• Rezultati Niso Bili Najdeni

V tem podpoglavju bomo obravnavali BSDE, pri katerih naključnost generatorja izhaja iz prisotnosti stohastičnega procesa, ki zadošča običajni SDE. Obravnavali bomo sisteme stohastičnih diferencialnih enačb mešanih tipov, kjer so nekatere kom-ponente običajne, kar pomeni, da se začnejo pri določenem začetnem pogoju, in druge komponente obratne. Ko koeficienti premih enačb niso odvisni od rešitve obratnih enačb, se preme enačbe rešujejo najprej in nato se njihova rešitev vstavi v obratne enačbe, ki jih potem rešimo kot BSDE s slučajnim koeficientom. V tem pri-meru rečemo, da je FBSDE razklopljena. Težave nastanejo pri reševanju sklopljenih FBSDE, kjer sta rešitvi obratne in preme enačbe vsebovani v koeficientih obratne in preme enačbe.

1.7.1 Formulacija problema

V splošnem je problem sklopljenih FBSDE (ang. Forward-Backward stochastic di-fferential equation) konstruirati rešitve (X, Y, Z) sistema

dXt =b(t, Xt, Yt, Zt)dt+σ(t, Xt, Yt)dWt, dYt=−f(t, Xt, Yt, Zt)dt+ZtdWt,

X0 =x, YT =g(XT),

(82) kjer funkcijeb,σ, f in g

(b, σ, f) : [0, T]×Rd×Rp ×Rpm ↪→Rd×Rdm×Rp, g :Rd↪→Rp

zadoščajo naslednjim predpostavkam.

(A1) Pogoj merljivosti. Za vsak fiksen (x, y, z) ∈ Rd × Rp ×Rpm so procesi (b(t, x, y, z))0≤t≤T, (σ(t, x, y, z))0≤t≤T in (f(t, x, y, z))0≤t≤T v H2,d, H2,dm in H2,p. Za vsak x∈Rd veljag(x)∈L2(F,P;Rp)

(A2) Pogoj rasti. Obstaja konstanta c > 0, tako da za vsak (t, x, y, z) ∈[0, T]× Rd×Rp×Rpm velja

|(b, σ, f)(t, x, y, z)|+|g(x)| ≤c(1 +|x|+|y|+|z|).

(A3) Lipschitzov pogoj. Obstaja konstantac >0, tako da∀t∈[0, T],∀x, x ∈Rd,

∀y, y ∈Rp in∀z, z ∈Rpm velja

|(b, σ, f)(t, x, y, z)−(b, σ, f)(t, x, y, z)|+|g(x)−g(x)|

≤c(|x−x|+|y−y|+|z−z|).

Opazimo, da predpostavke (A2) ne potrebujemo, ker je vključena v (A3), kadar so procesi {b(t,0,0,0)}0≤t≤T, {σ(t,0,0,0)}0≤t≤T in {f(t,0,0,0)}0≤t≤T omejeni ter g(0) omejena slučajna spremenljivka v Rd. Zaradi tehnične zahtevnosti bomo pred-postavili, da je volatilnost σ neodvisna od Zt. Poglejmo si primer, kjer tudi pod enostavnimi predpostavkami ugotovimo, da ima dana FBSDE neskončno mnogo rešitev.

Primer 1.40. Naj bo p = m, σ(t, x, y, z) = z, b in f enaki nič ter g(x) = x.

Pripadajoča FBSDE je

{

Xt =x+∫t

0ZsdWs, Yt=XT −∫T

t ZsdWs, (83)

in ima neskončno mnogo rešitev, eno za vsako izbiro Z ∈H2,dm.

Poglejmo si zdaj obstoj in enoličnost rešitve povsem sklopljene FBSDE. Omejimo se na koeficiente b, σ, f in g, dane z determinističnimi funkcijami (t, x, y, z) ↪→ b(t, x, y, z), (t, x, y) ↪→ σ(t, x, y), (t, x, y, z) ↪→ f(t, x, y, z) ter x ↪→ g(x), ki morajo zadoščati naslednjim pogojem.

