i “1522-Vidav-Sylvestrov” — 2010/8/25 — 10:41 — page 1 — #1
i
i i
i i List za mlade matematike, fizike, astronome in raˇcunalnikarje
ISSN 0351-6652 Letnik30(2002/2003) Številka 4
Strani 200–205
Ivan Vidav:
SYLVESTROV IZREK
Kljuˇcne besede: matematika, geometrija, konfiguracije.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/30/1522-Vidav.pdf
c
2003 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije c
2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo- ljeno.
Mat ematika I
SYLVESTROV IZREK
1. Ede n od osno vnih aksio mov geome t rije pove, da dve (različni) točki
določat a natanko eno premico,ki ji pravimo zvezni ca teh dveh točk. Kaj
pa,čeimamo namest odveh večtočk? Denimo,dajetočk n. Vsako izmed njih lahko povežem o s ka terokoli izmed preost alih n- 1 točk in dobimo takon -1 zveznic,kiizhajajoizizbrane točke. Kerjevseh točkn,jevseh zveznic n-krattoliko,se pravin(n- 1).Toda pri temsmo vsako zveznico šteli najmanj dvakrat, saj dobimo isto premico, če zvežemo točko T s
točko R ali pa R sT. Zatojevseh zveznic kvečjemu polovicotoliko,torej
kvečj emu ena ko
n(n- 1)
2 (1)
Če so npr.naše točke oglišča n-kotnika, so zveznicest ranice in diagonale tega večkotnika (slika 1) prav zapravpre mice, na katerih ležijo stranice in diagonale. Strani cje n,diagonalpa n(n- 3)/ 2, skupaj torej
n(n-3) n(n- 1)
n+ ---'---'--
2 - 2 '
v sklad u z obrazcem (1). (Šestkotnik na sliki ima6 stanic in 9 diagonal.
Vseh premi c,ki vežejo po dve izm ed šest ih oglišč, jetorej 6
+
9= 15.)7 .,
Slika 1.
Seveda niso vse zveznice vselej med seboj različne. Zato daj e izraz (1) le največje število premic, ki jih določa množica n točk. V skrajnem primeru,koležijo vsetočkenaistipremicip (reklibomo,dasotočketedaj koline arne ),je zvezni ca ena sama, namreč premica p.
Den imozdaj,da naše točke niso kolin earne. Ali se dajo morda tako izbrati,da gre vsaka premica, ki veže dve izm ed teh točk, vsaj še skozi enoizmed izbra nihtočk,da torejležijona vsakizveznici naj m anj tritočke
iz naše množice? Angleški matematik J. J.Sylvesterje pred dobrimi sto leti postavil trd ite v,da taka konfiguracija točk ni mogoča. Velja namreč
naslednji izrek:
Izrek 1. (Sylvester). Če vzamemo polju bno končno množico
točk, ki nisokolinearn e, obstaja vsaj enapremica,nakat eriležitadve in samo dve točki temnožice.
Ni znano, ali je imel Sylvester za svojo trd itev tudi dokaz. Prvi je izrek 1 dokazal T. Gallai kakih 40 let pozn eje. Tu pa si bom o ogledali preprost dokaz,ki gaje našel L. M. Kelly.
Naj bo
množica n točk, ki niso vse na isti pre mici. Od tod sledi,da je njihovo šte vilo najmanj 3, torej ti ~ 3. (Dve točki sta namreč vedno na isti prem ici.) Zaznamujmo s P množico vseh premic, ki vežejo po dve točki
iz množiceT. Ker naš e točke niso kolinearne, ni v množici P samo ena premi ca,temvečjih je več .
Katerokoli premico izP vzamemo ,obstajavsa jenatočkaiz
T,
ki ne leži na njej . Med tem i točkami je ena najbližja naši premici (naj bližj ihtočkje lahko tudi več) . Zdaj pa poiščimomed vsemi premicami množice P tist o,pri kateri je razdalja do najbližje točke iz množice T na jmanjša.
Imenujmo topremicop. TočkaizT,ki neleži na p,ji je pa najbližja,naj bo T (slika 2). Katerokoli premico vzamemo iz množice P,je najbližja
točkaizmnožiceT od njebolj (alikvečjemuena ko) oddalje nakakor točka
Tod p.
ti
Slika 2.
