OBZORNIK
ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
ISSN 0473-7466
OBZORNIK MAT. FIZ. LJUBLJANA LETNIK 59 ŠT.5 STR. 161–200 SEPTEMBER 2012
2012
Letnik 59
5
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Glasilo Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije Ljubljana, SEPTEMBER2012, letnik 59, številka 5, strani 161–200
Naslov uredništva: DMFA–založništvo, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana Telefon: (01) 4766 553, 4232 460 Telefaks: (01) 4232 460, 2517 281 Elektronska pošta: zaloznistvo@dmfa.si Internet: http://www.obzornik.si/ Transakcijski raˇcun: 03100–1000018787 Mednarodna nakazila: SKB banka d.d., Ajdovšˇcina 4, 1513 Ljubljana SWIFT (BIC):SKBASI2X IBAN:SI56 0310 0100 0018 787
Uredniški odbor: Peter Legiša (glavni urednik), Sašo Strle (urednik za matematiko in odgovorni urednik), Aleš Mohoriˇc (urednik za fiziko), Mirko Dobovišek, Irena Drevenšek Olenik, Damjan Kobal, Petar Paveši´c, Marko Petkovšek, Marko Razpet, Nada Razpet, Peter Šemrl, Matjaž Zaveršnik (tehniˇcni urednik).
Jezikovno pregledal Janez Juvan.
Raˇcunalniško stavila in oblikovala Tadeja Šekoranja.
Natisnila tiskarna COLLEGIUM GRAPHICUM v nakladi 1250 izvodov.
Clani društva prejemajo Obzornik brezplaˇcno. Celoletna ˇclanarina znaša 21ˇ EUR, za druge družinske ˇclane in študente pa 10,50 EUR. Naroˇcnina za ustanove je 35 EUR, za tujino 40EUR. Posamezna številka za ˇclane stane 3,19EUR, stare številke 1,99EUR.
DMFA je vˇclanjeno v Evropsko matematiˇcno društvo (EMS), v Mednarodno matematiˇcno unijo (IMU), v Evropsko fizikalno društvo (EPS) in v Mednarodno združenje za ˇcisto in uporabno fiziko (IUPAP). DMFA ima pogodbo o reciproˇcnosti z Ameriškim matematiˇc- nim društvom (AMS).
Revija izhaja praviloma vsak drugi mesec. Sofinancira jo Javna agencija za knjigo Repu- blike Slovenije.
c 2012 DMFA Slovenije – 1886 Poštnina plaˇcana pri pošti 1102 Ljubljana
NAVODILA SODELAVCEM OBZORNIKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV Revija Obzornik za matematiko in fiziko objavlja izvirne znanstvene in strokovne ˇclanke iz mate- matike, fizike in astronomije, vˇcasih tudi kak prevod. Poleg ˇclankov objavlja prikaze novih knjig s teh podroˇcij, poroˇcila o dejavnosti Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije ter vesti o drugih pomembnih dogodkih v okviru omenjenih znanstvenih ved. Prispevki naj bodo zanimivi in razumljivi širšemu krogu bralcev, diplomantov iz omenjenih strok.
Clanek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev), sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo), izvle-ˇ ˇcek v slovenskem jeziku, naslov in izvleˇcek v angleškem jeziku, klasifikacijo (MSC oziroma PACS) in citirano literaturo. Slike in tabele, ki naj bodo oštevilˇcene, morajo imeti dovolj izˇcrpen opis, da jih lahko veˇcinoma razumemo tudi loˇceno od besedila. Avtorji ˇclankov, ki želijo objaviti slike iz drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (copyright). Prispevki so lahko oddani v raˇcunalni- ški datoteki PDF ali pa natisnjeni enostransko na belem papirju formata A4. Zaželena velikost ˇcrk je 12 pt, razmik med vrsticami pa vsaj 18 pt.
Prispevke pošljite odgovornemu uredniku ali uredniku za matematiko oziroma fiziko na zgoraj na- pisani naslov uredništva. Vsak ˇclanek se praviloma pošlje dvema anonimnima recenzentoma, ki morata predvsem natanˇcno oceniti, kako je obravnavana tema predstavljena, manj pomembna pa je originalnost (in pri matematiˇcnih ˇclankih splošnost) rezultatov. ˇCe je prispevek sprejet v objavo, potem urednik prosi avtorja še za izvorne raˇcunalniške datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane v eni od standardnih razliˇcic urejevalnikov TEX oziroma LATEX, kar bo olajšalo uredniški postopek.
i “Razpet” — 2012/12/10 — 8:27 — page 161 — #1
i
NEKA VERIˇZNICA MARKO RAZPET
Pedagoˇska fakulteta
Univerza v Ljubljani
Math. Subj. Class. (2010): 34A05, 49J05, 49S05, 53A04
V prispevku dokaˇzemo, da obstajajo v polarni obliki zapisane ravninske krivulje, katerih dolˇzina med polarno osjo in poljubno toˇcko je enaka produktu polarnega kota in polarnega polmera te toˇcke. Zgleda za take krivulje sta kroˇznica in posebna vrsta prave veriˇznice.
A CATENARY
In the article it is proved that there exist planar curves whose length between the polar axis and any point is equal to the product of the polar angle and polar radius of this point. Examples of such curves are the circle and a special kind of the catenary.
Uvod
Pozorni bralec v ˇclanku [2], ki obravnava tako imenovane prave veriˇznice, med vsemi njenimi primeri opazi krivuljo, ki ima v polarnih koordinatah precej preprosto obliko. Izraˇza se namreˇc kar z racionalno funkcijo po- larnega kota, medtem ko v preostalih nastopajo transcendentne funkcije.
Veriˇznica, ki jo v prispevku obravnavamo, pa ima ˇse neko posebno lastnost.
Njen naravni parameter s(ϕ) je namreˇc enak produktu polarnega kotaϕin polarnega polmerar(ϕ) za vsakϕz nekega intervala (−ω, ω). Tako lastnost ima tudi kroˇznica, ˇce pol polarnega sistema postavimo v njeno srediˇsˇce.
