Filozofski vestnik Letnik/Volume XXIII • Številka/Number 3 • 2002 • 93-109
MANJ KOT NEKAJ, A VEČ KOT NIČ Zenon, infmitezimali in paradoks kontinuum a
Sa š o Do l e n c
M n e n ja o tem , kaj j e k o n stitu tiv n o bistvo m o d e rn e znanosti, so deljena. N eka
te ri p riseg a jo n a z n a n stv e n o m e to d o , d ru g i m enijo, da zn a n o st m e to d e sploh n im a , za tre tje p a j e z n a n o st k a r sin o n im za objektivno vednost. H isto ričn o je stvar bolj ja s n a . T e m e lji m o d e r n e znanosti so bili postavljeni v sed em najstem sto le tju v d e lih G alileja, K eplerja, D escartesa, L eibniza, N ew ton a in še n e k a te rih . Sam p o je m n a ra v e s e j e ta k ra t n a m re č bistveno sp re m e n il. A ristotelovo physis, k a te re bistvo je , d a ji j e vir g ib an ja oz. sp re m in jan ja n o tra n ji (stvar im a svojo n arav o le, če vsebuje p o č e lo lastn eg a sp re m in ja n ja ), j e zam en jala gali
lejska narav a, k je r telesa n im a jo več n o b e n e glo b in e oz. n o tra n je stru k tu re, a m p a k je vse zv e d en o le n a k vantitativn a m e d se b o jn a razm erja fizikalnih koli
čin, ki so fo rm u lira n a v m a te m a tič n e m jeziku.
V n a s p ro tju s p re v la d u jo č im p re p rič a n je m pa a rg u m e n ti za tako radikal
n o s p re m e m b o ra zu m ev an ja narav e niso bili p re tira n o prepričljivi. T ežav aje b ila n a m re č v tem , d a sam a m atem atik a, k i j e v galilejski naravi n ek e vrste o g ro d je sveta, d o lg o časa n i u s p e la fo rm u lira ti logično k o n siste n tn e g a fo r
m a ln e g a m a te m a tič n e g a a p a ra ta , ki bi om o g o čal m atem atizacijo sp re m e n lji
vih n a ra v n ih pojavov, še p o seb ej gibanja. M išljenje g ib a n ja je n a m re č vedno znova trčilo o b p ro b le m n e s k o n č n e deljivosti k o n tin u u m a , n e sk o n č n ih zapo
red ij ali n e s k o n č n ih vsot, k a r j e p ro b lem a tizira l že Z en o n iz Elee v zn a n ih a p o rija h . Č ep rav so se v sed e m n a jste m sto letju zelo tru d ili, d a bi novo m a te m a tič n o filozofijo n arav e fo rm u lira li zgolj z u p o ra b o stare uveljavljene evklid- ske m a te m a tik e , so vsi takšni poskusi p ro p a d li. Nova z n a n o s t s e j e m o rala sp rijazn iti z dejstvom , d a b re z u p o ra b e trikov novega in fin ite zim aln eg a ra č u n a, ki n a n ek i n a č in u sp e ra č u n a ti tu d i z nesk o n čn o stm i, n e m o re fo rm u lira ti no v e fizike oz. galilejske narave.
Sa š o Do l e n c
Paradoks kontinuuma
V zad n jih tre h k njigah A ristotelove Fizike - ko sm o b ra lc i že d o m a č i z osnovnim i načeli zn a n o sti o s p re m in ja n ju in z an a liz o o sn o v n ih p o jm o v te znanosti: n esk o n č n o st, m esto, p ra z n in a , čas - se av to r loti o b ra v n av e tre h te
m eljn ih k o n tin u u m o v in relacij m e d njim i. T rije te m e ljn i k o n tin u u m i so p o A ristotelu: razdalja, čas in gibanje, njih o v e m eje p a so točka, tr e n u te k (zdaj) in pa tre n u tn o gibanje.
Da si p ro b lem k o n tin u u m a m alo bolj ra zjasn im o , si p o g le jm o n ajp re j nekaj za to vprašanje k lju čn ih definicij iz A ristotelo ve Fizike (V.3):
»Stvari so skupaj glede na lego, ko si delijo isto lego, narazen, ko im ajo ločene lege, v stiku pa, ko im ajo skupno le svojo skrajnost (m ejo) . « 1
Z a p o re d n o st j e u re je n o s t p o vrsti v z a p o re d je . N ekaj j e zvezno (k o n ti
n u u m ), č e j e z a p o re d n o in v stiku. Stvar j e to rej zvezna,
»če so meje, v katerih se katerikoli njeni zap o red n i deli stikajo, iste in sk u p n e. « 2
Če m e je niso sk u p n e, j e stvar sicer la h k o u re je n a v z a p o re d je , a n i zvezna.
P rim e r takšn eg a za p o re d ja so števila. So u re je n a , a se n e stikajo. T o čk e in števila so d isk retn e količine in jih j e p o tr e b n o razlikovati o d zveznih k o ličin g eo m etrije. V aritm etik i ni zveznosti, v g e o m e triji p a j e .
K a k šn o je torej razm erje m e d to čk o in črto? T o č k a je p o A risto telu n e d e ljiva, a im a svojo lego, č rta p a je deljiva razsežnost. Z zb ira n jem točk, n e g led e n a to kako daleč g rem o , nikoli n e m o re m o p riti d o n e č e sa razsež n eg a in tak o deljivega. T očk a n e m o re biti zvezna s to čko. T o č k a je lah k o le m e ja (k o n e c, začetek, rez) deljive velikosti, n e m o re p a b iti n je n d el. S p o m n im o se d efin ic i
j e zveznosti: stv arje zvezna, če so m eje, v k a te rih se k aterik o li n je n i z a p o re d n i deli stikajo, iste in sk u p n e. T očk a n im a delov, zato j e la h k o le ce la svoja la stn a m eja. Če im a več točk sk u p n o m ejo, so lah k o le vse skupaj v isti legi, saj si d ru g a če n e m o rejo d eliti svoje m eje, k a r je v p r im e r u točk e k a r ce la točka.
T u im am o dve n a prvi p o g led n a s p ro tu jo č i si tezi: (1) n a k o n tin u u m u lahko povsod n a jd e m o le točke; kjerk o li ga p re re ž e m o , j e tam točka, a (2) k o n tin u u m ni sestavljen iz točk, k e r to čk e n im a jo razsežno sti. T o velja tu d i za čas in tre n u tk e , k o t za gibanje in tr e n u tn a g ib an ja. R azm e ije m e d to čko in k o n tin u u m o m ni a n a lo g n o n e ra z m e rju m e d d e lo m in celo to , n e ra z m e rju m ed vsebovanim in vsebujočim . T o čk o in tre n u te k lah k o ra z u m e m o le k o t lim ito (m ejo ) razdalje ali časa.
1 Aristotel, Fizika, V.3, 226b21.
2 Ibid., 228a8.
9 4
T o je te m e ljn i p a ra d o k s n e sk o n č n e deljivosti k o n tin u u m a , ki ga A ristotel sicer ek sp lic itn o n e zapiše v Fiziki, am p ak v knjigi O nastajanju in minevanju
(1.2, 3 1 6 a l4 ). P o v zem im o le a rg u m e n t:
Ce j e č rta (k o n tin u u m ) n e sk o n č n o deljiva, p o te m jo lah k o razrežem o n a n e s k o n č n o m a jh n e d ele. Z an im a nas ali so ti n esk o n č n o m a jh n i deli črte (toč
ke) razsežni ali ne? P o n u ja ta se n a m dve m ožnosti:
• Ce im ajo n e s k o n č n o m a jh n i deli črte razsežnost, p o tem j i h lahko še n a prej d e lim o , to rej še niso n e sk o n č n o razdeljeni.
