15.oktober2013 GregorDolinar Matematika1

Matematika 1

Gregor Dolinar

Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani

15. oktober 2013

Oglejmo si, kako mnoˇzimo dve kompleksni ˇstevili, dani v polarni obliki.

Naj boz1=r1(cosϕ1+isinϕ1) in z2 =r2(cosϕ2+isinϕ2).

Potem je

z₁·z₂=r₁r₂(cosϕ₁cosϕ₂−sinϕ₁sinϕ₂

+i(cosϕ₁sinϕ₂+ sinϕ₁cosϕ₂))

=r₁r₂(cos(ϕ₁+ϕ₂) +isin(ϕ₁+ϕ₂))

Torej kompleksni ˇstevili zmnoˇzimo tako, da zmnoˇzimo njuni absolutni vrednosti, polarna kota pa seˇstejemo.

Podobno z uporabo adicijskih izrekov pokaˇzemo, da je z₁

z2

= r₁ r2

(cos(ϕ1−ϕ2) +isin(ϕ1−ϕ2)).

V posebnem primeru, ko je z1 =z2 =z =r(cosϕ+isinϕ), dobimo

z²=r²(cos(2ϕ) +isin(2ϕ)), oziroma Moivrovo formulo

zⁿ=rⁿ(cos(nϕ) +isin(nϕ)), kjer je n∈N.

Abraham de Moivre (1667 – 1754)

Ukvarjal se je s teorijo kompleksnih ˇstevil in teorijo verjetnosti. Bil je prijatelj Newtona, Halleya, Sterlinga.

Primer Naj boz =√

2−i√

2. Izraˇcunajmoz⁸.

Kompleksno ˇsteviloz najprej zapiˇsemo v polarni obliki:

◮ |z|= q

(√

2)²+ (−√

2)² = 2

◮ ϕ= arctan⁻√^√2 2 =−^π₄ Sledi z⁸ = (√

2−i√

2)⁸ = 2⁸(cos(8·(−^π4)) +isin(8·(−^π4)))

= 256(cos(−2π) +isin(−2π)) = 256.

Naj boz dano kompleksno ˇstevilo. Poiˇsˇcimo vse reˇsitve enaˇcbe wⁿ=z.

Opomba. Videli bomo, da ima ta enaˇcba n reˇsitev. Izrazu, da jew n-ti koren ˇstevila z se bomo izogibali.

Zapiˇsimo kompleksni ˇstevili z in w v polarni obliki:

z =r(cosϕ+isinϕ),w =ρ(cosψ+isinψ).

Potem je po Moivrovi formuli

ρⁿ(cos(nψ) +isin(nψ)) =r(cosϕ+isinϕ).

Sledi, da je

◮ ρ=r¹ⁿ

◮ ψ= ^ϕ+2kπ_n , kjer je k ∈Z.

Kljub temu, da je k lahko poljubno celo ˇstevilo, dobimo zaradi periodiˇcnosti funkcij sinus in kosinus samo n razliˇcnih vrednosti izraza cos^ϕ+2kπ_n +isin^ϕ+2kπ_n .

Enaˇcba wⁿ=r(cosϕ+isinϕ) iman reˇsitev in sicer w_k =r¹ⁿ

cosϕ+ 2kπ

n +isinϕ+ 2kπ n

, kjer je k = 0,1, . . . ,n−1.

Primer

Poiˇsˇcimo vse reˇsitve enaˇcbe w⁴ =−1 +i.

Kompleksno ˇstevilo−1 +inajprej zapiˇsemo v polarni obliki:

◮ | −1 +i|=p

(−1)²+ 1² =√ 2

◮ ϕ= arctan ¹

−1 = ^3π₄

Primer Sledi

w_k =√⁸ 2 cos

3π 4 + 2kπ

4 +isin

3π 4 + 2kπ

4

! , k = 0,1,2,3.

Dobimo ˇstiri reˇsitve:

◮ w0 =√⁸

2 cos^3π₁₆+isin^3π₁₆

◮ w1 =√⁸

2 cos^11π₁₆ +isin^11π₁₆

◮ w₂ =√⁸

2 cos^19π₁₆ +isin^19π₁₆

◮ w3 =√⁸

2 cos^27π₁₆ +isin^27π₁₆

Definicija zaporedja

Definicija

Zaporedje realnih ˇstevil je predpis, ki vsakemu naravnemu ˇstevilu priredi realno ˇstevilo.

1 2 3 . . . n . . .

↓ ↓ ↓ ↓

a1 a2 a3 . . . a_n . . .

Realno ˇstevilo a_nimenujemo n-ti ˇclen zaporedja, ˇstevilon pa indeks ˇclena a_n.

Cleni zaporedja so torej urejeni in jih lahko zapiˇsemo po vrstiˇ a₁,a₂,a₃, . . .

