polinom h stopnje 4 iz primera kubi£ne reparametrizacije 6.3.1 pravzaprav kvadrat kvadrati£nega polinoma in £e se v primeru mnoºenja kvadrati£nega polinoma koecientiw0,w1inw2 izraºajo kot wi =cwi, kjer je c ∈ C kompleksna konstanta ter so wi ∈ R realne konstante za i = 0,1,2, je potem polinom proporcionalnosti v obeh primerih enak zmnoºku kompleksne konstante in kvadrata realnega polinoma druge stopnje, kar nakazuje, da imamo opravka z izrojenimi DPH-krivuljami.

6.3.3 Reparametrizacija in multiplikacija

Tretji na£in generiranja vija£nih krivulj stopnje 7 kombinira oba prej²nja na£ina:

na izrazu (6.5) najprej izvedemo kvadrati£no reparametrizacijo, kot je bilo opisano v poglavju 6.2.2, in nato pomnoºimo ²tevec in imenovalec pridobljenega ulomka s kompleksnim linearnim polinomom w0(1−t) +w1t, kot je bilo opisano v poglavju 6.2.3. Tako pridobljena polinomaαinβsta res polinoma stopnje 3, kar pomeni, da je potem polinomska vija£na krivulja, pridobljena iz hodografa, res krivulja stopnje 7. Pomembno je, da najprej izvedemo reparametrizacijo in ²ele nato mnoºenje, saj v nasprotnem primeru ne dobimo racionalne parametrizacije premice oziroma kroºnice, kjer bi bilaαinβpolinoma stopnje 3, temve£ bi bila potem stopnje 4. Po kraj²em ra£unu ugotovimo, da so Bernsteinovi koecienti teh dveh polinomov enaki

α0 =(︁

S pomo£jo Mathematice ugotovimo, da je polinom proporcionalnosti enak α(t)β(t)−α(t)β(t) =h(t)(a0b1−a1b0)(︁

w0(1−t) +w1t)︁2

,

kjer je h(t) = f(t)g(t)−f(t)g(t) povsem enak kot v poglavju 6.2.2. Tokrat je DPH-pogoj (4.18) izpolnjen pri st(h) = 2 inst(w) = 1.

Za laºji zapis kvaternionskega kubi£nega polinomaA(t) =α(t)+kβ(t)si najprej denirajmo kvaterniona V0 =a1−a0+k(b1−b0) in V1 =a0+kb0. Potem lahko iz (6.23) sklepamo, da so Bernsteinovi koecienti polinoma A enaki

A0 = (f0V0+g0V1)w0, A1 = 1

3(f0V0+g0V1)w1+ 2

3(f1V0+g1V1)w0, A2 = 1

3(f2V0+g2V1)w0+ 2

3(f1V0+g1V1)w1, A3 = (f2V0+g2V1)w1.

Kot smo ºe videli v prej²njih poglavjih, lahko koecientaA1inA2izrazimo s pomo£jo A0 inA3 preko zveze

A1 =A0c10+A3c13 in A2 =A0c20+A3c23,

kjer soc10,c13,c20inc23kompleksne konstante, ki jih podamo s pomo£jo koecientov w0,w1 inw2 ter Bernsteinovih koecientov polinomah.Da se preveriti, da so enake

c10= h1w1+h2w0

3h1w0 , c13 = h0w0

3h1w1, c20= h2w1

3h1w0, c23= h1w0+h0w1

3h1w1 . (6.24)

6.4 Polinomske vija£ne krivulje vi²jih stopenj

V poglavjih 6.2.2 in 6.3.1 smo videli, da so se Bernsteinovi koecienti polinomov α in β izraºali z isto zvezo. Ta zveza je enaka tudi za vi²je stopnje. Recimo, da sedaj uporabimo reparametrizacijot →f(t)/g(t)stopnje m,kar pomeni, da sta polinoma f in g stopnje m ter je m ≥ 2. Polinoma α in β sta stopnje m, tako da je potem pridobljena krivulja stopnje 2m+ 1. Koecienti se izraºajo kot

αi =fi(a1−a0) +gia0 in βi =fi(b1−b0) +gib0 za i= 0, . . . , m.

Prav tako je enostavno izraziti Bernsteinove koeciente kvaternionskega polinoma A(t) =α(t) +kβ(t),ki so enaki

Ai =fi

(︁a1−a0+k(b1−b0))︁

+gi(a0+kb0) za i= 0, . . . , m.