202
Mat ematika I
Ra zd aljo točke T od premi cep dobimo tako, da iz točkeT spustimo pravoko tnicona prem icop. ČejeRpresečiščepravokotnicesp,jerazd alja dtočkeT od premicep enaka dolžini dalj iceTR,tor ej d= TR (slika 2). Ker pripada premica p množici zveznicP,sta na njej vsaj dve točki
iz množice
T ,
npr. točki TI in T2 . Najp rej bom o ugotovili, da ležit a TI in T2 na premici p na nasprotnih stra neh točke R. Den im o namreč ,da sta TI in T2 na isti strani in je npr. TI bolj oddaljena od R kakor T2 , tako da je vrstni red točk takšenle: T IT2R (slika 2). (Točka T2 se lahko ujema z R.) Prem ica p', ki veže T in TI, je ena izm ed premic družin e
P ,
točkiT inTI namrečob e pripada t a množiciT
Različnajeod premice p,saj točka T ne leži na p. Kak šn a je ra zdalja točke T2 od p'?Ta ra zdalja je enaka dolžin i daljice T2S
=
d',kjer pom eni S presečiščepravokotnice iz T2 na premico pi. Oglejmo si zdaj trikotnika TIRT in T IT2Sna sliki2. Oba stapravokotna,priogliščuTI paima ta skupenostr i kot in sta si zato podobna. (Dva pravokotna trikotnika,ki se ujem a t a v ene m ostrem kotu,se ujemat a v vseh treh kotih in stasi za t o pod obna .) Ker jehip ot enuzaTIT2 trikotnika TIT2Sdel kateteTIR tr ikotnikaTI RT (oziroma enaka tej kateti, če točki R in T2 sovpad ata ), v pravokotnem trikotniku pa je kat et a manjša od hipotenuze, je zato hipotenuza TIT2 trikot nikaTI T2Smanjšaod hipotenuzeTIT trikotn ikaTIRT. Enako velja potem za enakoležne katete. Zat o je kateta ST2
=
d' prvega tr ikotnika manjša od katete TR = d drugega (obe ti ka teti ležit a nasproti kotu pri oglišču Tr). Dolžina daljice ST2 = d' pa pomeni razdaljo točke T2 od premi ce p' in je pot em takem točka T2 bliže premici p' kakor točkaT prem icip. Tak osmoprišlidoprot islovja,sajsmo izbraliv družinizveznic P tist o premico p, pri ka ter i je razd alj a od najbližje točke iz množice T najmanjša. Zato TI in T2 nista na isti strani točke R, temveč na nas protnih st raneh. Ker sta TI in T2 poljubni točki iz množice T, ki ležita na premici p, sklepamo, da na p razen TI in T2 ni nob ene druge točke te množ ice. Če bi namreč tudi točka T3 ležal a na p, bi morali biti bodisiTI in T3 bodisiT2 in T3 na isti strani točke R. To pa,kak or smo videli, ni mogoče. Tako smo našli prem ico p, na kateri sta natanko dvetočki množiceT,in s tem dokazali Sylvestrov izrek.
2. Izr az (1) pove, kolikšnoje naj večje št evilo zveznic pri množicin točk.
Lahkojih je manj. Pri kolinearnih točkahje zveznica ena sama. Denimo zdaj, da točke niso kolinearne. Koliko jeted aj najmanj različnihzveznic?
Na to vp raša nje dajeodgovor naslednji izrek:
Izrek 2. Množica n točk, ki nisona isti premici,določanaj manj n ZveZ111c.
Izrek 2 bomo dokazali s popolno indukcijo. Množica nekolinea rni h
točk vsebuj e vsaj tri točke in je zato n ~ 3. Naj bo naj pr ej n
=
3.Tri nekolinea rne točke so oglišča trikotnika , ki ima tri stranice. V tem primeru so zveznice tri in izrek 2 pri n
=
3 velja.Denimozdaj,da smo izrek dokazaliza kakn ~ 3. Vzemimo množico n
+
1nekolinearn ih točkT=
{TI,T2,. . .,Tn,Tn+d. Po izreku 1obstaja taka premica p, na kateri ležit a dve in samo dve točki te množ ice. Naj bosta ti dve točki Tn in Tn+l' Odstranimo iz množice T točko Tn+1 in si oglejmo množico preostalih točk T=
{TI,T2 ,.. .,Tn}. Dve možnosti st a:a) Točke množiceT' so kolinearne.
b) Točke te množice niso kolinearne.
Obravnavajmonajprejprimer a). KersotočkeizT kolinearne,ležijo vsenaisti premici,kijo imenujmo q. TočkaTn+1neleži na njej,sajtočke
množiceT nisokolinearne. Če zvežemoTn+l z vsemi n točkami množice T',dobimo ti različnih premic. Vse so zvezn ice po dveh točk množiceT. Ker jetudi premi caq,na kateri ležijotočkeizmnožiceT',ena od zveznic,
določajo točke množiceT v tem primeru natanko n
+
1 zveznic.Oglejmo sizd aj možnostb). Ker točke izT niso kolinearne,nji hovo število pa je n,določajo vsaj ti prem ic,saj smo privzeli,da izrek 2 za n
točkvelja. Med te zveznicene sodi prem icap,ki vežeTn inTn+1 . Na njej ležit a le dve točki iz množice T,namrečTn in Tn+1,od njiju pa je samo prva v množiciT',drugaTn+1 pa ni. Ker jep zveznicadveh točkmnožice T,imamo tud iv tem primeru naj manj n
+
1 zveznic,namrečnaj m anj n zveznic točk množice T' in še premicop.Zat o velja izrek 2 za n
+
1 točk, čevelja za n točk. S tem smo dokazkončali.