• Ce p a n im a jo razsežnosti, p o te m ni ja sn o , kako lahko iz n jih sestavim o razsežn o črto , saj vsota n era z se ž n ih e n o t n e m o re biti razsežna: 0 + 0 = 0! Č e je k o n tin u u m sestavljen iz nedeljivih delov, če se ga n e d a n esk o n č n o deliti, p o te m sta dve m ožnosti: nedeljiv del im a n e k o velikost, a se vseeno n e d a več d eliti, k a r ni sm iseln o , ali p a nedeljiv del n im a velikosti, k jer p a tud i ni ja s n o kako la h k o nekaj b re z velikosti sestavi nekaj k o n č n o velikega.
P o g le jm o sedaj, kako A risto tel razreši p arad o k s k o n tin u u m a ? Sekljanje razsežnosti n a v e d n o m an jše daljice j e za A ristotela n esk o n č n i proces. Z vsa
kim razsek o m d o b im o novo to čk o (m ejo) n a črti, am p ak še zm eraj im am o m e d m ejam i razsežn e daljice. V sam i črti (razsežnosti) je zm ožnost, d a jo lah ko razsekavam o v n e d o g le d . N e sk o n č n i p ro ces (p o te n c ia ln a n esk o n č n o st) je za A risto tela e d in a n e sk o n č n o st, ki lahko obstaja (Fizika III.6). A sam o seka
nje j e u stv arjan je točk, g ib a n je točk n e ustvarja!
T e m e ljn a A risto telo v a id eja je , d a so lim ite oz. točke le p o sledica zm ož
n o sti v k o n tin u u m u , d a ga la h k o v n esk o n č n o st delim o in tako u d ejan ja m o v ed n o no v e m eje (to č k e ), ki p a v sam em k o n tin u u m u še niso dejanske, am p a k so zgolj m o žn o st. K o n tin u u m torej ni sestavljen iz točk, čeprav lah ko p o vsod, k jer ga p re re ž e m o , n a jd e m o točko. Bistveno je , d a j e ta točka lahko le k o n ec ali začetek in terv a la , n e m o re p a biti sam a po sebi. K o n tin u u m v edn o sestavljajo in terv ali, točke p a so le konci intervalov. Če k o n tin u u m delim o p o lju b n o d o lg o , ga la h k o ra z d e lim o n a p o lju b n o veliko p o lju b n o m ajh n ih intervalov, a t o j e n e sk o n č n i p ro ces. Če se še tako tru d im o , interval n e m o re postati točka. Zvezni in terv al im a zm ožnost, d a se n e sk o n č n o deli, a te zm ož
n o sti n e m o re n ik o li povsem u d ejan jiti. L ahko si sicer zam islim o n e sk o n č n o z a p o re d je d e lje n ja intervalov, a t o j e lahko le zap o red je b re z konca, n e pa p ris o tn a n e s k o n č n o s t. 3
A risto tel j e p ro b le m e n e g a in m noštva v p redso k ratsk i filozofiji narave, o z iro m a kak o skupaj m isliti m anifestacije e n e g a sam ega p rim a rn e g a p o čela (arhe), ki so p o sle d ic a n e k e g a n o tra n je g a vira sp re m in jan ja (physis) v tem p o čelu, rešil z vpeljavo razlikovanja m e d (z)m o žn o sy o in dejanskostjo. K p o d o b -
3 Dedekind uvede definicijo kontinuum a (realna števila) kot množico, ki vsebuje mej
ne točke na vseh rezih.
Ma n jk o t n e k a j, av e č k o t n i č: Ze n o n, i n f i n i t e z i m a l ii n p a r a d o k sk o n t i n u u m a
ni rešitvi se zateče tudi pri težavah z n e s k o n č n o s tjo in k o n tin u u m o m . N e
sk o n čn o st j e zanj zgolj m ožnost, n ik o li p a dejan sk o st.
Zenonove aporije
A risto te lje torej predpostavil, d a so čas, p ro s to r in g ib an je k o n tin u u m i. V naravi to rej ni skokov (k o t so d o m n ev ali a to m isti), a m p a k vse teče g lad ko . P r e p r ič a n je bil, d a j e s svojo te o rijo p ro sto ra , časa in g ib a n ja k o t k o n tin u u m ov rešil tu d i vse štiri Z enonove a p o rije (Fizika V I.9 ), če se seveda strin ja m o z njegovo rešitvijo za p ro b le m sam eg a k o n tin u u m a. 4
N aštejm o vse štiri Z enonove a p o rije gibanja:
• Polovica (d ih o to m ija ): g ibajoče telo im a v vsaki to čki svoje p o ti d o cilja p re d sabo še n ek o razdaljo, ki j o j e m o g o č e razd eliti n a p ol. T e h polovic (v ed n o krajših), ki bi ji h telo m o ra lo p re iti, d a bi p rišlo n a cilj, j e n e sk o n čn o , zato telo nikoli n e bi p rišlo n a cilj.
• A h il nEyhitrejsi tekač nikoli n e u ja m e n ajp o č a sn e jše g a , saj v času, k i j e p o tre b e n , d a d oseže točko, n a k a te ri j e p o ča sn i tekač, ta že p re m e ri novo razd aljo in vselej obdrži (sicer v e d n o m an jšo ) p re d n o s t.
• Puščica: iz loka izstreljena p u ščica v vsakem tre n u tk u zavzem a to č n o d o lo č e n o lego; zavzem anje d o lo č e n e leg e p a j e m iro van je; iz stre lje n a p u ščica torej v resnici m iruje.
• Stadiona ali gibajočih vrst: j e m alo bolj z a p le te n , zato več kasneje.
P og lejm o si sedaj p o d ro b n e je p o sa m e z n e ap o rije :
Dihotom ija in Ahil - Že A ristotel trdi, d a te m e ljita a p o riji A hila in D ih o tom ije pravzaprav n a istem p ro b le m u . Č e te č e želva s h itro stjo , k i j e e n a k a polovici Ahilove, im am o povsem a n a lo g n o situ acijo . Kje j e p ro b le m ? R azd a
lja, k ijo želi p re te č i Ahil j e k o n tin u u m . N a te m k o n tin u u m u la h k o p o sam i definiciji k o n tin u u m a kjerkoli p ostavim o zastavico in ga s te m ra z d e lim o n a dva dela. Zastavico lah k o torej p ostavim o n a jp re j n a p o lo vico c e lo tn e p ro g e , p o te m n a polovico zadnje polovice p ro g e in n a to n a p o lo v ico te n ove z a d n je č e trtin e in tako n a p re j v n esk o n č n o st. Č e je razd alja, k ijo želi A hil p re te č i, res deljiva v n esk o n č n o st, č e je k o n tin u u m , p o te m la h k o A h ilu n a p ro g i postavi
m o n e sk o n č n o zastavic o zirom a njegovo tekaško p ro g o ra zd elim o n a n e sk o n č n o intervalov. Če h o če p re te č i to p ro g o , m o ra p re te č i vse in te rv a le in p o b ra ti vse zastavice. K er p a j e zastavic in in terv alo v n e s k o n č n o , m o ra tak o o prav iti
4 Verjetno najbolj poglobljena študija antičnih virov in kasnejših interpretacij Zenona iz Elee, je zbrana v knjigi: Maurice Caveing, Zénon d'Elée: prolégomènes aux doctrines du continu: étude historique et critique des fragments et témoignages,]. Vrin, Pariz 1982.
96
n e s k o n č n o o prav il, d a p rid e d o cilja. T em e ljn o vprašanje j e to rej, ali lahko oprav i n e s k o n č n o oprav il v k o n č n e m času?
