Zapišimo najprej lemo, ki jo bomo potrebovali pri dokazovanju obstoja in enoličnosti rešitve SDE.
Lema 1.20 (Gronwallova neenakost). Naj bo interval I definiran kot [a,∞) ali [a, b], kjer je a < b. Naj bodo φ, α in β funkcije definirane na I. Predpostavimo, da sta φ in β zvezni in negativen del α integrabilen na vsakem omejenem in zaprtem podintervalu I. Če je β nenegativna in če velja neenakost
φ(t)≤α+
∫ t a
β(s)φ(s)ds, (6)
potem sledi
φ(t)≤α(t) +
∫ t a
α(s)β(s)e∫stβ(r)drds, t∈I (7) Če je α nepadajoča, potem sledi še
φ(t)≤α(t)e∫0tβ(s)ds (8)
Če zgornjo funkcijo odvajamo, dobimo v′(s) = (φ(s)−
Ker sta β in eksponentna funkcija nenegativni, lahko navzgor ocenimo odvod funk-cije v. Vemo, da velja v(a) = 0 in če integriramo nazaj odvod v, dobimo
v(t)≤
∫ t a
α(s)β(s)e−∫atβ(r)drds.
Poglejmo si zdaj naslednjo oceno
∫ t
Poglejmo si še dokaz za (8). Ker je α(t) nepadajoča, velja α(s)< α(s) in ocenimo φ(t)≤α(t) +(
S tem smo dokazali neenakost (8).
Izrek 1.21. Naj bo Xt tak, da velja E[Xt2]<∞ ter X0 ∈ L2 neodvisen od W. Naj bosta funkcijibinσ, ki ustrezata Lipschitzovem pogoju ter spodnjima predpostavkama
• E Lipschitzovih konstant b in σ, ki ustreza
E[ sup
0≤t≤T
|Xt|2]
≤cT(1 + 3E|X0|2)e3k(T+4)T (9)
Dokaz. Za vsak X ∈H2,d definiramo proces U(X) definicije 1.19 natanko takrat, ko jeU(X) =X. Norma prostora H2,d je
||Z||2 =E
Notranji integral ocenimo s pomočjo Cauchy-Schwarzove neenakosti
⏐ Če upoštevamo zgornjo neenakost, sledi
3E
ker smo vzeli Xt iz prostoraH2,d, za katerega veljaE∫T
0 |Xs|2ds <∞. Za oceno (iii) potrebujemo Doobovo maksimalno neenakost skupaj s predpostavko o linearni rasti σ
Pokazali smo, da U slika prostor H2,d vase. Dokažimo, da je stroga skrčitev v prostoru z nekoliko spremenjeno ekvivalentno normo. Za vsak α > 0 definiramo normo, ki je ekvivalentna normi na Hilbertovem prostoru H2,d kot
||ξ||2α =E
Ocenimo najprej prvi del, kjer uporabimo Cauchy-Schwarzovo neenakost in Lipschi-tzovo predpostavko
Pri oceni drugega dela pa bomo uporabili Lipschitzovo predpostavko
Če se zdaj vrnemo na neenakost, lahko zapišemo
E
Zapišimo C = 2c2(t+ 1) in če ponovno uporabimo Lipschitzovo predpostavko, do-bimo
e−αtdt (Fubinijev izrek)
≤ CT
α ||X−Y||2α
Sledi, da je U skrčitev v prostoru H2,d, če velja, da je vrednost α dovolj velika in α > CT. S tem smo dokazali obstoj in enoličnost rešitve. Pokažimo zdaj neenakost
(9) za fiksen t ∈[0, T]
(Doob in Cauchy−Schwarzova neenakost)
≤3 S pomočjo Gronwallove neenakosti, kjer je φ(t) = 1 + Esup
0≤s≤t
|Xs|2, pridemo do zaključka.
Opomba 1.22. Ker je U(X) rešitev enačbe 1.19 sledi, da jeU(X) zvezen proces.
