2.3.1 Termodinamsko ozadje
Viskoelastiˇcno vedenje v osnovi opisuje Maxwellov model, ki je prikazan na sliki 2.7.
Slika 2.7: Shematski prikaz Maxwellovega modela [11].
Model je sestavljen iz zaporedno povezane vzmeti, ki ima elastiˇcni modulE, in duˇsilke, ki ima koeficient viskoznosti µ. Duˇsilka predstavlja disipativni element (tretirana kot notranja spremenljivka, ki predstavlja nepovratne mikrostrukturne procese v materi-alu), ki ima viskozno deformacijo in bo v nadaljevanju oznaˇcena kot εv [11].
Najpreprostejˇsa oblika proste energijeW, ki da ˇzeljeno konstitutivno vedenje, ponazarja enaˇcba 2.18 [11]
W = 1
2E(ε−εv)2. (2.18)
Z odvajanjem enaˇcbe 2.18 po spremenljivki ε dobimo enaˇcbo 2.19 σ= ∂W
∂ε =E(ε−εv). (2.19)
Ker je vedenje duˇsilke moˇcno odvisno od hitrosti obremenjevanja, lahko definiramo enaˇcbo 2.20, po kateri je hitrost viskozne deformacije
ε̇v = 1
µσv. (2.20)
Pri tem je σv disipativna napetost, ki predstavlja razlog za nastanek viskozne defor-macije. Definirana je tudi kot negativni odvod proste energije po viskozni deformaciji v enaˇcbi 2.21
σv =−∂W
∂εv =E(ε−εv)≡σ. (2.21)
Enaˇcbo 2.20 lahko izrazimo tudi kot enaˇcbo 2.22 ε̇v = 1
µσv = E
µ(ε−εv). (2.22)
Da bo material konsistenten iz termodinamskega vidika, mora zadovoljiti relaciji, ki sta posledici drugega zakona termodinamike. Drugi zakon termodinamike pravi, da mora 11
Teoretiˇcne osnove in pregled literature
biti entropija vedno pozitivna. V mehaniki kontinuuma je matematiˇcna formulacija zakona naslednja [11]
kjer D predstavlja disipativno neenakost, κα disipativno napetost (npr. σv) in k̇α hitrost ireverzibilne deformacije (npr. ε̇v). Druga posledica zakona pa je Colemanova relacija zapisana v
σ= ∂W
∂ε , κα def= ∂W
∂kα, α= 1,2,...,N, (2.24)
kjer je σ napetost, ε deformacija in kα ireverzibilna deformacija. Za naˇs primer ima disipativna neenakost naslednjo obliko
D=σvε̇v =σε̇v = 1
µσ2 ≥0. (2.25)
Colemanovo relacijo smo uporabili tudi v enaˇcbi 2.19.
Za model na sliki 2.7 lahko izpeljemo linearno diferencialno enaˇcbo [11]. Skozi celoten model bo tekla enaka napetost
σ=σe =σv, (2.26)
kjer je σe napetost v vzmeti, σv pa napetost v duˇsilki. Deformacija bo seˇstevek ela-stiˇcnega in viskoznega dela
ε=εe+εv. (2.27)
Deformacijo odvajamo po ˇcasu, da dobimo ˇse hitrostno enaˇcbo
ε̇ =ε̇e+ε̇v. (2.28)
Ob upoˇstevanju Hookovega zakona σe =Eεe in Newtonovega zakona za tekoˇcine σv = µε̇v dobimo naslednjo linearno diferencialno enaˇcbo
σ̇ + 1
t∗σ=Eε̇, (2.29)
kjer je t∗ =µ/E naravni relaksacijski ˇcas. Enaˇcba je reˇsljiva, ko imamo znano ali σ(t) ali ε(t). Najpogosteje so to konstantne funkcije, torej znana konstantna napetost ali znana konstantna deformacija. V prvem primeru imamo ˇcisto lezenje, v drugem pa ˇ
cisto relaksacijo.
2.3.2 Cisto lezenje ˇ
Po definiciji ˇcisto lezenje dobimo takrat, ko material obremenimo s konstantno na-petostjo in opazujemo deformacijo. Predpostavimo, da v material nenadno vnesemo 12
Teoretiˇcne osnove in pregled literature vrednost napetostiσ0, ko je ˇcast=t0. Napetost nato drˇzimo konstanto na tej vredno-sti, medtem ko ˇcas teˇce. Iz tega sledi, daσ(t) lahko zapiˇsemo kot [11]
σ(t) =σ0H(t). (2.30)
Pri tem jeH(t)) Heavisideova funkcija, definirana kot H(t) =
Ce dobljeni izraz zdruˇˇ zimo z enaˇcbo, 2.21 dobimo
ε(t) = C(t)σ0. (2.32)
Pri tem jeC(t) funkcija lezenja (creep function) za Maxwellov model, ki je definirana kot
Funkcija lezenja za Maxwellov model je prikazana na sliki 2.8.
Slika 2.8: Funkcija lezenja za Maxwellov model [11].
