Mehanskih problemov, ki niso podvrˇzeni samo linearnemu vedenju oziroma odzivu, ne moremo obravnavati oziroma reˇsevati le z uporabo analitiˇcnih metod. Najveˇckrat je po-treben numeriˇcni pristop z iterativnim reˇsevanjem. Razlog je v nelinearnem obnaˇsanju materiala. Ena izmed najbolj pogostih numeriˇcnih metod je metoda konˇcnih elemen-tov (MKE). Metoda temelji na tem, da obravnavano obmoˇcje diskretiziramo na konˇcno ˇstevilo manjˇsih elementov, ki so z vidika geometrije dobro popisani. Z MKE na ta naˇcin reˇsujemo robni problem. Reˇsevanje robnega problema zahteva diferencialno enaˇcbo po obmoˇcju obravnavanega elementa in robne pogoje na robu elementa, kar je prikazano na sliki 2.5 [9].
Območje določeno z
diferencialno enačbo Robni pogoji
Slika 2.5: Shematski prikaz robnega problema.
Nelinearne probleme reˇsujemo z numeriˇcnim reˇsevanjem sistema tako diferencialnih kot algebrskih enaˇcb (DAE). V magistrskem delu ne bomo podrobno razlagali numerike, ampak se bomo osredotoˇcili na sam algoritem, ki nam pomaga reˇsiti robni problem.
Algoritem bo predstavljen na primeru obojestransko vpete palice iz viskoelastiˇcnega materiala, ki je shematsko prikazana na sliki 2.6. Palico obremenjujemo nekje na sre-dini s silo F, v podporah A in B pa se pojavita reakcijski sili. Kot ˇze omenjeno, se robni problem pri nelinearnih problemih ne reˇsuje po klasiˇcnih metodah. Poleg rob-nih pogojev so potrebni tudi zaˇcetni pogoji. Razlog je v tem, da je stanje v vsakem ˇ
casovnem trenutku odvisno od stanja v prejˇsnjem trenutku oziroma inkrementu. V primeru osno obremenjene palice se pojavi potreba, da palico obremenjujemo posto-poma in ne vse naenkrat, kot bi to lahko naredili pri elastiˇcnem vedenju. Zaradi tega se poleg krajevne diskretizacije pojavi tudi ˇcasovna diskretizacija. Problem reˇsujemo s tremi integracijskimi toˇckami, kar obmoˇcje palice razdeli na dva dela. Palici pripa-dajo ˇstiri vozliˇsˇca. V integracijskih toˇckah (po teoriji MKE) vrednotimo napetosti in deformacije, v vozliˇsˇcih pa vrednosti za sile in pomike [9, 10].
8
Teoretiˇcne osnove in pregled literature
Slika 2.6: Skica obojestransko togo vpete palice.
2.2.1 Algoritem reˇ sevanja
Ideja algoritma je, da ves ˇcas izpolnjuje ravnoteˇzno enaˇcbo 2.6 [10]:
Fint=Fext, (2.6)
kar pomeni, da morajo biti notranje sile Fint enake zunanjim silam Fext. Ker je robni problem tukaj nelinearen zaradi materiala, se enaˇcba 2.6 reˇsuje inkrementalno. To pomeni, da v doloˇcenem ˇcasovnem inkrementu zunanjo silo poveˇcamo za ∆F in pogle-damo, ˇce je ravnoteˇzje izpolnjeno. Inkremenetalno reˇsevanje je potrebno, ker je odziv materiala nelinearen in odvisen od zgodovine obremenjevanja. Poleg ravnoteˇzne enaˇcbe potrebujemo ˇse konstitutivno enaˇcbo (zveza med napetostmi in deformacijami - Ho-okov zakon za podroˇcje linearnosti) in kompatibilnostno enaˇcbo oziroma kinematiˇcno enaˇcbo (zveza med pomiki in deformacijami) [10]. Veˇc o konstitutivnem zakonu visko-elastiˇcnega materiala bo povedano v nadaljevanju.
V vsakem inkrementu poveˇcamo zunanjo obteˇzbo za ∆F:
∆F =Fmax(tn+1)−Fmax(tn), (2.7)
ki predstavlja razliko med inkrementom tn+1 in tn maksimalne zunanje obremenitve.