P ro b le m A h ila j e seveda povsem a n a lo g e n p ro b le m u n e sk o n č n e deljivo- sti k o n tin u u m a . Č e j e k o n tin u u m n esk o n č n o deljiv, p o te m ga lahk o d elim o n a v e d n o m a n jše in terv a le . V p rim e ru A hila j e to delitev tekaške p ro g e n a p o lo v ičn e p o d in te rv a le . Č e bi bilo teh intervalov k o n č n o m n o g o , težav n e bi bilo . A hil bi la h k o p re te k e l vse in terv ale in p o b ra l vse zastavice. Za vsak n a sled n ji in terv a l bi seved a p o ra b il m anj časa, zato bi n a cilj p rišel povsem re g u la rn o . Kaj p a, č e je in terv a lo v n esk o n čn o ? Če želi Ahil p re te či razdaljo, m o ra p re te č i n e s k o n č n o in terv alo v o ziro m a razsežnih daljic. T e ž a v a je predvsem z za d n jim i in terv a li tik p r e d ciljem . Če vzam em o še tako m alo razdaljo od cilja, j e v njej še zm eraj n e s k o n č n o intervalov. Kako j e lahko v p o lju b n o m ajh ni razdalji zm eraj n e s k o n č n o p odinterv alov? Če im a vsak o d intervalov razsež
nost, k i j e večja o d točke, p o te m sk u p n a razsežnost ne m o re biti p o lju b n o m a jh n a . T o , d a so vsi in terv ali večji o d točke, p a j e povsem n ed v o u m n o , saj v delitvi in terv alo v zm eraj d e lim o nekaj razsežnega n a pol. V vsakem koraku d o b im o sam o dva za p o lovico krajša intervala, nikoli p a to čke o ziro m a in te r
vala, ki n e bi im el razsežnosti.
P ro b le m D ih o to m ije in A h ila je torej a n a lo g e n p ro b le m u n esk o n č n e de- ljivosd k o n tin u u m a . Če z n a m o rešiti ta p ro b lem , p o te m sm o rešili tud i prvi dve Z en o n o v i aporiji.
Prva p o t razrešitve p a ra d o k s a je , d a p re p ro sto zavrnem o razdaljo k o t k o n tin u u m in re č e m o , d a ra zd alja (in čas) ni n e sk o n č n o deljiva, d a n a k o n cu p rid e m o d o n e k e g a »atom a« razdalje, ki ga ni več m og oče razd eliti n a polovi
co in g a je m o č » p rep o to v ati« le v n e k e m a to m a rn e m času. V tem p rim e ru vse ostale teze p o sta n e jo n e p o tre b n e : ni n esk o n č n e g a d eljenja, z a to je število ko
rakov d o cilja k o n č n o in p a ra d o k s o d p a d e . V e n d a r A ristotel takšni rešitvi os
tro ugovarja.
G ib an je, ki bi ak tu alizira lo vse vm esne točke se im en u je stakato gibanje.
P o u d a re k vsaki n o ti v n a s p ro ÿ u z legato gibanjem , ki želi zliti p o sam ezn e n o te v c e lo to . S tak ato g ib a n je je skokovito ato m ističn o gibanje; to ni g ib anje k o t k o n tin u u m , a m p a k g ib a n je k o t zap o red je. P rim e r za z a p o re d je so narav na števila, p rim e r za k o n tin u u m p a daljica. G ib a n je je e n o tn i pro ces, ki ga sicer la h k o d e lim o n a p o d p ro c e s e , a p o d o b n o k o t črte n e m o re m o sestaviti iz točk, tu d i g ib a n ja n e m o re m o d o b iti iz z a p o red ja stanj. G ib a n je je p ro ces ozirom a k o n tin u u m .
T o j e tu d i srž A ristotelove rešitve prvih dveh Z eno no vih aporij. N eskonč
n o intervalov, ki ji h m o ra A hil p re te či, j e sicer v sami razdalji, ki j e k o n ti
n u u m , m o ž n ih , a ti in terv a li so m ožni zgolj ko t n esk o n č n i p ro ces delitve. Če bi re sn ič n o usp eli postaviti vse vm esne zastavice, bi tu d i Ahil p otreb ov al n e
Sa š o Do l e n c
sk o n čn o časa, d a bi j i h p re te k el o z iro m a p o b ra l. V e n d a r bi p o tre b o v a li za postavitev vseh zastavic, tu d i če bi im eli dovolj m a jh n e za za d n jih nek aj n e sk o n čn o intervalov, bi za to postavitev p o tre b o v a li n e s k o n č n o časa. T o bi bil n esk o n č n i proces, ki j e p o A risto telu sicer m o ž e n , j e p a neizvedljiv. Ni ga m o g o če povsem u dejanjiti.
P u šč ic a - A rg u m e n t puščice pravi, d a če p riv za m em o a to m a r n o sestavo časa, j e a to m a rn o tu d i gibanje. A to m a rn o g ib a n je p a j e m iro v an je. P oglejm o!
V e n e m a to m u časa vse m iruje, saj če bi bilo nekaj n a za č e tk u a to m a časa d ru g a če k o t n a k oncu, to n e bi bil več a to m , a m p a k bi g a la h k o še d elili, saj ni e n o te n . A to m e časa si lahko zam islim o k o t sličice n a film sk em tra k u . N a vsaki sliki fig u re m irujejo, torej j e sam o g ib a n je tu d i a to m a r n o sk ak an je iz e n e m i
ru jo če p o d o b e n a d ru g o . A to m a rn o g ib a n je ni to rej n ič d ru g e g a k o t vsota različnih m irovanj. Vsota m irovanj p a n e m o re biti gib an je.
Stadion - A rg u m e n t telovadcev v vrstah, ki k o ra k ajo p o s ta d io n u pravi, d a iz n e a to m a rn o sti (torej zveznosti) g ib a n ja sledi, d a j e n u jn o tu d i čas k o n ti
n u u m . Kaj pravi a rg u m e n t stadio na? Im a m o tri vrste telovadcev. P rva vrsta m iruje, d ru g a k o ra k a v e n o stran , tre tja pa z e n a k o h itro s tjo v d ru g o stra n . O b času t so telovadci po rav n an i ko t n a prvi sliki.
čas t
t t t t
t t t t —
« - t t * t
V času t plus en ato m časa, so telovadci p o ra v n a n i k o t kaže d ru g a slika.
čas t + At
t f t t
t t t t - >
- » t t t
P ro b le m p a je , d a so bili že vm es, m e d o b e m a ča so m a p o ra v n a n i telo v ad ci d ru g e in tre ÿ e vrste.
čas t + A t / 2
t t t t
t t t t —
< - t f t t
Č e j e gib an je zvezno, torej obstaja tu d i v m esn o stanje, ko sta p o ra v n a n i sam o o b e gibajoči se vrsti. Če to stan je ob staja, p o te m o b staja tu d i vm esni tre n u te k . Č e privzam em o a to m a rn o st časa in zveznost g ib an ja, p o te m v ed n o
9 8
o b stajajo tu d i d o g o d k i (n p r. poravnav e v rst), ki se dog o d ijo v času, k ije m an j
ši o d a to m a časa. K o n tin u u m g ib an ja torej im p licira k o n tin u u m časa.
C e po v zam em o : Z e n o n o v e ap o rije gib an ja tem eljijo n a p ro b le m u k o n ti
n u u m a , v k o lik o r ra z u m e m o razdaljo, čas in gibanje ko t k o n tin u u m e . K onti
n u u m razd alje in čas k o t n e -k o n tin u u m (z ap o red je) im p licira zan ikanje giba
n ja (d ih o to m ija in A h il). A to m izem časa im p licira ato m izem gibanja, k ar p o m e n i za n ik a n je g ib a n ja (p u šč ic a). K o n tin u u m gib an ja im p licira k o n tin u u m časa (sta d io n ). Z e n o n o v e a p o rije pokažejo, d a lahko g ibanje, k o t n u jn o k o n tin u ir a n p ro c e s, m islim o zgolj z ro k o v roki s p ro sto ro m in časom k o t kontu- m u u m o m , sicer so težave.5
P ro b le m k o n tin u u m a , n e k a te re m so osn ovane tud i Z eno no ve ap orije, tem elji n a p ro b le m u , k i j e v sam em je d r u filozofije narave od T alesa naprej:
g ib a n je (s p re m in ja n je , čas...) m o ra biti k o n tin u ira n o , sicer ni gibanje, a k o n tin u u m n i misij iv.
