Matematika 1 5. vaja B. Jurˇciˇc Zlobec

Matematika 1

5. vaja

B. Jurˇciˇc Zlobec¹

1Univerza v Ljubljani, Fakulteta za Elektrotehniko 1000 Ljubljana, Trˇzaˇska 25, Slovenija

Matematika FE, Ljubljana, Slovenija 2010

Odvod funkcije

Doloˇci limito funkcije lim

f (x )

f(x) = x²−x

x²−1, x₀=1.

Faktoriziramo ˇstevec in imenovalec: limx→1 x(x−1) (x−1)(x+1), krajˇsamo skupni faktor in dobimo limx→1 x

x+1 = ¹₂.

Doloˇci limito funkcije lim

f (x )

f(x) = 1−√ 1−x²

x , x₀=0

Pomnoˇzimo ˇstevec in imenovalec v lim_x→0¹⁻

√

1−x²

x s

konjugirano iracionaliteto:

limx→0 1−(1−x²) x(1+

√

1−x²), od tod je lim_x→0 ^x

(1+

√

1−x²) =0.

Odvod funkcije

Doloˇci limito funkcije lim

f (x )

f(x) = x³+x x⁴−3x+1

Stevec in imenovalec delimo z vodilno potencoˇ x⁴. limx→∞

1 x+¹

x3

1−³

x3+¹

x4

lim_{x→∞f(x)=0}

Doloˇci limito funkcije lim

f (x )

f(x) = x³+x 2x³−3x+1

Stevec in imenovalec delimo z vodilno potencoˇ x³. limx→∞

1+_x¹ 2−³

x2+¹

x3

lim_x→∞f(x)=1 2

Odvod funkcije

Doloˇci limito funkcije lim

f (x )

1 1+e^−x12

x₀=0.

Velja limx→0 1

x² =∞in limx→∞e^−x =0, od tod je lim_x→0 1

1+e⁻

1 x2

=1

Doloˇci limito funkcije lim

f (x )

xsin1

x, x₀=0.

Velja−1≤sin¹_x ≤1 za vsakx 6=0, od tod velja ocena−|x| ≤xsin_x¹ ≤ |x|.

Torej je lim_x→0xsin¹_x =0

Odvod funkcije

Doloˇci limito funkcije lim

f (x )

arctg1−x 1+x.

Velja limx→∞ 1−x 1+x =−1 in arctg(−1) =−^π₄.

Torej je limx→∞arctg^1−x_1+x =−^π₄

V toˇcki nezveznosti funkcije f (x ) izraˇcunaj levo in desno limito

1 1+e^1x

Velja limx%01

x =−∞, lim_x&0¹_x =∞, limx→−∞e^x =0 in limx→∞e^x =∞.

Od tod je lim_x%0 ¹

1+e^1x =1 in lim_x&0 ¹

1+e^1x =0

Odvod funkcije

V toˇcki nezveznosti funkcije f (x ) izraˇcunaj levo in desno limito

arctg x 1+x

Velja limx%−1 x

x+1 =∞, lim_x&−1x+1^x =−∞, limx→−∞arctgx =−^π₂ in limx→∞arctgx = ^π₂. Od tod je lim_x%−1arctg_1+x^x = ^π₂ in

lim_x&0arctg¹ _1+x^x =−^π₂

Doloˇci parameter a tako, da bo funkcija f (x) povsod zvezna.

f(x) =sign(x−2)(x²+2|x +1|+a).

Parameteramoramo izbrati tako, da sta leva in desna limita v toˇcki 2 enaki funkcijski vrednosti v tej toˇcki.

f(2) =0.

limx%2sign(x −2)(x²+2|x+1|+a) = limx→2−(x²+2|x+1|+a) =−10−a limx&2sign(x −2)(x²+2|x+1|+a) = lim_x→2(x²+2|x +1|+a) =10+a.