Enaˇcba 2.6 ni veˇc izpolnjena, zato je potrebno spremeniti ali napetosti (zahtevno) ali pa prostostne stopnje (npr. pomike - laˇzje) [10, 11]. Iˇsˇcemo torej:
∆ukn+1 =ukn+1−ukn, (2.8)
kjer smo zu oznaˇcili vozliˇsˇcni pomik vn+ 1 inkrementu prik-ti iteraciji. To pomeni, da spreminjamo prostostno stopnjo, vozliˇsˇcne vrednosti pomikov v vsakem inkrementu, da doseˇzemo veljavnost enaˇcbe 2.6 [10, 11].
Za nadaljnje potrebe podrobneje poglejmo, kaj sploh jeFint. Vemo, da so notranje sile v palici enake notranji osni siliN. Notranja osna sila je definirana po enaˇcbi 2.9 [10, 11]
N =
∫︂
A
σxxdA. (2.9)
9
Teoretiˇcne osnove in pregled literature Iz enaˇcbe 2.9 sledi enaˇcba 2.10
N =N(σ). (2.10)
Iz reoloˇskega zakona, ki je opisan v poglavju 2.3, dobimo enaˇcbo 2.11
σ=σ(ε). (2.11)
Iz zveze med pomiki in deformacijami velja enaˇcba 2.12
ε=ε(u). (2.12)
Ce vse to zdruˇˇ zimo in vstavimo v enaˇcbo 2.10 dobimo enaˇcbo 2.13 [10, 11]
N =N(σ(ε(u))). (2.13)
S pomoˇcjo Newton-Raphsonovega algoritma lahko z razvojem v Taylorjevo vrsto (ˇclene viˇsjih redov zanemarimo) dobimo enaˇcbo 2.14 [10]
Fn+1int (uk+1) = Fint(uk+1) +
(︃∂Fint(u)
∂u )︃k
(uk+1−uk) = Fn+1ext. (2.14) Clenˇ uk+1−ukoznaˇcimo zδu in predstavlja korekcijo znotraj inkrementa, da v vsakem inkrementu dobimo ˇzeljeni ∆upo enaˇcbi 2.8. ˇClen ∂Fint∂u(u) lahko razvijemo s posrednim odvajanjem, kjer upoˇstevamo enaˇcbo 2.13. Rezultat je znan iz teorije MKE, in sicer enaˇcba 2.15 predstavlja togostno matriko elementa v vsakem inkrementu [10, 12]
∂Fint(u)
∂u = ∂Fint
∂σ · ∂σ
∂ε · ∂ε
∂u, (2.15)
kjer ∂F∂σint predstavlja povrˇsino preseka palice, ∂ε∂u odvod oblikovnih funkcij in je enak 1
L je dolˇzina palice v obravnavanem polju in ∂σ∂ε predstavlja naklon napetosti s spremi-njajoˇco se deformacijo. Dokler se material nahaja v linearnem obmoˇcju, je ta odvod konstanten in je enak elastiˇcnemu moduluE. Po prehodu v nelinearnost pa to ne velja veˇc in odvod postane zahteven, saj je treba upoˇstevati pravi reoloˇski zakon, kjer pa je za stanje n+ 1 teˇzko vedeti, kaj se bo zgodilo. Togostno matriko je potrebno raˇcunati vedno sproti za vsak inkrement, saj se bo po prehodu materiala v nelinearno vede-nje elastiˇcni modul pokvaril oziroma linearni (npr. Hookov) zakon ne bo veˇc veljal.
Zapiˇsimo torej celotno enaˇcbo togostne matrike 2.16:
∂Fint(u)
Na koncu je izraˇcun korekcije δu definiran z enaˇcbo 2.17 δu= L povzamemo: z algoritmom iteriramo δu toliko ˇcasa, dokler ne dobimo ustreznega ∆u, da izpolnimo enaˇcbo 2.6. Poslediˇcno lahko za vsak inkrement izraˇcunamo deforma-cije in napetosti. Glavno teˇzavo za izraˇcun predstavlja ˇclen ∂σ∂ε, ko material ni veˇc v linearnem obmoˇcju.
10
Teoretiˇcne osnove in pregled literature