»Zenonovi arg u m e n ti so v neki obliki nudili osnovo za skoraj vse teorije p rostora, časa in neskončnosti, ki s o jih postavili od njegovih dni do d an e s. « 6
Ma n jk o t n e k a j, av e č k o t n i č: Ze n o n, i n f i n i t e z i m a l ii n p a r a d o k s k o n t i n u u m a
Problem matematizacije kontinuuma: nikakor se ga ne da prešteti
T em elj grške m a te m a tik e j e razlikovanje m ed g eo m etrijo in aritm etik o , m e d k o n tin u u m o m in z a p o re d je m , m ed sliko in številom . A n tičn a m atem a
5 Zenonova predpostavka je , da praznine ni. Tisto kar je, je polno, saj nikjer ni dela, ki ne bi bil zapolnjen, ker praznine pač ni. To k a rje , je kontinuum, kar ne pomeni nič drugega, kot d a je bivajoče povsod skupaj, da vmes ni nečesa drugega, kar ni bivajoče.
Zenon se vpraša, kako uvesti v eno-bivajoče razlike? Kako najti razlike v kontinuumu?
Pokaže, da pluralnosti in gibanja v enem-bivajočem kontinuum u ne more biti.
Ce lahko potegnem o mejo kjerkoli, čeje kontinuum Enega povsod deljiv, potem pade
mo v paradoks kontinuum a. Ce je črta, kije najpreprostejši model kontinuuma, povsod neskončno deljiva, potem jo lahko razrežemo na neskončno m ajhne dele. Ce je konti
nuum sestavljen iz nedeljivih delov, če se ga ne da neskončno deliti, potem sta dve mož
nosti: nedeljivi deli imajo neko razsežnost, a se vseeno ne dajo več deliti, karje nerazum
ljivo, ali pa nedeljivi deli nimajo velikosti, kjerje pa tudi nejasno, saj ne vemo, kako lahko nekaj brez velikosti sestavi nekaj končno velikega. Ce nekaj obstaja, mora imeti razsež
nost. Stvar ima razsežnost samo, č e je iz več delov. Č eje kontinuum povsod deljiv, torej padem o torej v paradoks. Kaj pa, č e je Eno-bivajoče deljivo zgolj na določenih mestih (v Enem obstajajo torej deli in m eje), potem so ta mesta posebej odlikovana. Tam mora biti nekaj drugače. A drugače je lahko le po neki lastnosti oz. kvaliteti. To pa ne gre. Da ohranim o enotnost Enega, m ora biti to ali povsod nedeljivo ali povsod deljivo.
6 B ertrand Russell, The Problem of Infinity Considered Historically, v zborniku Zeno's Para
doxes, Hackett, 2001, str. 54.
Sa š o Do l e n c
tičn a fizika, k atere n ajim en itn ejši p re d s ta v n ik je A rh im e d , s e j e uk v arjala le z razm erji m ed zveznim i velikostni (m a g n itu d e k o t k o n tin u u m i). Zvezne veli
kosti vseskozi o stan ejo nekaj bistveno ra zličn eg a o d števil, k a r je te m e ljn a ovi
ra za n astan e k m atem atičn e fizike v m o d e rn e m p o m e n u b ese d e.
H isto ričn o j e bila A ristotelova restavracija in te le g ib iln o s ti zveznih k o n ti
n u ira n ih veličin zelo p o m e m b n a . A risto tel pravi, d a j e štev n a m n o g o te ro s t (arithmos) tista, k ij o j e m ogoče razb iti n a lo č e n e , nezv ezne, d is k re tn e dele, m e d te m ko so m a g n itu d e (megethos) zvezne m n o g o te ro s ti, k i j i h n a lo č e n e sestavne d e le n e m o re m o razbiti.
»Potem takem je določena kolikšnost m nožica, k adar j e števna, m ed tem k o je kolikšnost velikost (megethos), k a d a rje merljiva. Mnoštvo p a s e im e
nuje tisto, k a r je po m ožnosti deljivo v dele, ki niso zvezni, velikost pa tisto, k a rje deljivo v n eprekinjene dele; izm ed velikosti p a je tista, k ije v eni sm eri zvezna, dolžina, tista, k ije v dveh sm ereh , širina, tista pa, k ije zvezna v treh sm ereh, globina. Izm ed teh kolikosti p a je om ejen a m noži
ca število, o m ejena d olžinaje črta, om ejen a širin a je ploskev, g lobina pa j e telo. « 7
Č rte n e m o rem o razbiti n a točke, a m p a k le n a d aljice, ki p a niso lo čen e , am p ak se v ed n o stikajo. V m a g n itu d o lah k o v n esem o le m e ro k o t daljico , ki se ponavlja in p o tem štejem o ponovitve, a se tak šn a u v e d b a e n o te n e izide ved no, tu d i če vzam em o še tako m a jh n o e n o to .
T u d i z razm eiji m ed m ag n itu d am i, ki niso h a rm o n ič n a , so G rki znali ra ču nati. Znali so tudi prim erjati razm erja n e so ra z m e rn ih m a g n itu d . R azm erje dia
gonale p ro ti stranici k v ad rataje lah k o en a k o ra zm erju dveh d ru g ih m a g n itu d , kar so znali dokazati. R azm erja m a g n itu d tvorijo torej m n o g o te ro st, k i j e bolj bogata o d pitagorejske aritm etične števne m n o g o tero sti, v e n d a r j e ta nova m n o gotero st m anj abstrak tn a ko t so števila, saj n e n u d i u n iv erzaln e prim erjav e m ed m agnitudam i, am pak j e o b teže n a z g eom etrijsk o k o n k re tn o p redstavo. M edse
bo jn o j e m ogoče prim erjati le m a g n itu d e iste geo m etrijsk e vrste: črte s črtam i, površine s površinam i. Poiskati površino rav n insk ega lika, j e p o m e n ilo , najti kvadrat, ki im a enako ploščino ko t d a n i ravninski lik, m e d te m k o j e poiskati k u b atu ro nekega telesa, p o m enilo, najti kocko s telesu en a k o p ro sto rn in o .
Metoda izčrpavanja: primerjanje različnih magnitud
Za dokazovanje razm erij m ed istov rstnim i m a g n itu d a m i, ki p a n iso bile več le p re p ro ste daljice, am p ak tu d i krivulje, j e Evdoks uvedel novo m e to d o
7 Aristotel, Metafizika, 1020al0-14.
1 0 0
Ma n jk o t n e k a j, av e č k o t n i č: Ze n o n, i n f i n i t e z i m a l ii n p a r a d o k sk o n t i n u u m a
izčrpavanja. Z n je n o p o m o č jo j e lah k o dokazal veliko h ip o te z o razm erjih m e d v o lu m n i teles ali p o v ršin am i likov: v o lu m en p iram id e j e e n a k 1 /3 volum n a valja z e n a k o o sn o v n o ploskvijo in višino, razm erje m ed po vršin am a dveh kro g o v j e e n a k o ra z m e rju m e d p ovršino kvadratov, ki im ata za stranici d iag o nali krogov... Im e m e to d e sicer izvira šele iz sed em n ajsteg a stoletja, a j o je n a ta n č n o opisal že Evklid v XII. knjigi svojih Elementov, k jer j e obravnaval p o vršine in v o lu m n e likov in teles, k ijih zam ejujejo ukrivljene črte ali površine.
M e to d a izčrp av an ja tem elji n a A rh im ed o v em aksiom u. Če im am o dve ra zličn o veliki m a g n itu d i, p o te m lah k o zm eraj najd em o tak o veliko število N, d a b o m a n jša o d o b e h m a g n itu d , če j o povečam o za N-krat, p o stala večja o d d ru g e m a g n itu d e . N a prvi p o g le d je to nekaj povsem intuitivno jasn ega. Manjši m a g n itu d i lah k o v e d n o d o d a ja m o d ru g e en a k o velike m a g n itu d e in j o tako p o v eč am o d o p o lju b n e velikosti. K akor koli že določim o e n o to , j o v ed n o la h ko p o m n o ž im o d o p o lju b n e velikosti.
