IZPIT IZ MATEMATIKE III 6. september 2006
1. Izraˇcunajte enaˇcbi tangentne ravnine in normalne premice na ploskev
~r(u, v) = (u2, ucosv, usinv) v toˇckiT(2,1,1).
Reˇsitev. Najprej poraˇcunamo/opazimo, da ploskev doseˇze toˇcko T pri v = π4, u =
√2. Raˇcunamo:
~
ru(u, v) = (2u,cosv,sinv)
~ru√ 2,π
4
= 2√
2,
√2 2 ,
√2 2
∼(4,1,1)
~rv(u, v) = (0,−usinv, ucosv)
~ rv√
2,π 4
= (0,−1,1)
~ n√
2,π 4
=~ru
√ 2,π
4
×~rv
√ 2,π
4
= (2,−4,−4)∼(1,−2,−2)
Torej se enaˇcba tangentne ravnine glasi x−2y−2z =−2, enaˇcba normalne premice pax−2 = y−1−2 = z−1−2.
2. Izraˇcunajte krivuljni integral Z
C
(y2−z3)dx+ (z3 −x2)dy+ (x−y)dz, kjer je krivulja C daljica od toˇcke A(1,−1,0) do toˇcke (4,−2,−1).
Z ustreznim kriterijem preverite ˇse, ˇce je ta integral neodvisen od poti.
Reˇsitev. Parametrizacija daljice je x = 1 + 3t, y = −1−t, z =−t, kjer 0 ≤t ≤ 1.
Tako dobimo ˙x= 3,y˙ =−1,z˙ =−1 in integral se prevede do Z 1
0
(−1−t)2 −(−t)3
3 + (−t)3−(1 + 3t)2
(−1) + 1 + 3t−(−1−t) (−1)
dt =
= Z 1
0
4t3+ 12t2+ 8t+ 2dt= (t4+ 4t3+ 4t2 + 2t)
1 0 =
= 11
Iz teorije vemo, da bi bil ta integral neodvisen od poti, ˇce bi bil rotor vektorskega polja V~ = (y2−z3, z3 −x2, x−y) enak~0. Velja pa, da je
rotV~ = (−1−3z2,−3z2 −1,−2x−2y)6= (0,0,0) in zato ta integral ni neodvisen od poti.
3. Izraˇcunajte pretok vektorskega polja
V~ = (4x2−y2−z2,8xy+xz2,cosx3+ 8xz) skozi zakljuˇceno ploskev, ki je rob telesa:
x≥0, y ≥0, z ≥0, x+y+z ≤1.
Reˇsitev. Pomagali si bomo kar z Gaussovo formulo. Tako najprej poraˇcunamo divV = 8x+ 8x+ 8x= 24x in se nam integral prevede do
= Z 1
0
dx Z 1−x
0
dy
Z 1−x−y 0
24x dz = 24 Z 1
0
dx Z 1−x
0
xz
1−x−y
0 dy=
= 24 Z 1
0
dx Z 1−x
0
x−x2−xy
dy= 24 Z 1
0
xy−x2y− xy2 2
1−x
0
dx=
= 24 Z 1
0
x−2x2+x3− x−2x2+x3 2
dx=
= 12x2−16x3+ 6x4−6x2+ 8x3 −3x4
1 0 =
= 1 4. Razvij funkcijo
f(z) = 5z−1 z2−z−2 v Laurentovo vrsto na kolobarju 1<|z|<2.
Reˇsitev. S pomoˇcjo parcialnih ulomkov z25z−1−z−2 = z−2A + z+1B dobimo po reˇsitvi sistema dveh enaˇcb z dvema neznankama, da je z25z−1−z−2 = z−23 + z+12 . Nato pa glede na dano obmoˇcje dalje predelamo:
5z−1
z2−z−2 = 3
z−2+ 2
z+ 1 = 3
−2(1−z2)+ 2
z(1−(−1z)) =
=−3 2
∞
X
n=0
z 2
n
+2 z
∞
X
n=0
−1 z
n
=
=
∞
X
n=0
2(−1)n zn+1 −
∞
X
n=0
3zn 2n+1 5. Izraˇcunaj kompleksni integral
Z
|z−2i|=1
1
z(z−1)(z−i)2 dz,
kjer je integracija v pozitivni smeri.
Reˇsitev. Singularnosti znotraj naˇsega obmoˇcja sta le z = 0 in z = i, tako da upoˇstevamo le ta dva residuuma. Singularnost z = 0 je pol prve stopnje, singular- nost z =ipa pol druge stopnje.
Resz=0 1
z(z−1)(z−i)2 = lim
z→0
1
(z−1)(z−i)2 = 1
(−1)(−i)2 = 1
Resz=i 1
z(z−1)(z−i)2 = lim
z→i
1 z(z−1)
0
= lim
z→i
−2z+ 1
z2(z−1)2 = −2i+ 1 i2(i−1)2 =
= −2i+ 1
−1(−1−2i+ 1) = −2i+ 1
2i =−1− i 2 Integral tako pride
= 2πi
Resz=0 1
z(z−1)(z−i)2 + Resz=i 1
z(z−1)(z−i)2
=
= 2πi
1−1− i 2
=π
Vpraˇsanja in pripombe: kristijan.cafuta@fe.uni-lj.si