(i) Pogoj linearne rasti. Obstaja konstanta c >0, tako da je

|b(t, x, y, z)|+|f(t, x, y, z)| ≤c(1 +|x|+|y|+|z|),

|σ(t, x, y)| ≤c(1 +|x|+|y|),

|g(x)| ≤c(1 +|x|)

za vsak t∈[0, T], x∈Rd, y∈Rp inz ∈Rpm.

(ii) Lipschitzov pogoj. Obstaja konstantac >0, tako da je

|b(t, x,y, z)−b(t, x, y, z)|+|f(t, x, y, z)−f(t, x, y, z)|

+|σ(t, x, y)−σ(t, x, y)|+|g(x)−g(x)| ≤c(|x−x|+|y−y|+|z−z|) za vsak t∈[0, T], x, x ∈Rd, y, y ∈Rp in z, z ∈Rpd.

(iii) Pogoj neizrojenosti. Obstaja konstantaλ >0, tako da je

σ(t, x, y)σ(t, x, y)t ≥λI (84) za vsak t ∈ [0, T], x ∈ Rd in y ∈ Rm. Zgornja neenakost nam pove, da so lastne vrednosti simetrične matrike σ(t, x, y)σ(t, x, y)t omejene z λ.

Naj bostaY inZ dana z deterministično funkcijoX v taki obliki, da lahko zapišemo Yt=u(t, Xt) in Zt=v(t, Xt) (85) za vsak t ∈ [0, T] in deterministični funkciji (t, x) ↪→ u(t, x) in (t, x) ↪→ v(t, x).

Poleg tega predpostavimo, da je funkcija v dana kot

v(t, x) =∂xu(t, x)σ(t, x, u(t, x)). (86)

Opomba 1.41. Stvari bi bile drugačne v primeru, če bi obravnavali tak σ, ki je odvisen tudi odz, torejσ=σ(t, x, y, z). V tem primeru, bi bilv definiran implicitno kot

v(t, x) = ∂xu(t, x)σ(t, x, u(t, x), v(t, x)).

Uporabimo zdaj Itôvo formulo nadYt=d(

u(t, Xt))

, kjer uporabimo (85) in (86).

Da u zadošča obratni enačbi, mora veljati

tu+ 12a(t, x, u(t, x))∂xx2 u+b(t, x, u(t, x), ∂xu(t, x)σ(t, x, u(t, x)))∂xu +f(t, x, u(t, x), ∂xu(t, x)σ(t, x, u(t, x))) = 0, 0≤t ≤T

u(T, x) = g(x),

(87)

za vsajx=Xt, kjer je a(t, x, y)d×d simetrična matrika, definirana kot a(t, x, y) = σ(t, x, y)σ(t, x, y)t. Dobljena PDE je nelinearna, tako da sta obstoj in enoličnost problematična v splošnem, vendar se zaradi sklopljenosti funkcija u pojavi v σ.

Izrek 1.42. (Potrditveni izrek)

Predpostavimo, da obstaja funkcija u: [0, T]×Rd↪→Rp, ki je C1,2, tako da so ∂tu,

xuin∂xx2 uzvezne in omejene na celotnem prostoru ter zadoščajo PDE (87). Potem je (Y, Z), definiran kot Yt =u(t, Xt) in Zt =∂xu(t, Xt)σ(t, Xt, u(t, Xt)), kjer je Xt enolična rešitev SDE

dXt=b(t, Xt, u(t, Xt), ∂xu(t, Xt)σ(t, Xt, u(t, Xt)))dt+

σ(t, Xt, u(t, Xt), σ(t, Xtu(t, Xt)))dWt.