Ker so koecientifi ingi realni, lahko iz zgornjega opazimo, da jem+1kvaternionov linearno odvisnih od kvaternionov a1−a0+k(b1−b0) in a0 +kb0.

Prav tako lahko posplo²imo postopek mnoºenja izraza (6.5) s polinomom, kot smo ga spoznali v poglavjih 6.2.3 in 6.3.2. Polinomaa0(1−t) +a1t inb0(1−t) +b1t mnoºimo s kompleksnim polinomom stopnje m −1, m ≥ 2, ki ima Bernsteinove koecientew0, . . . ,wm−1.Bernsteinovi koecienti polinomov αinβso potem enaki α0 =a0w0, αm =a1wm−10 =b0w0, βm =b1wm−1, zak = 1, . . . , m−1pa velja

αk = (m−k)a0wk+ka1wk−1

m in βk = (m−k)b0wk+kb1wk−1

m .

Formule sledijo neposredno iz pravil mnoºenja polinomov, zapisanih v Bernsteinovi bazi. Za polinom proporcionalnosti tudi v splo²nem velja formula

α(t)β(t)−α(t)β(t) = (a0b1−a1b0)w2(t).

Tudi pri kvaternionskem zapisu se da ugotoviti, da se koecienti A1, . . . ,Am−1 iz-raºajo s pomo£jo dveh koecientov A0,Am in kompleksnih konstant ck0,ckm za k = 1, . . . , m−1.

Po zgledu iz prej²njega poglavja 6.3.3 lahko tudi najprej uporabimo reparametri-zacijo in nato izvedemo ²e postopek mnoºenja s kompleksnim polinomom, da dobimo

²e en razli£en razred polinomskih vija£nih krivulj.

7 Nevija£ne DPH-krivulje

Po trditvi 4.2 vemo, da je vsaka polinomska vija£na krivulja tudi DPH-krivulja. Iz primera 3.13 je pa tudi razvidno, da obratno ni nujno res: obstajajo DPH-krivulje, ki niso nujno polinomske vija£nice. Le-te morajo biti vsaj stopnje sedem, saj za niºje stopnje DPH-krivulje sovpadajo s polinomskimi vija£nicami, kot smo omenili v izreku 4.3. V tem poglavju bomo raziskali pogoje, ki nam bodo za vsak tip DPH-krivulj stopnje 7, opisanih v poglavju 5.2, povedali, ali je dana DPH-DPH-krivulja stopnje 7 nevija£na ali vija£na.

Pri analizi si bomo pomagali s Hopfovim modelom. Za£eli bomo z nekaj lemami, ki jih bomo v nadaljevanju uporabili pri posameznih primerih DPH-krivulj. Za kubi£na polinoma α in β, ki porodita ustrezno DPH-krivuljo stopnje 7, bomo v nadaljevanju z γ ozna£ili najve£ji skupni delitelj polinomov α in β, tako da velja α(t) = γ(t)α˜ (t) in β(t) = γ(t)β˜ (t). Stopnjo polinoma γ ozna£imo z r, torej je potem stopnja polinomov α˜ in β˜ enaka 3−r, kjer je 0≤r≤3.

Lema 7.1. ƒe polinoma α in β porodita nevija£no DPH-krivuljo, je r≤1.

Dokaz. Recimo, da je r= 3.Potem sta si polinoma αinβ proporcionalna, tako da je njun polinom proporcionalnosti identi£no enak 0. Potem je po ena£bi (4.17) tudi eksijska ukrivljenost krivulje, ki ju generirata polinoma, enaka 0, kar pomeni, da imamo pravzaprav opravka s premico, premica pa je trivialno vija£na krivulja, saj lahko vzamemo v deniciji 3.10 kot ψ = 0.

Oglejmo si sedaj primer, ko je r = 2. Potem je γ kvadrati£en polinom, poli-noma α˜ in β˜ pa sta linearna. Sledi, da z(t) = α(t)/β(t) = α˜ (t)/β˜ (t) denira premico ali kroºnico v kompleksni ravnini, kot smo opisali v poglavju 6.1 in kot se vidi iz ena£be (6.5). Vemo, da je slika premice oziroma kroºnice v komple-ksni ravnini z normalizirano Hopfovo preslikavo Hˆ (z,1) kroºnica na S2. Ker velja Hˆ (z,1) = Hˆ (α/β,1) = Hˆ (α,β), nam ta izraz predstavlja tudi izraz za enotsko tangento. Po posledici 6.2 je potem krivulja, porojena s polinomoma α in β, res vija£na. V primerih r = 3 in r = 2 obakrat dobimo vija£ne DPH-krivulje, torej mora za nevija£ne DPH-krivulje res drºati r≤1.

