Za nadaljnjo obravnavo in klasikacijo DPH-krivulj se predstavitev le-teh s Hopfovo preslikavo izkaºe za primernej²o od predstavitve s kvaternionskim polinomom. Za kompleksna polinoma α(t) = u(t) + iv(t) in β(t) = q(t) + ip(t) lahko podamo hodograf PH-krivulje s pomo£jo preslikave, kot smo ºe videli v poglavju 3.4. Oglejmo si, £emu je enak polinom α(t)β′(t)−α′(t)β(t):
αβ′−α′β= (u+ iv)(q′+ ip′)−(u′+ iv′)(q+ ip)
= (uq′−u′q+v′p−vp′) + i(vq′−v′q+up′−u′p). (4.15)
e primerjamo kvadrat absolutne vrednosti te izra£unane koli£ine z ena£bo (3.19), vidimo, da je
ρ(t) = 4|α(t)β′(t)−α′(t)β(t)|2. (4.16) Tu se nam ponudi nova karakterizacija DPH-krivulj: DPH-krivulje so tiste prostor-ske PH-krivulje, za katere je|α(t)β′(t)−α′(t)β(t)|2 popolni kvadrat nekega realnega polinoma. Izkaºe se, da je polinom α(t)β′(t)−α′(t)β(t) pomemben za nadaljnji
²tudij DPH-krivulj, zato si zasluºi tudi svojo denicijo.
Denicija 4.7. Polinomuα(t)β′(t)−α′(t)β(t), ki ga sestavimo iz polinomovα(t) = u(t)+iv(t)terβ(t) = q(t)+ip(t)za neke realne polinomeu(t), v(t), p(t)terq(t), pra-vimo tudi polinom proporcionalnosti polinomov α(t) in β(t) (angl.: proportionality polynomial).
Enostavno je videti, da je polinom proporcionalnosti identi£no enak ni£ natanko takrat, ko se polinoma αinβ razlikujeta za multiplikativno kompleksno konstanto.
V eno smer se to pokaºe direktno, za dokaz v drugo smer se pa re²i preprosto dife-rencialno ena£bo. S polinomom proporcionalnosti se da lepo izraziti tudi eksijsko ukrivljenost DPH-krivulj, in sicer kot
κ = ω σ2 =
√ρ
σ2 = 2|αβ′−α′β|
|α|2+|β|2 . (4.17)
Iz tega je razvidno slede£e. e je za dano DPH-krivuljo njen polinom proporcional-nosti identi£no enak 0, je potem tudi eksijska ukrivljenost te krivulje enaka 0, kar pomeni, da imamo pravzaprav opravka z daljico (ravno £rto). e ima ta polinom kak²no realno ni£lo, potem pri tej vrednosti parametra t normalni oziroma binor-malni vektor nista dolo£ena, saj tako norbinor-malni kot binorbinor-malni vektor v imenovalcu vsebujeta ω, kot lahko vidimo v ena£bah (4.3). Podobno velja tudi za torzijsko ukrivljenost.
Sedaj lahko preoblikujemo DPH-pogoj v primernej²o obliko za nadaljnjo obrav-navo. Spomnimo se enakosti (4.5). e to primerjamo s polinomom proporcionalno-sti, vidimo, da je
αβ′−α′β = (up′−u′p+v′q−vq′)
+ i(uq′−u′q+vp′−v′p) (4.18)
=h(a2−b2+ i2ab)
=hw2,
kjer je w=a+ ib. Polinoma a in b morata biti tuja, tako da velja tudi
st(h) + 2 st(w) = st(αβ′−α′β) = st(α) + st(β)−2. (4.19) Da jest(αβ′−α′β) = st(α) + st(β)−2,vemo iz opombe 3.9. e identiciramo Cz R2,potem kompleksna polinomaαinβporodita ravninske krivulje. Ob upo²tevanju enakosti (3.11) iz opombe 3.4 ter izpeljave (4.18) je jasno, da velja naslednja trditev.
Trditev 4.8. Naj bo r prostorska PH-krivulja, podana s Hopfovo preslikavo polino-movαter β. Potem jerDPH-krivulja natanko takrat, ko polinom proporcionalnosti αβ′−α′β dolo£a hodograf ravninske PH-krivulje.
