Primer st(h) = 4 in st(w) = 0

Obravnavajmo ²e zadnji primer. Naj bodo h₀, h₁, h₂, h₃ in h₄ Bernsteinovi koeci-enti polinomah,polinomwpa naj bo identi£no enak konstanti w₀.ƒe spet primer-jamo istoleºne koeciente polinoma proporcionalnosti (5.5) s koecienti polinoma h(t)w²(t) in jih ena£imo, dobimo

3(α₀β₁−α₁β₀) =h₀w²₀, 3(α₀β₂−α₂β₀) = 2h₁w²₀,

(α₀β₃−α₃β₀) + 3(α₁β₂−α₂β₁) = 2h₂w²₀, (5.11) 3(α₁β₃−α₃β₁) = 2h₃w²₀,

3(α2β3−α3β2) =h4w²₀.

Spet nastavimo z=α₁β₂−α₂β₁. Iz tretje ena£be iz (5.11) izrazimo α₀β₃−α₃β₀, tokrat je ta vrednost enaka

α₀β₃−α₃β₀ = 2h₂w₀²−3z.

Po pogoju kompatibilnosti (5.6) dobimo ena£bo (︃1

3h₀w²₀ )︃ (︃

1 3h₄w²₀

)︃

= (︃2

3h₁w₀² )︃ (︃

2 3h₃w₀²

)︃

−z(2h₂w²₀−3z), ki se ²e preoblikuje v

27z²−18h₂w²₀z+ (4h₁h₃−h₀h₄)w⁴₀.

Ta kvadratna ena£ba za z ima re²itvi podani s koecienti h₀, . . . , h₄ in w₀. Re²itvi sta enaki

z=α₁β₂−α₂β₁ = 1 9

(︃

3h₂±

√︂

9h²₂+ 3h₀h₄−12h₁h₃ )︃

w²₀. (5.12) Povzemimo: na za£etku poljubno izberemo koecienteh₀, . . . , h₄,w₀ ter ²e tri koe-ciente polinomovαinβ.Kot smo ºe videli v prej²njih primerih, ponavadi izberemo kar α₀, α₁ in β₀. S pomo£jo teh znanih podatkov re²imo sistem ena£b (5.11). Pri re²evanju sistema upo²tevamo eno izmed re²itev v (5.12). Zaradi dveh razli£nih re²itev zaα1β2−α2β1 dobimo dva razli£na hodografa, ki dolo£ata DPH-krivuljo.

6 Polinomske vija£nice in Hopfova preslikava

V trditvi 4.2 smo pokazali, da je vsaka polinomska vija£nica tudi DPH-krivulja. V tem poglavju bomo podrobneje raziskali strukturo vija£nic in pogoje, ki so potrebni za njihovo konstrukcijo. Te pogoje bomo opredelili s pomo£jo Hopfove preslikave.

Za za£etek nam bo pri²la prav naslednja trditev. Povzeta je po [12, str. 72].

Trditev 6.1. Naj bo krivulja r(s) = (x(s), y(s), z(s)) naravno parametrizirana vi-ja£na krivulja, katere tangenta oklepa z osjo akotψ. Potem obstajajo ortonormirani vektorji e₁, e₂ in e₃, tako da lahko krivuljo izrazimo v obliki

r(sˆ) =xˆ(sˆ)e₁+yˆ(sˆ)e₂+sˆ cosψe₃, (6.1) pri £emer ²e vedno velja ∥r^′(sˆ)∥= 1.

Dokaz. Za vektor e₃ vzamemo kar normiran vektor a, tako da je e₃ vzporeden osi vija£nice. Ostala dva vektorja si izberemo tako, da lahko potem vija£nico izrazimo v obliki

r(s) = xˆ(s)e1+yˆ(s)e2+zˆ(s)e3.

Dodatno ²e predpostavimo, da sredi²£e spremenjenega koordinatnega sistema leºi na krivulji. Potem je po ena£bi (3.21)

z

ˆ^′(s) = e3·r^′(s) =e3·t=a·t= cosψ.