Lema 7.2. Naj za polinoma α in β velja r = st(γ) = st(gcd(α,β)) = 1. ƒe je polinom h konstanten polinom ali kvadrat katerega drugega polinoma, potem DPH-pogoj (4.18) ni izpolnjen.

Dokaz. ƒe je r = 1, sta polinoma α in β kubi£na, medtem ko sta polinoma α˜ in β˜ kvadrati£na. Polinom proporcionalnosti teh dveh polinomov α˜β˜ −α˜β˜ je tudi kvadrati£en. Predruga£imo DPH-pogoj (4.18) v

γ2(t)(︁

α˜ (t)β˜(t)−α˜(t)β˜ (t))︁

=h(t)w2(t). (7.1)

ƒe je polinomhidenti£no enak neki realni konstanti ali pa je kvadrat nekega drugega realnega polinoma, je potem

α˜ (t)β˜(t)−α˜(t)β˜ (t) =δ2(t), (7.2)

kjer jeδ kompleksen linearen polinom. Recimo, da jeτ ni£la tega polinoma. Potem Ker sta polinoma α˜ in β˜ kvadrati£na, je mo£ iz zgornjih enakosti sklepati, da sta polinoma proporcionalna. To pa je v protislovju s predpostavko, da sta si tuja.

Privzemimo, da je sedaj α˜ (τ) = 0 ̸= β˜ (τ). ƒe ta podatka vnesemo v ena£be (7.3), vidimo, da je α˜(τ) = α˜′′(τ) = 0. Potem lahko polinom α˜ zapi²emo kot α˜ (t) =α˜0(t−τ)2 za neko neni£elno kompleksno konstanto α˜0. Na podoben na£in zapi²emo tudi polinom δ, ki je enak δ(t) = δ0(t − τ) za neni£elno kompleksno konstantoδ0. ƒe vstavimo to dvoje v ena£bo (7.2), dobimo

(︁α˜0(t−τ)2)︁ smo, da £e je r = 1 in je polinom h konstanten ali enak kvadratu nekega drugega polinoma, DPH-pogoj ne more biti izpolnjen.

Lema 7.3. Naj bodoa1,a2,b1 in b2 taka kompleksna ²tevila, da veljaa1b2−a2b1 ̸=

0 in naj bo ϕ realna spremenljivka. ƒe velja |b1| ̸=|b2|, nam funkcija s predpisom z(ϕ) = a1e+a2

b1e+b2 (7.5)

poda kroºnico v kompleksni ravnini s sredi²£em vzc in polmeromR, ki sta podana z zc = a11 −a22

ƒe velja |b1|=|b2|, nam zgornja funkcija poda premico namesto kroºnice.

Dokaz. Oglejmo si izraz z(ϕ)−zc, ki je enak

Zanima nas absolutna vrednost tega izraza. V absolutni vrednosti levega ulomka prepoznamo izraz zaR,v desnem ulomku pa opazimo, da je ²tevec enak konjugirani vrednosti imenovalca. Absolutna vrednost desnega ulomka je tako enaka 1, prav tako je enaka 1 absolutna vrednost izraza e.Tako velja|z(ϕ)−zc|=R, torej je za

|b1| ̸=|b2| slika funkcije ϕ ↦→z(ϕ)res kroºnica s sredi²£em zc in polmeromR.

ƒe je |b1| = |b2|, postane to£ka zc to£ka v neskon£nosti, polmer R pa tudi postane neskon£en, kar pa ustreza karakterizaciji premice.

Opomba 7.4. ƒe je a1b2 − a2b1 = 0, je potem a1/a2 = b1/b2 = k, kjer je k kompleksna konstanta. V tem primeru se nam tudi funkcija (7.5) izrodi v konstantno funkcijo. Ta primer nas ne zanima.

Lema 7.5. ƒe sta τ12 obe realni ²tevili ali kompleksni si konjugirani ²tevili, nam funkcija

z(t) = a1(t−τ1)m+a2(t−τ2)m

b1(t−τ1)m+b2(t−τ2)m (7.7) realne spremenljivke t za celo ²tevilo m poda premico oziroma kroºnico v kompleksni ravnini. V nasprotnem primeru nam funkcija zne poda kroºnice oziroma premice v kompleksni ravnini.