V e n d a r to v an tik i n i bilo nek aj sam oum evnega. Težava j e bila n a m re č z m e jn im i m a g n itu d a m i. R ecim o kot, ki ga tvori ta n g e n ta s krivuljo v neki toč
ki, s e je G rk o m zdel večji o d nič, a h k ra ti njegovo podv ajan je ni m oglo tvoriti n o b e n e g a d ru g e g a večjega kota. P o d o b n o j e z deli črte, ki o stan ejo, ko jo povsod ra z re ž e m o . T o k a r o sta n e niso n e točke, n e intervali. T o, kar o stan e, niso to čk e, k e r im ajo ra zsež n o st večjo ko t nič, intervali p a niso, k er njihova ra zsež n o st n e m o re biti nekaj k o n čn e g a, saj bi to p o m en ilo , d a črte n ism o še povsem razdelili. Za te m e jn e p rim e re A rh im ed o v aksiom torej n e velja, saj la h k o to m e jn o m a g n itu d o p o lju b n o m nožim o, a še zm eraj n e bo nekaj k o n č
n eg a.
Če o d m a g n itu d e o d v zam em o n ajprej del, ki ni m anjši o d polovice in p o te m o d teg a k a r o sta n e sp e t del, ki ni m anjši o d polovice, n a k o n cu o stan e m a g n itu d a , k i j e m an jša o d k a te re koli m ag n itu d e. Sedaj p red p o stav im o , d a že vem o, d a j e ra z m e rje po v ršin e dveh e n a k ih m n o g o k o tn ik o v e n ak o ra z m e r
j u k vadratov n ju n ih p re m e ro v . T o sm o recim o že dokazali in za like z ravnim i m ejam i to n i težko. Č e to rej za k ro g e to pravilo n e velja, p o te m j e m e d d e ja n sko p o v ršin o k ro g a in p ovršino, ki bi zadostila enačbi, n ek a razlika. S p o lig o n i p a se lah k o k ro g u p rib liž a m o tako, d a bo razlika površin m an jša o d katerekoli še tako m a jh n e m a g n itu d e . Č e je torej površina kroga, k ijo n ap o v e d u je e n a č ba, m an jša o d k ro g a , j o b o m o to rej v n ek e m k o ra k u d o d a ja n ja p o lig on ov n u j
n o p re seg li, č e p rav k ro g a še n e b o m o prek rili. T o p a vodi v protislovje, saj bi e n a k p o lig o n , k i je m anjši o d k ro g a m o ral biti h k ra ti tudi večji.
M e to d a izčrp av an ja o m o g o ča, da krivo črto razu m em o k o t sestavljeno iz k ra tk ih ra v n ih odsekov, ki im ajo velikost, a so p o lju b n o m ajh n i. K akršno koli o d s to p a n je o d kriv in e že d o lo č im o , zm eraj b o m o našli dovolj ra zd ro b lje n e g a
član a zap o red ja, ki bo krivini bolj p o d o b e n , k o t sm o do lo čili, d a j e največje d o p u stn o o d sto p an je.
Z m e to d o izčrpavanja lahko p rim e rja m o d o lžin e, p o v ršin e ali v o lu m n e ukrivljen ih črt, površin ali teles z z a p o re d je m v č rta n ih in o č r ta n ih ra v n ih li
kov. D a je razm erje površine dveh krogo v e n a k o ra z m e rju k vad rato v n ju n ih p re m e ro v , lahko dok ažem o tako, d a k ro g u v č rtu je m o in o č rtu je m o p ra v iln e m n o g o k o tn ik e . V vsakem k o ra k u p o d v o jim o število stra n ic in tak o razliko m e d površino k ro g a in površino m n o g o k o tn ik a v vsakem k o ra k u zm an jša m o za več k o t polovico. K akršno koli še tak o m a jh n o razliko m e d p o v ršin o k ro g a in površin o m n o g o k o tn ik a d o ločim o, v e d n o jo lah k o z d o d a ja n je m no v ih stra
nic presežem o.
Infinitezimalni račun
Če bi v zgodovini m atem atik e iskali nekaj te m e ljn ih m ejniko v, ki so p o m e m b n o vplivali n a n jen razvoj, bi v e rje tn o zm ag ala n a s le d n ja trojica: Evkli- dova grška sinteza ta k ra tn e g a m a te m a tič n e g a z n a n ja (BOO p r. n . š .), in fin ite z i
m alni ra č u n in pojem funkcije (o k ro g leta 1700) in p a te o rija m n o ž ic (k o n e c 19. sto le ÿ a ). To so trije ključni d o g o d k i, ki so zam ajali sam e te m e lje m a te m a tične znanosti in p ri vseh j e bil k lju čen sp o p a d z m a te m a tič n o n e sk o n č n o stjo , ki s o jo v ed n o u sp eli n ek ak o u k ro titi.
G rško krizo m atem atik e j e p ovzročilo s e s u j e p ita g o re jsk e g a p ro g r a m a id en tifik acije g eo m etrije (pojavni svet) in te o rije števil (in te le g ib iln a bistva sveta). P itagorejski p ro g ra m , p o k a te re m bi vso m a te m a tik o (p red v sem g e o m etrijo ) prevedli n a teo rijo števil k o t m n o g o te ro s ti e n o t, j e p ro p a d e l. P itag o rejci so zgroženi spoznali, d a lah k o m e d ra zd aljam i v p ra v iln ih likih n a jd e m o tu d i ira c io n a ln a razm erja, ki niso ra z m e ija e n o t. In te le g ib iln o bistvo sveta torej n e m o re b iti h a rm o n ija celih števil k o t m n o g o te ro s ti e n o t, č e je v pojav
n em svetu (g eom etrija) nekaj, k a r se n a to bistvo sveta n e d a zvesti. G rki so rešili p ro b le m tako, d a za osnovo niso vzeli števil k o t m n o g o te ro s ti e n o t, a m pak m a g n itu d e kot osnovne e le m e n te g eo m etrije. Evklid j e za tem elj vzel m ag
n itu d e (daljice) in a ritm etik o p re v ed el n a g e o m e trijo , a tak o izgubil a b stra k t
n o m o č števila. R azm erja m ed m a g n itu d a m i so sedaj lah k o tu d i n e so iz m e rn a (ira cio n aln a), v e n d a r so m o žn a le m e d m a g n itu d a m i iste g e o m e trijsk e vrste.
E n o tn e g a polja števila, ki bi o m o g o čal u n iv e rz a ln o p rim e rja v o k oličin , tako ni bilo več. 8
8 P o d obno k o tje eleatska kritika sesula hilozoistično fizikalno pojasnitev sveta, j e tudi pitagorejsko številsko h arm onijo kozm osa povozilo o d k ritje irac io n aln ih razm erij, ki niso harm onična. Č e je bil pri fizikalnem p risto p u p ro b lem , kako v osnovni elem e n t, ozirom a
Sa š o Do l e n c
102
G rki so p ro b le m v teo riji z n esk o n č n o stjo v ira c io n a ln ih razm erjih števil razrešili tak o, d a so se o p rli n a ja s n o in n az o rn o predstavljivo geom etrijo . T ak o so la h k o z an a lo g ijo števil k o t daljic prišli v m atem atik i m n o g o dlje ko t bi zgolj s p o jm o m števila k o t m n o g o te ro sti en o t. V e n d a r so m o rali plačati davek, saj te sn a navezava te o rije n a k o n k re tn o g eo m etrijo ni d o p u ščala, d a bi la h k o govorili o n p r. m a g n itu d i, ki ustreza ra zm erju in terv ala časa in in terv a
la razdalje, ali p a v o lu m n a in p o v ršin e telesa. M agn itud e so bile le razm erja m e d g e o m e trijsk o (prestavljivo) istovrstnim i objekti.