Sedaj integriramo zˆ^′(s). Dobimo, da je zˆ(s) = scosψ+c, kjer je c∈ R konstanta.

Lo£imo dva primera. ƒe jeψ ̸=π/2,vzamemo nov parametersˆ =s+_cos^c_ψ.Potem je z

ˆ(sˆ) =sˆ cosψ in tako res lahko izrazimo vija£nico v obliki (6.1). ƒe pa je ψ =π/2, potem je zˆ(s) = c= 0,saj sredi²£e leºi na krivulji. Tedaj je r(s) =xˆ(s)e₁+yˆ(s)e₂. V tem primeru imamo opravka z ravninsko krivuljo, ki leºi v ravnini, ki jo oklepata vektorja e1 in e2. Taka krivulja pa je trivialna vija£nica. Formula (6.1) prav tako drºi.

Posledica 6.2. Slika enotske tangente krivulje r na (enotski) sferi tvori kroºnico natanko tedaj, ko je krivulja r vija£na.

Dokaz. ƒe je krivulja r vija£na, sledimo karakterizaciji vija£nice po prej²nji trditvi in izra£unamo odvod

r^′(s) = x^′(s)e₁+y^′(s)e₂+ cosψe₃. Ker je krivulja naravno parametrizirana, velja

x^′2(s) +y^′2(s) + cos²ψ = 1.

ƒe damocos²ψna drugo stran ena£be, dobimo ravno ena£bo za kroºnico s polmerom 1−cos²ψ.Tako je slika enotske tangente vija£nice na sferi res kroºnica.

Obratno, naj bo slika enotske tangente krivuljer na enotski sferi kroºnica. Brez

²kode za splo²nost lahko privzamemo, da kroºnica leºi v ravnini, ki je vzporedna

ravnini z = 0. Prav tako lahko privzamemo, da je krivulja r naravno parametrizi-rana. Sledi, da je enotska tangenta enakat= (x^′, y^′, c),kjer jec∈(−1,1)konstanta.

Trdimo, da oklepa enotska tangentatkonstanten kot z vektorjema= (0,0,1).Velja a·t=c= cosϕ,

kjer je ϕ= arccosc. Pogoj (3.21) je izpolnjen, torej je krivulja r res vija£na.

Spomnimo se predpisa za Hopfovo preslikavo (3.33) in formule za enotsko tan-gento. Potem lahko enotsko tangento za hodograf, deniran s pomo£jo Hopfove preslikave kompleksnih polinomovα inβ, podamo v obliki

t= r^′

∥r^′∥ = H(α,β)

|α|²+|β|² = (|α|²− |β|²,2 Re(αβ¯ ),2 Im(αβ¯ ))

|α|²+|β|² . (6.2)

Ta izraz nam bo pri²el prav v nadaljnji obravnavi, zato ga ustrezno poimenujmo.

Denicija 6.3. Normalizirana Hopfova preslikava je preslikava, ki slika izC×C→ R³ in ima naslednji predpis za α,β∈C:

Hˆ (α,β) = (|α|²− |β|²,2 Re(αβ¯ ),2 Im(αβ¯ ))

|α|²+|β|² . (6.3)

Lahko je preveriti, da velja enakost:

(|α|² +|β|²)² = (|α|²− |β|²)²+ (2 Re(αβ¯ ))²+ (2 Im(αβ¯ ))². (6.4) Iz tega sledi, da slika normalizirane Hopfove preslikave leºi na enotski sferi S². To pravzaprav ni presenetljivo, saj smo normalizirano Hopfovo preslikavo izpeljali iz izraza za enotsko tangento (6.2).

Zelo lahko je videti, da zaβ ̸= 0veljaHˆ (α/β,1) = Hˆ (α,β).Najprej pomnoºimo

²tevec in imenovalec izraza za Hˆ (α/β,1)z |β|²:

Hˆ (α/β,1) = (|α/β|²− |1|²,2 Re(α/β·1),2 Im(α/β·1))

|α/β|²+|1|²

= (|α|²− |β|²,2 Re(|β|²·α/β),2 Im(|β|²·α/β))

|α|² +|β|² . Upo²tevamo ²e dejstvo β·β¯ =|β|² in dobimo enakost Hˆ (α/β,1) = Hˆ (α,β).