Ena izmed bolj pomembnih lastnosti SDE je ta, da njihove rešitve ustrezajo mar-kovski lastnosti. To pomeni, da lahko velik razred marmar-kovskih procesov v zveznem času dobimo kot rešitev pripadajoče SDE in posledično lahko na njih uporabljamo metode, kot so recimo enačbe Kolmogorova.
Izrek 1.23. Naj veljajo pogoji v izreku 1.21. Potem je enolična rešitev Xt pripada-joče SDE Ft-markovski proces, za katerega velja
Ex[f(Xt+h)|Ft](ω) =EXt(ω)[f(Xh)], (12) za vsako omejeno Borelovo funkcijo f.
Dokaz. Zapišimo SDE zar ≥t v naslednji obliki Xr(ω) =Xt(ω) +
ki jo dobimo, če izpeljemo Xr −Xt. Ker je Xr Fr-merljiv in {Ws+t−Wt : s ≥ 0}
Brownovo gibanje, neodvisno odFt, lahko zgornjo enačbo zapišemo kot Yr−t(ω) = Y0(ω) +
∫ r−t 0
˜b(s, Ys)ds+
∫ r−t 0
˜
σ(s, Ys)dW s,˜
kjer je Ys = Xs+t, ˜b(s, x) = b(s+t, x), σ(s, x) =˜ σ(s+t, x) in W˜s = Ws+t−Wt. Zgornja enačba je ponovno SDE, ki ustreza pogojem iz izreka 1.21 na intervalus ∈ [0, T −t]in velja, da jeYsσ{Y0,W˜t:t≤s}-merljiva. Podobno lahko opazimo, da je Xr σ{Xt, Ws−Wt:s ∈[t, r]}-merljiva in zaradi enoličnosti veljaXr(ω) =Xrt,Xt(ω).
Zdaj lahko definiramo funkcional
F(x, t, r, ω) =Xrt,x(ω), r≥t (13) za katerega velja
Xr(ω) =F(Xt, t, r, ω), r≥t. (14) Preslikavaω →F(x, t, r, ω) je neodvisna odFt(m). Če vstavimo (14) v (12), dobimo E[f(F(Xt, t, t+h, ω))|Ft] =E[f(F(x,0, h, ω))]|x=Xt (15) Definirajmo g(x, ω) =f ◦F(x, t, t+h, ω), kjer je (x, ω) → g(x, ω) merljiva. Sledi, da lahko g aproksimiramo po točkah s funkcijo oblike
m
∑
k=1
ϕk(x)ψk(ω). (16)
Poglejmo si zdaj pogojno matematično upanje E[g(Xt, ω)|Ft(m)] =E[ lim
k→∞
∑ϕk(Xt)ψk(ω)|Ft(m)]
= lim
k→∞
∑ϕk(Xt)·E[ψk(ω)|Ft(m)]
= lim
k→∞
∑
E[ϕk(y)ψk(ω)|Ft(m)]y=Xt
=E[g(y, ω)|Ft(m)]y=Xt =E[g(y, ω)]y=Xt.
Ker je procesXt časovno homogen, velja
E[f(F(Xt, t, t+h, ω))|Ft(m)] =E[f(F(y, t, t+h, ω))]y=Xt
=E[f(F(y,0, h, ω))]y=Xt
in s tem smo dokazali markovsko lastnost.
1.3.1 Obratne stohastične diferencialne enačbe
Ena izmed razlik med stohastičnimi diferencialnimi enačbami in navadnimi diferen-cialnimi enačbami je ta, da pri slednji ne moremo iti obratno v času. Kot motivacijo si poglejmo naslednji primer.
Primer 1.24. Naj bo Brownovo gibanje enodimenzionalno in si poglejmo naslednjo trivialno diferencialno enačbo
dYt= 0, t∈[0, T], (17)
kjer jeT > 0dan končen čas. Za vsakξ ∈Rlahko zahtevamoY0 =ξaliYT =ξ, tako da ima enačba (17) enolično rešitevYt =ξ. Obravnavajmo zdaj (17) kot stohastično diferencialno enačbo z ničelno tendenco in difuzijskim koeficientom v Itôvem smislu.