Ogledali si bomo, kako poiˇsˇcemo ˇse druge take krivulje. Nekaj veˇc o pravi veriˇznici je napisanega v zadnjem delu prispevka, podrobnosti pa najdemo v [2, 5].
Ravninske krivulje pogosto podajamo analitiˇcno v polarni obliki. Potem ko smo v ravnini izbrali toˇcko O za pol in polarno os p, to je poltrak s krajiˇsˇcem vO, je toˇcka na krivulji doloˇcena s polarnim kotomϕin polarnim polmerom r, ki je vselej nenegativno ˇstevilo. Polarni polmer je razdalja toˇcke na krivulji od pola, polarni kot pa merimo od polarne osi do polarnega polmera v pozitivni ali negativni smeri. V polarni obliki podana krivulja je doloˇcena z nenegativno odsekoma zvezno odvedljivo funkcijo ϕ7→ r(ϕ) na intervalu [α, β]. Pri tem je seveda α < β. Loˇcno dolˇzino σ[α, β], ki ustreza spreminjanju kotaϕpo intervalu [α, β], izrazimo (glej npr. [6]) z integralom
σ[α, β] =
β
Z
α
pr2(φ) +r02(φ)dφ.
Marko Razpet
Ce vpeljemo za poljuben kotˇ ϕnekega intervala, ki vsebuje 0, tako imenovani naravni parameter
s(ϕ) =
ϕ
Z
0
pr2(φ) +r02(φ)dφ, (1)
ki je pozitiven za pozitivne ϕ, negativen za negativneϕin enak 0 zaϕ= 0, potem smo na krivulji definirali naravni koordinatni sistem z izhodiˇsˇcem v toˇcki T, ki ustreza kotu ϕ = 0. Toˇcki P, ki ustreza kotu ϕ, priredimo na krivulji naravno koordinato s(ϕ). Po loku krivulje je P oddaljena odT za
|s(ϕ)|. Za pozitivne ϕ imajo ustrezne toˇcke pozitivno naravno koordinato s, za negativne ϕpa negativno.
Nenavadna krivulja
Za kroˇznico, ki ima srediˇsˇce v polu O, je r(ϕ) = r0, kjer je r0 pozitivna konstanta, polmer kroˇznice. Za lok seveda dobimo tedaj po znani formuli σ[α, β] =r0(β−α) in za naravni parameters(ϕ) =r0ϕ. Za kroˇznico torej lahko zapiˇsemo
s(ϕ) =ϕr(ϕ). (2)
Ali ima ˇse kakˇsna krivulja, ki je dana v polarni obliki, lastnost (2)?
Pri katerih krivuljah je naravni parameter s(ϕ) enak produktu kota ϕ in polarnega polmera r(ϕ) za vsak ϕ z nekega intervala (−ω, ω), na katerem je funkcija ϕ 7→ r(ϕ) nenegativna in zvezno odvedljiva? Spoznali bomo, da obstaja poleg kroˇznice ˇse ena taka krivulja, obstaja pa tudi zlepek, ki ima lastnost (2). ˇCe pa vztrajamo le pri zveznosti funkcije ϕ7→ r(ϕ) in se odpovemo zveznosti njenega odvoda v konˇcno mnogo toˇckah, pa je takih krivulj neˇsteto. Po potrebi v takih primerih v krajiˇsˇcih intervalov jemljemo za odvod ustrezni stranski odvod (levi, desni).
Poiˇsˇcimo tako nenegativno zvezno odvedljivo funkcijo ϕ 7→ r(ϕ), za katero velja (2). Veljati mora enakost
ϕr(ϕ) =
ϕ
Z
0
pr2(φ) +r02(φ)dφ
na nekem intervalu (−ω, ω). Iz te zahteve dobimo diferencialno enaˇcbo r(ϕ) +ϕr0(ϕ) =p
r2(ϕ) +r02(ϕ). (3) Pridruˇzimo ji ˇse zaˇcetni pogoj r(0) =r0>0. V poˇstev pridejo reˇsitver(ϕ), za katere je izpolnjen pogoj
r(ϕ) +ϕr0(ϕ) = [ϕr(ϕ)]0 ≥0.
i “Razpet” — 2012/12/10 — 8:27 — page 163 — #3
i
Neka verižnica
Po kvadriranju in preurejanju ˇclenov dobimo iz (3) diferencialno enaˇcbo r0(ϕ)[(1−ϕ2)r(ϕ)]0 = 0, (4) ki jo bomo reˇsevali pri zaˇcetnem pogojur(0) =r0>0. V enaˇcbi sta faktorja funkciji kotaϕin njun produkt je lahko niˇc, ˇceprav faktorja nista identiˇcno enaka niˇc na intervalu (−1,1). Enaˇcba pri zaˇcetnem pogoju ima zvezno odvedljivi reˇsitvi
r(ϕ) =r0 in r(ϕ) = r0
1−ϕ2
na intervalu (−1,1), ki pa nista edini. Zvezno odvedljiva reˇsitev je na primer tudi funkcija, dana s predpisom
r1(ϕ) =
( r0, −1< ϕ <0, r0
1−ϕ2, 0≤ϕ <1.
Taka reˇsitev je tudi funkcija ϕ 7→ r1(−ϕ). Interval (−1,1) lahko ali na levo ali na desno stran tudi podaljˇsamo, ˇce izraz 1/(1−ϕ2) to dopuˇsˇca.
S tem morda nismo naˇsli vseh reˇsitev. Kolobar vseh zvezno odvedljivih funkcij na intervalu (−1,1) ima namreˇc delitelje niˇca. To pomeni, da v njem obstajata funkciji f1 in f2, ki nista na (−1,1) identiˇcno enaki 0, pa vendar je na (−1,1) njun produkt identiˇcno enak 0. Celo kolobar poljubno mnogokrat odvedljivih funkcij na vsej realni osi je tak. Funkciji g1 in g2, dani s predpisoma
g1(ϕ) =
0, ϕ≤0,
e−1/ϕ2, ϕ >0, in g2(ϕ) =
e−1/ϕ2, ϕ <0, 0, ϕ≥0,
sta definirani na vsej realni osi, neniˇcelni in imata povsod vse odvode, njun produkt pa je povsod niˇc.