V prvi polovici se d e m n a jste g a stoletja s e j e m atem atika, p o d o lg em o b d o b ju v e g e tiran ja, sp e t zelo h itro razvijala. T ak ratn i m atem atik i so se ub ad ali p re d v sem s p ro b le m i štu d ija krivulj in s poskusi m atem atizacije gibanja. Iskali so ta n g e n te , p o v ršin e in e k stre m e krivulj, reševali inverzni p ro b le m ta n g e n te in se ukvarjali s k in e tič n im i p ro b le m i, kako iz en a čb e, ki o p isu je sp re m in jan je ra zd alje s časo m iz ra č u n a ti tre n u tn o h itro st in pospešek. O b reševanju teh p ro b le m o v so sp o to m a iznašli veliko ad hoc novih p ra k tič n ih m e to d , ki danes sp ad a jo v p o d ro č je in fin ite z im a ln e g a ra č u n a.9 S plošno teo rijo in fin itezim al
n e g a ra č u n a sta n e o d v isn o d ru g o d d ru g e g a razvila šele N ew ton in Leibniz, a kake bistv en o večje ek sa k tn o sti v sam o teorijo n ista vnesla. P redvsem sta p o e n o tila m n o g e že prej z n a n e in fin ite zim aln e m e to d e in pokazala, d a vsi ti p ro b lem i tem eljijo n a en i in isti m a te m a tič n i osnovi novega ra č u n a , ki se ukvarja z n e sk o n č n o m a jh n im i k o ličin am i (infinitezimali).
N ew to n j e svojo verzijo m e to d e o ra č u n a n ju s fluksijam i in fiu e n ti10 razvil v to, kar obstaja, ki j e Eno, uvesti raznolikost, mnoštvo, je pri pitagorejskem pristopu p ro b lem , d a m noštvo števil n e pokrije vsega mnoštva v svetu. Ce j e pri fizikalistih pro b lem , kako p riti o d en e g a d o m noštva, j e p ri pitagorejcih problem , kako shajati zgolj z eno vrsto m noštva. V sv e tu je , kot kaže, še n eko drugo mnoštvo, ki ni aritm etično.
A ritm etično m noštvo je m noštvo dodajanja enot. Števila so m nožice razločljivih enot, ki jih lahko štejem o. Vse kar lahko preštejem o je števno mnoštvo. A m pak vsega v svetu ne m o rem o p rešte ti. A tom izem j e n ek e vrste pitagorejski p ristop k zgradbi sveta znotraj fizi
kalne perspektive. Pri atom izm u so en o te m aterije ločene s praznino, zato jih lahko šteje
m o. A ritm etičn a m n o g o te ro st je v svetu atom ov edina m nogoterost.
9 Gilles P erso n e de Roberval (1602-75) in Evangelista T orricelli neodvisno iznajdeta kinem atičn o m e to d o za do lo čan je tangent: krivulja naj bo gen eriran a preko dveh znanih neodvisnih gibanj. T an g e n to lahko določita p reko paralelogram a hitrosti o b eh gibanj.
P ierre F erm at o d krije univerzalno m e to d o iskanja ekstrem ov krivulj, ki praktično deluje, a fo rm aln o ni povsem dokazana. Galileo Galilei načrtuje knjigo o nedeljivih en o ta h (indi
visibles), a j e nikoli ne dokonča, v en d a r svoje ideje prenese na učenca B onaventure Cava- lierija (1598-1647), ki o tej tem i napiše knjigo Geometria indivisibilibus, v kateri površino obravnava k o t sestavljeno iz n ed o lo č e n e g a števila vzporednih daljic, volum en p a iz n e d o lo čen eg a števila vzp o red n ih ravnih ploskev. Descartes iznajde analitično geom etrijo, s pom očjo katere lahko geom etrijske p roblem e prevede n a algebraične.
10 N ew ton obravnava »fluent« (tek) in »fluksijo« (hitrost teka) kot sprem enljivki anali
tične g eom etrije, ki se s časom sprem injata. Fluksija opisuje m ero sprem injanja (odvod) fluenta.
Ma n jk o t n e k a j, av e č k o tn i č: Ze n o n, i n f i n i t e z i m a l ii n p a r a d o k sk o n t i n u u m a
Sa š o Do l e n c
že v letih 1664-1666, ko s e je p re d ku g o za nekaj le t u m a k n il iz C a m b rid g e a v dom ači W o o lsth ro p e, v e n d a r j e še d o lg o zatem n i objavil. L eib n iz j e n a id ejo d ife re n c ia ln e g a ra č u n a prišel šele d e s e tle tje za N e w to n o m le ta 1675. Svoja sp o zn a n ja j e v obliki dveh člankov objavil v reviji Acta eruditorum (1684 in 1686), a sta ostala nekaj le t skoraj n e o p a ž e n a . Sele b ra ta J a c o b in J o h a n n B ernoulli sta p o d o lg em štu d iju le ta 1690 p rišla L eib n izo v im a č la n k o m a do d n a in m enila, d a novo raču n sk o m e to d o k o n č n o ra z u m e ta . L e ta 1696j e izšel že prvi u č b e n ik in fin ite zim aln e m a te m a tik e Analyse des infinim ent petits, ki ga je p o d svojim im e n o m izdal G u illau m e F. A. l'H ô p ita l, č e p ra v je bil sestavljen predvsem iz zapiskov zasebnih u č n ih u r, ki j i h j e v z g o d n jih 1690-ih poslušal p ri J o h a n n u B ernoulliju. Prej dokaj slabo p o v ez an e m e to d e ra č u n a n ja z infi
nitezim ali, j e v u re je n o celo to spravil šele L e o n h a rd E u le r. 11
Težave računanja z infinitezimali
Kaj j e torej te m e ljn a težava in fin ite z im a ln e g a ra č u n a ? P o g le jm o si n aj
bolj p re p ro s t p rim e r, ki ga p redstavlja e n a k o m e rn o p o sp e š e n o g ib a n je (n p r.
p a d a n je k am n a v vak u u m u ) in n a k o n k re tn ih težavah sp o zn a jm o p ro b le m e , s katerim i se srečam o, če ra č u n a m o s p o m o č jo in fin ite z im a ln ih k oličin. R azda
lja, k i jo p re p o tu je p ro sto p ad a jo č k a m e n je s o ra z m e rn a k v a d ra tu časa, ki ga k am en p o ra b i za padan je:
x (t) = <>
Z an im a nas, k ako se s časom sp re m in ja h itro s t k a m n a v p rim e ru , d a za p re p o to v a n o razdaljo velja zg o rn ja en a č b a . H itro s tje d e fin ira n a k o t ra z m e ije m e d interv alo m razdalje in in terv a lo m časa: kolikšn o razd aljo p re p o tu je ka
m en v d o lo č e n e m času:
_ x ( t2) - x ( t {)
V,]
—2 t *1V dveh tre n u tk ih izm erim o p re p o to v a n i razdalji k a m n a x(tj} in x(tj) in izra ču n am o p o v p re čn o hitro st, ki j o j e im el k a m e n m e d tr e n u tk o m a tI in t2.
V e n d a r sm o tako določili le p o v p re č n o h itro s t n a d o lo č e n e m časo vn em in te r
valu. Nas p a zanim a h itro st v p o sa m e z n e m tre n u tk u , n e le p o v p re č n a h itro s t n a d o lo č e n e m in terv alu m ed tre n u tk o m a t> in t2. R adi p a bi p o zn a li h itro st, ki ni povp rečje na n ek em interv alu časa, a m p a k je tr e n u tn a h itro s t v to č n o d o lo če n e m tre n u tk u . Do tre n u tn e h itro sti la h k o p rid e m o le tako, d a interv al, v k a te re m ra č u n a m o p o v p re č n o h itro st, zm an jša m o d o m in im u m a . Id e a ln o bi bilo, če bi g a lahko zm anjšali k ar n a točko, k i j e b re z razsežno sti. V e n d a r bi
11 Klasična zgodovina infinitezim alnega rač u n a j e knjiga: Carl B. Boyer, The History of the Calculus and Its Conceptual Development, Dover, 1949.