To dejstvo nam pove, da je za obravnavo enotskih tangent PH-krivulj dovolj pogledati razmerje polinomov α(t)/β(t). Razli£ne PH-krivulje, ki so porojene z razli£nimi kompleksnimi polinomi, imajo lahko torej enako enotsko tangento, £e so le polinomi v enakem razmerju. Pri takih krivuljah se v dani to£kithitrostni vektor r^′(t) razlikuje po velikosti, ne pa po smeri.

Razmerje z(t) = α(t)/β(t) nam poda racionalno krivuljo v kompleksni ravnini.

To razmerje preslikamo z normalizirano Hopfovo preslikavo, da dobimo sliko c(t) = Hˆ (z(t),1)na enotski sferiS².Preslikavaz→Hˆ (z,1)je v resnici inverz stereografske projekcije. Pri inverzni stereografski projekciji potegnemo premico skozi severni te£aj sfere S² in to£ko z na raz²irjeni kompleksni ravnini (ki jo identiciramo z

R²∪ {∞}). To£ka, ki je slika to£ke z z inverzno stereografsko projekcijo, se nahaja na prese£i²£u te premice s sfero. To£ka v neskon£nosti se tako preslika v severni te£aj.

Zelo uporabna lastnost stereografske projekcije je, da se vse kroºnice naS² pre-slikajo v premice ali kroºnice na kompleksni ravnini. To je razloºeno v [13, pogl.

Stereographic projection]. Ker je po posledici 6.2 slika enotske tangente vija£nice na sferi kroºnica, lahko pridobimo potrebne pogoje za konstrukcijo vija£nic tako, da izberemo taka kompleksna polinomaα(t)inβ(t),katerih razmerjez(t) =α(t)/β(t) nam poda racionalno parametrizacijo premice oziroma kroºnice v C. Slika premice oziroma kroºnice z normalizirano Hopfovo preslikavo je torej kroºnica na S², torej je po posledici 6.2 pripadajo£a krivulja res vija£na.

6.1 Kompleksne premice in kroºnice

Za konstrukcijo razli£nih vija£nih polinomskih krivulj bo pomembna naslednja funk-cija, ki realno os preslika v mnoºico to£k v kompleksni ravnini. Ima predpis

z(t) = a₀(1−t) +a₁t

b₀(1−t) +b₁t, (6.5)

kjer so a₀, a₁, b₀ in b₁ kompleksna ²tevila, za katera velja a₀b₁−a₁b₀ ̸= 0. Izkaºe se, da nam ta predpis poda kroºnico ali pa premico v kompleksni ravnini.

Vpra²anje je, v katerih primerih imamo opravka s kroºnicami in v katerih pri-merih s premicami?

Trdimo, da je zc sredi²£e kroºnice, vrednost R je pa enaka polmeru te kroºnice.

Oglejmo si torej izraz |z(t)−z_c|². Enak je Torej imamo v tem primeru res opravka s kroºnico.

ƒe pa je b₁b¯

0−b¯

1b₀ = 0,potem R naraste £ez vse meje, sredi²£e z_cpa postane to£ka v neskon£nosti. Izraz (6.5) tako denira premico, kar lahko pokaºemo s pomo£jo odvoda

dz

dt = a₁b₀−a₀b₁ (b₀(1−t) +b₁t)².

Smer odvoda oziroma kot, ki ga tangentni vektor oklepa z realno osjo, je enak arg

(︃dz dt

)︃

= arg(a₁b₀−a₀b₁)−2 arg(b₀(1−t) +b₁t) mod π, pri £emer smo upo²tevali naslednje lastnosti argumenta kompleksnega ²tevila:

arg(z₁z₂) = arg(z₁) + arg(z₂) modπ, arg(z₁

z2

) = arg(z₁)−arg(z₂) modπ, (6.6) arg(zⁿ) = narg(z) mod π.