Od tod sledi, da jea=−10.

Odvod funkcije

Graf funkcije f (x ) = sign(x − 2)(x

+ 2|x + 1| − 10)

-2 -1 1 2 3

2 4 6 8

Doloˇci parameter a tako, da bo funkcija f (x) povsod zvezna.

f(x) =sign(x−2)(x+ ax

1+x²) +x.

Parameteramoramo izbrati tako, da sta leva in desna limita v toˇcki 2 enaki funkcijski vrednosti v tej toˇcki.

f(2) =2.

lim_x%2sign(x −2)(x+ _1+x^ax2) +x = lim_x→2−(x +_1+x^ax2) +x =−^2a₅

lim_x&2sign(x−2)(x+_1+x^ax₂) +x =lim_x→2(x+_1+x^ax₂) +x = 4+^2a₅.

Od tod sledi, da jea=−5.

Odvod funkcije

Graf funkcije f (x ) = sign(x − 2)(x −

) + x

-3 -2 -1 1 2 3

-2 -1 1 2 3 4

Doloˇci parametra a in b tako, da bo funkcija f (x) povsod zvezna.

f(x) =







x²+1,x ≤2

ax²+bx +1,2<x <3 x+1,x ≥3

lim_x%2f(x) =lim_x→2x²+1=5

limx&2f(x) =limx→2ax²+bx +1=4a+2b+1 limx%3f(x) =limx→2ax²+bx +1=9a+3b+1 limx&3f(x) =limx→2x+1=4

Reˇsimo sistem enaˇcb 4a+2b+1=5 in 9a+3b+1=4.

Reˇsitev jea=−1 inb=4.

Odvod funkcije

Graf funkcije f (x ) iz prejˇsne naloge.

-1 1 2 3 4

2 3 4 5

Odvod funkcije

L’Hospitalovo pravilo in odvedljivost

Pravila za odvajanje

I (af(x) +bg(x))⁰ =af⁰(x) +bg⁰(x), linearnost.

II (f(x)g(x))⁰ =f⁰(x)g(x) +f(x)g⁰(x), produkt.

III

f(x) g(x)

0

= f⁰(x)g(x)−f(x)g⁰(x)

g²(x) , kvocient.

IV (f(g(x)))⁰ =f⁰(g(x))g⁰(x), posredna funkcija.

V

f⁻¹(x)0

= 1

f⁰(y), kjer jex =f(y), inverzna funkcija.

Odvod funkcije Odvajanje funkcij

L’Hospitalovo pravilo in odvedljivost

Odvodi elementarnih funkcij

1 (xⁿ)⁰ =n xⁿ⁻¹,(n∈Z, x 6=0).

2 (x^s)⁰ =s x^s−1,(s ∈R, x >0).

3 (e^x)⁰ =e^x

4 (ln|x|)⁰ = ¹_x

5 (sinx)⁰ =cosx

6 (cosx)⁰ =−sinx

7 (arctanx)⁰ = _1+x¹2 8 (arcsinx)⁰ = √¹

1−x²

Odvod funkcije

L’Hospitalovo pravilo in odvedljivost

Odvajaj funkcijo f (x ).

f(x) = x 1+x²

Uporabimo (III)→(I)→(1).

f⁰(x) = ^{x0(1+x2)−x(1+x2)}

0

(1+x²)² → f⁰(x) = ^{x0(1+x2)−x(10+x2}

0) (1+x²)² → f⁰(x) = ^{(1+x2)−x(2x)}

(1+x²)² = ^1−x2

(1+x²)².

Odvod funkcije Odvajanje funkcij

L’Hospitalovo pravilo in odvedljivost

Odvajaj funkcijo f (x ).

f(x) =xp

1+x².

Uporabimo (II)→(2)→(IV)→(I)→(1).

f⁰(x) =√

1+x²+ ^x

2

√

1+x²(1+x²)⁰→ f⁰(x) =√

1+x²+ ^x

2

√

1+x²2x → f⁰(x) =√

1+x²+√^x2

1+x² = √^1+2x2

1+x².