Dokaz. Izrek v splošnem velja, vendar ga bomo dokazali le za primer, kof inbnista odvisni od z. Predpostavimo še d= p=m = 1. Dejstvo, da je Y definiran na tak način, da zadošča obratni enačbi, izhaja iz izračuna dYt = d(u(t, Xt)) z uporabo Itôve formule. Enoličnost je težje dokazati, saj nismo predpostavili enoličnosti za PDE (87). Naj bo (Xt, Yt, Zt)še ena rešitev FBSDE (82). Dokažimo najprej, da za vsak t∈[0, T], Yt =u(t, Xt) s.g. Z uporabo Itôve formule dobimo

d[u(t, Xt)] =[∂tu(t, Xt) +∂xu(t, Xt)b(t, Xt, Yt, Zt) + 1

2a(t, Xt, Yt)∂xxu(t, Xt)]dt +∂xu(t, Xt)σ(t, Xt, Yt)dWt.

Nastavimo ∆t = Yt −u(t, Xt), potem je ∆T = YT −g(XT ) = 0 in z uporabo (87) sledi

d∆t=[−f(t, Xt, Yt, Zt)−∂tu(t, Xt)b(t, Xt, Yt)

−1

2a(t, Xt, Yt)∂xx2 u(t, Xt)]dt+ [Zt−∂xu(t, Xt)σ(t, Xt, Yt)]dWt

=[f(t, Xt, u(t, Xt)(∂xu(t, Xt)σ(t, Xt, u(t, Xt))))

−f(t, Xt, Yt, Zt) + [b(t, Xt, u(t, Xt))

−b(t, Xt, Yt, Zt)]∂xu(t, Xt) + 1

2[a(t, Xt, u(t, Xt))−a(t, Xt, Yt)]∂xx2 u(t, Xt)]dt + [Zt−∂xu(t, Xt)σ(t, Xt, Yt)]dWt.

Uporabimo Lipschitzovo predpostavko na koeficientih in omejenost odvodov u ter opazimo, da obstaja konstanta c > 0, taka da so koeficienti dt omejeni navzgor z c|Yt−u(t, Xt)|=c|∆t|. Sledi, da je ∆ = (∆t)0≤t≤T, kjer je ∆T ≡0, rešitev BSDE

d∆t=−c|∆t|dt+ZtdWt, ∆T = 0.

Generatorja BSDE zadoščata∆ter∆ in ker imata enako končno vrednost, pridemo do zaključka, da je ∆t ≤∆t = 0 skoraj gotovo za vsakt ∈[0, T]. Če vzamemo enak argument za −∆t sledi, da je ∆t ≥ 0 skoraj gotovo. S tem smo dokazali, da je

t= 0 inYt =u(t, Xt). Vstavimo zdaj ta izraz v SDE in dobimo dXt =b(t, Xt, u(t, Xt))dt+σ(t, Xt, u(t, Xt))dWt,

kar pa je ista enačba, kot enačba zaXt. Po enoličnosti SDE z Lipschitzovim pogojem sledi, da je Xt =Xt, skoraj gotovo za vsak t ∈ [0, T] in enako sledi za Yt =Yt. Po enoličnosti martingalske reprezentacije pridemo do sklepa, da je Zt =Zt.

Zdaj lahko napišemo glavni izrek, katerega dokaz je zelo tehničen, zato ga bomo izpustili.

Izrek 1.43. Pod predpostavkami (i), (ii) in (iii) ter za vsak x ∈ Rd velja obstoj in enoličnost rešitve (X, Y, Z) FBSDE (82).

2 Stohastična kontrola

Stohastična kontrola se uporablja pri reševanju optimizacijskih problemov v slu-čajnih sistemih, ki se razvijajo skozi čas. Je večstopenjsko odločanje v negotovem okolju, kjer trenutne akcije vplivajo na prihodnost. V teoriji sta dva temeljna pro-blema. Prvi je ta, da poiščemo vsaj eno pot, s katero dosežemo dani cilj. Drugi problem pa predstavlja optimalno kontrolo, kar pomeni, da poiščemo najboljšo pot, da dosežemo cilj. Tako ločimo teorijo kontrole na dva dela, in sicer na teorijo de-terminističnega sistema in teorijo stohastičnega sistema, ki jo bomo obravnavali.