Iz ena£be (4.16) za ρ in karakterizacije DPH-pogoja s pomo£jo polinoma pro-porcionalnosti (4.18) sledi, da je za DPH-krivuljeρ enak
ρ= 4h2|w|4,
kjer je w =a+ ib, a, b in h pa so realni polinomi. Ker je po ena£bi (4.4) kvadrat polinoma ω enak polinomu ρ in £e predpostavimo, da je polinom h nenegativen, je potem res
ω = 2h|w|2.
Kot smo ºe videli v poglavju 4.1, je za vija£ne DPH-krivulje razmerje med me²anim produktom (r′ ×r′′)·r′′′ in kubom polinoma ω konstantno, zato je tudi razmerje med (r′×r′′)·r′′′ in(︁
2h|w|2)︁3
konstantno.
Polinom proporcionalnosti se da izraziti tudi v jeziku kvaternionov. Najprej identiciramo imaginarno enoto i v C z imaginarno enoto i v H. Polinoma α in β lahko zapi²emo v Bernsteinovi bazi s koecienti
αℓ =γℓ+δℓi in βℓ =ζℓ+ηℓi za ℓ= 0, . . . , m.
Bernsteinovi koecienti kvaternionskega polinoma A so potem po pretvorbi (3.34) enaki
Aℓ =αℓ+kβℓ =γℓ+δℓi+ηℓj+ζℓk
zaℓ = 0, . . . , m. Kvaternion A∗kAℓ− A∗ℓAk ima ni£elni skalarni del in ga zato lahko identiciramo z vektorjem. Ko razpi²emo izraz 12(A∗kAℓ− A∗ℓAk)×i, vidimo, da je enak
1
2(A∗kAℓ− A∗ℓAk)×i= (γkζℓ+ηkδℓ−ζkγℓ−δkηℓ)j + (ζkδℓ+ηkγℓ−γkηℓ−δkζℓ)k.
Isti izraz dobimo, £e pora£unamo j(αkβℓ−αℓβk). Iz teh enakosti lahko sklepamo, da se da polinom proporcionalnosti polinomovα(t)inβ(t)izraziti s kvaternionskim polinomom A(t) kot
j(︁
α(t)β′(t)−α′(t)β(t))︁
= 1 2
(︁A∗(t)A′(t)− A′∗(t)A(t))︁
×i. (4.20) S pomo£jo pravkar izpeljanega izraza lahko tudi DPH-pogoj (4.18) izrazimo malce druga£e. Uporabimo polinom C(t) = −b(t) +a(t)i+a(t)j +b(t)k iz trdi-tve 4.6. Potem velja
1
2C(t)iC∗(t) =(︁
a2(t)−b2(t))︁
j+ 2a(t)b(t)k=w2(t)j.
Pomnoºimo sedaj desno stran ena£be (4.20) z desne z j. Dobimo (︃1
2
(︁A∗(t)A′(t)− A′∗(t)A(t))︁
×i )︃
j=j(︁
α(t)β′(t)−α′(t)β(t))︁
j
=h(t)jw2(t)j
= 1
2h(t)jC(t)iC∗(t).
Rezultat lahko ²e lep²e izrazimo v obliki (︁A∗(t)A′(t)− A′∗(t)A(t))︁
×i=h(t)D(t)iD∗(t), (4.21) kjer je D(t) = jC(t) =−a(t) +b(t)i−b(t)j−a(t)k.e povzamemo: prostorska PH-krivulja, podana s kvaternionskim polinomom A, je DPH-krivulja natanko takrat, ko velja ena£ba (4.21) za nek kvaternionski polinom D, ki mora biti predpisane oblike, pri £emer sta si polinoma a ter b tuja.
5 Klasikacija DPH-krivulj nizkih stopenj
V tem poglavju si bomo ogledali razli£ne tipe DPH-krivulj, ki se pojavljajo pri niz-kih stopnjah. Analizirali bomo tipe krivulj pri tretji, peti in sedmi stopnji. Glavno orodje pri tej analizi bo Hopfova oblika DPH-krivulj s polinomom proporcionalno-sti. Izpeljali bomo pogoje (odvisne od koecientov polinoma proporcionalnosti), pri katerih je dana PH-krivulja tudi DPH-krivulja. Pri tem bomo privzeli, da sta polinomaα inβ podana v Bernsteinovi obliki
α(t) =
m
∑︂
ℓ=0
αℓ (︃m
ℓ )︃
(1−t)m−ℓtℓ in β(t) =
m
∑︂
ℓ=0
βℓ (︃m
ℓ )︃
(1−t)m−ℓtℓ,
kjer je m enak m= n−12 , pri £emer je n stopnja krivulje.