3. Vzporedne prem ice im aj o ist o smer. Nekatere zvezn ice,ki jih določa
množica n točk , so lah ko med seboj vzporedne in je zato včasih smeri ma nj, kakor je različnih premic. Zas t avim o si vprašanje: Koliko je naj- manjše šte vilo različnih smeri pri n točkah? Seveda spet izvzamemo primer kolinearnih točk , saj je tedaj zveznica ena sama in tudi sme r je ena sama.
Tri nekolinearnetočkesoogliščatrikotnika,kiima tristranice in zato tudi trisme ri.
Izberimo zd aj štir i točkeTI,T2,T3 in T4 tako, da so oglišča parale- logra m a (slika 3). Zveznicje šest, namreč štiri stranice in dve diagon ali.
Nasprotn i stranici pa sta v paralelogramu vzpored ni in im at a zat o ist o smer. Potemtakem določajoogliščaparalelograma št iri smeri: dve sme ri nam dajo st ra nice, dve diagonali.
Matematika
ISlika 3.
Dod ajmok našim štir imtočkamšepresečiščediagonal kot pet otočko
T5. Ker se število zveznic z dodan o točko ni povečalo, imamo zdaj pri petih točkahštirisme r i.
Brez težav e se prepričamo, da določajoštir i nekolinearne točke naj- manj št irisme r i. Pravkar pa smovideli,dala hko izb er emo pet točktak o, da so sme risamo št iri. Število 4 je sodo , 5 liho. Odgovor na vpraš anje, koliko je najmanj različnih smeri pri n točkah , je odvisen od tega,ali je n sod ali lih.
Izrek 3. Množica točk, ki niso kolinearne, njihovo število n pa je večje od 3, določa najmanj n različnih smeri, čeje n sod, in n - 1
različnih smer i, čejen lih
Doka ztega izrekaje precej zahteven, namreč boljkakor pr iprejš nj ih dveh,in ga zato tu ne bomo navedli. Pokažim o le to, da zadostuje dokaz za sodo številotočk.
Denimo namreč , da izrek 3 velja za sodo šte vilo točk. Naj bo zdaj T množica n nekolinearnih točk , kjer je število nliho in večj e od 3,torej n ;::: 5. Iz T izb erirno n - 1 točk, ki ne ležijo na isti premi ci. Ker je število n - 1sodo in večje od 3, izr ek za to množico,ki jo imenujmo
T' ,
velja. Torej določaT'najmanj n- 1smeri. Prvotna množicaT pa določa kvečjemu večsme ri, torej najmanj n - 1. Za t o velja naš izr ek prav tak o za lihe n.
Pri vsakem n > 3 obstaja kon figuracij a n nekolin earn ih točk, pri ka t eri je število različnih sme ri najmanj še,se pravi pri sode m n enakon, pri lihem n pa n- l.
Denimo najprej, da je n sod. Izb erimo poljubnih n - 1 točk TI, T2 , ..., Tn- I na ist i premici p, n-to točkoTn pa kjerkoli, da le ni na tej premi ci p (slika 4, kjer je n
=
6). Premica p in zveznice TITn, T2Tn,.. .,Tn - ITi,določaj o n različnih sme r i. Kerso to vse možn e zveznice pri izbrani množicitočk, drugih smeri ni.
T-,
Slika5.
IJ
Če je n lih in večj i od 3, ga lahko pišemo v obliki n
=
2k+
3,kjer je k celo število, k 2: 1. Izberima najprej n - 1=
2k+
2 točk tako, da sestavljaj o ogliščak paralelogramov ,pri čemer imajo vsi ti paralelogrami skupni dvenasprotni ogliščiTi in Tn -i,torej tudieno skupno diagonalo,namrečzveznicoTiTn -i (slika 5). Druga diagon alavsakega od teh para- lelogr amov naj leži na premici q,takoda sta drugidve ogliščivsake ga od k paralelogr am ov na njej. Vseh ogliščje2k
+
2;dveoglišči stanamrečTi in Tn -1,ogliščaT2 , T3, ...,Tn-2 , tehje n - 3=
2k,pa ležijo na premi ci q. Kot zad njo točko Tn izberimo presečišče diagonale TiTn- i in premi ce q,tako da je pot em vseh točk 2k+
3=
n. Stranice teh k par alelogr amovdoločaj o 2k smeri, diagon ali dve, torej imamo skupaj 2k
+
2=
n - 1različnih sme ri. Slika 5 prikazuj e primer,koje k
=
2. Paralelograma sta dva,namrečT iT2T6T3 in T iT4T6T5 , točkje 7,vseh različnih smeri pa 6.Ivan Vidav