Dokaz. Ozna£imo f(t) = (t−τ1)m/(t−τ2)m. Potem velja z(t) = a1f(t) +a2

b1f(t) +b2.

ƒe sta τ12 realni ²tevili, postane funkcija f(t) realna funkcija f(t). Vidimo, da imamo spet opravka z racionalno reparametrizacijo t → f(t) parametra t v izrazu (6.5), ki opisuje kroºnico oziroma premico v kompleksni ravnini.

ƒe sta si τ12 kompleksni konjugirani si ²tevili, lahko predpis za funkcijo f(t) zapi²emo kraj²e kot

f(t) = (t−τ1)2m

|(t−τ1)2m| =ei2marg(t−τ1).

Ozna£imo ϕ = 2marg(t−τ1). Opazimo, da ima potem funkcija z(t) enak predpis kot funkcija (7.5) iz leme 7.3, katere slika je kroºnica oziroma premica v kompleksni ravnini.

Recimo sedaj, da τ12 nista realni ²tevili in nista kompleksni konjugirani si

²tevili. Potem je f(t) enaka

f(t) = (r1(t))meimarg(t−τ1) (r2(t))meimarg(t−τ2),

kjer je ri(t) funkcija, ki je enaka absolutni vrednosti ²tevila t−τi za i= 1,2, in je odvisna od parametra t. Potem lahko funkcijoz(t) zapi²emo kot

z(t) = a1(︂

r1(t) r2(t)

)︂m

eim(arg(t−τ1)−arg(t−τ2))+a2 b1(︂

r1(t) r2(t)

)︂m

eim(arg(t−τ1)−arg(t−τ2))+b2 .

Vidimo, da je z(t) enaka kompoziciji preslikavh(ℓ(t)), kjer sta

V izrazu zah prepoznamo Möbiusovo transformacijo, ki slika premice oziroma kro-ºnice v kompleksni ravnini v premice oziroma krokro-ºnice [13, str. 148]. Ker je inver-zna Möbiusova transformacija prav tako Möbiusova transformacija, nam tudi inverz preslikaveh slika premice oziroma kroºnice v kompleksni ravnini v premice oziroma kroºnice. Ker predpis ℓ(t) ne predstavlja premice oziroma kroºnice v kompleksni ravnini, potem tudi izraz z(t) = h(ℓ(t)) ne more predstavljati premice oziroma kroºnice v kompleksni ravnini.

7.1 Primer st(h) = 0 in st(w) = 2

V tem podpoglavju bomo raziskali pogoje, pri katerih je dana DPH-krivulja stopnje 7 vija£na oziroma nevija£na. Algebrai£ne pogoje, katerim morajo zadostiti koecienti polinomovα,βinw,da lahko sploh govorimo o DPH-krivulji, smo ºe obravnavali v poglavju 5.2.1. Polinom h naj bo identi£no enak konstantih0.Kriterij za lo£evanje vija£nih in nevija£nih DPH-krivulj znotraj tega primera je predstavljen v naslednji trditvi.

Trditev 7.6. Naj polinoma α,β generirata tako DPH-krivuljo, da je v DPH-pogoju (4.18) polinom h konstanten in polinom w kvadrati£en. Krivulja je nevija£na, £e ni£li τ12 polinoma w nista realni, nista par kompleksno si konjugiranih ²tevil in

£e se da polinoma α in β izraziti kot

α(t) = a1(t−τ1)3+a2(t−τ2)3 in β(t) =b1(t−τ1)3+b2(t−τ2)3, (7.8) kjer velja a1b2−a2b1 ̸= 0.