5.1 DPH-krivulje stopnje 3 in 5
Naj borprostorska PH-krivulja tretje stopnje, podana s kompleksnima polinomoma αin β. Potem sta oba kompleksna polinoma pravzaprav linearna:
α(t) = α0(1−t) +α1t in β(t) = β0(1−t) +β1t.
Po kraj²em ra£unu hitro vidimo, da je polinom proporcionalnosti enak α(t)β′(t)−α′(t)β(t) = α0β1(1−t)−α0β0(1−t) +α1β1t−α1β0t
−α1β0(1−t)−α1β1t+α0β0(1−t)−α0β1t
=α0β1−α1β0.
Polinom proporcionalnosti je torej konstanten in je po (4.18) enak h(t)w2(t). Iz zgornjega ra£una vidimo, da je st(h) = st(w) = 0. Brez ²kode za splo²nost lahko privzamemo, da sta h(t) ≡ 1 ter w(t) = w0 za neko konstanto w0 ∈ C. Potem lahko DPH-pogoj izrazimo kot α0β1 −α1β0 = w20. Ta pogoj jasno velja za vse moºne izbire α0,α1,β0 in β1, saj lahko za w0 vzamemo ±√
α0β1−α1β0, ki je v kompleksnih ²tevilih vedno denirano ²tevilo. Zato je vsaka prostorska PH-krivulja tretje stopnje tudi DPH-krivulja.
Naj bo sedajrprostorska PH-krivulja pete stopnje, ki je podana s kompleksnima polinomoma α in β. V tem primeru sta ta dva polinoma kvadrati£na. Tokrat je polinom proporcionalnosti enak
α(t)β′(t)−α′(t)β(t) = 2(α0β1−α1β0)(1−t)2+ (α0β2−α2β0)2(1−t)t + 2(α1β2−α2β1)t2. (5.1) Krivulja je DPH-krivulja, ko je zgornji izraz enakh(t)w2(t)za nek realen polinom h in nek kompleksni polinomw. Tu lo£imo dva primera: ali jest(h) = 0 inst(w) = 1 ali pa st(h) = 2 in st(w) = 0.
5.1.1 Primer st(h) = 0 in st(w) = 1
Recimo, da je st(h) = 0 in st(w) = 1. Kot prej lahko brez ²kode za splo²nost privzamemo, da je h(t)≡1,polinom w(t) pa je enakw(t) =w0(1−t) +w1t,torej je
w2(t) = w02(1−t)2+w0w12(1−t)t+w12t2.
e ena£imo koeciente izraza h(t)w2(t)s koecienti izraza (5.1), dobimo naslednje ena£be:
2(α0β1−α1β0) =w20, α0β2−α2β0 =w0w1, 2(α1β2 −α2β1) = w21. (5.2)
e pomnoºimo prvo in tretjo ena£bo, vidimo, da je zmnoºek desnih strani enak kvadratu desne strani druge ena£be. Torej te ena£be res drºijo za neka w0 in w1 natanko takrat, ko za koeciente polinomov αin β velja ena£ba
4(α0β1−α1β0)(α1β2−α2β1) = (α0β2−α2β0)2. (5.3) 5.1.2 Primer st(h) = 2 in st(w) = 0
Oglejmo si ²e drugi primer, ko je st(h) = 2 inst(w) = 0. Polinom h(t) =h0(1−t)2+h12(1−t)t+h2t2
prav tako podamo v Bernsteinovi obliki, za w(t) pa postavimo w(t) ≡ w0. Spet ena£imo koeciente izraza h(t)w2(t) s koecienti izraza (5.1). Dobimo naslednji sistem ena£b:
2(α0β1−α1β0) = h0w02, α0β2−α2β0 =h1w20, 2(α1β2−α2β1) =h2w20. (5.4) Ta sistem ena£b je re²ljiv natanko takrat, ko kompleksna ²tevila α0β1 − α1β0, α0β2−α2β0 ter α1β2−α2β1 leºijo na isti premici v kompleksni ravnini.