Univerza v Mariboru
Fakulteta za naravoslovje in matematiko Oddelek za matematiko in ra£unalni²tvo Izobraºevalna matematika
Pisni del izpita pri predmetu OSNOVE ANALIZE
18. junij 2015
as re²evanja je 120 minut.
1. [25] Dani sta funkciji f(x) =
x
2 + 3; x≤0, e; 0< x < 1, x2−3e; x≥1,
in g(x) =
1
x−3; x < e,
√lnx; x≥e.
Zapi²i predpisa, po katerih slikata kompozituma f ◦g ing◦f. 2. [25] Dana je funkcija
f(x) = arc tg1−x 1 +x.
Izra£unaj denicijsko obmo£je in ni£le funkcije f ter preveri kako se funkcija ob- na²a na robovih denicijskega obmo£ja. Nadalje izra£unaj ²e intervale nara²£anja in padanja ter konveksnosti in konkavnosti funkcije f, lokalne ekstreme ter upo-
²tevajo£ vse izra£unano £im natan£neje skiciraj graf funkcije f. Vsi izra£uni naj bodo izpeljani z natan£nimi vrednostmi.
3. [25] V kroglo s podanim polmerom R ºelimo v£rtati valj tako, da bo imel maksi- malni moºni volumen. Izra£unaj dimenzije takega valja.
4. [25] Dano je zaporedje an = sinn n3+ 1. (a) Izra£unaj lim
n→∞an. (b) Ali vrsta
∞
X
n=1
an konvergira? Odgovor utemelji.
Navodila:
• Ugasni in odstrani mobilni telefon.
• Uporaba knjig in zapiskov iz predavanj ter vaj ni dovoljena.
• Pozorno preberi vsako vpra²anje in vsak odgovor skrbno utemelji. Odgovori brez ute- meljtve ne bodo to£kovani.
• Pi²i £itljivo; neberljivi odgovori ne bodo to£kovani.
• Dovoljeni pripomo£ki so: kemi£ni svin£nik, svin£nik, ravnilo, radirka, kalkulator brez moºnosti gra£nega prikaza.
Univerza v Mariboru
Fakulteta za naravoslovje in matematiko Oddelek za matematiko in ra£unalni²tvo Izobraºevalna matematika
Pisni del izpita pri predmetu OSNOVE ANALIZE
3. julij 2015
as re²evanja je 120 minut.
1. [25] Dana je funkcija f(x) =||x| −1|+x.
(a) Zapi²i predpis funkcije f brez absolutne vrednosti.
(b) Re²i neena£bo f(x)<3. 2. [25] Dana je funkcija
f(x) = 1 1−sin(2x).
Izra£unaj denicijsko obmo£je funkcije f in preveri, ali ima f kako ni£lo. Nato poi²£i lokalne ekstreme funkcije f ter upo²tevajo£ vse izra£unano £im natan£neje skiciraj njen graf.
Vsi izra£uni naj bodo izpeljani z natan£nimi vrednostmi.
3. [25] Izra£unaj limiti (a) lim
x→0(cosx)sin21 x in (b) lim
x→∞
√
x2−5x+ 4−x
4. [25] Zaporedje je podano s splo²nim £lenom an= 2n−1 2n+ 1. (a) Pokaºi, da je zaporedje monotono in omejeno.
(b) Izra£unaj lim
n→∞an.
Navodila:
• Ugasni in odstrani mobilni telefon.
• Uporaba knjig in zapiskov iz predavanj ter vaj ni dovoljena.
• Pozorno preberi vsako vpra²anje in vsak odgovor skrbno utemelji. Odgovori brez ute- meljtve ne bodo to£kovani.
• Pi²i £itljivo; neberljivi odgovori ne bodo to£kovani.
• Dovoljeni pripomo£ki so: kemi£ni svin£nik, svin£nik, ravnilo, radirka, kalkulator brez moºnosti gra£nega prikaza.
Univerza v Mariboru
Fakulteta za naravoslovje in matematiko Oddelek za matematiko in računalništvo Izobraževalna matematika
Pisni del izpita pri predmetu OSNOVE ANALIZE
26. avgust 2015 Čas reševanja je120 minut.
1. [25] Izračunaj limiti (a) lim
x→0 1 + 2x21−cosex x in (b) lim
x→0
1−cos(2x) + tg2x xsinx . 2. [25] Dana je funkcija
f(x) = ln 1 1−x2.
Izračunaj definicijsko območje in ničle funkcije f ter preveri kako se funkcija ob- naša na robovih definicijskega območja. Nadalje izračunaj še intervale naraščanja in padanja ter konveksnosti in konkavnosti funkcije f, lokalne ekstreme ter upo- števajoč vse izračunano čim natančneje skiciraj graf funkcije f.
3. [25] Izračunaj integral
Z
3−x2
cos 2xdx
in dolžino loka na krivulji
y = ln 1−x2
za − 1
2 ≤x≤ 1 2.
4. [25] Preveri ali konvergirata vrsti
∞
X
n=2
(2n+ 1)n
(nlnn)n in
∞
X
n=1
|sin (nx)|
2n .
Navodila:
• Ugasni in odstrani mobilni telefon.
• Uporaba knjig in zapiskov iz predavanj ter vaj ni dovoljena.
• Pozorno preberi vsako vprašanje in vsak odgovor skrbno utemelji. Odgovori brez ute- meljtve ne bodo točkovani.
• Piši čitljivo; neberljivi odgovori ne bodo točkovani.
• Dovoljeni pripomočki so: kemični svinčnik, svinčnik, ravnilo, radirka, kalkulator brez možnosti grafičnega prikaza.