Odvod funkcije

L’Hospitalovo pravilo in odvedljivost

Odvajaj funkcijo f (x ).

f(x) =x s

1−x² 1+x².

Uporabimo (II)→(2)→(IV)→(III)→(I)→(1).

f⁰(x) =

q1−x²

1+x² +xq

1−x² 1+x²

⁰

→

q1−x² 1+x² +x

1−x2 1+x2

0

2 r

1−x2 1+x2

→

f⁰(x) =

q1−x² 1+x² +x

−2x(1+x2)−(1−x2)2x (1+x2)2

2 r

1−x2 1+x2

→

f⁰(x) =−√ ^x4+2x2−1

1−x²√

(1+x²)³

Odvod funkcije Odvajanje funkcij

L’Hospitalovo pravilo in odvedljivost

Odvajaj funkcijo f (x ).

f(x) =ln(x+p

1+x²)

Uporabimo (4)→(I)→(IV)→(2)→(I)→(1).

f⁰(x) = ¹

x+

√

1+x²

x+√

1+x²0

→

f⁰(x) = ¹

x+

√

1+x²

1+ ^(1+x2)0

2

√

1+x²

→

f⁰(x) = ¹

x+

√

1+x²

1+ ^2x

2

√

1+x²

= ^x+

√

1+x² (x+

√

1+x²)

√

1+x² → f⁰(x) = √¹

1+x².

Odvod funkcije

L’Hospitalovo pravilo in odvedljivost

Odvajaj funkcijo f (x ).

f(x) =e^−x12.

f⁰(x) =e^−x12 −_x¹₂0

→ f⁰(x) = 2

x³e^−x12.

Odvod funkcije Odvajanje funkcij

L’Hospitalovo pravilo in odvedljivost

Odvajaj funkcijo f (x ).

f(x) = cosx 2 sin²x

Uporabimo (I)→(III)→(IV)→(1)→(6)→(5).

f⁰(x) = 1 2

−sin³x −2 cos²xsinx

sin⁴x →

f⁰(x) =−sin²x+2 cos²x 2 sin³x → f⁰(x) =−1+cos²x

2 sin³x .

Odvod funkcije

L’Hospitalovo pravilo in odvedljivost

Odvajaj funkcijo f (x ).

f(x) = (x^x)^x2

Poenostavimoy =x^2x2.

Logaritmiramo obe strani lny =2x²lnx. Odvajamo vsako stran enaˇcbe posebej

y⁰

y =4xlnx+2x^{2 1}_x =4xlnx +2x.

Pomnoˇzimo zy in dobimoy⁰=y(4xlnx+2x)→ f⁰(x) =x^2x2(4xlnx+2x).

Odvod funkcije Odvajanje funkcij

L’Hospitalovo pravilo in odvedljivost

Odvajaj funkcijo f (x ).

f(x) = x

1+x x

Logaritmiramo obe strani lny =xln

x x+1

. Odvajamo vsako stran enaˇcbe posebej

y⁰ y =ln

x 1+x

+^x+1_x

x x+1

0

.

y⁰ y =ln

x 1+x

+^x+1_{x (x+1)}¹ ₂ → f⁰(x) =

x 1+x

x

(ln

x 1+x

+_x2¹_+x).

Odvod funkcije

L’Hospitalovo pravilo in odvedljivost

L’H ˆospitalovo pravilo

L’H ˆospitalovo pravilo ali tudi Bernoullijevo pravilo:

1 Ce sta limˇ x→x₀f(x)in limx→x₀g(x)obe enaki 0 ali±∞, kjer jex₀∈Ralix₀=±∞, ter

2 obstaja limita limx→x₀ f⁰(x) g⁰(x),

3 potem velja

x→xlim₀ f(x)

g(x) = lim

x→x₀

f⁰(x) g⁰(x)

Odvod funkcije Odvajanje funkcij

L’Hospitalovo pravilo in odvedljivost

S pomoˇcjo L’H ˆospitalovega pravila izraˇcunaj limito funkcije f (x ) v toˇcki x

.

f(x) = sinx

x vx₀=0

lim_x→0sinx =0 in lim_x→0x =0.