Dokaz. Po lemah 7.1 in 7.2 je dovolj obravnavati primer r = 0, saj DPH-pogoj ni izpolnjen, £e je r = 1 in je polinom h identi£no enak konstanti. Ker je r = 0, je polinomγ = gcd(α,β)konstanten in sta si polinomaαinβtuja. Potem je polinom proporcionalnosti enak

α(t)β(t)−α(t)β(t) = h0w2(t). (7.9) Naj bostaτ12ni£li polinomaw,ki je druge stopnje. Sledi, da staτ12 dvojni ni£li polinoma proporcionalnosti. ƒe zgornjo ena£bo odvajamo in vstavimo katerokoli od ni£el, vidimo, da velja

α(τii)−αi)β(τi) = α(τi′′i)−α′′i)β(τi) = 0 (7.10) za i = 1,2. Predpostavimo najprej, da sta ni£li τ12 razli£ni. Zapi²imo sedaj polinomaα inβ v spremenjeni Bernsteinovi bazi na naslednji na£in:

α(t) =

kjer so pk,qk ustrezni kompleksni koecienti. Ker je polinom γ, najve£ji skupni delitelj polinomov α,β, enak konstanti, sledi, da vrednosti α(τi),β(τi) ne moreta biti obe hkrati enaki ni£ za i= 1,2. Sedaj bomo lo£ili dva primera.

Obravnavajmo najprej primer, ko velja α(τi) ̸= 0 in β(τi) ̸= 0 za i = 1,2.

Ena£be (7.10) lahko preoblikujemo v αi)

α(τi) = βi)

β(τi), α′′i)

α(τi) = β′′i) β(τi)

za i = 1,2. Zaradi lastnosti odvajanja polinomov v spremenjeni Bernsteinovi bazi lahko zgornje ena£be zapi²emo kar s pomo£jo koecientov polinomov kot

p1 p0 = q1

q0, p2 p0 = q2

q0 zai= 1 in p2 p3 = q2

q3, p1 p3 = q1

q3 za i= 2.

ƒe je eden od koecientov p1,p2 neni£eln, lahko iz zgornjega sklepamo, da je eden od koecientovq1,q2 neni£eln. Iz preostalih ena£b vidimo, da si potem polinomaα inβ nista tuja, kar pa je v protislovju s predpostavko. Do istega zaklju£ka pridemo,

£e je eden od koecientov q1,q2 neni£eln. ƒe je p1 = p2 = 0 in q1 = q2 = 0, sta potem polinoma αin β enaka

α(t) = p02−t)3+p3(t−τ1)3 in β(t) = q02−t)3+q3(t−τ1)3, kjer dodatno predpostavimop0q3−p3q0 ̸= 0,saj si v nasprotnem primeru polinoma α in β nista tuja. ƒe deniramo a1 = p3, a2 = −p0, b1 = q3 in b2 = −q0, dobimo obliko polinomov, kot je zabeleºena v (7.8) dokazovane trditve. Prav tako se pogoj p0q3−p3q0 ̸= 0 spremeni va1b2−a2b1 ̸= 0,ki je tudi vsebovan v trditvi.

Tako podana polinoma po lemi 7.5 porodita nevija£no DPH-krivuljo, saj τ12 po predpostavki nista obe realni ²tevili in nista konjugirani si kompleksni ²tevili ter tako slika z(t) =α(t)/β(t)ne poda kroºnice oziroma premice v kompleksni ravnini.

Oglejmo si ²e primer, da je vsaj ena od vrednostiα(τi)inβ(τi)zai= 1,2enaka ni£. Recimo, da je α(τ1) = 0. Ker sta si polinomaα inβ tuja, sledi, da je β(τ1) = q0 ̸= 0. Iz ena£b (7.10) lahko potem sklepamo, da velja α1) = α′′1) = 0.

Druga£e povedano, za koeciente pi velja, da so za i= 0,1,2enaki ni£. Polinomα je tako enakp3(t−τ1)3.Podobno kot prej lahko iz ena£b (7.10) prii= 2vidimo, da veljaq1 =q2 = 0.Polinomβ je tako enakq02−t)3+q3(t−τ1)3.Ponovno dobimo isto obliko, kot je zapisana v (7.8), le da tokrat velja a1 = p3, a2 = 0, b1 = q3 in b2 =−q0.Do analognih sklepov pridemo, £e predpostavimoα(τ2) = 0aliβ(τ1) = 0 ali β(τ2) = 0. V vsakemu od teh primerov je eden od koecientov a1,a2,b1,b2 enak ni£. Iz istega razloga kot v prej²njem primeru je DPH-krivulja, porojena iz polinomovαinβ, nevija£na, saj po lemi 7.5 slika funkcijez(t) = α(t)/β(t)ni enaka kroºnici oziroma premici v kompleksni ravnini.

Pri dokazu smo predpostavili, da sta ni£liτ12razli£ni. ƒe bi veljaloτ12,se iz (7.8) vidi, da si tako podana polinoma αinβne bi bila tuja, kar pa je v nasprotju s predpostavko.