1 0 4
tak o izgubili sam in terv al, ki p a ga p o tre b u je m o , saj n a sto p a v sami definiciji h itro sti ( h itr o s tje ra z m e rje in terv a la razdalje p ro ti interv alu časa).
T e m e ljn a id e ja in fin ite z im a ln e g a ra č u n a je p roces lim ite. P ro b lem rešuje tako, d a vzam e n a jp re j n e k k o n č n o velik interval in zanj iz ra č u n a v re d n o st izraza, p o te m p a ta in terv a l p o s to p n o zm anjšuje in o pazuje, kako se sp re m i
n ja v re d n o s t izraza. Če se v re d n o s t z m anjšan jem interv ala prib ližu je eni in isti v re d n o sti, p o te m privzam e, d a bi bila v re d n o st izraza, če bi interval zm anj
šali d o točke, k a r e n a k a v re d n o sti, kateri se izraz prib ližuje z m an jšan jem in tervala. P o g le jm o si to n a n a še m k o n k re tn e m p rim eru . D oločim o , d a želim o v edeti, k ak šn a j e tr e n u tn a h itro s t p ad a jo č eg a k am n a v času t. Za interval vza
m e m o tr e n u tk a t in t+ dt:
t2=t + dt t,=t
K er p o z n a m o e n a č b o sp re m in ja n ja razdalje p ad a jo č eg a k am n a s časom:
x(t) = t2, lah k o v re d n o sti iz e n a č b e vstavimo v definicijo h itro sti:
xJ ty x {h)- x(t t) _ x{t + dt)-x(t) (t + d t f - t2
t2 -r, dt dt
Izraz n a to m alo p re u re d im o :
Ma n jk o t n e k a j, av e čk o t n i č: Ze n o n, i n f i n i t e z i m a l ii n p a r a d o k sk o n t i n u u m a
_ t2 + 2t-dt + dt2 -12
~ dt
_ 2t-dt + dt2 dt
= (2t + d t ) x j t
D obili sm o e n a č b o za tr e n u tn o h itro s t v odvisnosti o d časa v(t) za p rim e r e n a k o m e rn o p o sp e še n e g a g ib an ja. K ljučno vprašanje sedaj je , kaj sto riti z in terv alo m dt, ki še n a s to p a v en ačb i? Z anim a nas tre n u tn a h itro s t v času t, zato želim o, d a j e izraz dt čim m anjši. N ajraje bi videli, če velikosti sp lo h n e bi im el, saj tak o h itro s t n e bi b ila več p o v p rečje n a n ek e m k o n čn o velikem intervalu dt, a m p a k h itro s t v sam em tre n u tk u t. V e n d ar vrednosti za dt n e m o re m o kar p re p ro s to postaviti n a 0, saj bi zašli v težave. P oglejm o zakaj?
V p rim e ru , d a bi postavili v re d n o st za dt = 0, bi im el zgo rn ji izraz za tre
n u tn o h itro s t n a s le d n jo obliko:
v (r) = ( 2 r + 0 ) x ^
»Izum itelji« in fin ite z im a ln e g a ra č u n a so ničle v zg o rn je m izrazu p re p ro sto okrajšali in o stala jim j e n a sle d n ja fo rm u la za tre n u tn o hitrost:
v ( 0 = 2,
Sa š o Do l e n c
k i je sicer res »prava«, a k rajšanje n ičel v z g o rn je m izrazu j e p o p o ln o m a sk reg an o z osnovnim i pravili m a te m a tik e . Če d o p u stim o , d a j e v re d n o s t izra
za ^ = 1, k a r smo storili v zadnjem k o ra k u , p o te m m a te m a tik a n e d e lu je več, saj lah k o iz njega izpeljem o povsem a b s u rd n e re z u lta te . P o g le jm o p re p ro s t p rim er:
0 = 0
2x0 = 3x0 2x0 _ 3x0
“ o Г 2x— = 3x—
0 0
2x1 = 3x1 2 = 3
Iz p red po stav k e, d a je ^ = i , sm o izpeljali, d a je 2 = 3, k a r la h k o p o m e n i le, d a nekaj z našim osnovni izrazom ni v r e d u. 12
V red n o sti interv ala dt torej n ik a k o r n e m o re m o postaviti n a nič, saj to vodi v nesm isel. Interval dt m o ra b iti večji o d nič, d a la h k o u lo m e k o krajša
mo:
— = 1, dt > 0 dt
— = nedoločeno, dt = 0 dt
V e n d a r nastopi v izrazu za tre n u tn o h itro s t težava, ko p riv zam em o , d a j e dt> 0, saj sedaj ne m o re m o in terv ala dt z a n e m a riti v prv em d e lu izraza, k o j e d o d a n v re d n o sti tre n u tn e h itro s ti. 13
T e m e ljn a težava in fin ite z im a ln e g a r a č u n a j e to rej, d a so n e k a te re količi
n e (in fin itezim aln e količine ali in fin ite zim ali) la h k o v istem izrazu e n k r a t za
nem arljivi, torej lah k o njihovo v re d n o st p ostavim o n a nič, d ru g ič p a j e vse n a ro b e , če njihovo v re d n o st postavim o n a n ič. 14
»Priročno je im eti neskončno m ajh n e količine za upoštevanja vredne, ko iščemo njihova razmerja, in zavržem ojih lahko vedno, ko se nahajajo zraven zanje n ep rim ern o večjih količin. Tako lahko d x v izrazu x + dx
12 Zanim ivo je, d a je L. E u ler razum el infinitezim alni rač u n prav k ot m e to d o določanja vrednosti izrazu i .
13 Kako j e iznajdba infinitezim alnega rač u n a n ep o s re d n o vplivala n a zn a n o st o gibanju, opisuje M ichel Blay v knjigi La naissance de la mécanique analytique, PUF, Pariz 992.
14 Integriranje je postopek, ko površino razdelim o n a infin itezim aln e dele in jih sešte
jem o . Vsota skoraj neskončno skoraj niča j e lahko nekaj končnega. Pri odvajanju gleda
m o koeficient dveh infinitezim alno m a jh n ih količin. Skoraj nič delim o s skoraj ničem in lahko d o b im o nekaj končnega.
1 0 6
zavržemo. V e n d ar j e drugače, če iščemo razm erje m ed x + dx in x. Po
d o b n o izraza x dx in dx dx n e m o reta stati skupaj. « 15
V p rv e m u č b e n ik u d ife re n c ia ln e g a ra č u n a j e b ila u p o ra b a infinitezim a- lov še bolj n e ja sn o d e fin ira n a :
»Postulat I: Dve količini, ki se razlikujeta le za neskončno m ajhni del, lahko pri u p o ra b i m edsebojno zam enjujem o ozirom a im am o lahko ko
ličino, ki se poveča ali zm anjša za neskončno m ajhni del, za nesprem e
n je n o. « 16
T u d i sam L e ib n iz j e v m n o g ih pism ih pojasnjeval narav o infm itezim ala in tako p re p rič e v a l ko leg e, d a j e u p o ra b a n e sk o n č n o m a jh n ih količin sm isel
na:
»N eskončno m ajh n o ni p rep ro sto absolutni nič, am pak relativni nič ozi
rom a izginjajoča količina, ki še ohranja karakter tega, kar izginja. « 17
M o rd a najbolj z n a n o k ritik o in fin ite zim aln eg a ra č u n a j e leta 1734 spisal G e o rg e B erkeley in začel d o lg o trajajočo d e b a to o trd n o sti osnov infinitezi
m a ln e g a ra č u n a . V spisu The A n a listje povzel tak ra tn o z n a n je o infinitezim a- lih in p o k az al n a n ejasn o sti in n e d o sle d n o sti p ri njihovi u p o ra b i. Sprašuje se p o naravi in fin ite zim alo v in sto p n ji njihove realnosti:
»In kaj so te fluksije? H itrosti izginjajočih prirastkov? In kaj so sami ti izginjajoči prirastki? Niso ne končne količine, ne neskončno m ajhne količine, a tudi nič ne. A lijih ne bi raje imenovali duhovi um rlih koli
čin? « 18
Č ep rav so re z u lta ti, d o k a te rih p rid e infin itezim aln i ra č u n , m o rd a pravi, p a m e to d a p o B erkelyjevem m n e n ju vsekakor ni d o b ro osnovana:
»Če bi napravil zgolj en o napako, ne bi prišel do resnične rešitve prob
lem a. O b dvojni napaki pa lahko prideš do resnice, čeprav ne do znano
sti. « 19
15 L eibniz v pism u W allisu 30. m arca 1690; Math. Schriften, 4, 63. C itirano po Morris Kline, Mathematical Thoughts from Ancient to Modem Times, vol. I, O x fo rd University Press, 1974, str. 384.