Rešitev SDE mora biti Ft-prilagojena in zato pride do ključne razlike pri definiciji Y0 ali YT. Zapišimo zdaj zgornji problem v naslednji obliki:
{ dYt = 0, t∈[0, T]
YT =ξ (18)
kjer je ξ ∈ L2FT, množica vseh FT-merljivih in kvadratno integrabilnih slučajnih spremenljivk. Ker je edina rešitev problema (18)Yt =ξ ∀t∈[0, T], ki pa ni{Ft}t≥0 -prilagojeno, razen če je ξ konstanta, zgornji problem nima rešitve v splošnem. In-tiutivno sta dva načina, kako pridemo do rešitve Yt. Prvi je ta, da preoblikujemo prilagojenost rešitve v njeni definiciji. Drugi način pa je, da preoblikujemo končni problem SDE tako, da dopušča rešitev, ki je {Ft}t≥0-prilagojena. Tukaj se bomo osredotočili na drugi način, saj prvi zahteva tehnike, kot so obraten Itôv integral, ki ga tukaj ne bomo obravnavali.
Preoblikujmo najprej rešitev Yt = ξ tako, da je {Ft}t≥0-prilagojena in zadošča YT =ξ
Yt =E[ξ|Ft], t∈[0, T]. (19) Izpeljimo zdaj SDE, ki ji bo zadoščal proces Y(·). Ključno vlogo pri tej izpeljavi ima izrek o martingalski reprezentaciji, ki nam pove, da če je filtracija {Ft}t≥0
Brownova, lahko vsak kvadratno integrabilen martingal M z ničelno pričakovano vrednostjo zapišemo kot stohastičen integral enoličnega integranda, ki je {Ft}t≥0 -progresivno merljiv in kvadratno integrabilen. Proces Y(·) je definiran v (19) in je očitno kvadratno integrabilen{Ft}t≥0 martingal. Na njem uporabimo martingalsko reprezentacijo ter dobimo
Yt=Y0+
∫ t 0
ZsdWs, ∀t∈[0, T]s.g., (20) kjer jeZ(·)∈H2,diz množice{Ft}t≥0-prilagojenih kvadratno integrabilnih procesov.
Zapišimo zdaj (20) v diferencialni obliki ter upoštevajmo še pogoj (19) in to, da je ξ FT-merljiv
{ dYt=ZtdWt, t∈[0, T],
YT =ξ (21)
Torej, če preoblikujemo (18) v (21), iščemo namesto {Ft}t≥0 - prilagojenega procesa Y(·) kot rešitev SDE raje par (Y(·), Z(·)). Dodatna komponenta Z(·) je zelo pomembna, ker zaradi nje lahko najdemo prilagojeno rešitev. Če (21) zapišemo v integralski obliki dobimo
Če vstavimo zdaj (22) v (20), dobimo Yt=Y0+ Tukaj ne bomo razlikovali (21) in (23), saj oba primera spadata pod obratne sto-hastične diferencialne enačbe. Uporabimo zdaj Itôvo formulo na |Y(t)|2, kjer | · | označuje evklidsko normo, in zapišimo
E|ξ|2 =E|Yt|2+ konstanta, potem zaradi enoličnosti zapišemo rešitev kot Yt=ξ in Zt= 0.
Definicija 1.25. Rešitev BSDE z generatorjemΨ :R×Rp×Rp×m →Rrin končnim Opomba 1.26. Y je semimartingal, ker velja
Yt=ξ+
kar pa je semimartingal, ker imamo procesΨs končno omejeno vairanco in martingal
∫t
0 ZsdWs.
Prostor H2,p×m ima enako definicijo, kot pri SDE, zato definirajmo Y ∈ S2,p in Z ∈H2,p×m.