7.2 Primer st(h) = 2 in st(w) = 1

Tokrat bomo raziskali kriterije, s katerimi lo£imo vija£ne od nevija£nih DPH-krivulj, kakr²ne smo ºe raziskali v poglavju 5.2.2. Po lemi 7.1 je dovolj obravnavati primere,

ko je γ(t) = gcd(α(t),β(t)) stopnje r = 0 ali r = 1. V naslednjih dveh trditvah bomo videli, da nevija£ne krivulje v tem primeru obstajajo samo, kadar jer = 0.

Trditev 7.7. Naj bosta polinoma α in β taka, da je γ stopnje r = 1 ter naj generirata tako DPH-krivuljo, da je polinom h druge stopnje in da je polinom w linearen. Potem je ta DPH-krivulja vija£na.

Dokaz. Po lemi 7.2 je dovolj obravnavati take kvadrati£ne polinomeh,ki imajo raz-li£ni ni£liτ12. Iz ena£be (7.1) v dokazu leme 7.2 je razvidno, da zaradi razli£nosti ni£el polinoma h polinom γ nima skupnega faktorja s polinomom h, temve£ z w.

’e ve£, pravzaprav se razlikujeta za multiplikativno konstanto. Podobno velja za α˜β˜ −α˜β˜ in h. Napi²imo najprej polinoma α˜,β˜ v primerno izbrani Bernsteinovi bazi

α˜ (t) = p02−t)2+p12(τ2−t)(t−τ1) +p2(t−τ1)2, β˜ (t) = q02−t)2+q12(τ2−t)(t−τ1) +q2(t−τ1)2

za primerno izbrane kompleksne koeciente p0,p1,p2,q0,q1 in q2. Po zgornjem razmisleku mora biti polinom α˜β˜ −α˜β˜ enak ni£ pri τ12. Iz tega sklepamo, da veljata ena£bi

p0q1−p1q0 = 0 in p1q2−p2q1 = 0, saj je

α˜ (t)β˜(t)−α˜(t)β˜ (t) = (τ2−τ1)(︁

2(p0q1−p1q0)(τ2−t)2

+ (p0q2−p2q0)2(τ2 −t)(t−τ1) + 2(p1q2−p2q1)(t−τ1)2)︁

.

ƒe p1,q1 nista oba enaka ni£, lahko iz zgornjih dveh ena£b vidimo, da se potem polinomaα˜ inβ˜ razlikujeta za multiplikativno konstanto (£e je eden od njiju ni£elni polinom, to velja trivialno), kar je v protislovju s tem, da sta siα˜ inβ˜ tuja. Edina moºnost, ki preostane, je, da vzamemo p1 = q1 = 0. Zapi²emo a1 = p2, a2 = p0, b1 =q2 in b2 = q0. Po potrebi konstante a1,a2,b1,b2 pomnoºimo ²e s konstanto, ki povezujew in γ. Tako pridobimo zapisa obeh polinomov αin β, ki sta enaka

α(t) = w(t)(︁

a1(t−τ1)2+a2(t−τ2)2)︁

, β(t) = w(t)(︁

b1(t−τ1)2 +b2(t−τ2)2)︁

.

Ker je h realen polinom, morati biti ni£li τ12 realni ²tevili ali pa kompleksni konjugirani si ²tevili. Po lemi 7.5 lahko potem sklepamo, da je slika funkcije z(t) = α(t)/β(t) kroºnica oziroma premica v kompleksni ravnini, torej mora biti DPH-krivulja, ki jo generirataα inβ, res vija£na.

Pri st(h) = 2, st(w) = 1 inr = 1 tako res ne moremo dobiti nevija£ne krivulje.

Oglejmo si ²e primer, ko sta si αin β tuja, torej ko je r = 0.

Trditev 7.8. Naj bosta polinoma α in β taka, da je njun najve£ji skupni delitelj γ stopnje r = 0 ter naj generirata tako DPH-krivuljo, da je polinom h druge stopnje in da je polinom w linearen. Potem je taka DPH-krivulja nevija£na.

