Vaje 1: Linearna kombinacija
Naloge na vajah:
1. Dokaˇzi, da ˇce so vektorji −→a , −→
b in −→c linearno neodvisni, potem so tudi vektorji
−
→a +−→ b , −→
b +−→c in −→c +−→a linearno neodvisni.
2. Vektor−→a = 9−→ i + 4−→
j razstavi v smeri vektorjev−→p = 2−→ i −3−→
j in −→q =−→ i + 2−→
j . 3. Ali so vektorji −→a = 2−→
i − 3−→ j , −→
b = −→
i + 2−→ j −−→
k in −→c = −−→
i + 5−→ j − −→
k komplanarni?
4. Podan je pravilni ˇsestkotnik ABCDEF in −→a =−→
AB ter −→
b =−→
AF . (a) Vektorje−→
AC,−−→ AD,−−→
BC, −→
F C izrazi kot linearno kombinacijo vektorjev −→a in−→ b . (b) V kakˇsnem razmerju deli diagonalaBD diagonalo AC?
5. Vektorja −→a in −→
b doloˇcata trikotnik. V kakˇsnem razmerju simetrala kota, ki ga doloˇcata −→a in −→
b , razdeli nasprotno stranico?
6. ParalelepipedABCDA0B0C0D0 ima za osnovno ploskev paralelogram ABCD, toˇcke A0, B0, C0, D0 pa zaporedoma leˇzijo nad toˇckami A, B, C, D. Toˇcka E je presek di- agonal ploskve BCC0B0. V kakˇsnem razmerju odreˇze paralelogramBB0D0D daljico AE?
Samostojno reˇsi:
[1, Naloge: 10, 14, 18], [2, Naloge: 1, 37 , 39] in [3, Naloge: 1, 3, 4].Primeri izpitnih nalog:
1. Naj bo ABCDA0B0C0D0 paralelepiped. Dokaˇzi, da njegova telesna diagonala AC0 prebada ravnino, ki jo doloˇcajo toˇcke B, A0 inD, v teˇziˇsˇcu trikotnika ∆BA0D.
2. V tetraedru ABCD naj toˇcka E razdeli stranico AC v razmerju AE :EC = 2 : 1, toˇcka F stranico AD v razmerju AF : F D = 1 : 1 in toˇcka G stranico BC v razmerju BG:GC = 4 : 1. Toˇcke E, F inG doloˇcajo ravnino, ki seka stranico BD v toˇcki T. V kakˇsnem razmerju toˇcka T deli stranico BD?
3. Dan je paralelogramABCD. Na daljiciABleˇzi toˇckaB0 in na daljici ADleˇzi toˇcka D0. Skozi toˇcko B0 potegnemo vzporednico z AD in skoziD0 potegnemo vzorednico zAB, le-ti se sekata v toˇckiC0. Dokaˇzi, da se nosilke daljicB0D,BD0 inCC0 sekajo v eni toˇcki.
Literatura
[1] M. Doboviˇsek, D. Kobal, B. Magajna: Naloge iz algebre I, DMFA, Ljubljana 1992.
[2] M. Kolar, B. Zgrabli´c: Veˇc kot nobena a manj kot tisoˇc in ena reˇsena naloga iz linearne algebre, Pitagora, Ljubljana 1996.
[3] B. Zgrabli´c: Algebrski drobiˇz, Pedagoˇska fakulteta, Ljubljana 2002.