Zapi²imo b₀ =b₀+ iβ₀ inb₁ =b₁+ iβ₁. Potem je

arg(b₀(1−t) +b₁t) = arctanβ₀(1−t) +β₁t

b₀(1−t) +b₁t modπ.

Osredoto£imo se na izraz

β₀(1−t) +β₁t

b0(1−t) +b1t. (6.7)

Pokaºimo, da je konstanten natanko takrat, ko velja b₀β₁ −b₁β₀ = Im(b₁b¯₀) = b₁b¯

0−b¯

1b₀

2i = 0,

kar je ravno predpostavka leme. Recimo, da je izraz (6.7) konstanten. Potem je β₀(1−t) +β₁t = c(b₀(1−t) +b₁t) za nek c ∈ R. To ena£bo malce preuredimo in dobimo

(β₀−cb₀)(1−t) + (β₁−cb₁)t= 0.

Polinom na levi strani te ena£be bo ni£elen, £e boβ0 =cb0 in β1 =cb1. Vidimo, da je izraz b₀β₁−b₁β₀ v tem primeru res enak 0.

Obratno, recimo, da drºi b₀β₁ − b₁β₀ = 0. ’tevec in imenovalec izraza (6.7) mnoºimo z b0. Ker je b0β1 =b1β0, dobimo

β0(1−t) +β1t

b₀(1−t) +b₁t = β0b0(1−t) +β0b1t

b²₀(1−t) +b₁b₀t = β0(b0(1−t) +b1t) b₀(b₀(1−t) +b₁t) = β0

b₀, kar pa je res enako konstantni vrednosti.

V lemi 6.4 smo pokazali, da je izraz (6.7) konstanten natanko takrat, ko je b₀β₁ −b₁β₀ = 0. Iz tega pogoja sledi, da velja b₀ =k₀w in b₁ = k₁w zak₀, k₁ ∈ R ter w ∈ C. Ozna£imo c₀ = a₀/w in c₁ = a₁/w. Potem lahko v tem primeru izraz (6.5) zapi²emo kot

z(t) = c₀(1−t) +c₁t k₀(1−t) +k₁t.

Izraz torej predstavlja premico natanko takrat, ko ima realen imenovalec.

S pomo£jo izraza (6.5) bomo lahko konstruirali razli£ne tipe polinomskih vija£-nih krivulj vi²jih stopenj. Lo£imo dva na£ina. Prvi£, pomnoºimo lahko ²tevec in imenovalec ulomka (6.5) s kompleksnim polinomom, da dobimo z(t) = α(t)/β(t), tako pridobljena α(t) in β(t) si nista tuja. Ta dva polinoma preslikamo s Hopfovo preslikavo, da dobimo hodograf r^′(t). Tako pridobljene krivulje pripadajo razredu monotonih PH-vija£nic [10, str. 371].

Drug tip vija£nic pa pridobimo z reparametrizacijo parametra t. V izrazu (6.5) uporabimo racionalno reparametrizacijo t → ^f_g(t)^(t), kjer sta f(t) in g(t) realna po-linoma vsaj druge stopnje, ki sta si med seboj tuja. Spet pridobimo izraz oblike z(t) = α(t)/β(t), le da sta si tokrat v splo²nem α(t) in β(t) tuja. Ta tip krivulj pripada razredu splo²nih PH-vija£nic [10, str. 377]. Ta dva postopka lahko tudi kombiniramo, pridobljene splo²ne PH-vija£nice pa imajo stopnjo enako vsaj sedem.

In document MagistrskodeloMentorica:prof.dr.MarjetkaKnezLjubljana,2022 DPH-KRIVULJEINPOLINOMSKEVIJAƒNICE UNIVERZAVLJUBLJANIFAKULTETAZAMATEMATIKOINFIZIKOPedago²kamatematikaSimonBesednjak (Strani 45-50)