Kot nasprotje lezenja, velja omeniti ˇse relaksacijo. Razlika je v tem, da smo pri lezenju predpisali konstantno napetost σ0 in pustili, da ˇcas teˇce. Pri relaksaciji pa namesto napetosti predpiˇsemo konstanto deformacijoε0 in pustimo, da ˇcas teˇce. Iz tega dobimo funkcijo relaksacijeR(t). Funkciji med seboj nista inverzni. Relaksacija sicer ni glavna tema magistrske naloge, zato je podrobneje ne bomo obravnavali. Omenimo tudi, da je oznaka C(t) sploˇsna za funkcijo lezenja. Odvisno od tipa obremenitve in napetostno-deformacijskega stanja pa funkcija dobi drugaˇcno oznako, predstavljeno v tabeli 2.1.
Enako velja za funkcijo relaksacije.
13
Teoretiˇcne osnove in pregled literature
2.3.3 Generaliziran Maxwellov model
Generaliziran Maxwellov model vsebuje N med seboj vzporedno povezanih Maxwello-vih modelov, prikazanih na sliki 2.9 [11].
Slika 2.9: Shematski prikaz generaliziranega Maxwellovega modela [11].
Zapis proste energije modela je podoben kot v poglavju 2.3.1, le da je potrebno upoˇstevati vse elemente
Prosto energijo odvajamo po deformaciji, da dobimo napetost σ= ∂W ki je lahko izraˇzena tudi kot
σ=εE(∞)−
Clenˇ E(∞) predstavlja elastiˇcno togost modela pri neskonˇcni hitrosti obremenjevanja, v katerem duˇsilka ne bi povzroˇcila viskozne deformacije (εvα = 0). Model lahko pred-stavlja trdno vedenje samo v primeru, ko ima neniˇcelno elastiˇcno togostE(0) pri niˇcelni hitrosti obremenjevanja. Seveda je to primer, ˇce duˇsilke ne bi bilo, torejµ(N) =∞, kar nam da E(0) =E(N) [11].
14
Teoretiˇcne osnove in pregled literature Hitrostne enaˇcbe za N notranjih spremenljivk εvα so
ε̇ =vα 1
µασα, α= 1,2,...,N. (2.37)
Ponovno moramo upoˇstevati relaciji, ki sta posledici drugega zakona termodinamike D≡ hitrostno enaˇcbo v obliki
ε̇vα = 1 t∗α
(ε−εvα), α= 1,2, ..., N, kjer je t∗α = µα
Eα. (2.39)
S tem smo zapisali vse konstitutivne enaˇcbe, iz katerih lahko razvijemo enaˇcbe lezenja in relaksacije. S pomoˇcjo Laplace-Carsonove transformacije (matematiˇcna operacija) in zaˇcetnimi vrednostmiεvα(0) = 0 dobimo [11]
Dobljeno enaˇcbo zdruˇzimo ˇse z enaˇcbo 2.352 in dobimo (σ)∗ = (R)∗(ε∗), kjer (R)∗ = R(t)je tako dobljena s pomoˇcjo Pronyjevih vrst, kjer smo upoˇstevali inverzno Laplace-Carsonovo transformacijo
Kot smo omenili, relaksacijske funkcije in funkcije lezenja niso inverzne v ˇcasovnem prostoru. To pa ne velja za transformirani prostor. Omenimo ˇse, da v literaturi zat∗α
najdemo tudi oznako τα.
15
Teoretiˇcne osnove in pregled literature
2.3.4 Implicitna Eulerjeva metoda
Laplace-Carsonova transformacija je uporabna metoda za doloˇcevanje funkcij lezenja in relaksacije. Za analitiˇcne funkcije so inverzne vrednosti transformacije tabelirane, v realnosti pa se pogosto zgodi, da inverza ni mogoˇce doloˇciti. Takrat se posluˇzujemo drugaˇcnih metod iskanja funkcij lezenja in relaksacije. Ena izmed teh metod je im-plicitna Eulerjeva metoda (backward Euler method), ki omogoˇca reˇsevanje navadnih diferencialnih enaˇcb prvega reda po korakih [11].
Metodo najprej uporabimo pri enaˇcbi 2.37 za generaliziran Maxwellov model
n+1εvα =nεvα+∆t µα
n+1σαv, (2.45)
kjer n+1 oznaˇcuje naslednji korak, n trenutni korak in ∆t velikost koraka v obliki majhnega prirastka ˇcasa. Enaˇcbo zdruˇzimo z 2.352 in dobimo
n+1σα =nσαv +Eαv∆ε, 0σα = 0. (2.46)
V enaˇcbi 2.46 veljajo naslednje zveze:
nσαv =
Celotno napetost n+1σ dobimo, ˇce upoˇstevamo 2.351
n+1σ =
V primeru Maxwellovega modela s samo enim elementom pa s pomoˇcjo enaˇcb 2.46 in 2.48 dobimo
kjer je n+1σtr poskusna elastiˇcna napetost (elastic trial stress), ki je definirana kot
n+1σtr =nσ+E∆ε. (2.50)
Na ta naˇcin ponavljamo korake, dokler ne pridemo do konˇcnega ˇcasa raˇcunanja.