2. skupinska naloga
Pozavarovalnica ima nabor opazovanih neodvisnih ˇskodnih zahtevkov, enkrat iz poˇzarnega pozavarovanja in enkrat potresnega pozavarovanja (glej priloˇzeni datoteki).
Naj bodo (Xi) opazovani poˇzarni zahtevki, (Yi) pa opazovani potresni za- htevki.
1. Izraˇcunajte vzorˇcno povpreˇcjeX in vzorˇcno varianco
S = 1 n−1
" n X
k=1
Xk2
!
−nX2
# .
Enako storite tudi za (Yi).
2. Na podlagi izkuˇsenj ste se odloˇcili, da boste obakrat ˇskodne zahtevke mod- elirali s pomoˇcjo Paretove porazdelitve
P(X > x) =
(ax)b ;x > a
1 ;x≤a , a, b >0, in podobno zaY pri parametrihc, d.
Kdaj obstaja in kolikˇsno jeE(X)? Kdaj obstaja in kolikˇsna je Var(X)?
3. Ker ima Paretova porazdelitev izrazito teˇzek rep, saj tudi momenti ne obstajajo vedno, in ker je ˇstevilo opazovanj majhno, ste se odloˇcili, da boste opazovane vrednosti transformirali tako, da jih logaritmirate.
Izraˇcunajte preˇzivetveni funkciji zaZ = ln(X) inW = ln(Y) in ju identi- ficirajte. IzraziteE(Z) in Var(Z) s parametomaain b. Enako storite ˇse zaW.
4. Sedaj izraˇcunajte ˇse vzorˇcno povpreˇcje Z in vzorˇcno variancoT. Enako storite ˇse zaW.
Uporabite ju za cenilki upanja in varianceZ in doloˇcite empiriˇcni cenilki parametrov ˆa,ˆb. Enako storite tudi zaW.
5. Pri tako naraˇcunanih ˆa, ˆb, kolikˇsni sta potem upanje in varianca sluˇcajne spremenljivke, porazdeljene po Paretovem zakonu s tema dvema parametroma?
Enako tudi za ˆc in ˆd
Primerjajte dobljeni rezultat z empiriˇcnimi vrednostmi iz toˇcke 1). Kaj opazite?
6. S pomoˇcjo QQ-grafa poskuˇsajte vizualno preveriti, ˇce se tako doloˇcena Paretova porazdelitev s parametroma ˆa,ˆb dobro ujema z empiriˇcnimi po- datki (Xi). Enako storite tudi za (Yi).