Reˇsitev enaˇcbe (4) bi bila potem tudi funkcija ϕ 7→ r(ϕ), ki bi pri zaˇcetnem pogojur(0) =r0 hkrati reˇsila enaˇcbi
r0(ϕ) =f1(ϕ) in [(1−ϕ2)r(ϕ)]0 = (1−ϕ2)r0(ϕ)−2ϕr(ϕ) =f2(ϕ), pri ˇcemer sta f1 in f2 poljubni zvezni funkciji, ki nista na intervalu (−1,1) identiˇcno enaki 0, toda njun produkt je tam identiˇcno enak 0. Z integracijo sicer takoj izraˇcunamo:
r(ϕ) =r0+
ϕ
Z
0
f1(φ)dφ in r(ϕ) = (1−ϕ2)−1(r0+
ϕ
Z
0
f2(φ)dφ).
Ker pa je r0(0) = f1(0) = f2(0) in f1(0)f2(0) = 0, mora veljati f1(0) = f2(0) = 0, kar je v nasprotju s poljubnostjo funkcij f1 inf2.
Marko Razpet
Ce bi zaˇ f1 inf2 izbrali vnaprej poljubni prej opisani funkciji, za kateri sicer veljaf1(0) =f2(0) = 0, bi ugotovili, da obstaja tak interval J, ki leˇzi ali na intervalu (−1,0) ali na intervalu (0,1), tako da je naJ ena od funkcij f1 in f2 razliˇcna od niˇc, ena pa identiˇcno enaka niˇc. Reˇsevanje nas spet pripelje v nasprotje s poljubnostjo funkcijf1 inf2.
Da bi se izognili nadaljnjim zapletom, bomo zvezno odvedljive reˇsitve enaˇcbe (4) iskali med funkcijami, ki so analitiˇcne v toˇcki 0, ker nas reˇsitve naloge zaradi zaˇcetnega pogojar(0) =r0 zanimajo ravno v okolici te toˇcke.
Po [1, 3] je realna ali kompleksna funkcijaϕ7→f(ϕ) (realno) analitiˇcna v toˇckiϕ0, ˇce je definirana na odprtem intervalu, ki vsebuje toˇckoϕ0, in ˇce jo lahko na intervalu (ϕ0−ω, ϕ0+ω) za nekiω >0 zapiˇsemo kot konvergentno potenˇcno vrsto
f(ϕ) =
∞
X
n=0
an(ϕ−ϕ0)n.
Taka funkcija ima na intervalu (ϕ0−ω, ϕ0+ω) odvode poljubnega reda, ki so tudi analitiˇcne funkcije, in za koeficiente an, ki so realna ali kompleksna ˇstevila, velja formula:
an= f(n)(ϕ0)
n! , n= 0,1,2, . . .
Pravimo, da je funkcija ϕ 7→ f(ϕ) analitiˇcna na odprtem intervalu I, ˇce je analitiˇcna v vsaki toˇcki ϕ0 tega intervala. Temu dodajmo ˇse pomembno lastnost. ˇCe je funkcija ϕ7→f(ϕ) analitiˇcna v toˇckiϕ0, potem je analitiˇcna tudi na nekem dovolj majhnem odprtem intervalu, ki vsebujeϕ0. Analitiˇcna funkcija, ki ima vse koeficiente an enake 0, je niˇcelna funkcija. Identiˇcno je enaka 0 na poljubnem odprtem intervalu, ki vsebuje ϕ0.
Vse funkcije, ki so analitiˇcne na odprtem intervalu I, sestavljajo komu- tativen kolobar, ki nima deliteljev niˇca, kar je dokazano na primer v [1].
Tak kolobar imenujemo celi kolobar ali integritetno polje. To pomeni, da je produkt dveh funkcij tega kolobarja niˇcelna funkcija samo takrat, ko je vsaj ena od teh funkcij niˇcelna funkcija.
Ce v toˇˇ cki 0 analitiˇcna funkcija ϕ 7→ r(ϕ) reˇsi naˇs problem iskanja krivulje z lastnostjo (2), potem sta oba faktorja v enaˇcbi (4) oˇcitno tudi analitiˇcni funkciji v toˇcki 0 in enaˇcba razpade na dve:
r0(ϕ) = 0 in [(1−ϕ2)r(ϕ)]0 = 0.
Njuni v toˇcki 0 analitiˇcni reˇsitvi, ki zadoˇsˇcata zaˇcetnemu pogojur(0) =r0, sta
r(ϕ) =r0 in r(ϕ) = r0
1−ϕ2 =r0(1 +ϕ2+ϕ4+. . .), −1< ϕ <1. (5) Prva reˇsitev, r(ϕ) =r0, predstavlja kroˇzni lok s srediˇsˇcem v polu, kar smo priˇcakovali, druga reˇsitev,r(ϕ) =r0/(1−ϕ2), pa da bolj zapleteno krivuljo K, ki ima asimptoto z naklonskim kotom ±1 glede na polarno os (slika 1).
i “Razpet” — 2012/12/10 — 8:27 — page 165 — #5
i
Neka verižnica
..... ...........................
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
....
....
.............................................................
....
....
....
....
....
....
....
....
.............
......
.......
.....
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
........................
......
.............................................
...
...
...
...
...
...
...
...
...
.......
....
....
....
....
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .
...........................................................................................................................................................................................................................................................................
....
....
....
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. ..
O
................................................................................................. ......................................................
A T B p
T−
T+
CT
A−
A+ α
−α
K
•
•
•
• •
•
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...........................................................................
Slika 1. Prava simetriˇcna veriˇznica.
KrivuljaK (slika 1), ki ima v polarnih koordinatah drugo enaˇcbo v (5), je lep zgled, pri katerem se nam posreˇci izraˇcunati loˇcno dolˇzino neposredno z uporabo formule (1). Dobimo namreˇc
pr2(ϕ) +r02(ϕ) =r0 1 +ϕ2 (1−ϕ2)2 =r0
ϕ 1−ϕ2
0
.
Zato je za (5):
σ[α, β] =r0
β
1−β2 − α 1−α2
, −1< α≤β <1.
V posebnem primeru je σ[−α, α] = 2r0α
1−α2 = 2r(α)α, 0≤α <1,
kar pomeni, da je loˇcna dolˇzina na krivulji K med toˇckama T− inT+ enaka dolˇzini najkrajˇsega kroˇznega loka polmera r(α) s srediˇsˇcem v polu O med tema dvema toˇckama.
Polu O je na krivulji K najbliˇzja toˇcka T, ki ima polarni polmer r0. Ploˇsˇcino S(α) izseka, ki je omejen s poltrakovoma ϕ = −α, ϕ = α in
Marko Razpet
krivuljo K, izraˇcunamo s sploˇsno formulo
S(α) = 1 2
α
Z
−α
r2(ϕ)dϕ.
Ce upoˇˇ stevamo sodost funkcije pod integralskim znakom, dobimo najprej
S(α) =r02
α
Z
0
dϕ (1−ϕ2)2, nato pa z razvojem na delne ulomke in integracijo ˇse
S(α) =r02
ϕ
2(1−ϕ2) −1
4ln1−ϕ 1 +ϕ
α 0
.
Rezultat ˇse nekoliko preoblikujemo in nazadnje dobimo:
S(α) = r20 4
2α
1−α2 −ln1−α 1 +α
, 0≤α <1.
Ukrivljenost κ(ϕ) polarno podane krivulje je v toˇcki, ki ustreza polarnemu kotuϕ, dana s sploˇsnim izrazom (podrobnosti so npr. v [6], stran 448)
κ(ϕ) = r(ϕ)r00(ϕ)−r2(ϕ)−2r02(ϕ) p(r2(ϕ) +r02(ϕ))3 .
Po daljˇsem raˇcunu dobimo za obravnavano krivuljo K razmeroma preprost izraz
κ(ϕ) = (1−ϕ2)3 r0(1 +ϕ2)2,
za krivinski polmer v temenu T pa %(0) = 1/κ(0) = r0. Pritisnjena kro- ˇ
znica CT na K v temenuT ima torej polmerr0. Krivulja K ima asimptoti A±, ki sekata polarno os pod kotoma ±1 v toˇcki A s polarnim polmerom r0/(2 sin 1).
Iz reˇsitev r(ϕ) = r0 in r(ϕ) = r0/(1−ϕ2), −1 < ϕ < 1, diferencialne enaˇcbe (3) lahko sestavimo zvezno odvedljive funkcije, ki ustrezajo lastno- sti (2), pa tudi samo odsekoma zvezno odvedljive funkcije. Poglejmo zgleda!
Zgled 1. Vzemimo najprej funkcijo ϕ 7→ r(ϕ), ki je za −α < 0 < β < 1, kjer je 0< α <2π−β, dana s predpisom:
r(ϕ) =
( r0, −α≤ϕ <0, r0
1−ϕ2, 0≤ϕ≤β.
i “Razpet” — 2012/12/10 — 8:27 — page 167 — #7
i
Neka verižnica
.............................................................................................................. . ............................ ...
.........
.........
.........
..........
...............................
......
......
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
O T
ϕ=β
ϕ=−α r(β)
r(−α)
•
•
•
• ...
...
..............................................
...
...
...
...
...
...
...
Slika 2. Kroˇzni lok se gladko nadaljuje v lok prave veriˇznice.
Ustrezna krivulja je sestavljena iz kroˇznega loka polmera r0 med kotoma
−αin 0 ter loka krivuljeK med kotoma 0 inβ (slika 2). Funkcija ϕ7→r(ϕ) je zvezna na intervalu [−α, β] in njen naravni parameter je za −α≤ϕ≤0 enak
s(ϕ) =r0ϕ in za 0≤ϕ≤β enak
s(ϕ) = r0ϕ 1−ϕ2. Zato lahko zapiˇsemo:
s(ϕ) =
r0ϕ, −α≤ϕ≤0, r0ϕ
1−ϕ2, 0≤ϕ≤β.
Funkcijaϕ7→r(ϕ) oˇcitno ustreza tudi lastnosti (2).
Zgled 2. Omejimo se na ϕ ≥0. Vzemimo ˇse funkcijo ϕ7→ r(ϕ), ki je za 0< α <1 dana s predpisom:
r(ϕ) =
r0
1−ϕ2, 0≤ϕ≤α, r0
1−α2, α≤ϕ <2π.
Marko Razpet
.............................................................................................................................................................. .................................. ......
.....................
...........
...
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
....
O T
α
r(α)
•
•
•....................................................................................
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Slika 3. Lok prave veriˇznice se nadaljuje v kroˇzni lok.
Ustrezna krivulja je sestavljena iz loka krivuljeK, ki se nadaljuje s kro- ˇ
znim lokom (slika 3). Funkcija ϕ 7→ r(ϕ) je zvezna na intervalu [0,2π) in njen naravni parameter je za 0≤ϕ≤α enak
s(ϕ) = r0ϕ 1−ϕ2 in zaα≤ϕenak
s(ϕ) = r0α
1−α2 +r0(ϕ−α) 1−α2 . Zato lahko zapiˇsemo:
s(ϕ) =
r0ϕ
1−ϕ2, 0≤ϕ≤α, r0ϕ
1−α2, α≤ϕ <2π.
Funkcijaϕ7→r(ϕ) ustreza lastnosti (2).
Po opisanem vzorcu lahko sestavimo tudi zglede v veˇc toˇckah neodve- dljivih, sicer zveznih funkcij, ki ustrezajo lastnosti (2).
Prava veriˇznica
KrivuljaK, ki ima v polarnih koordinatah enaˇcbor(ϕ) =r0/(1−ϕ2) (slika 1), je poseben primer prave veriˇznice, o ˇcemer se sedaj lahko hitro pre- priˇcamo. Na sploˇsno, obliko prave veriˇznice v gravitacijskem polju, ki ga
i “Razpet” — 2012/12/10 — 8:27 — page 169 — #9
i
Neka verižnica
ustvarja toˇckasta masa v toˇcki O, zavzame v stacionarnem stanju idealna veriga (homogena, neraztegljiva, gibka, tanka), obeˇsena v dveh toˇckah. Kri- vulja K, kot bomo videli, je poseben primer, pri katerem sta to toˇcki T− in T+, ki sta odOoddaljeni zar1, daljiciOT−inOT+oklepata kot 2α, dolˇzina verige pa je enaka 2r1α, kar je enako dolˇzini kroˇznega loka polmerar1 pri srediˇsˇcnem kotu 2α < 2 (slika 1). Do konstantnega faktorja je potencialna energija verige
F[r] =
α
Z
−α
1 r
pr2+r02dϕ (6)
pri pogojih
P[r] =
α
Z
−α
pr2+r02dϕ= 2r1α, r(±α) =r1. (7)
V stacionarnem stanju je tedaj integral (6) minimalen. V izrazih (6) in (7) nastopajoˇco funkcijo ϕ7→ r(ϕ) poiˇsˇcemo z metodami variacijskega raˇcuna (glej npr. [4, 7, 8]). Kot je pokazano v [5], reˇsitev ustreza diferencialni enaˇcbi
r(ϕ)(λr(ϕ)−1) =cp
r2(ϕ) +r02(ϕ), (8) kjer stac inλkonstanti. Sedaj je treba pogledati, kdajr(ϕ) =r0/(1−ϕ2) zadoˇsˇca enaˇcbi (8) za vsak kot ϕ na intervalu (−α, α) pri pogoju (7). Iz prve zahteve dobimo enaˇcbo
λr0−(1−ϕ2) =c(1 +ϕ2),
iz katere sledic= 1 inλ= 2/r0. Dolˇzina iskane krivulje je 2r0α/(1−α2) = 2r1α, iz ˇcesar dobimor0 = (1−α2)r1. Tako imamo nazadnje enaˇcbo posebne prave veriˇznice: r=r1(1−α2)/(1−ϕ2).
LITERATURA
[1] H. Cartan,Th´eorie ´el´ementaire des fonctions analytiques d’une ou plusieurs variables complexes, Hermann, Pariz, 1975.
[2] J. Denzler, A. M. Hinz,Catenaria Vera – The True Catenary, Expo. Math.17(1999), 117–142.
[3] S. G. Krantz, H. R. Parks,A Primer of Real Analytic Functions, Birkh¨auser Verlag, Basel in drugje, 1992.
[4] F. Kriˇzaniˇc,Navadne diferencialne enaˇcbe in variacijski raˇcun, DZS, Ljubljana, 1974.
[5] M. Razpet,Prava simetriˇcna veriˇznica, Obzornik mat. fiz.57(2010), ˇst. 4, 121–133.
[6] I. Vidav,Viˇsja matematika I, DMFA – zaloˇzniˇstvo, Ljubljana, 1994.
[7] I. Vidav,Viˇsja matematika III, DZS, Ljubljana, 1976.
[8] E. Zakrajˇsek,Analiza III, DMFA – zaloˇzniˇstvo, Ljubljana, 2002.
ATOMSKI INTERFEROMETER JANEZ STRNAD
Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani
PACS: 32.80.Pj, 07.60.Ly
Atomski interferometri uporabljajo valovanje, ki ga priredimo delcem, kot starejˇsi interferometri uporabljajo svetlobo. ˇClanek opiˇse pojave, na katerih so osnovani atomski interferometri z gruˇcami hladnih alkalijskih atomov, in natanˇcna merjenja z njimi.
ATOM INTERFEROMETER
Atom interferometers use waves, attributed to particles, as older interferometers use light. In the article phenomena are described on which atom interferometers with clouds of cold alkali atoms are based as well as precise measurements with them.
Interferenˇcni poskusi s curki delcev, pri katerih delci kaˇzejo lastnosti valovanja, zbujajo pozornost, odkar so pred petinosemdesetimi leti izvedli prvi poskus z elektroni. Odtlej so naredili take poskuse s ˇstevilnimi delci od nevtronov in atomov do molekul z veliko maso. Valovanje, ki ga opiˇse kvantnomehaniˇcna valovna funkcija, se ukloni na atomih v kristalu, umetnih mreˇzicah ali stojeˇcem elektromagnetnem valovanju. ˇZe nekaj ˇcasa upora- bljajo to valovanje v interferometrih.
Interferometri s svetlobo
Interferometri s svetlobo so v rabi veliko dlje. Tak interferometer ima izvir, naprave, ki valovanje razdelijo na delna valovanja in jih vodijo po razliˇcnih poteh, ter sprejemnik za zaznavanje interferenˇcne slike. Kot izvir v zadnjem ˇ
casu navadno uporabimo laser, ki seva enobarvno svetlobo. Valovanje raz- delimo na delna valovanja na primer z uklonsko mreˇzico ali s polprepustno ploˇsˇcico. Delna valovanja, ki potujejo po razliˇcnih poteh, na primer z zrcali ali leˇcami sestavimo in opazujemo interferenˇcne proge. Vzemimo, da valo- vanje razdelimo na dve delni valovanji, od katerih prvo prepotuje razdaljo z1 in drugo razdaljoz2. K jakosti elektriˇcnega polja v valovanju, v katero se delni valovanji sestavita, v danem trenutku prispevata obe delni valovanji:
E =E0exp(ikz1) +E0exp(ikz2) =E0exp(ikz1)(1 + exp(iφ)). (1)
i “Strnad-clanek” — 2012/12/10 — 8:39 — page 171 — #2
i
Atomski interferometer
Slika 1. Rabijeve oscilacije v sistemu z dvema stanjema (a) in prehodi med stanji pri Ramanovem pojavu (b).
Gostota energijskega toka v sestavljenem valovanju je sorazmerna z:
E∗E = 2E02(1 + cosφ) (2)
in kaˇze znaˇcilne interferenˇcne proge. Pri tem jek= 2π/λvelikost valovnega vektorja,λvalovna dolˇzina inφ=k(z2−z1) = 2π(z2−z1)/λfazna razlika.
Janez Strnad
Rabijevo nihanje
Svetloba sodeluje z atomi. Njihovo stanje opiˇsemo z lastnimi energijami in lastnimi valovnimi funkcijami. Omejimo se na dve stanji, na osnovno stanje z energijoW0 in valovno funkcijoψ0 ter prvo vzbujeno stanje z energijoW1 in valovno funkcijoψ1. Razliki energijW1−W0=~ω01ustrezata kroˇzna fre- kvencaω01in frekvencaν01=ω01/(2π). Elektriˇcno polje v valovanju deluje na atom. V polklasiˇcnem pribliˇzku atome obravnavamo kvantno, svetlobo pa klasiˇcno.1 Delovanje jakosti elektriˇcnega polja E~ na atom zajamemo z energijo elektriˇcnega dipola ~p=e~r v polju: p~·E. Atom v osnovnem stanju~ ψ0 iz valovanja absorbira energijo ~ω01 in preide v prvo vzbujeno stanje.
Prehod opiˇsemo s sestavljenim stanjemα(t)ψ0+β(t)ψ1. Verjetnostα∗α, da naletimo na atom v osnovnem stanju, najprej s ˇcasom pojema, verjetnost β∗β, da naletimo na atom v prvem vzbujenem stanju, pa naraˇsˇca. Atom v prvem vzbujenem stanju v valovanju stimulirano seva in iz prvega vzbu- jenega stanja preide v osnovno stanje. Potem atom zopet absorbira, zopet seva, in igra se ponavlja (slika 1a). Verjetnosti se spreminjata periodiˇcno:
α∗α= cos2 12Ωt in β∗β = sin2 12Ωt, 12Ω =~p01·E~0/~. (3)
To so Rabijeve oscilacije.2 Pojav spominja na nihanje sklopljenih nihal, pri katerem najprej niha samo prvo nihalo, nato zaˇcne nihati drugo nihalo, prvo pa niha vse ˇsibkeje, in igra se ponavlja. Rabijeva kroˇzna frekvenca Ω meri vpliv elektriˇcnega polja z amplitudo E~0 na atom. Pri tem je ~p01 = R ψ∗1~pψ0d3r matriˇcni element elektriˇcnega dipolnega momenta za prehod med stanjema. Z laserskim sunkom, s katerim obsevamo atom, je mogoˇce vplivati na stanje atoma. Tako na primer lahko doseˇzemo, da je atom po obsevanju v sestavljenem stanju z α=β.
1Tako se izognemo kvantni elektrodinamiki. Pri tem bi se morali odpovedati pojmu fotona. Vendar tudi v polklasiˇcnem pribliˇzku omenjajo fotone. S tem mislijo le na energijo, ki jo seva ali absorbira atom.
2Isidor Isaac Rabi (1898–1988) je dobil Nobelovo nagrado za fiziko leta 1944 za merjenja s curki atomov.
i “Strnad-clanek” — 2012/12/10 — 8:39 — page 173 — #4
i
Atomski interferometer
Slika 2. Shematiˇcna risba glavnih sestavnih delov interferometra z atomi cezija [3, 4]. 1 tuljavi magneto-optiˇcne pasti, 2 para laserjev magneto-optiˇcne pasti, 3 merilna laserja, 4 laser, s katerim spravijo atome v ˇzeleno stanje, 5 laser, katerega curek odpihne atome v nepravem stanju, 6 mikrovalovi, 7 magnetna zaˇsˇcita, 8 gruˇce cezijevih atomov, 9 zrcalo, ki niha v navpiˇcni smeri, 10 odbiti laserski curek.
Ramanov pojav
Pri Ramanovem pojavu3 molekule obsevamo z enobarvnim valovanjem s kroˇzno frekvenco ω. Molekule so v stanju ψo ali v bliˇznjem nihajnem ali vrtilnem stanju ψr z malo veˇcjo ali v stanju ψr0 z malo manjˇso energijo.
Svetloba se na molekulah proˇzno sipa, tako da ima sipana svetloba enako kroˇzno frekvenco kot vpadna. Pri takem sipanju molekula energijo iz valo- vanja absorbira, preide v vzbujeno stanjeψv, nato energijo izseva in se vrne v zaˇcetno stanje. Pri tem jeψv virtualno stanje, v katerem molekula preˇzivi zelo kratek ˇcas, in ne njeno lastno stanje. Tako Ramanov pojav ni vezan na
3Pojav je leta 1923 napovedal Adolf Smekal, odkril pa ga je leta 1928 Chandrasekhara Venkata Raman (1888–1970). Za odkritje je Raman dobil Nobelovo nagrado za fiziko leta 1930.
Janez Strnad
Slika 3. Pregledna risba glavnih prehodov atoma cezija v interferometru. Valoviti ˇcrti nakazujeta fazo v laserskem curku na obeh poteh delnih valovnih funkcij. Laserska sunka
1
2π delujeta kot polprepustna ploˇsˇcica, laserski sunekπpa kot zrcalo (levo). Ramanova prehoda med stanjema ψ0exp(ikB0z) in ψ1exp(i(kB0 +kBv)z) potekata prek virtualnega vzbujenega stanjaψvexp(i(k0B+kv1Bz)) (desno) [7].
resonanco.
V redkih primerih, denimo v enem primeru na sto milijard, molekula iz virtualnega vzbujenega stanja s sevanjem ne preide v stanje ψo, ampak v stanje ψr z veˇcjo energijo. Tedaj seva valovanje z manjˇso kroˇzno frekvenco.
V spektru se poleg izrazite ˇcrte s frekvenco vpadne svetlobe pojavi ˇsibka ˇ
crta, premaknjena proti rdeˇcemu delu (slika 1b). V drugem primeru mole- kula z absorpcijo preide v virtualno stanje in iz njega s sevanjem v stanje ψr0 z manjˇso energijo od zaˇcetnega stanja. V tem primeru seva valovanje z veˇcjo kroˇzno frekvenco. V spektru se pojavi ˇsibka ˇcrta, premaknjena proti modremu delu. Ramanov pojav je pomemben v kemiji. Spekter, ki na- stane, ko spreminjamo kroˇzno frekvenco vpadne svetlobe, razkrije zgradbo molekule.
Pristimuliranem Ramanovem sevanjuRamanovemu pojavu sledi stimu- lirano sevanje. Najprej atom, ki ima v smeri curka gibalno koliˇcino ~k0B, v stanju ψ0exp(ikB0z) iz laserskega curka absorbira energijo ~ωv1 =c~kv1, prevzame gibalno koliˇcino~kBv1in preide v stanjeψvexp(i(kB0 +kBv1)z). Prvi faktor valovne funkcije opiˇse notranje stanje atoma, eksponentni faktor pa gibanje atoma kot celote. Zaradi preglednosti koliˇcine, ki zadevajo atom, se pravi valovno funkcijo ali tako imenovano Broglievo valovanje, opremimo z znakomB. Ko atom prevzame gibalno koliˇcino sevanja, jekv1=kv1B. Drugi
i “Strnad-clanek” — 2012/12/10 — 8:39 — page 175 — #6
i
Atomski interferometer
laserski curek je usmerjen v nasprotno smer kot prvi. S stimuliranim seva- njem atom izseva energijo ~ωv2 =c~kv2, prevzame odrivno gibalno koliˇcino
−~kv2B in preide v stanje ψ1exp(i(k0B+kvB)z) s kvB = kv1B +kv2B. Gibanje atomov smo opisali z ravnim valovanjem z doloˇceno gibalno koliˇcino. V re- snici gibalna koliˇcina, ki ustreza delni valovni funkciji, ni natanko doloˇcena.
Vendar raˇcun obvelja, ker faza ni odvisna od gibalne koliˇcine. Stimulirano Ramanovo sevanje notranje stanje atoma poveˇze z njegovim gibanjem.
Z izbiro lastnosti laserskih sunkov je mogoˇce doseˇci, da je pri doloˇceni Rabijevi kroˇzni frekvenci Ω ˇcas trajanja sunka t0 tolikˇsen, da je Ωt0 = 12π.
Po enaˇcbi (3) je po sunku atom v sestavljenem stanju, v katerem sta dela valovne funkcije enako zastopana. Tak sunek 12π po uˇcinku ustreza polpre- pustni ploˇsˇcici. S sunkom 12π radiofrekvenˇcnega polja na primer pri jedrski magnetni resonanci preklopijo spine atomov pravokotno na ravnino magne- tnega polja. Deloma valovne funkcije v sestavljenem stanju ustrezata giba- nji z razliˇcnima hitrostma. Dela se oddaljujeta drug od drugega s hitrostjo vo =~kvB/m, ˇce je m masa atoma. Nenavadno je, da delni valovni funkciji, ki ustrezata delnima valovanjema, zadevata isti atom.
Interferometri z gruˇcami hladnih alkalijskih atomov
V zadnjem ˇcasu se kot natanˇcno merilno orodje uveljavlja interferometer z gruˇcami hladnih alkalijskih atomov.4 Zasluge za njegov razvoj gredo v veliki meri raziskovalni skupini S. Chuja [1–7].5 Najprej so uporabljali gruˇce natrijevih atomov, nato so preˇsli h gruˇcam cezijevih atomov. Osnovno stanje alkalijskega atoma je razcepljeno na stanjiψ0inψ1zaradi hiperfine sklopitve spinov zunanjega elektrona in jedra. Pri natriju sta to stanji 3S1/2, F = 2, mF = 0 in 3S1/2, F = 3, mF = 0, pri ceziju pa stanji 6S1/2, F = 3, mF = 0 in 6S1/2, F = 4, mF = 0. Kvantno ˇsteviloF podaja velikost skupnega spina zunanjega elektrona in jedra, kvantno ˇstevilomF pa njegovo komponento v smeri zunanjega magnetnega polja.
4Pri poskusih z molekulami z veliko maso so uporabili atomski interferometer z ume- tnimi mreˇzicami, Obzornik mat. fiz.51(2004) 88–93.
5Steven Chu (rojen 1948) je leta 1997 skupaj s Claudom Cohen-Tannoudjijem in Wil- liamom D. Phillipsom dobil Nobelovo nagrado za razvoj laserskega hlajenja atomov. Leta 1987 je iz Bellovih laboratorijev, v katerih je njegova skupina opravila veˇcino nagrajenega dela, preˇsel na univerzo Stanford. Leta 2004 je postal direktor Drˇzavnega Lawrenceo- vega laboratorija v Berkeleyju in profesor na oddelkih za fiziko in biologijo kalifornijske univerze v Berkeleyju. Od leta 2009 je minister za energijo v ameriˇski vladi.
Janez Strnad
Slika 4. Klasiˇcni poti obeh delnih valovnih funkcij brez gravitacije (pikˇcasto) in z gra- vitacijo (neprekinjeno). ˇCe ni gravitacije, je pot a0–b0 popolnoma enakovredna poti c0– d0. Gravitacija to spremeni. V ˇcasovnem razmiku 0 < t < T velja za zgornjo pot z =vot−12gt2 (a) in za spodnjoz =−12gt2 (c), v razmiku T < t <2T pa za zgornjo pot z =voT −12gt2 (b) in za spodnjoz =vo(t−T)−12gt2 (d). Obt=T se spremeni na zgornji poti hitrost vo −gT v −gT in na spodnji poti hitrost −gT v vo−gT. Na zgornji poti pade delna valovna funkcija na odseku c za 12gT2, na spodnji pa na odseku b za trikrat toliko. Na risbi smo zaradi preglednosti za zaˇcetno gibalno koliˇcino atoma~k0B
izbrali 0 in teˇzni pospeˇsek 350-krat pomanjˇsali.
Za virtualno stanje ψv izberejo stanje malo pod prvim viˇse vzbujenim stanjem P3/2. Pri prehodih iz stanja P3/2v osnovno stanje atom cezija seva temnordeˇco ˇcrto z valovno dolˇzino 852 nm, ki ji ustreza energija 1,46 eV.
Virtualno stanje mora biti dovolj pod lastnim stanjem P3/2, da atomi ne bi preˇsli v to stanje in iz njega s spontanim sevanjem v osnovno stanje ter bi bili za stimulirano Ramanovo sevanje izgubljeni.
Prehodu med stanjema ψ0 inψ1, na kateri je zaradi hiperfine sklopitve razcepljeno osnovno stanje atoma cezija, ustrezajo frekvenca 9 192 631 770 s−1 – z njo je doloˇcena sekunda –, valovna dolˇzina 3,26 cm in energija 3,81·10−5 eV. Energijska razlika med stanjema ψ0 in ψ1 je veliko manjˇsa od energijske razlike med stanjem P3/2 in osnovnim stanjem. V pribliˇznem raˇcunu smemo zatokBv1 inkBv2 vzeti za enaka in postavitikvB= 2kv1B.
V interferometru z atomi cezija iz pare pri majhnem tlaku zberejo kakih petsto milijonov atomov v magneto-optiˇcni pasti med paroma nasprotnih laserskih curkov v prostoru med tuljavama (slika 2) [3, 4]. Potem zmanjˇsajo gostoto magnetnega polja v pasti in naravnajo frekvenco laserjev ter s tem
i “Strnad-clanek” — 2012/12/10 — 8:39 — page 177 — #8
i
Atomski interferometer
ohladijo atome do efektivne temperature 1,5·10−6 K. Z obsevanjem z mi- krovalovi in nasprotnima laserskima curkoma ˇse dodatno ohladijo atome in s stranskim laserskim curkom odpihnejo atome, ki nimajo smeri in veliko- sti hitrosti na ˇzelenem obmoˇcju. Tako pripravijo gruˇce s po tremi milijoni atomov cezija, ki se poˇcasi gibljejo navzgor, medtem ko hitrost znotraj gruˇc ustreza efektivni temperaturi 10−8K. Gruˇce s polmerom dobrega milimetra vstopijo v prostor, zaˇsˇciten pred magnetnim poljem, se prosto dvigajo in nato prosto padajo kot kaplje vode v vodometu.
V zaˇcetnem trenutku t = 0 atome obsevajo s sunkom 12π. Valovna funkcijaψ0exp(ik0Bz) se razcepi na delaψ0exp(ik0Bz) inψvexp(i(kB0 +kBv)z).
V trenutku t =T prvemu sunku sledi sunek π drugega para laserjev. ˇCas trajanja t00 je tolikˇsen, da je Ωt00 = π (3). Tak sunek π po uˇcinku ustreza odboju na zrcalu in valovno funkcijo ψ0exp(ikB0z) prevede vψvexp(i(k0B+ kBv)z), valovno funkcijoψvexp(i(k0B+kvB)z) pa vψ1exp(ikB0z) (slika 3). Dela valovne funkcije, ki sta se pred sunkomπoddaljevala, se po njem pribliˇzujeta z enako veliko hitrostjo. V trenutkut= 2T sledi ˇse tretji sunek, to pot sunek
1
2π. Po tem sunku sta dela valovne funkcije, ki sta se krajevno sestala, enako usmerjena in interferirata. Atom je tedaj v stanjuψ0 ali v stanjuψ1. Padajoˇce gruˇce atomov obsevajo z nasprotnima curkoma merilnih laserjev.
V prostoru z magnetnim poljem curka resonanˇcno ionizirata atome v stanju ψ1 in te ˇstejejo.
Fazna razlika
Deleˇz atomov v stanjuψ1 je odvisen od fazne razlike. Na fazo vpliva dvoje.
Prviˇc: delni valovni funkciji potujeta po razliˇcnih poteh. Po Richardu P. Fe- ynmanu fazo gibajoˇcega se delca doloˇca akcija, ˇcasovni integral Lagrangeeve funkcije L = 12mv2 −mgz, to je razlike kinetiˇcne in potencialne energije, deljene s ~. Raˇcunamo jo lahko za klasiˇcno pot, ˇce je integralR
Ldtvelik v primerjavi s~. V naˇsem primeru je razlikaR
zgLdt−R
spLdt= 0. Indeks zg zadeva zgornjo, indeks sp pa spodnjo pot (slika 4).
Drugiˇc: na fazo vpliva delovanje svetlobe na atom. V kratkem moˇcnem sunku laserske svetlobe jakost elektriˇcnega polja vsili svojo fazo delni valovni funkciji. Pri prvem prehodu iz stanja atoma v stanje z veˇcjo energijo dobi valovna funkcija dodaten eksponentni faktor s trenutno fazo svetlobe. Pri prehodu iz stanjaψ0 v stanjeψ1, na primer, je to (1/√
2)exp(−i(kz1−ωt1+
Janez Strnad
Slika 5. Znaˇcilna interferenˇcna vrhova ˇstevilka 588 538 in 589 539. Na navpiˇcno os je nanesen deleˇz atomov v stanjuψ1, na vodoravno pa fazna razlika svetlobe. Po krivulji, ki so jo prilagodili izmerkom, so ugotovili teˇzni pospeˇsek na 3·10−9 natanˇcno [3, 4].
φ1)). Podobno je treba tudi pri drugih prehodih upoˇstevati lego atoma ob ˇ
casu, ko ga zadene laserski curek, in fazo laserske svetlobe. Pri prehodu iz stanja z veˇcjo energijo v stanje z manjˇso se spremeni znak pred imaginarno enoto. Tako sestavimo valovno funkcijo atoma zaradi vpliva svetlobe na zgornji poti:
ψ(zg)= (1/
√
2)exp(−i(kz1−ωt1+φ1))·(1/√
2)exp(i(kz2(zg)−ωt2+φ2)) (4) in na spodnji poti:
ψ(sp)= (1/√
2)exp(−i(kz2(sp)−ωt2+φ2)·(1/√
2)exp(i(kz3−ωt3+φ3)). (5) z2(zg)zadeva zgornjo in z(sp)2 spodnjo pot. Delov valovne funkcije, ki opiˇsejo stanje atoma, nismo upoˇstevali, ker smo ugotovili, da ne prispevajo k fazni razliki.
Interferenˇcno sliko pokaˇze gostota verjetnosti|ψzg+ψsp|2. ˇCe ne bi bilo gravitacije, bi bilo z(zg)2 = z(sp)2 = z2 in bi veljalo z1−z2 = z2−z3 = ∆z ter t2 −t1 = t3 −t2 = T. Po zgledu (1) in (2) bi dobili fazno razliko (φ1 −φ2)−(φ2−φ3) = φ1−2φ2 +φ3. Vpliv gravitacije upoˇstevamo kot motnjo. Zaradi nje je z1 −z2(zg) = ∆z− 12gT2, a z2(sp)−z3 = ∆z− 32gT2