Dokaz. V poglavju 6.3 smo se seznanili z vsemi moºnimi tipi vija£nih krivulj stop-nje 7, kjer smo preoblikovali izraz za parametrizacijo kroºnice oziroma premice (6.5) v kompleksni ravnini. Obdelali smo kubi£no reparametrizacijo, mnoºenje s kva-drati£nim polinomom ter kombinacijo kvadrati£ne reparametrizacije in mnoºenja z linearnim polinomom. Pokazali smo, da je samo pri tej zadnji moºnosti 6.3.3 DPH-pogoj (4.18) izpolnjen prist(h) = 2inst(w) = 1.Za take krivulje morata imetiαin β skupen faktor v polinomuw.ƒe sta siαinβtuja in veljast(h) = 2inst(w) = 1, lahko zaklju£imo, da je taka krivulja nevija£na.

7.3 Primer st(h) = 4 in st(w) = 0

Preostal nam je ²e zadnji primer. Tokrat si bomo pomagali z rezultati iz poglavja 6.3.1. Pridobili bomo ra£unski kriterij, s katerim bomo lo£ili vija£ne od nevija£nih DPH-krivulj.

Trditev 7.9. DPH-krivulja stopnje 7, pri kateri je DPH-pogoj (4.18) izpolnjen pri st(h) = 4 in st(w) = 0, je nevija£na, £e je izraz

∆ = 9h22 + 3h0h4−12h1h3, (7.11) ki je podan z Bernsteinovimi koecienti polinomah,negativen. ƒe je ∆nenegativen, je DPH-krivulja vija£na.

Dokaz. V poglavju 6.3.1 smo ºe omenili, je DPH-krivulja prist(h) = 4inst(w) = 0 vija£na natanko takrat, ko se da polinom h zapisati s pomo£jo kubi£nih realnih polinomov f, g, in sicer koth(t) =f(t)g(t)−f(t)g(t). To enakost lahko zapi²emo druga£e s pomo£jo Bernsteinovih koecientov vseh treh polinomov, kot smo ºe videli v ena£bah (6.15). To si pravzaprav lahko interpretiramo kot sistem petih linearnih ena£b s ²estimi spremenljivkami oblike figj−fjgi,kjer je i̸=j za 0≤i, j ≤3. Eno od teh spremenljivk si lahko poljubno izberemo. Naj bo f2g1 −f1g2 = c. Dobimo sistem

f1g0−f0g1 = 1

3h0, f2g0−f0g2 = 2

3h1, f3g0−f0g3 = 2h2−3c, f2g1−f1g2 =c, f3g1−f1g3 = 2

3h3, f3g2−f2g3 = 1 3h4.

Kot smo ºe videli pri pogoju kompatibilnosti (5.6), tudi tu vedno velja povsem analogna enakost

(f2g0−f0g2)(f3g1−f1g3)−(f2g1−f1g2)(f3g0−f0g3) = (f1g0−f0g1)(f3g2−f2g3), ki jo s pomo£jo koecientov polinoma h in ²tevila cpreoblikujemo v

(︃2 3h1

)︃ (︃

2 3h3

)︃

−c(2h2 −3c) = (︃1

3h0

)︃ (︃

1 3h4

)︃

. To ena£bo lahko preoblikujemo v kvadratno ena£bo za c:

27c2−18h2c+ 4h1h3−h0h4 = 0.

Re²itvi ena£be sta enaki

c=f2g1−f1g2 = 1 9

(︃

3h2±

√︂

9h22+ 3h0h4−12h1h3 )︃

.

Re²itev je realna natanko tedaj, ko je diskriminanta∆zgornje ena£be nenegativna.

V teh primerih se polinomhda zapisati v oblikih(t) = f(t)g(t)−f(t)g(t)za realna polinomaf ing tretje stopnje. DPH-krivulja, za katero to velja, je vija£na, saj nam potem izrazα(t)/β(t) poda kubi£no reparametrizacijo kroºnice oziroma premice v kompleksni ravnini.

ƒe je diskriminanta ∆ negativna, ne obstajata taka realna kubi£na polinoma f, g, da bi lahko h izrazili v obliki f(t)g(t)−f(t)g(t). V teh primerih ne moremo pridobiti kubi£ne reparametrizacije kroºnice oziroma premice v kompleksni ravnini, torej imamo v takih primerih opravka s nevija£nimi DPH-krivuljami.

8 Izra£unani primeri

V tem poglavju si bomo na podlagi do zdaj znanih dejstev ogledali, kako konstruirati prostorsko DPH-krivuljo stopnje 7. Obdelali bomo primere polinomskih vija£nih krivulj, do katerih pridemo s kubi£no reparametrizacijo, mnoºenjem s kvadrati£nim polinomom, reparametrizacijo in multiplikacijo, ter ²e nekaj primerov vija£nih in nevija£nih krivulj.