Ker je lim_x→0^(sin_x0^x)0 = ^cos₁^x =1, potem

x→0lim sinx

x =1.

Odvod funkcije

L’Hospitalovo pravilo in odvedljivost

S pomoˇcjo L’H ˆospitalovega pravila izraˇcunaj limito funkcije f (x ) v toˇcki x

.

f(x) = 1−cosx

x² vx₀=0

limx→01−cosx =0 in lim_x2→0x =0.

Ker je lim_x→0^(1−cos_(x2)0^x)0 =lim_x→0^sin_2x^x = ¹₂, potem

x→0lim

1−cosx x² = 1

2.

Odvod funkcije Odvajanje funkcij

L’Hospitalovo pravilo in odvedljivost

S pomoˇcjo L’H ˆospitalovega pravila izraˇcunaj limito funkcije f (x ) v toˇcki x

.

f(x) =xlnx,x₀=0

Limito zapiˇsemo v obliki limx&0 lnx 1/x

lim_x&0lnx =−∞in lim_x&0¹_x =∞.

lim_x→0(1/x)^(lnx)00 =lim_x&0−1/x^1/x₂ =lim_x→0−x =0,

x&0limxlnx =0.

Odvod funkcije

L’Hospitalovo pravilo in odvedljivost

S pomoˇcjo L’H ˆospitalovega pravila izraˇcunaj limito funkcije f (x ) v toˇcki x

.

f(x) =x^x,x0=0

Logaritmiramo lnf(x) =xlnx. lim_x&0lnf(x) =lim_x&0xlnx =0

x&0limx^x =e⁰=1.

Odvod funkcije Odvajanje funkcij

L’Hospitalovo pravilo in odvedljivost

S pomoˇcjo L’H ˆospitalovega pravila izraˇcunaj limito funkcije f (x ) v toˇcki x

.

f(x) = 1

x²e^−x12,x₀=0 Nadomestimot→ _x¹₂. Ceˇ x →0, potemt → ∞.

limt→∞te^−t =limt→∞ t

e^t =limt→∞ 1 e^t =0

x→0limx²e^x12 =0.

Odvod funkcije

L’Hospitalovo pravilo in odvedljivost

S pomoˇcjo L’H ˆospitalovega pravila izraˇcunaj limito funkcije f (x ) v toˇcki x

.

f(x) = 1

x −1 − 1

lnx,x₀=1

Skupni imenovalec: f(x) = ^x_(x^ln₋₁₎^x−x+1_lnx limx→1xlnx−x+1

(x−1)lnx → lim_{x→1 x−1}^lnx

x +lnx →

lim_x→1x−1+x^xlnx_lnx → lim_x→1^1+ln_2+ln^x_x = ¹₂

x→1lim

xlnx−x+1 (x−1)lnx = 1

2.

Odvod funkcije Odvajanje funkcij

L’Hospitalovo pravilo in odvedljivost

Za dano funkcijo f (x ),

f(x) =

(ax+bx²,x < ¹₂

2x

1+x²,x ≥ ¹₂ ,

doloˇci konstantiainb tako, da bo povsod odvedljiva in zapiˇsi enaˇcbo tangente v toˇcki zlepka.

Izpolnjeni morajo biti naslednji pogoji:

lim_x%1

2f(x) =lim_x&1

2f(x), lim_x%1

2f⁰(x) =lim_x&1 2f⁰(x).

Enaˇcbi: ^a₂+ ^b₂ = ