REPREZENTIRANJE REŠEVANJA BESEDILNIH NALOG PRI PREDŠOLSKIH OTROCIH

(1)

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA

NEŽA ŠMIGOC

REPREZENTIRANJE REŠEVANJA BESEDILNIH NALOG PRI PREDŠOLSKIH OTROCIH

DIPLOMSKO DELO

Ljubljana, 2020

(2)

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Študijski program: PREDŠOLSKA VZGOJA

NEŽA ŠMIGOC

Mentorica: prof. dr. Tatjana Hodnik

REPREZENTIRANJE REŠEVANJA BESEDILNIH NALOG PRI PREDŠOLSKIH OTROCIH

DIPLOMSKO DELO

Ljubljana, 2020

(3)

POVZETEK

Diplomsko delo z naslovom Reprezentiranje reševanja besedilnih nalog pri predšolskih otrocih obravnava različne reprezentacije, s katerimi si predšolski otroci lahko pomagajo pri reševanju besedilnih nalog. Reprezentiranje matematičnih nalog je pri učenju matematike zelo pomembno, saj lahko z njihovo pomočjo učenci matematično razmišljajo, se matematično sporazumevajo in raziskujejo ter razlagajo pomene matematičnih pojmov. Če otrokom omogočimo, da raziskujejo več načinov predstavitve nekega matematičnega pojma na medsebojno povezan način, s tem pripomoremo k razvoju njihovega konceptualnega razumevanja pojma in matematičnega razmišljanja na splošno. Reševanje matematičnih besedilnih nalog pomaga otrokom vzpostavljati povezave med konceptualnim in matematičnim znanjem. Z reševanjem besedilnih nalog se naučijo uporabiti znanje in veščine v realnem življenju.

Besedilne naloge se zdijo kot nekakšen most med realnim življenjem in matematiko, vendar se otroci ob reševanju srečujejo s številnimi težavami. V empiričnem delu sem raziskovala, kako uspešno otroci rešujejo besedilne naloge, ali jim jih uspe rešiti s konkretno, grafično in simbolno reprezentacijo, v kakšni relaciji je reprezentacija besedilne naloge z uspešnostjo reševanja besedilnih nalog pri otrocih ter katero reprezentacijo otroci najpogosteje izberejo za reševanje besedilnih nalog. Izkazalo se je, da otroci v starosti pet in šest let že precej uspešno rešujejo besedilne naloge. Z analizo sem ugotovila, da jim najbolj pomaga konkretna reprezentacija.

Simbolno reprezentacijo sicer že poskušajo uporabljati, vendar njihovi zapisi še niso matematično pravilni. Večinoma že znajo uporabiti konvencionalne simbole – številke, vendar so te pogosto obrnjene. Pri grafični reprezentaciji največkrat upodobijo objekte, ki so bili predmet njihove konkretne reprezentacije. Pogosto besedilno nalogo rešijo tudi na pamet, brez pomoči reprezentacij, s pomočjo priklica dejstev.

Ključne besede: reprezentacije, besedilne naloge, seštevanje in odštevanje, predšolski otroci

(4)

Presenting Word Problems Solving of Preschool Children ABSTRACT

The thesis Presenting Word Problems Solving of Preschool Children discusses various manners in which preschool children can help themselves when solving word problems. Representing mathematical tasks is critical when learning the subject, as it aids the pupils in thinking mathematically, communicating mathematically, as well as examining and explaining the meanings of mathematical concepts. Enabling children to explore several different ways of presenting a mathematical concept in an interconnected manner encourages the development of their conceptual understanding of the idea, as well as mathematical reasoning in general.

Solving mathematical word problems assists children in making connections between their conceptual and procedural mathematical knowledge. By solving such word problems, they learn to apply this knowledge and their skills in real life.

In a way, word problems resemble a bridge between real life and mathematics, yet children face many difficulties when solving them. For the empirical component of the thesis, I researched firstly, how successfully children solve word problems, secondly, whether they manage to solve them using concrete, graphic or symbolic representation, thirdly, the relationship between the representation of the word problem on the one hand and the success of the solution of such a word problem on the other, and, lastly, which representation children choose most often for the task. The results show that children between the ages of five and six are already capable of solving word problems rather successfully. Through analysis, I found that a concrete representation is most helpful to this age group. Although they already attempt to employ symbolic representations, their annotation is not yet mathematically correct. Predominantly, they already know how to use conventional symbols – numbers – albeit these are often inverted.

When employing graphic representation, children most often depict objects which have been the subject of their concrete representation. Often, they solve the word problem spontaneously, without the help of representations, but rather by recalling facts.

Key words: representations, word problems, addition and subtraction, preschool children

(5)

KAZALO

1. UVOD ... 1

2. TEORETIČNI DEL ... 2

2.1. REPREZENTACIJE ... 2

2.1.1. Zunanje reprezentacije ... 3

2.1.1.1. Konkreten material ... 3

2.1.1.2. Grafične reprezentacije ... 4

2.1.1.3. Matematični simboli ... 5

2.2. BESEDILNE NALOGE ... 6

2.2.1. POUČEVANJE BESEDILNIH NALOG ... 7

2.3. RAČUNSKE OPERACIJE ... 8

2.3.1. Seštevanje in odštevanje ... 8

2.3.1.1. Razvoj strategij seštevanja in odštevanja ... 9

2.4. MATEMATIKA V VRTCU ... 10

3. EMPIRIČNI DEL ... 14

3.1. OPREDELITEV PROBLEMA ... 14

3.2. RAZISKOVALNA VPRAŠANJA ... 14

3.3. RAZISKOVALNA METODOLOGIJA ... 15

3.3.1. Raziskovalna metoda ... 15

3.3.2. Raziskovalni vzorec... 15

3.3.3. Postopek zbiranja podatkov ... 15

3.3.4. Postopek obdelave podatkov ... 17

3.4. REZULTATI IN INTERPRETACIJA ... 18

3.4.1. Kako uspešno otroci rešujejo besedilne naloge? ... 18

3.4.1.1. Reševanje besedilnih nalog ... 18

3.4.2. Ali otrokom uspe rešiti besedilne naloge s konkretno, grafično in simbolno reprezentacijo? ... 46

3.4.3. V kakšni relaciji je reprezentacija besedilne naloge z uspešnostjo reševanja besedilnih nalog pri otrocih? ... 56

3.4.4. Katero reprezentacijo otroci najpogosteje izberejo za reševanje besedilnih nalog? ... 61

3.5. POVZETEK UGOTOVITEV ... 63

4. ZAKLJUČEK ... 65

5. SEZNAM LITERATURE ... 66

(6)

KAZALO SLIK

Slika 1: Deklica na vlakec postavlja figurice, da bi s tem pokazala, kaj se je zgodilo v besedilni nalogi

»Potniki na vlaku« ... 57 Slika 2: Pravilna uporaba konkretne reprezentacije: najprej so bili na vlaku trije prijatelji ... 58 Slika 3: Pravilna uporaba konkretne reprezentacije: trem prijateljem sta se pridružila še dva ... 58 Slika 4: Pravilna uporaba konkretne reprezentacije: deklica je uporabila le pet figuric, toliko, kolikor jih je za rešitev naloge potrebovala ... 59 Slika 5: Nepravilna uporaba konkretne reprezentacije: otrok je uporabil vseh osem figuric, čeprav jih za pravilno rešitev naloge potrebuje le pet. ... 59 Slika 6: Pravilna uporaba konkretne reprezentacije: v ogradi so ostali štirje prašički, eden pa je zunaj ograde ... 60 Slika 7: Nepravilna uporaba konkretne reprezentacije: v ogradi so ostali trije prašički, zunaj ograde pa sta dva ... 60

KAZALO TABEL

Tabela 1: Uspešnost otrok pri reševanju besedilnih nalog ... 46 Tabela 2: Uspešnost reševanja besedilnih nalog glede na reprezentacijo naloge ... 57 Tabela 3: Število pravilnih in nepravilnih reprezentacij glede na vrsto reprezentacije ... 61 Tabela 4: Stopnje računanja glede na razvoj strategij seštevanja in odštevanja; zeleno obarvana polja prikazujejo otroke, ki so vedno uporabili konkretno štetje, modro obarvana polja pa otroke, ki so vedno uporabili priklic dejstev ... 62

KAZALO GRAFOV

Graf 1: Grafična reprezentacija besedilne naloge »Potniki na vlaku« ... 53 Graf 2: Grafična reprezentacija besedilne naloge »Prašički v ogradi«... 55

(7)

1

1. UVOD

Dejavnost reprezentiranja abstraktnih matematičnih pojmov ima zelo pomembno vlogo pri učenju matematike, saj moramo vsak matematični pojem otroku na neki način predstaviti, če želimo, da ga razume. Učenje je učinkovitejše, če se osredotoča na raziskovanje različnih reprezentacij določenega matematičnega pojma in otroke spodbuja, da med njimi najdejo povezave. Reprezentacije so sestavni del procesa pridobivanja matematičnega znanja (Hodnik Čadež, 2018).

V vsakdanjem življenju otrok števila uporablja v smiselnem kontekstu za opisovanje življenjskih situacij, torej števila in številske operacije povezuje s konkretnimi izkušnjami.

Sočasno se uči matematični jezik, kasneje pojme predstavlja tudi s simboli. Matematični jezik mu omogoča delovanje na bolj abstraktnem nivoju, do takrat pa mu je matematika dostopna in jo razume, če lahko matematične primere poveže z nečim smiselnim iz svojega življenja (Manfreda, 2006). Pri učenju nihče ne sprejema informacij le slušno ali vidno. Vsak ima svojo kombinacijo načinov, ki mu najbolj ustrezajo. Največ pridobimo, če je v učenje vključeno čim več različnih čutov (Kavčič, 2005). Reševanje matematičnih besedilnih nalog pomaga otrokom vzpostavljati povezave med konceptualnim in proceduralnim matematičnim znanjem. Z reševanjem besedilnih nalog lahko enostavno vzpostavijo in razvijajo te povezave. Naučijo se uporabiti znanje in veščine v realnem življenju (Artut, 2015). Ko otroke spoznavamo z matematiko in so naš cilj računske operacije seštevanja in odštevanja z naravnimi števili, so operacije s predmeti sredstvo, ki pomaga pri razumevanju operacij s števili (Kavkler in Novljan, 1991).

Diplomsko delo obravnava reprezentiranje reševanja besedilnih nalog v predšolskem obdobju, saj želim ugotoviti, kako uspešno otroci najstarejše starostne skupine v vrtcu rešujejo besedilne naloge in katero reprezentacijo pri reševanju besedilnih nalog najpogosteje izberejo.

Diplomsko delo je razdeljeno na teoretični in empirični del. V teoretičnem delu bom opredelila reprezentacije, jih razdelila na notranje in zunanje ter podrobneje predstavila konkretne, grafične in simbolne reprezentacije. Opisala bom, kako je v učenje matematike vključeno poučevanje besedilnih nalog, in le-te razdelila na različne vrste. Opisala bom, kje vse se otroci z matematiko srečajo že v vrtcu, in ugotovila, koliko se v Kurikulumu za vrtce (1999) posvečajo besedilnim nalogam.

V empiričnem delu bom predstavila rezultate raziskave, s katero sem ugotavljala, kako uspešno otroci rešujejo besedilne naloge in ali jim jih uspe rešiti s konkretno, grafično in simbolno reprezentacijo. Zanimalo me je tudi, kakšna je relacija med reprezentacijo besedilne naloge in uspešnostjo reševanja besedilnih nalog pri otrocih ter katero reprezentacijo otroci najpogosteje izberejo za reševanje besedilnih nalog.

(8)

2

2. TEORETIČNI DEL

2.1. REPREZENTACIJE

Reprezentacija je nekaj, kar stoji namesto nečesa drugega. Dejavnost reprezentiranja abstraktnih matematičnih pojmov ima zelo pomembno vlogo pri učenju matematike. Poznamo zunanje (okolje) in notranje (miselne predstave) reprezentacije. Zunanje reprezentacije uporabljamo za zunanjo predstavitev neke matematične realnosti. Sestavljene so iz strukturiranih simbolnih elementov. Zunanje reprezentacije delimo na konkretne, grafične in simbolne reprezentacije. Konkretno reprezentacijo izvedemo s konkretnimi objekti. Pri grafični reprezentaciji poznamo semikonkretno reprezentacijo, tu rišemo objekte, ki so bili predmeti konkretne reprezentacije, in semiabstraktno reprezentacijo, pri kateri ne uporabimo reprezentacije konkretnih objektov, temveč objekte, ki ne predstavljajo določenih objektov, s katerimi so rokovali otroci. Simbolno reprezentacijo pa izvedemo tako, da operacijo zapišemo z matematičnimi simboli. Pri učenju matematike je ključno, da pri predstavitvi istega pojma prehajamo med reprezentacijami (Hodnik Čadež, 2013).

Vsak matematični pojem moramo otrokom na neki način predstaviti, če želimo, da ga razumejo.

Učenje je učinkovitejše, če se osredotoča na raziskovanje različnih reprezentacij določenega matematičnega pojma in otroke spodbuja, da med temi predstavitvami najdejo povezave.

Reprezentacije so tako sestavni del predstavitve znanja. Zunanje reprezentacije vedno potrebujejo interpreta, ki jim da pomen (Hodnik Čadež, 2018).

Reprezentacije nikoli ne reprezentirajo same po sebi. Ko interpretor da implicitni reprezentaciji pomen, jo pretvori v eksplicitno (Hodnik Čadež, 2013). Implicitna reprezentacija je lahko reprezentacija s strukturiranim materialom, na primer reprezentacija računa 3 + 2 s kockami.

Če otrok vzame najprej tri kocke, nato še dve kocki in izvede postopek seštevanja, implicitni reprezentaciji da pomen in jo transformira v eksplicitno. Z njo vzpostavi miselno interakcijo. V pomoč otroku pri osmišljanju reprezentacij je jezik. Tudi ta je reprezentacijski sistem in je v tesni povezavi z zunanjimi reprezentacijami (Hodnik Čadež, 2013).

Reprezentacije matematičnih pojmov imajo pri učenju matematike različne pomembne vloge, ki jih lahko kategoriziramo kot način mišljenja, način dokumentiranja in način komuniciranja (Chapman, 2010, str. 289). Z njihovo pomočjo lahko otroci matematično razmišljajo in se matematično sporazumevajo, prav tako pa tudi raziskujejo in razlagajo pomene matematičnih pojmov. Če otrokom omogočimo, da raziskujejo več načinov predstavitve nekega matematičnega pojma na medsebojno povezan način, s tem pripomoremo k razvoju njihovega konceptualnega razumevanja pojma in matematičnega razmišljanja na splošno. Pri tem je zelo pomemben vzgojitelj ter njegov pogled na vlogo reprezentacij pri učenju matematike (Chapman, 2010).

Večkratne reprezentacije obogatijo otrokovo razumevanje in njegove povezave z novimi pojmi.

Zunanje reprezentacije vključujejo konkretne manipulacije, vizualne slike in simbole. Z uvedbo tablic z zaslonom na dotik so se dodale še reprezentacije, pri katerih sta združeni vizualna in manipulativna funkcija. Tu pride do koordiniranja gibov oči in rok. (Sinclair in de Freitas, 2014, v Tirosh, Tsamir, Barkai in Levenson, 2018). Raznolikost zunanjih reprezentacij otrokom zagotavlja različne priložnosti za udeležbo v matematičnem učenju (Tirosh idr., 2018).

(9)

3

Pri reprezentacijah je bistvena povezava med notranjimi in zunanjimi reprezentacijami.

Zunanje reprezentacije spodbujajo čutila in reprezentirajo določeno matematično realnost.

Notranje reprezentacije pa so miselne predstave. Nimajo originala in predstavljajo notranji svet izkušenj. Ne moremo jih neposredno opazovati in uporabljati. Razumevanje notranjih reprezentacij otroka je mogoče le z opazovanjem otrokovega učenja in njegove uporabe zunanjih reprezentacij. Pogoj za uspešno nadgrajevanje matematičnega znanja je, da otroci reprezentacije osmislijo, jim dajo matematični pomen in dojamejo informacijske ekvivalence med posameznimi reprezentacijami. Za učenje z razumevanjem morajo reprezentacije neke določene matematične ideje povezati v svoji miselni shemi (Hodnik Čadež, 2003, str. 13).

Odkritje odnosa med reprezentacijami je ključno za učenje matematike z razumevanjem.

Ključni merili za vzpostavitev odnosov med reprezentacijami sta (Hodnik Čadež, 2015):

• reprezentacija izbranega pojma mora temeljiti na strukturni podobnosti, to pomeni, da moramo za izbrani pojem izbrati take reprezentacije, ki imajo povezavo s pojmom in s katerimi je te povezave enostavno vzpostaviti,

• pri poučevanju je treba zagotoviti postopno vzpostavljanje povezav med reprezentacijami in postopno zmanjševanje konkretnega. Tu je poudarjena vloga vzgojitelja, ki mora otroka spodbujati, da vzpostavlja te povezave.

Če bi v vrtcu z otroki želeli rešiti besedilno nalogo seštevanja, na primer za račun 2 + 1, bi začeli s konkretnim materialom. Na mizo bi postavili dve jabolki in jima nato dodali še eno jabolko. Nato bi jabolka narisali. Najprej dve in nato še eno. Otrokom bi povedali, da lahko namesto jabolk rišemo tudi kroge ali črtice. Otroke bi spodbujali, naj povedo, koliko krogov ali črtic moramo narisati, in nalogo bi rešili še na ta način. Nato bi jim povedali, s katerimi številkami lahko to zapišemo, in račun bi zapisali s številkami ter matematičnimi simboli.

Razložili bi jim, da ko nekaj dodamo, napišemo plus.

2.1.1. Zunanje reprezentacije 2.1.1.1. Konkreten material

Konkreten material pri učenju matematike je material, ki ga strokovni delavci uporabljajo, da bi otrokom predstavili abstraktne matematične pojme. Ne reprezentira sam po sebi, temveč potrebuje otroka, ki mu dodeli pomen. Razlikuje se po kompleksnosti, delimo pa ga na strukturiranega in nestrukturiranega (Hodnik Čadež, 2013).

V vrtcu za učenje matematičnih pojmov uporabljamo tako strukturirani material (na primer škatle z luknjami, v katere otroci vstavljajo ustrezne like, ter posodice, ki se po velikosti nalagajo ena v drugo) kot nestrukturirani material (na primer kosi kartona in blaga). Vzgojitelji s takim materialom otrokom predstavljajo pojme večji, manjši, levo, desno, prvi, drugi, hitro, počasi in podobno. Z materialom otrokom tudi predstavljajo geometrijske like in vadijo štetje.

Vloga strokovnega delavca je, da otroke po določenem času spodbuja k reševanju nalog brez materiala, saj s tem preverja njihovo zrelost za njegovo opustitev in ugotavlja, ali znajo nalogo rešiti brez njega. Vsak material ni ustrezen, tudi če vzgojitelj presodi, da bo neki material pri otrocih spodbujal določeno miselno aktivnost, se to morda ne bo zgodilo, če ga otroci ne bodo

(10)

4

povezali z matematičnim kontekstom, temveč ga bodo videli le kot fizične objekte. Konkreten material sam po sebi namreč ne zagotavlja uspešnega učenja. Za učenje določenih matematičnih pojmov z nekim materialom je včasih potrebno že predhodno matematično znanje. Učenje je kompleksen proces in če je rokovanje s konkretnim materialom del njega, mora biti le-to osmišljeno z natančno refleksijo in obravnavano v razmerju z drugimi reprezentacijami. Na proces učenja in poučevanja vplivajo narava matematičnega pojma, način uporabe konkretnega didaktičnega materiala in sam material (Hodnik Čadež, 2013, str. 35).

Pri rokovanju s konkretnim didaktičnim materialom ima pomembno vlogo tudi jezik. Ko otrok svoje rokovanje z materialom glasno pojasnjuje, postane le-to bolj osredotočeno na matematični pojem. Jezik je pri tem most med fizično in miselno aktivnostjo. Verbaliziranje med uporabo didaktičnega materiala otroka vodi do višjih miselnih procesov (Markovac, 1990, v Hodnik Čadež, 2013).

2.1.1.2. Grafične reprezentacije

Grafične reprezentacije števil so večinoma ilustracije oseb, živali in predmetov, ki jih lahko otroci izrazijo tudi s številkami. Uporabljamo jih za predstavitev matematičnih pojmov. Vse grafične reprezentacije niso didaktično ustrezne, pomembno je, kaj slika prikazuje. Določiti in upoštevati je treba pravila grafičnega ponazarjanja matematičnih idej glede na vsebino. Če nastanejo različne interpretacije, je treba o tem pri otrocih spodbuditi diskusijo. Grafične reprezentacije predstavljajo most med konkretnimi in simbolnimi reprezentacijami. Delimo jih na semikonkretne in semiabstraktne reprezentacije. Pri semikonkretnih rišemo objekte, ki so bili predmeti konkretne reprezentacije. Na primer narišemo pet jabolk in tri prečrtamo ter tako grafično ponazorimo računsko operacijo odštevanja. Pri semiabstraktni reprezentaciji pa računske operacije ne prikažemo nujno z ilustracijami konkretnih objektov, temveč rišemo objekte, ki ne predstavljajo določenih objektov, s katerimi so rokovali otroci, namesto jabolk na primer rišemo kroge. Grafične reprezentacije so tako lahko zelo raznolike in za otroka niso nujno enostavnejše od konkretnih reprezentacij. Izbira grafične reprezentacije je odvisna od narave matematičnega pojma in od konkretnega materiala, ki smo ga uporabili pri obravnavanju tega pojma. Različne reprezentacije se morajo namreč med seboj povezovati. Grafične reprezentacije odštevanja in deljenja so bolj kompleksne od grafičnih reprezentacij operacij seštevanja ter množenja. Operacijo odštevanja lahko reprezentiramo na različne načine.

Ponazorimo lahko začetno in končno stanje v dveh reprezentacijah, lahko le končno stanje v eni reprezentaciji, lahko pa prav tako v eni reprezentaciji prikažemo začetno in končno stanje.

Zadnji način je najpogosteje uporabljen pri matematiki (Hodnik Čadež, 2013).

Primeri reprezentacij seštevanja in odštevanja kažejo na to, da gre razvojni trend v smeri od statičnih predstavitev, pri čemer je prikazan le podatek o končnem stanju, k dinamičnim predstavitvam, pri čemer je podana tudi informacija o izvedeni pretvorbi (Allardice, 1977, v Manfreda, 2006). Allardiceova (1997, v Manfreda, 2006) je ugotovila, da je s starostjo naraslo število otrok, ki so ponazorili tudi podatek o začetnem stanju in o spremembi stanja, torej o dodanem oziroma odvzetem številu predmetov, in ne le končnega stanja. Sporočila so prenašali v vodoravnem zapisu, na primer za ponazoritev računa 2 + 1 so narisali najprej dve črtici in nekoliko bolj desno še eno črtico. Nekateri otroci so dogajanje ponazorili tako, da so izbrisali začetno stanje ali so najprej narisali začetno stanje, naredili premor in potem narisali še dodano

(11)

5

število predmetov. To sicer potrjuje, da so se otroci zavedali, da je treba prikazati dogajanje, vendar se z njihovo ponazoritvijo na papirju niso ohranili vsi bistveni podatki (Allardice, 1977, v Manfreda 2006).

2.1.1.3. Matematični simboli

Pri uporabi matematičnih simbolov je treba upoštevati mnogo pravil, ki otrokom velikokrat povzročajo težave. Pogosto otroci s simboli rokujejo brez razumevanja, mehanično. Pri zgodnjem učenju matematike je uporaba simbolov v tesni povezavi s konkretnimi in grafičnimi reprezentacijami. V procesu učenja moramo otrokom omogočiti rokovanje s konkretnim in grafičnim materialom ter vzpostaviti povezave med tem materialom in matematičnimi simboli.

Vzpostavljanje relacij ni preprosto, saj lahko za posamezen simbol v matematiki obstaja več relacij »simbol – referenca za simbol« (Hodnik Čadež, 2013).

Za otroka je preskok od konkretne vsebine k simbolnim zapisom zelo zahteven. Naučiti se mora prevesti svoje konkretno razumevanje števil v zapis z aritmetični simboli. Otrokove načine ponazarjanja količine lahko ločimo na več kategorij (Huges, 1986, v Manfreda, 2006):

• nerazumljivi odgovori: tem izdelkom odrasli težko pripišemo smiseln pomen, ni pa nujno, da so brez pomena za otroka,

• piktografični odgovori: otrok poskuša narisati, kar vidi pred seboj, tako da ohrani lego, barvo, obliko in število predmetov,

• ikonični odgovori: ti odgovori so podobni piktografičnim in prav tako temeljijo na prirejanju oznak predmetom dane množice, le da so oznake zelo poenostavljene; glavni cilj otroka je ponazoritev moči množice, in ne lastnosti predmetov,

• konvencionalni simbolni odgovori: tu otrok ponazarja količino na standarden način, torej s številko ali besedo.

Predšolskim otrokom so najbližje nekonvencionalni načini ponazarjanja količine, predvsem ikonični, včasih pa razvijejo tudi svoje lastne načine ponazarjanja (Huges, 1986, v Manfreda, 2006).

Gifford (2018) ugotavlja, da majhni otroci pogosto kažejo ustvarjalnost, ko združujejo pisanje, risanje in uporabo simbolov za izražanje svojega razmišljanja. Ob otrokovi razlagi so ključne vzgojiteljeve zabeležke in skupaj ti zapisi nudijo vpogled v otrokovo razmišljanje. Davenallova (2016) je ugotovila, da otroci z lastnim načinom ponazarjanja želijo sporočiti, kar se jim zdi res pomembno. Tak primer je na primer, ko je otrok narisal dva avtomobila, ob njiju pa roko, ki je simbolizirala dejanje obeh avtomobilov, ki sta se oddaljevala. Ali primer otroka, ki je želel prikazati, da letali, ki bosta odleteli, lahko odletita v katero koli smer. Kot simbolno reprezentacijo je zato ob letalih narisal puščice. Vključil je tudi začetno in končno število letal, a ko je nalogo predstavil ostalim otrokom, je bilo očitno, da so matematični elementi dogodka manj pomembni kot gibanje vozil in spremljajoča zgodba. Med poznejšim pogovorom so otroci celo zbrali igrače letala in jih uporabili za prikaz gibanja dveh letal, ki sta odletela v vse smeri.

Nadalje Davenallova (2016) ugotavlja, da tudi otroci, ki že razumejo konvencionalne simbole, če imajo možnost izbire, še naprej uporabljajo lastne načine ponazarjanja. Da bi sporočili svoje zamisli, pogosto uporabljajo mešanico odgovorov s številko in piktografičnih odgovorov.

(12)

6

2.2. BESEDILNE NALOGE

Besedilne naloge so besedni opisi problemske situacije, ki zahteva enega ali več odgovorov.

Le-te dobimo z uporabo matematičnih operacij, ki vključujejo številčne podatke, ki se nahajajo v nalogi (Verschaffel, Greer in De Corte, 2000, v Kalan, 2015). Glavna razlika med besedilno nalogo in simbolnim zapisom računa je jezikoslovna informacija.

Van Essen in Hamaker (1990, v Kalan, 2015) ločita različne vrste besedilnih nalog:

• enostopenjske besedilne naloge seštevanja in odštevanja, ki zahtevajo eno računsko operacijo,

• dvostopenjske besedilne naloge, ki zahtevajo dve računski operaciji,

• večstopenjske ali kompleksne besedilne naloge, ki poleg znanja aritmetike vključujejo tudi znanje drugih vsebin.

Za uspešno reševanje enostopenjskih besedilnih nalog je pomembna analiza besednega opisa, na podlagi katere otroci oblikujejo reprezentacijo relacij med količinami, ki se pojavljajo v nalogi. Zelo pomembno je, da razumejo povezave med količinami. Glede na to, kako so te količine v nalogah povezane, po Rileyju, Greenu in Hellerju (1983, v Kalan, 2015) ločimo različne tipe enostopenjskih besedilnih nalog:

• sprememba: opis spreminjanja količin, neznanka je lahko začetek, sprememba ali rezultat (Nik ima 3 frnikole. Rok mu jih da še 5. Koliko frnikol ima Nik?);

• kombiniranje: neznana je celota ali le del (Nik ima 3 frnikole, Rok pa 5. Koliko frnikol imata skupaj?);

• primerjanje: neznana je razlika ali primerjana količina (Nik ima 8 frnikol, Rok pa 5.

Koliko frnikol ima Nik več?);

• izenačenje: količini se primerjata in izenačita (Nik ima 3 frnikole, Rok pa 8. Koliko jih mora Nik dobiti, da jih bo imel toliko kot Rok?).

Reševanje matematičnih besedilnih nalog pomaga otrokom vzpostavljati povezave med konceptualnim (pojmovnim) in proceduralnim matematičnim znanjem. Z reševanjem besedilnih nalog lahko enostavno vzpostavijo in razvijajo te povezave. Naučijo se uporabiti znanje in veščine v realnem življenju. Dosežek v reševanju besedilnih nalog je povezan s starostjo in se izboljšuje s stopnjo znanja otrok. Na težavnost besedilnih nalog ne vpliva le njihova struktura, temveč tudi uporabljena števila. Priporočljivo je, da so ta združljiva s kognitivnim razvojem otrok. Otroci bolje razumejo strukturo besedilnih nalog, kadar so le-te formulirane glede na okolico otrok in jih lahko povežejo s svojim življenjem. Tako zapletene naloge vidijo bolj konkretne, jih bolje razumejo in uspešneje razrešijo. Na uspešnost otrokovega reševanja vpliva tudi način predstavitve besedilne naloge. Priporočljivo je otrokom zagotoviti raznolike besedilne naloge, upoštevati otrokov kognitivni razvoj in uporabiti različne metode predstavitve nalog (Artut, 2015). K uspešnosti reševanja besedilnih nalog prispeva tudi raven bralnih sposobnosti, zato je pomembno poučevanje bralnih strategij, saj le-te vplivajo na bralno razumevanje in na reševanje besedilnih nalog (Vilenius-Tuohimaaa, Aunolab in Nurmib, 2008).

Učenje matematike vključuje reševanje različnih vrst besedilnih nalog, ki zahtevajo različne spretnosti in izvajanje različnih aritmetičnih operacij. Otroci se že v predšolskem obdobju srečujejo z matematičnimi besedilnimi nalogami, ki so sestavljene iz besed in števil. Za

(13)

7

učinkovito reševanje teh nalog je potrebno razumevanje konteksta naloge (Pavlin-Bernardić, Vlahović-Štetić in Arambašić, 2008).

Otroci v vrtcu še ne znajo sami prebrati besedila besedilnih nalog, zato je to naloga vzgojiteljice.

Ta mora tudi sproti preverjati, ali so se pojavile kakšne težave v razumevanju.

Dobro je otrokom naročiti, naj z lastnimi besedami povedo, kakšen je problem v besedilni nalogi. Tako zagotovimo, da pridobivajo znanje različnih jezikovnih struktur, ki se uporabljajo pri matematičnih besedilnih nalogah (Pavlin-Bernardić, Vlahović-Štetić in Arambašić, 2008).

Besedilne naloge na splošno veljajo kot težke za otroke ne glede na stopnjo znanja otrok.

Čeprav se zdijo kot nekakšen most med realnim življenjem in matematiko, ki bo otrokom predstavljal motivacijo in jim olajšal učenje, se otroci ob reševanju srečujejo s številnimi težavami. Vir teh težav je tudi neustrezno poučevanje matematike, otroci se učijo, da številke uporabljajo mehanično in ne posvečajo pozornosti strukturi problema ter zato ne prepoznajo nelogičnih delov rešitve problema. Če se med procesom učenja otrokom ponujajo problemi, ki vključujejo poznane situacije, jih otroci lažje razumejo in uspešneje rešujejo. Šele ko otroci obvladajo reševanje problemov s poznanim kontekstom, je omogočen prehod v zmanjšan situacijski kontekst. Prav tako je priporočljivo, da odrasli pred reševanjem nalog začne z nekim uvodom, ki privabi otrokovo pozornost, potrebno za izvajanje zahtevne miselne dejavnosti (Vlahović-Štetić, Rovan in Mendek, 2004).

2.2.1. POUČEVANJE BESEDILNIH NALOG

Pri poučevanju besedilnih nalog ločimo štiri modele (Chapman, 2009, v Kalan, 2015):

• Model vsiljevanja: odrasli otroku po korakih predstavi postopek reševanja besedilnih nalog. Otrok nima aktivne vloge, temveč si le zapomni postopek. V postopku so večinoma upoštevane le ključne besede v besedilu in prevajanje jezikovnih ter številčnih informacij v simbole.

• Model prepuščanja: odrasli pri poučevanju ni prisoten, razlaga in nadzor sta tu opuščena. Besedilno nalogo mora otrok reševati sam, pomaga pa si s preteklimi izkušnjami.

• Model usmerjenega iskanja: cilja tega modela sta razumevanje postopka reševanja in pravilno rešena besedilna naloga. Odrasli otroku predstavi postopek reševanja kot zaporedje korakov, otrok pa ga s pomočjo usmerjanja preizkuša.

• Model dialoškega iskanja: to je najbolj razvit pristop reševanja. Cilj je otrokovo razumevanje reševanja in razvoj matematičnega ter strateškega znanja. Otrok najprej na osnovi tega, kar že zna, poskuša sam rešiti nalogo. Nato v majhni skupini o nalogi razpravlja z drugimi otroki in odraslim. Išče poti reševanja, odrasli pa jih kritično presoja in s tem otroku pomaga evalvirati in razumeti postopke reševanja. Ta način je za otroka najboljši, saj je poudarek na komunikaciji in otrok s tem pridobiva nove informacije ter rešuje dileme. Tako lahko bolje razume in razvija matematično in strateško znanje reševanja besedilnih nalog.

Za uspešno reševanje besedilnih nalog je pomembno izvajanje ustreznih računskih operacij.

(14)

8

2.3. RAČUNSKE OPERACIJE

Lipovec in Antolin Drešar (2019, str. 89) ugotavljata, da moramo otrokom že zgodaj, med tretjim in petim letom, omogočiti dejavnosti na konkretni ravni. S tem jim pomagamo, da bodo lažje razumeli računske operacije. V obdobju med šestim in osmim letom starosti pa moramo pri otrocih spodbujati razvoj različnih strategij. Na primer štetje od danega števila in razdruževanje števil. Preden bo otrok znal izvajati računsko operacijo in razumel njene lastnosti, mora poznati pomen operacije v konkretnih situacijah (Lipovec in Antolin Drešar, 2019).

Raziskave v 70. in 80. letih 20. stoletja so pokazale, da je tudi pri predšolskih otrocih že prisotno določeno razumevanje seštevanja in odštevanja, če se operaciji nanašata na majhna števila in konkretne situacije (Manfreda, 2006, str. 34). Otroci v predšolskem obdobju tako že lahko razlikujejo med povečanjem moči množice in zmanjšanjem moči množice. Pri otrocih do petih let starosti se zdi, da je sposobnost reševanja enačb, pri katerih je razlika več kot ena, slabo razvita. Pri takih primerih otroci po navadi uporabijo metodo poskusov in zmot (Manfreda, 2006, str. 35). Predšolski otroci imajo znanje o tem, kako operaciji seštevanja in odštevanja učinkujeta na majhna števila. To znanje lahko uporabijo v konkretnih (v škatlo dajemo kocke) in hipotetičnih (če bi imel v škatli eno kocko ...) situacijah. Razvoj koncepta število v starostnem obdobju od treh do petih let zelo hitro napreduje, zato to obdobje ni neko enotno stanje. Hughes (1981, v Manfreda, 2006) domneva, da je otrok uspešnejši pri računanju z majhnimi števili, ker množice majhnih moči lahko vizualno oceni, pri velikih množicah pa mora šteti. Torej gre pri prvem za vizualno reprezentacijo števila, pri drugem pa za števni postopek, ki je za otroka miselno zahtevnejši. Otroci so bistveno uspešnejši pri vsebinsko pomenskih nalogah (npr. eni kocki dodam še dve kocki) kot pri nepomenskih (npr. ena plus dve). Še težji kot prehod od konkretnega do abstraktnega matematičnega jezika je za otroka prehod k simbolnim zapisom, ki jih je treba povezati s konkretno vsebino. Naučiti se mora konkretno ponazarjanje števil prevajati v zapis z matematičnimi simboli. Ponazoritve seštevanja in odštevanja morajo vključevati tudi informacijo o dogajanju, večina otrok pa ponazarja le končno stanje. S starostjo narašča število otrok, ki vključi tudi podatek o začetnem stanju in o dodanem ali odvzetem številu predmetov (Manfreda, 2006).

2.3.1. Seštevanje in odštevanje

Gelman in Gallistel (1978, v Manfreda, 2006) sta ugotovila, da znajo predšolski otroci oceniti, ali je imela neka pretvorba začetnega stanja vpliv na spremembo moči množice ali ne. Med pretvorbami, ki spremenijo moč množice, razlikujejo med povečanjem moči množice in zmanjšanjem moči množice. Pri operaciji seštevanja se ob spremembah začetne množice otroci zavedajo, da se je z množico nekaj zgodilo, da smo dodali predmete. Operacijo odštevanja pa dojemajo kot odvzemanje predmetov iz začetne množice. Zavedajo se, da lahko stanje vrnemo v začetno, če predmete ponovno dodamo. Operacija odštevanja se nanaša na dve množici, pri čemer je ena podmnožica druge (Gelman in Gallistel, 1978, v Manfreda, 2006).

Seštevanje je prva osnovna aritmetična operacija, ki se začne razvijati pri otrocih. Povezana je z operacijo odštevanja. Otroci naj bi na tem področju pridobivali čim bolj raznolike izkušnje.

Seštevanja in odštevanja ne predstavljamo ločeno, saj sta v življenjskih situacijah vedno povezana. Nastopata v različnih strukturah, ki jih moramo predstaviti otrokom, situacije

(15)

9

moramo oblikovati tako, da nastopajo vse strukture. Strukture seštevanja in odštevanja so del – del – celota, struktura spremembe in struktura primerjanja (Lipovec in Antolin Drešar, 2019).

Baroody in Lai (2007, v Podgoršek in Lipovec, 2018, str. 176) zapišeta, da je konstruiranje razumevanja principa inverznosti seštevanja in odštevanja mejnik, ki pri otrocih spodbudi sposobnosti logičnega sklepanja. Princip inverznosti pravi, da je odštevanje nasprotna operacija od seštevanja (Podgoršek in Lipovec, 2018, str. 176).

2.3.1.1. Razvoj strategij seštevanja in odštevanja

Razvoj strategij seštevanja in odštevanja delimo na naslednje stopnje (Fuson, 1992, Baroody in Ginsburg, 1986, Kavkler, 1997, v Manfreda, 2006):

1. konkretno štetje,

2. konkretno verbalno štetje, 3. verbalno-mentalno štetje,

4. izpeljan priklic dejstev in priklic aritmetičnih dejstev.

Pri prvi stopnji, torej konkretnem štetju, se otrok s problemsko situacijo sreča pri neposrednem stiku s predmeti. Pomen naloge se lahko razbere iz konkretne predstavite naloge, zato se otroku ni treba odločati, ali naj sešteva ali odšteva. Take načine predstavitve naloge zna otrok rešiti direktno in mu je ni treba pretvoriti v simbolni matematični zapis (Carpenter, Hiebert in Moser, 1983). Primer konkretnega štetja je na primer, da otroku pokažemo sedem predmetov in nato dva odvzamemo. Otrok lahko nalogo reši na osnovi tega, kar vidi. Pretvarjanje naloge v simbolni zapis 7 – 2 bi otroku le otežilo postopek reševanja. Če se v nalogah pojavljajo majhna števila, otroci uporabijo strategijo neposrednega zaznavanja vzorca, pri večjih številih pa uporabijo števne postopke (Manfreda, 2006, str. 41).

Po Manfredi (2006) otroci za določanje moči množice uporabljajo različne strategije:

• seštevanje:

o štetje, podkrepljeno s fizičnim manipuliranjem s predmeti;

o štetje brez fizičnega manipuliranja s predmeti;

• odštevanje:

o otrok od začetnega števila predmetov odstranjuje zahtevano število predmetov in prešteje preostale predmete;

o otrok pripravi začetno število predmetov, prešteje število predmetov, ki ustrezajo odštetemu številu, in odstrani ostale; nato prešteje odstranjene predmete;

o otrok pripravi število odvzetih predmetov in dodaja predmete, dokler ne doseže začetnega stanja; prešteje dodane predmete;

o otrok pripravi začetno število predmetov in število predmetov, ki jih je treba odšteti, ter jih vzporeja; prešteje predmete, ki nimajo para.

Druga stopnja strategij seštevanja in odštevanja je konkretno verbalno štejte. Na tej stopnji otrok ni več preskrbljen s konkretnim materialom in to ga spodbudi, da poišče nov način ponazoritve računa, tako da si pomaga s prsti na roki (Manfreda, 2006, str. 41). Postopki štetja

(16)

10

na prste so si podobni pri seštevanju in odštevanju, ločimo pa štetje vseh iztegnjenih prstov in štetje od prvega seštevanca naprej s pomočjo prstov (prav tam).

Naslednja stopnja je verbalno-mentalno štetje. Tu gre za skrajšane postopke verbalnega štetja, ki nadomestijo štetje konkretnih predmetov in štetje na prste. K. Fuson (1992, v Manfreda, 2006) loči:

• štetje vsega: otrok ne šteje najprej seštevancev in nato njune vsote, temveč takoj preide na štetje vsote;

• štetje od prvega seštevanca naprej: otrok za prvi seštevanec uporabi kardinalno število;

to strategijo lahko uporabi za seštevanje in tudi odštevanje;

• štejte nazaj: to strategijo otrok uporabi pri odštevanju, tako da nadzoruje število izgovorjenih števnikov, ki sledijo začetnemu številu.

Zadnja stopnja razvoja strategij seštevanja in odštevanja pa je izpeljan priklic dejstev in priklic aritmetičnih dejstev. Uporablja se za reševanje kompleksnejših nalog. To je najhitrejša in najučinkovitejša metoda, pri kateri si otrok nekatere račune lažje zapomni, posebej tiste, pri katerih sta seštevanca enaka (4 + 4 = 8). Ti rezultati nato otroku pomagajo kot osnova pri zahtevnejših računih (5 + 4 izračuna tako, da iz spomina prikliče vsoto 4+4 in doda 1). Že otroci v predšolskem obdobju lahko prikličejo aritmetična dejstva, in sicer za lažje račune, na primer 1 + 2 (Manfreda, 2006).

2.4. MATEMATIKA V VRTCU

V Kurikulumu za vrtce (1999) ni ciljev in primerov dejavnosti, ki bi govorili neposredno o besedilnih nalogah. So pa v ciljih in primerih dejavnosti na področju matematike in tudi na področju jezika zastopani napotki, ki pri otroku razvijajo spretnosti, ki jih bo potreboval za reševanje besedilnih nalog. Največ teh je vezanih na štetje in operaciji seštevanja ter odštevanja.

Tako so med globalnimi cilji na področju matematike naslednji: razvijanje matematičnega izražanja, razvijanje matematičnega mišljenja in razvijanje matematičnih spretnosti. Vsi ti cilji bodo posredno pripomogli k otrokovi sposobnosti reševanja besedilnih nalog. Kar nekaj ciljev in dejavnosti govori o štetju in računskih operacijah: otrok razvija miselne operacije, ki so osnova za seštevanje in odštevanje; razdeljuje skupino objektov na dve ali več enako velikih skupin in pri tem opazuje, kako velike so nastale skupine in kaj ostane; iz posameznih delov sestavi celoto; šteje nazaj; šteje predmete v skupinah, potem ko je večjo skupino razdelil;

posebej šteje manjše skupine v večji skupini; šteje s prsti; prišteva in odšteva; šteje predmete po odvzemanju in dodajanju; sešteva in odšteva, ko odgovarja na enostavna vprašanja vsakdanjih opravkov; pogovarja se z odraslimi o tem, koliko reči še manjka (na primer: »Štirje krožniki so na mizi, koliko jih še manjka, da bomo vsi lahko jedli?«). Na tem področju je izpostavljena tudi vloga odraslega, ki pri mlajših otrocih ob štetju uporablja prste, tako da otrok vidi in ponavlja. Ko otroku zmanjka prstov, ker šteje že več stvari, mu odrasli pokaže več načinov, kako si lahko pomaga z drugimi pripomočki. Odrasli tudi opazuje, kdaj otroci neformalno v pogovoru uporabljajo seštevanje in odštevanje ali rezultate teh operacij, in otrokom pomaga, če si to želijo. Med dejavnostmi je tudi nekaj takih, ki govorijo o seznanjanju otrok s simboli, kar jim bo kasneje prav tako pomagalo pri reševanju besedilnih nalog. Take dejavnosti so na primer: otrok uporablja simbole; s simboli zapisuje dogodke in opisuje stanje;

(17)

11

otrok si izbere simbol zase in za svoje reči; otrok opazuje rabo simbolov in sodeluje v pogovorih o pomenu simbolov in otrok si s simboli na sprehodu označuje, koliko avtomobilov in koliko koles je srečal. Na številke in računske operacije so vezane tudi naslednje dejavnosti: otrok se igra s kalkulatorjem in drugimi objekti, ki prikazujejo številke; otrok razmišlja o smiselnosti rezultatov in otrok se igra trgovino. Vloga odraslega je tudi, da otroku pokaže, da je rezultat pomemben in da svoje veselje ob uspešni otrokovi rešitvi problema vedno pokaže tudi otroku.

Področje jezika v Kurikulumu (1999) je s področjem matematike močno povezano, saj so za razumevanje matematike in za reševanje matematičnih nalog zelo pomembne bralne sposobnosti. V predšolskem obdobju večina otrok še ne zna brati, razvijajo pa že določene predbralne in predpisalne sposobnosti, jezikovno zmožnost in spretnosti komunikacije, kar je nujno za sporočanje njihovega matematičnega razmišljanja. Pomembni cilji te problematike na področju jezika so: poslušanje, razumevanje in doživljanje jezika;

otrok v vsakodnevni komunikaciji posluša jezik in je vključen v komunikacijske procese z otroki in odraslimi; otrok razvija jezikovno zmožnost v različnih funkcijah in položajih ob vsakodnevnih dejavnostih in v različnih socialnih situacijah; otrok razvija jezik na vseh jezikovnih ravninah; otrok doživlja in spoznava verbalno komunikacijo kot vir ugodja, zabave in reševanja problemov; otrok razvija predbralne in predpisalne sposobnosti in spretnosti; otrok se uči samostojno pripovedovati; otrok razvija sposobnost rabe jezika v povezavi z mišljenjem pri oblikovanju predpojmovnih struktur (število, količina, teža, prostor, čas) pri medosebnih odnosih ter otrok se ustvarjalno izraža v jeziku. Kurikulum (1999) predlaga tudi nekaj dejavnosti, ki spodbujajo otrokove jezikovne zmožnosti in pomagajo pri kasnejšem uspešnem reševanju besedilnih nalog: otrok postavlja vprašanja in odgovarja nanje; komunicira z otroki v skupini; aktivno rešuje probleme v procesu jezikovne komunikacije; spoznava vlogo simbolov in pisnega jezika; preizkuša nove oblike verbalne komunikacije; spoznava pisni jezik in njegovo vlogo; sodeluje v komunikaciji v manjših skupinah ali v parih ter v komunikaciji z odraslimi in otroki ter uporablja različne vrste simbolov, s katerimi izraža svoje misli. Vloga odraslega na tem področju je, da otroku nudi možnost, da je ustvarjalen v jeziku.

Matematični globalni cilji so v Kurikulumu za vrtce (1999) zaradi didaktičnih namenov zapisani ločeno po področjih. V realni situaciji v vrtcu pa se pri vsakodnevnih situacijah in tudi pri posebej načrtovanih dejavnostih med seboj povezujejo in prepletajo. Kurikulum je izvedljiv le kot celota, zato je tudi matematika uresničljiva le, če se povezuje z drugimi področji (Japelj Pavešič, 2001):

• jezik: otrok se matematično izraža in spoznava imena za matematične pojme,

• umetnost: brez matematike se je ne da predstaviti (perspektiva v umetnosti in ritem v glasbi),

• naravoslovje: merjenje in iskanje splošnih lastnosti pojavov,

• gibanje: večina pogovorov vključuje matematične izraze,

• družba: otrok se v interakciji z vrstniki pogaja, rešuje probleme in logično sklepa.

Matematika tako tudi na drugih področjih predstavlja sredstvo za doseganje ciljev (Japelj Pavešič, 2001).

Otrok ob pridobljenih izkušnjah spozna, da lahko nekatere vsakodnevne probleme učinkoviteje reši, če uporablja »matematične« strategije mišljenja. Ko najde rešitev, je vesel in zato išče nove situacije, ki so mu izziv in potrdijo njegovo smer razmišljanja (Kurikulum, 1999).

(18)

12

Otroci imajo že v vrtcu veliko priložnosti za sodelovanje pri različnih matematičnih dejavnostih, s katerimi dobivajo odgovore na svoja matematična vprašanja. Pomembno je, da je matematika del igre in vsakodnevnih dejavnosti. Otrok se matematiko uči po majhnih korakih, s ponavljanjem in opazovanjem vrstnikov ter vzgojiteljice. Za matematične igre uporablja svoje vsakodnevno okolje in predmete, ob tem pa govori in uporablja svoje telo, da razvija spretnosti. Medtem ko se igra, se uči in to počne z veseljem. Vzgojiteljica na podlagi njegovega obnašanja prepoznava zanj ustrezne matematične cilje in na osnovi teh načrtuje vključitev matematike v njegovo bivanje v vrtcu. Otroku načrtno ponuja priložnosti za uporabo matematičnega mišljenja (Japelj Pavešič, 2001).

Najprimernejši način za zgodnje učenje matematike v vrtcu je, da se vzgojiteljica vključi v otrokovo igro in jo obogati z matematičnimi cilji. Prevzame vlogo enakopravnega igralca, otroku pa prepusti pobudo za nadaljevanje igre. Med igro in po njej otroku zagotovi dovolj časa, da pride do nove izkušnje. Pozorna mora biti na to, da je matematika za otroka naporna in da ne more ostati zbran dlje časa. Matematične aktivnosti zahtevajo mnogo koncentracije, zato morajo biti dejavnosti načrtovane tako, da ima tudi sama možnost biti ves čas zbrana, otroku natančno in premišljeno odgovarja na matematična vprašanja in matematične aktivnosti ne zaključi nedokončane. Enakomerno mora izkoriščati priložnosti za matematiko ob vsakodnevnih opravilih in omogočati izvedbo vnaprej načrtovanih matematičnih aktivnosti. Na obe možnosti se mora vnaprej pripraviti, da ustvari priložnost za doseganje matematičnih ciljev (prav tam).

Sporočila iz okolja otroku kažejo, na kakšen način je matematika del vsakdanjega okolja. V igralnici je treba na dostopna mesta postaviti ustrezne igrače (prav tam):

• igrače, ki nastopajo v mnogo koščkih: kocke, gumbi, sestavljanke, plastični žebljički, barvice, avtomobili;

• igrače, s katerimi gradimo in sestavljamo: kocke, mivka v peskovniku;

• igrače, ki vsebujejo številke: telefoni, plastični denar, družabne igre, ploščice s številkami;

• igrače za merjenje in igranje z razsutimi stvarmi: lopate, modelčki, lončki, metri, tehtnice, vrvi.

Vzpodbudno okolje dopolnjujejo tudi sporočila, ki jih obesimo na steno v igralnici: koledarji, ure, plakati s številkami, grafični prikazi in načrti. V garderobi in toaletnih prostorih so obešeni različni grafični prikazi in simboli (simboli otrok nad omaricami, nalepke z napisi, simbol skupine na vratih, tabla za sporočila staršem, grafični prikazi za umivanje rok). Vzgojiteljica mora okolje spreminjati in prilagajati glede na zanimanje in potrebe otrok. Igrače, po katerih otroci ne posegajo, za nekaj časa umakne in jih nadomesti z drugimi. Mesta igrač označi s simboli (prav tam).

Z matematiko se otroci srečujejo tudi ob vsakodnevnih dejavnostih. Ob prihodu v vrtec lahko vzgojiteljica izpelje pogovor o obuvanju levega in desnega copata, nato z otroki narišejo prikaz prisotnosti otrok v vrtcu in se pogovorijo o razporedu dejavnosti tistega dne po urah. Pri obrokih otroci preštejejo sebe in potrebni pribor, zložijo prtičke na trikotnike in jih položijo na desno stran krožnika. Z vzgojiteljico se pogovarjajo o količinah hrane in jih primerjajo med seboj. Ko pojejo, razvrstijo pribor in krožnike na voziček. Pred spanjem razporejajo ležalnike, dogovorijo se, kdo bo spal levo in kdo desno od koga, ugotovijo, koliko je ura, ko gredo počivat, in odložijo copate in oblačila na za to določena mesta. Take dejavnosti otroci vsakodnevno izvajajo, zato

(19)

13

so jim blizu in ob njih nimajo občutka, da s tem dokazujejo matematično znanje ter posledično niso obremenjeni s samodokazovanjem. Ko se pripravljajo na odhod na sprehod, se pogovarjajo o levih in desnih čevljih, številu gumbov, vzorcih na kapah in velikosti obutve in oblačil.

Ugotovijo, koliko je ura, ko odidejo in kam bodo zavili, levo ali desno. Dogovorijo se, kaj bodo opazovali na poti, na primer šteli rdeče avtomobile. Opazovati morajo otroci sami, kasneje pa se pogovorijo o razlikah v opazovanju. Pred sprehodom lahko tudi napovejo dogodke, na primer koliko kolesarjev bodo srečali, jih med sprehodom štejejo in na koncu ugotovijo, za koliko so se zmotili. Ko se otroci igrajo zunaj, z vzgojiteljico v pesek rišejo geometrijske like in hodijo po njih. Po različno strmih klancih kotalijo različne predmete in opazujejo, kateri se ustavi najdlje in kateri pride prej. Štejejo oddaljene stvari, zbirajo kamenčke in se igrajo z njimi. S svojimi koraki merijo različne razdalje. Tipajo dele rastlin in se pogovarjajo, kaj je oglato, mehko, okroglo in ostro. Iščejo primere matematičnih teles (žoge, kamenčki, prometni znaki, stavbe). Predmete, ki jih naberejo v naravi, razvrščajo v skupine po obliki in jih primerjajo po teži. S skrivanjem predmetov in sledenjem potki vadijo pojme levo, desno, zadaj, nad … Štejejo lahko tudi poskoke, mečejo žogice in merijo, kako daleč so padle, tekmujejo v teku ter vadijo števnike in stopnjevanje pridevnikov (prvi, drugi, hitro, hitreje, dlje, najdlje, manj močno, močneje). Pomembno je, da vzgojiteljica pri izbiri matematičnih dejavnosti sledi motivaciji otrok (prav tam).

Otrok se lahko matematike uči tudi z igrami na računalniku. Vzgojiteljica mora poskrbeti za ustrezno časovno dolžino igranja in za primernost iger, ki otroku omogočijo pridobiti znanje, uporabno zunaj računalnika (logično sklepanje, matematične igre, povezava števil in količin) (prav tam).

(20)

14

3. EMPIRIČNI DEL

3.1. OPREDELITEV PROBLEMA

Otroci najstarejše starostne skupine v vrtcu, ki so stari od pet do šest let, večinoma še ne znajo brati in pravilno zapisovati številk. Pri reševanju zahtevnejših nalog težje ostanejo zbrani dlje časa. V vrtcu se izvaja veliko različnih matematičnih dejavnosti, ki naj bi bile otrokom zanimive in katerih izvajanje ni predolgo, da otroci ne izgubijo zanimanja.

Ko sem opravljala prakso v prvem razredu osnovne šole, sem opazila, da morajo otroci reševati že kar zahtevne matematične naloge, ki lahko precej časa zahtevajo učenčevo zbranost in napor.

V našem prostoru še ni bilo opravljenih dosti raziskav, ki bi ugotavljale uspešnost predšolskih otrok pri reševanju besedilnih nalog, zato sem se odločila, da v vrtcu izvedem raziskavo o reševanju besedilnih nalog.

Zanimalo me je predvsem, kako uspešni so predšolski otroci pri reševanju besedilnih nalog in kaj bi to lahko pomenilo za delo v vrtcu. Ugotavljala sem, ali bodo otroci besedilne naloge znali rešiti s pomočjo vseh treh vrst reprezentacij (konkretne, grafične in simbolne), ali bo morda konkretna reprezentacija prevladovala in simbolne sploh ne bodo znali ponazoriti. Želela sem ugotoviti, ali je uspešnost reševanja besedilne naloge odvisna od reprezentacije, ter izvedeti, katera reprezentacija je otrokom najbližje, torej bi jo sami izbrali za reševanje besedilnih nalog.

Naloge sem poskušala zastaviti tako, da so bile otrokom zanimive in hkrati ne preveč kompleksne. Za boljši vpogled v otrokovo razmišljanje ob reševanju besedilnih nalog, sem izvedla sem tudi polstrukturirani intervju po modelu NRICH.

V raziskavi sem uporabila enostopenjske besedilne naloge, ki so za reševanje predpostavljale operacijo seštevanja, in enostopenjske besedilne naloge, ki so za reševanje predpostavljale operacijo odštevanja. Glede na povezavo med količinami v nalogah so naloge opisovale spreminjanje količin. Začetno stanje in sprememba sta bili znani, rezultat pa je bil neznanka.

3.2. RAZISKOVALNA VPRAŠANJA

Pri raziskovanju uspešnosti predšolskih otrok pri reševanju besedilnih nalog sem si zastavila naslednja raziskovalna vprašanja:

1. Kako uspešno otroci rešujejo besedilne naloge?

2. Ali otrokom uspe rešiti besedilne naloge s konkretno, grafično in simbolno reprezentacijo?

3. V kakšni relaciji je reprezentacija besedilne naloge z uspešnostjo reševanja besedilnih nalog pri otrocih?

4. Katero reprezentacijo otroci najpogosteje izberejo za reševanje besedilnih nalog?

(21)

15

3.3. RAZISKOVALNA METODOLOGIJA

3.3.1. Raziskovalna metoda

Uporabila sem deskriptivno neeksperimentalno metodo pedagoškega raziskovanja.

3.3.2. Raziskovalni vzorec

Empirični del diplomskega dela sem izvedla v Marijinem vrtcu v Cerkljah. Vzorec predstavlja 20 otrok, šest dečkov in 14 deklic, starih pet in šest let, ki obiskujejo predšolsko skupino. Pred izvajanjem sem pridobila dovoljenja staršev, da njihove otroke vključim v raziskavo. Skupina otrok obiskuje vrtec v podeželskem okolju, ki se zavzema za to, da otroci čim več časa preživijo v naravi.

3.3.3. Postopek zbiranja podatkov

Podatke sem zbirala v juniju 2020. Uporabila sem individualno obliko dela. En otrok je reševal naloge, ostali so se medtem prosto igrali.

Moje zbiranje podatkov je potekalo po naslednjih korakih:

1. Otroku sem prebrala besedilno nalogo.

Nik ima v košarici tri kocke. Z mize vzame še dve kocki in ju da v košarico. Koliko kock ima v košarici? Nik nato eno kocko vzame iz košarice in jo odloži na mizo. Koliko kock ima sedaj v košarici?

2. Razložila sem mu, da si lahko pri reševanju te naloge pomagamo na tri načine. Najprej sem mu dogajanje prikazala z lutko, košarico in kockami. Nato sem mu na list papirja narisala košarico in vanjo kocke. Ko je Nik dve kocki dodal, sem ju narisala. Ko je eno odvzel, sem jo prečrtala. Nato sem otroku povedala, da dogajanje lahko zapišemo tudi s številkami. Napisala sem računa za seštevanje in odštevanje na list in otroku razložila, da ko nekaj dodamo, napišemo plus, in ko nekaj odvzamemo, napišemo minus. Nato sem mu povedala, da mu bom sedaj prebrala nekaj nalog, in ga povabila, da jih poskuša rešiti na različne načine: s pomočjo konkretne, grafične in simbolne reprezentacije.

3. Prebrala sem mu besedilno nalogo, ki je za reševanje predpostavljala operacijo seštevanja:

Besedilna naloga »Potniki na vlaku«: Z vlakom so se vozili trije prijatelji. Na postaji sta vstopila še dva. Koliko prijateljev je bilo na vlaku?

4. Otroku sem zastavila naslednja vprašanja, s čimer sem ga spodbudila, da je nalogo rešil na vse tri načine (konkretno, grafično in simbolno):

(22)

16

• Kako bi z materialom pokazal, kaj se je zgodilo?

• Kako bi na papir narisal, kaj se je zgodilo?

• Kako bi s številkami napisal, kaj se je zgodilo?

Otrok je imel na voljo dovolj konkretnega materiala za pomoč. Ponudila sem mu vlak iz kock ter figure potnikov. Za grafično in simbolno reprezentacijo sem mu ponudila svinčnik in list papirja.

5. Zapisala sem si, kakšna je bila konkretna reprezentacija otroka in dokumentirala njegovo grafično ter simbolno reprezentacijo.

6. Ko je rešil nalogo na vse tri načine, sem mu ponudila dve razširitvi naloge in mu rekla, da jo lahko reši na poljuben način. Če želi, si lahko pomaga z materialom, lahko si kaj nariše ali napiše. Opazovala sem, za katero reprezentacijo reševanja se je odločil.

Razširitvi:

Kaj pa če je na vlaku najprej le en otrok in na postaji vstopijo trije njegovi prijatelji? Koliko jih je potem na vlaku? Kako bi rešil to nalogo?

Kaj pa če so na vlaku že štirje prijatelji in na postaji vstopi še eden? Koliko jih je potem na vlaku? Kako bi rešil to nalogo?

7. Če je otrok rešil razširitvi s pomočjo konkretne reprezentacije, sem si zapisala, ali je bila pravilna, če ju je rešil z grafično ali simbolno reprezentacijo, sem prav tako presodila o pravilnosti in jo dokumentirala.

8. Ko je otrok rešil obe razširitvi besedilne naloge na poljuben način, sem mu prebrala besedilno nalogo, ki je za reševanje predpostavljala operacijo odštevanja.

Besedilna naloga »Prašički v ogradi«: V ogradi je bilo pet prašičkov. Eden je pobegnil. Koliko prašičkov je bilo v ogradi?

9. Ponovila sem enak postopek kot pri nalogi za seštevanje in otroku zastavila vprašanja:

• Kako bi z materialom pokazal, kaj se je zgodilo?

• Kako bi na papir narisal, kaj se je zgodilo?

• Kako bi s številkami napisal, kaj se je zgodilo?

10. Ponovno sem otroku ponudila konkreten material, list papirja in svinčnik.

11. Zapisala sem si, kakšna je bila konkretna reprezentacija otroka in dokumentirala njegovo grafično ter simbolno reprezentacijo.

12. Ko je nalogo rešil na vse tri načine, sem mu prebrala dve razširitvi naloge in mu rekla, da jo lahko reši na poljuben način. Če želi, si lahko pomaga z materialom, lahko si kaj nariše ali napiše. Opazovala sem, za katero reprezentacijo reševanja se je odločil.

Razširitvi:

Kaj pa če so v ogradi najprej trije prašički in potem dva pobegneta? Koliko jih ostane v ogradi?

Kako bi rešil to nalogo?

(23)

17

Kaj pa če so v ogradi najprej štirje prašički in potem dva pobegneta? Koliko prašičkov je potem v ogradi? Kako bi rešil to?

13. Če je otrok rešil razširitvi s pomočjo konkretne reprezentacije, sem si zapisala ali je bila pravilna, če ju je rešil z grafično ali simbolno reprezentacijo, sem prav tako presodila o pravilnosti in jo dokumentirala.

Med celotnim postopkom zbiranja podatkov sem z otroki vodila polstrukturirani intervju s tipi vprašanj po modelu NRICH (NRICH, 1997). To so štirje tipi vprašanj, in sicer vprašanja za opisovanje, utemeljevanje, razširjanje situacije in reprezentiranje idej. Otrokom sem zastavljala vprašanja vseh tipov, na primer:

• Opisovanje: Povej mi, koliko kock vidiš v košari? Koliko jih je sedaj? Koliko figuric potrebuješ? Kaj boš sedaj naredil/a? Kaj se je potem zgodilo? Koliko jih boš dal/a v ogrado?

• Utemeljevanje: Zakaj pa? Kako veš, da jih imaš dovolj? Ali jih še kaj potrebuješ? Kako to veš? Zakaj so le trije notri? Zakaj je ta prašiček zunaj?

• Razširjanje situacije: Kaj pa če so na vlaku že štirje prijatelji in na postaji vstopi še eden? Kaj pa če so v ogradi najprej trije prašički in potem dva pobegneta?

• Reprezentiranje idej: Kako bi z materialom pokazal, kaj se je zgodilo? Kako bi na papir narisal, kaj se je zgodilo? Kako bi s številkami napisal, kaj se je zgodilo?

3.3.4. Postopek obdelave podatkov

Naredila sem kvalitativno analizo zbranih podatkov. Analizirala sem, kako otrok prehaja med reprezentacijami in koliko mu posamezna vrsta reprezentacije predstavlja problem. Preverila sem, katere reprezentacije so otroci izbirali za razširjeno besedilno nalogo in s tem ugotavljala pogostost rabe posamezne. Podatki so obdelani opisno. Izvedene dejavnosti sem analizirala z vidika raziskovalnih vprašanj z opazovanjem otrok pri reševanju besedilnih nalog ter na podlagi zapiskov in dokumentiranih simbolnih ter grafičnih reprezentacij otrok.

(24)

18

3.4. REZULTATI IN INTERPRETACIJA

V nadaljevanju predstavljam rezultate, ki sem jih pridobila med raziskovanjem reprezentiranja reševanja besedilnih nalog pri predšolskih otrocih in s katerimi sem poskušala odgovoriti na raziskovalna vprašanja. Za boljši prikaz dejavnosti je interpretacija rezultatov dopolnjena s fotografijami.

3.4.1. Kako uspešno otroci rešujejo besedilne naloge?

Zbrala in uredila sem rezultate vseh otrok. Najprej sem prikazala vse reprezentacije posameznega otroka, v nadaljevanju pa sem jih še posebej kategorizirala. Prikazane so grafične in simbolne reprezentacije vsakega otroka. Pri vsakem otroku je napisano, kako je rešil razširitve besedilnih nalog. Razširitve so bile zelo podobne osnovni nalogi, le da so vsebovale druge številke. Otrok si je lahko pri reševanju razširitev pomagal z materialom, z grafično ali simbolno reprezentacijo ali kako drugače. Glede na to, na kakšen način je prišel do rezultata razširitve naloge, sem poskušala določiti, na kateri stopnji razvoja strategij seštevanja in odštevanja je.

3.4.1.1. Reševanje besedilnih nalog

• OTROK 1

o Besedilna naloga »Potniki na vlaku«

Grafična reprezentacija: otrok je narisal semikonkretno grafično reprezentacijo. Na njej je upodobil le končno stanje. Prijatelje je narisal skupaj, končni izdelek ne vsebuje informacije o dogajanju.

Simbolna reprezentacija: otrok je dogajanje ponazoril s simbolnim zapisom z napako. Zapisal je vse številke, ki nastopajo v računu, manjka pa simbol »=«. Zapis je vodoraven.

(25)

19

Razširitev 1: otrok je razširitev rešil na pamet, brez pomoči reprezentacij, glede na to je na stopnji priklica dejstev.

Razširitev 2: otrok je razširitev rešil s pomočjo konkretne reprezentacije, glede na to je na stopnji konkretnega štetja.

o Besedilna naloga »Prašički v ogradi«

Grafična reprezentacija: otrok je narisal semikonkretno grafično reprezentacijo. Na njej je upodobil začetno in končno stanje. Narisal je začetno število prašičkov in enega prečrtal.

Simbolna reprezentacija: otrok je dogajanje ponazoril s simbolnim zapisom z nekaterimi napakami. Zapisal je prečrtano začetno stanje in ob njem končno stanje. Manjkata simbola »−«

in »=«.

(26)

20

• OTROK 2

Grafična reprezentacija: otrok je narisal semikonkretno grafično reprezentacijo. Na njej je upodobil začetno in končno stanje. Prijatelje na vlaku je narisal ločeno. Dva potnika, ki sta vstopila na postaji, je narisal na sosednji vagon.

Simbolna reprezentacija: otrok je dogajanje ponazoril s simbolnim zapisom z nekaterimi napakami. Celoten račun je zapisal skoraj povsem ustrezno, številke so narobe obrnjene. Zapis je vodoraven.

Razširitev 1: otrok je razširitev rešil s pomočjo simbolne reprezentacije. Odgovor je povedal zelo hitro, najprej je zapisal račun in nato takoj glasno povedal rezultat, zato sklepam, da je na stopnji priklica dejstev. Simbolni zapis je skoraj pravilen, le vodoraven ni in ena številka je narobe obrnjena.

Razširitev 2: otrok je razširitev rešil s pomočjo simbolne reprezentacije. Odgovor je povedal zelo hitro, najprej je zapisal račun in nato takoj glasno povedal rezultat, zato sklepam, da je na stopnji priklica dejstev. V zapisu manjkata simbola »+« in »=«. Ena številka je narobe obrnjena.

Grafična reprezentacija: otrok je narisal semikonkretno grafično reprezentacijo. Na njej je upodobil le končno stanje. Izdelek ne vsebuje informacije o dogajanju. Nad prašičke je napisal še nekaj številk in zraven razlagal: »Ostanejo štiri, če jih je najprej pet in gre en stran. Potem

(27)

21

so trije, če gre še en stran. Potem sta dva, če gre še en stran. Potem ni več nobenega, če gre še en stran.«

Simbolna reprezentacija: otrok je dogajanje ponazoril s simbolnim zapisom z nekaterimi napakami. Zapisal je vse številke, ki nastopajo v računu, matematični simboli manjkajo. Zapis je vodoraven. Dve številki sta obrnjeni.

• OTROK 3

Grafična reprezentacija: otrok je narisal semikonkretno grafično reprezentacijo. Na njej je upodobil začetno in končno stanje. Prijatelje na vlaku je narisal ločeno. Dva potnika, ki sta vstopila na postaji, je narisal malo stran od prvih treh.

Simbolna reprezentacija: otrok je dogajanje ponazoril s simbolnim zapisom z nekaterimi napakami. Njegov zapis vključuje številko 1, ki ni nastopala v nalogi, račun ni vodoraven,

(28)

22

temveč je zapisan v dveh vrsticah. Številke 5, 3 in 2 so sicer v nalogi nastopale, a niso zapisane v pravilnem vrstnem redu.

Grafična reprezentacija: otrok je narisal semikonkretno grafično reprezentacijo. Na njej je upodobil le končno stanje. Izdelek ne vsebuje informacije o dogajanju.

Simbolna reprezentacija: otrok je dogajanje ponazoril s simbolnim zapisom z nekaterimi napakami. Zapisal je vse številke, ki nastopajo v računu. Vrstni red številk je napačen, namesto simbola »−« je otrok napisal simbol »+«. Račun ni vodoraven, temveč je zapisan v dveh vrsticah.

(29)

23

• OTROK 4

Grafična reprezentacija: otrok je narisal semikonkretno grafično reprezentacijo. Na njej je upodobil začetno in končno stanje. Prijatelje na vlaku je narisal ločeno. Dva potnika, ki sta vstopila na postaji, je narisal na sosednji vagon.

Simbolna reprezentacija: otrok je dogajanje ponazoril s simbolnim zapisom z nekaterimi napakami. Začetno in končno stanje je zapisal pravilno, rezultat pa napačno. Zapis je brez matematičnih simbolov.

Grafična reprezentacija: otrok je narisal semikonkretno grafično reprezentacijo. Na njej je upodobil le končno stanje. Izdelek ne vsebuje informacije o dogajanju.

Simbolna reprezentacija: otrok je dogajanje ponazoril s simbolnim zapisom z nekaterimi napakami. Zapisal je začetno in končno stanje brez spremembe. Matematični simboli v zapisu manjkajo.

(30)

24

• OTROK 5

Grafična reprezentacija: otrok je narisal semikonkretno grafično reprezentacijo. Na njej je upodobil začetno in končno stanje. Prijatelje na vlaku je narisal ločeno. Dva potnika, ki sta vstopila na postaji, je narisal malo stran od prvih treh.

Simbolna reprezentacija: otrok je dogajanje ponazoril s simbolnim zapisom z nekaterimi napakami. Zapisal je številke, ki ustrezajo številu nastopajočih v nalogi, med številkami so plusi. Ni zapisal računa z začetnim stanjem, spremembo in končnim stanjem.