Zaporedje a₁,a₂,a₃, . . . kratko zapiˇsemo {a_n}n∈N, a_n imenujemo sploˇsni ˇclen zaporedja.

Zaporedje ponavadi ˇse krajˇse zapiˇsemo{a_n}. V nekateri literaturi je zaporedje zapisano (a_n).

Zaporedje lahko definiramo na veˇc naˇcinov:

◮ sploˇsni ˇclen a_n je podan s predpisom odvisnim od n (eksplicitni zapis)

◮ naˇstejemo nekaj zaˇcetnih ˇclenov, sploˇsni ˇclen a_n pa je podan s predpisom odvisnim od prejˇsnjih ˇclenov a_n−1,a_n−2,. . .

(rekurzivni zapis)

Clene zaporedjeˇ {a_n} lahko zelo nazorno predstavimo tudi s toˇckami (n,a_n) v ravnini ali s toˇckami a_n na ˇstevilski premici.

Primer 2,5,8,11, . . . a_n= 3n−1

a₁ = 2, a_n=a_n−1+ 3

2 4 6 8 10

10 15 20 25

Aritmetiˇcno zaporedje

a_n+1 =a_n+d

Razlika poljubnih dveh zaporednih ˇclenov je konstantna. To razliko d imenujemo tudi diferenca aritmetiˇcnega zaporedja.

a_n=a1+ (n−1)d

Primer 1 2,1

4,1 8, 1

16, . . . a_n= ₂¹n

a1 = ¹₂,a_n= ¹₂a_n−1

2 4 6 8 10

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Geometriˇcno zaporedje

a_n+1=a_nq

Koliˇcnik poljubnih dveh zaporednih ˇclenov je konstanten. Ta koliˇcnik q imenujemo tudi kvocient geometriˇcnega zaporedja.

a_n=a₁qⁿ⁻¹

Primer 1,1,1,1, . . . a_n= 1

a1 = 1, a_n=a_n−1

a_n= ² √^{− 2}

1,1,2,3,5, . . .5

a₁ = 1, a₂ = 1,a_n=a_n−1+a_n−2 Fibonaccijevo zaporedje

10 20 30 40 50

Oglejmo si nekaj lastnosti zaporedij.

Definicija

Zaporedje {a_n} jenaraˇsˇcajoˇce, ˇce je a_n+1 ≥a_n za vsakn ∈N, in strogo naraˇsˇcajoˇce, ˇce jea_n+1>a_n za vsak n∈N.

Zaporedje {a_n} jepadajoˇce, ˇce jea_n+1 ≤a_n za vsakn ∈N, in strogo padajoˇce, ˇce jea_n+1<a_n za vsak n∈N.

Zaporedje je monotono, ˇce je naraˇsˇcajoˇce ali padajoˇce.

Definicija

Zaporedje {a_n} jenavzgor omejeno, ˇce obstaja tako realno ˇstevilo M, da je a_n≤M za vsak n∈N. ˇStevilo M imenujemozgornja meja zaporedja {a_n}.

Zaporedje {a_n} jenavzdol omejeno, ˇce obstaja tako realno ˇstevilo m, da je a_n≥m za vsakn∈N. ˇStevilom imenujemospodnja meja zaporedja {a_n}.

Zaporedje je omejeno, ˇce je navzgor in navzdol omejeno.

Primer

a_n= 3 4 − 1

2ⁿ

2 3 4 5 6

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Opomba

Ce jeˇ M zgornja meja zaporedja{a_n}, potem je vsako realno ˇsteviloN>M tudi zgornja meja zaporedja{a_n}.

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Definicija

Najmanjˇso izmed vseh zgornjih mej zaporedja {a_n}imenujemo natanˇcna zgornja meja alisupremum zaporedja{a_n}in piˇsemo

M₀= sup

n∈N

a_n.

Najveˇcjo izmed vseh spodnjih mej zaporedja {a_n}imenujemo natanˇcna spodnja meja ali infimumzaporedja{a_n} in piˇsemo

m0 = inf

n∈Na_n.

Naj boM0 natanˇcna zgornja meja. To pomeni, da je to najmanjˇsa izmed vseh zgornjih mej. ˇCe jo torej zmanjˇsamo za katerokoli, ˇse tako majhno ˇstevilo ε >0, potem M₀−ε ni veˇc zgornja meja.

To pa pomeni, da obstaja vsaj en tak ˇclen a_n0 zaporedja {a_n}, da je a_n0 >M₀−ε.

Razmislili smo, da je M0 supremum zaporedja {a_n} natanko tedaj, ko za vsak ε >0 obstaja tak indeks n₀, da je a_n0>M₀−ε.

Podobno velja, da je m₀ infimum zaporedja{a_n}natanko tedaj, ko za vsak ε >0 obstaja tak indeks n₀, da je a_n0 <m₀+ε.

Opomba

Natanˇcno zgornja meja in natanˇcna spodnja meja nista nujno ˇclena zaporedja.