16 l'H ospital: Analyse des infiniment petis. C itirano po C. Houzel et. al.: Philosophie et calcul de l'infini, F rançois M aspero, Pariz 1976, str. 212.
17 L eibniz v pism u G uidu G randiju; Math. Schriften, 4, 218. C itirano po Morris Kline, Mathematical Thoughts from Ancient to Modem Times, vol. I, O xford University Press, 1974, str. 387.
18 G eorge Berkeley, The Analyst, par. 35. C itirano po zborniku From Kant to Hilbert, vol.
I, str. 81.
19 G eorge Berkeley, The Analyst, par. 22. C itirano po zborniku From Kant to Hilbert, vol.
I, str. 72.
Ma n jk o t n e k a j, av e č k o tn i č: Ze n o n, i n f i n i t e z i m a l ii n p a r a d o k sk o n t i n u u m a
Sa š o Do l e n c
N ovoveška kriza m atem atik e s e je pojavila, ko so m a te m a tik i sp ozn ali, d a je je z ik za opis n arav n eg a gib an ja (m a te m a tič n a fizika) novi in fin ite z im a ln i ra ču n , ki p a ga tak ra t (še) niso z n a lija s n o fo rm u lira ti. R aču n j e n a m re č te m e ljil n a skrivno stnih n e sk o n č n o m a jh n ih k o lič in a h (infinitezim ali), ki so im eli nek o razsežnost, a t a j e bila n e sk o n č n o m a jh n a . Č e so se G rki p ri s p o p a d u z irac io n aln im i razm erji lahko iz g o leg a m išljen ja zatekli n a p o m o č k n a z o rn i g eom etrijsk i predstavi, to p ri p ro b le m u z in fin ite z im a li n i b ilo več m o g o če.
Infinitezim alovsi ni m ogoče g eo m etrijsk o p red stav ljati, v e n d a r bi to m a te m a tiki še n ek a k o sprejeli, če tu d i pri sam em fo rm a liz m u n e bi b ilo težav. Infini- tezim ale lahko n a m re č n ek je v ra č u n u z a n e m a rim o , d ru g je p a j e n jih o v a veli
kost k lju čn eg a p o m en a. Zakaj j e tako, p a ta k ra t zares n i v ed el n ih č e . T e m e lj
ni p ro b le m m atem atik e v o sem n ajstem sto le tju j e bil torej: k ak o p ostaviti in fi
n itezim aln i ra ču n n a trd n e tem elje. K er ti te m e ljn i n e m o re jo biti n a z o rn o g e o m e trijsk i,je torej gotovost p o tre b n o n ajti v fo rm a liz m u . U p o ra b a in fin ite - zim alov m o ra im eti n a ta n č n a pravila, ki so m e d s e b o jn o k o n s is te n tn a. 20
Bistven m ejnik v reševanju osnov in fin ite z im a n e g a r a č u n a j e p re d sta v lja
la vpeljava p o jm a lim ite21 in p re h o d o d m a te m a tik e s p re m e n ljiv ih k o ličin in njihovih in fin ite zim aln ih delov, k m a te m a tič n im fu n k c ija m k o t o b je k to m , s katerim i se ukvarja in fin itezim aln i ra č u n . S te m p r e h o d o m so se m a te m a tik i uspeli izogniti m n o g im težavam z in fin ite zim ali in u sp eli zg rad iti tr d n e o s n o ve za in fin ite zim aln o m atem atik o in tak o p o s re d n o tu d i za vso m o d e rn o fizi
ko.
***
Č eprav s e je m o ra la m ate m a tik a d ista n c ira ti tako o d n aiv n eg a p itag o rejs- tva, k i j e števila videl e m p irič n o v svetu (gršk a m a te m a tič n a re v o lu c ija ), k o t tudi o d intuicije, k i j e m atem atik o ra z u m e la k o t » o d raz s tru k tu re m išljenja«
(novoveška m a tem atičn a revolucija), težavam p o v ezan im s a p o rija m i k o n ti
n u u m a , n i m ogla uiti. C elo več, te težave so b ile ves čas v j e d r u n je n e p ro b le m atike. V e n d a r j e m atem atika, n e iz o g ib n im težavam navkljub, u sp e la razviti
20 T retja velika kriza v zgodovini m atem atike nastopi ob k o n cu devetnajstega stoletja, ko tudi konsistentnost kot kriterij za d o b ro osnovanost teo rije ni več zanesljiva (Russell sesuje F regeja, Gödel sesuje H ilberta; paradoksi teorije m nožic).
21 P roblem atično končno vrednost (lim ito) m islim o kot tisto, k am o r se zap o red je ste
ka, čeprav zares tja nikoli ne pride. L im ita je d efin ira n a kot stekališče zaporedja. T očka a je lim ita zaporedja, če v vsaki njeni okolici ležijo skoraj vsi členi z a p o red ja (zunaj j i h j e le končno m nogo). Na p roblem atično m esto postavim o n ad o m estek (lim ito), ki se p rilega sosedom , sam pa ni proizveden na enak način. Ko n a n ek e m m estu m e to d a odpove, p o gledam o kakšne rezultate daje m etoda za vrednosti v bližini in iz njih določim o, kaj bi nam ustrezalo, da bi m etoda dala kot rezu ltat n a m estu, k jer sam a m e to d a n im a rezulta
tov. Če n am katera v rednost ustreza, p o te m d o ločim o to k o t lim ito m e to d e n a tem m estu.
L im itaje kot slika, k ijo obesim o na luknjo v steni. T ak o vse izgleda lepo, a za sliko j e še vedno luknja.
1 0 8
Ma n jk o t n e k a j, av e č k o t n i č: Ze n o n, i n f i n i t e z i m a l ii n p a r a d o k sk o n t i n u u m a
m e to d o ra č u n a n ja z in fin ite zim ali, ki deluje. M atem atika p a rad o k sa k o n ti
n u u m a sicer ni razrešila, g a je p a usp ela m atem atizirati.
L ite ra tu ra
A ristotel, Metafizika, (p re v e d e l V. K alan), Z aložba ZRC, L ju b ljan a 1999.
A ristotle, Physics, (p re v e d e l R. W a te rfield ), O x fo rd U niversity Press, 1999.
G e o rg e B erkeley, » T h e Analyst«. C itira n o p o zb o rn ik u W. Ewald (u r.), From K ant to Hilbert, vol. I., C la re n d o n Press, O x fo rd 1999.
M ich el Blay, L a naissance de la mécanique analytique, PUF, P ariz 1992.
C arl B.B oyer, The History o f the Calculus and Its Conceptual Development, Dover, 1949.
M au ric e C aveing, Zénon d'Elée: prolégomènes aux doctrines du continu : étude hi
storique et critique des fragments et témoignages,]. V rin, P ariz 1982.
C. F louzel et. al., Philosophie et calcul de l'infini, F rançois M aspero, Pariz 1976.
M o rris K line, Mathematical Thoughts from Ancient to Modem Times, vol. I, O x
fo rd U niversity Press, 1974.
B e rtra n d R ussell, » T he P ro b le m o f Infinity C o n sid e red H istoricaly«; v zb o rn i
k u Zeno's Paradoxes, H a c k e tt, 2001.