Ta se deli še na stohastične končno-dimenzionalne sisteme, pri kateri uporabljamo stohastične diferencialne enačbe in stohastično deljene parametrične sisteme, ki so opisani z neskončno-dimenzionalnimi sistemi, kjer se tipično uporabljajo stohastične parcialne diferencialne enačbe.

V tem poglavju si bomo pogledali sisteme, ki so opisani z Itôvimi stohastičnimi diferencialnimi enačbami in se imenujejo difuzijski modeli, katerih glavni vir negoto-vosti je beli šum, ki predstavlja skupen učinek velikega števila neodvisnih slučajnih sil, ki delujejo na sistem. Ker je sistem dinamičen, se morajo glavne odločitve, ki so narejene na podlagi najnovejših informacij, spreminjati skozi čas. Definirali bomo dve glavni metodi, s katerima se jih rešuje, to sta dinamično programiranje in Pontrjaginov stohastični princip maksimuma.

Obratne stohastične diferencialne enačbe izhajajo iz teorije Pontrjaginovega sto-hastičnega principa maksimuma za optimalne stohastične kontrole, kjer za rešitev

sistema dobimo rešitev pripadajoče FBSDE. Prvi je bil Bismut, ki je predstavil linearno BSDE

{ dYt= [αttYttZt]dt+ZtdWt

YT =ξ (88)

kjer jeξslučajna spremenljivka, ki jo poznamo v časuT. Bolj podrobno je definirana pod afinim primerom. Raziskoval je adjungirane enačbe v povezavi z maksimalnim stohastičnim principom za stohastične optimalne kontrole. Enačba (88) nam pove, kako naj ocenimo mejno vrednost sredstva, ki je izražen kot spremenljivka stanja v slučajnem okolju. Linearno BSDE lahko interpretiramo kot dual stohastičnega kontrolnega problema, kjer je martingal ∫t

0 ZtdWt dualna spremenljivka, ki ustreza kontrolnemu difuzijskemu času. Izkaže se, da je ta dualna spremenljivka lahko tudi kontrolna spremenljivka, po kateri BSDE vodi do rešitve stohastičnega kontrolnega problema.

2.1 Osnovni pojmi

Naj bo Xt(ω) element prostora Rd, kjer je ω ∈ Ω scenarij in t ≥ 0 čas. Predpo-stavimo, da je Ωmnožica scenarijev, F σ-algebra dogodkov in P verjetnostna mera na scenarijih. Scenarija ω ne uporabimo eksplicitno, ampak uporabimo oznako Xt

za slučajno spremenljivko definirano na verjetnostnem prostoru(Ω,F,P). Dinamika stanja pa bo prikazana v zveznem času s pomočjo Itôvega stohastičnega diferenciala.

Razvoj v časut ↪→Xt nekega stanja je odvisen od stohastičnega procesa, ki ga defi-niramo kotα = (αt)t≥0. V tem poglavjuα predstavlja kontrolo oziroma izbiro, ki je narejena v času t, kot funkcija informacij dostopnih v nekem času. Predpostavimo, da so kontrole kvadratno integrabilni procesi, ki so definirani na merljivem prostoru (A,A), kjer jeA Evklidski prostor Rk in A Borelova σ-algebra. Definirajmo A kot množico dopustnih kontrol. „Kontrola“ je standarden izraz pri stohastični kontroli, vendar se uporablja tudi izraz „akcija“, če govorimo o teoriji iger. A je tipično mno-žica procesovα= (αt)t≥0, ki imajo vrednosti vAin zadoščajo dopustnim pogojem.

Lahko dodamo omejitve, ki so povezane z informacijami, ki jih v določenem času t∈[0, T]imamo, ko se odločimo za neko kontroloαt. Z{It}0≤t T označimo filtracijo, ki ji morajo biti kontrole prilagojene.