Izpit iz GEOMETRIJE
1. september 2005 Vpisna ²tevilka:
Ime in priimek:
1. V realni ani ravnini R2 je dana ana transformacija τ(u) = Au+b. Denimo, da ima matrika Adve razli£ni realni lastni vrednosti. Pokaºi, da obstaja negibna premica zaτ. Koliko negibnih premic ima lahkoτ? 2. V projektivni ravnini sta dani dve razli£ni premici a in b in na vsaki po tri razli£ne to£ke: A1, A2 in A3 na a ter B1, B2 in B3 na b. Pred- postavimo, da se premice A1B1, A2B2 in A3B3 sekajo v eni to£ki. S pomo£jo Desarguesovega izreka dokaºi, da so to£keC1 =A2B3∩A3B2, C2 =A1B3∩A3B1 inC3 =A1B2∩A2B1 kolinearne.
3. Ozna£imo z M matriko
1 2 −1
−1 0 1 1 1 0
in naj bo θM projektivnost porojena z M v realni projektivni ravnini.
Dani sta ²e premica l z ena£bo x+y= 0 in premica mz ena£bo z = 0. Pokaºi, da projektivnostθM porodi projektivnostθb:=θM :l→m. Ali je bθ perspektivnost? e ni, poi²£i taki perspektivnosti η1 inη2, da bo θb=η1η2.
4. Naj bodo A, B, C, D in E razli£ne to£ke na neizrojeni stoºnici Sq in p tangenta v to£ki A. Pokaºi, da so to£keP =AC∩BE,Q=CD∩AE in R=BD∩p kolinearne.