Spomnimo se najprej, kako izraºamo hodograf prostorske PH-krivulje (3.27) v kvaternionski obliki. Recimo, da imamo kubi£ni kvaternionski polinom, podan v Bernsteinovi bazi kot

A(t) = A0(1−t)3+A13(1−t)2t+A23(1−t)t2+A3t3. (8.1) PH-krivuljo lahko podamo kot Bézierjevo krivuljo

r(t) =

7

∑︂

i=0

pi (︃7

i )︃

(1−t)7−iti

s kontrolnimi to£kami pi =xii+yij+zik, kjer je 0≤i≤7. Hodograf te krivulje je potem enak

r(t) = 7

6

∑︂

i=0

(pi+1−pi) (︃6

i )︃

(1−t)6−iti =A(t)iA(t).

S primerjavo koecientov vidimo, da se kontrolne to£ke krivulje da izraziti s pomo£jo Bernsteinovih koecientov polinoma A. Kontrolne to£ke so enake

p1 =p0+ 1

7A0iA0, p2 =p1+ 1

14(A0iA1+A1iA0), p3 =p2+ 1

35(A0iA2+ 3A1iA1+A2iA0), p4 =p3+ 1

140(A0iA3+ 9A1iA2+ 9A2iA1+A3iA0), (8.2) p5 =p4+ 1

35(A1iA3+ 3A2iA2+A3iA1), p6 =p5+ 1

14(A2iA3+A3iA2), p7 =p6+ 1

7A3iA3.

V primerih, ki sledijo, bomo povsod vzeli p0 = (0,0,0)kot integracijsko konstanto.

Primer 8.1 (Kubi£na reparametrizacija). Konstruirali bomo tak tip vija£ne krivu-lje, kot je opisan v poglavju 6.3.1. Za izraz podan v (6.5), ki predstavlja premico oziroma kroºnico v kompleksni ravnini, izberemo konstante

a0 = 1, a1 = 1 + i, b0 = 1−i, b1 = i.

Nato podamo ²e reparametrizacijsko funkcijo f /g, ki jo izrazimo s pomo£jo polino-mov f, g, ta polinoma pa podamo preko njunih Bernsteinovih koecientov

(f0, f1, f2, f3) = (1,2,2,1) in (g0, g1, g2, g3) = (1,2,3,3).

Ko reparametrizacijo izvedemo, dobimo z(t) =α(t)/β(t), kjer so Bernsteinovi koe-cienti polinomovα inβ enaki

0123) = (1 + i,2 + 2i,3 + 2i,3 + i) in (β0123) = (i,2i,1 + i,2−i).

S pretvorbo A+kβ pridemo do Bernsteinovih koecientov kvaternionskega polinomaA.Koecienti so enaki

A0 = 1 +i+j, A2 = 3 + 2i+j+k, A1 = 2 + 2i+ 2j, A3 = 3 +i−j+ 2k.

Za integracijsko konstanto si izberemo to£ko p0 = (0,0,0). Ostale kontrolne to£ke krivulje izra£unamo z zvezami (8.2). Enake so

p0 = (0,0,0), p4 = S tem postopkom dobimo krivuljo r s komponentami

x(t) =−1 Para-metri£na hitrost krivulje je enaka

σ(t) =∥r(t)∥= 3t6−18t5+ 54t4−54t3+ 9t2+ 18t+ 3,

razmerje med eksijsko in torzijsko ukrivljenostjo pa je enako |κ(t)/τ(t)|=√ 5/2.

Primer 8.2 (Mnoºenje s kvadrati£nim polinomom). Videli bomo, kako konstruirati tak tip vija£ne krivulje, kot smo ga spoznali v poglavju 6.3.2. Za izraz, podan v (6.5), ki predstavlja premico oziroma kroºnico v kompleksni ravnini, izberemo najprej naslednje konstante

a0 = 5i, a1 = 1 + i, b0 = 1−i, b1 = 2 + 5i.

Slika 3: Graf vija£ne krivulje (8.3) iz primera 8.1 s pripadajo£im kontrolnim

Slika 3: Graf vija£ne krivulje (8.3) iz primera 8.1 s pripadajo£im kontrolnim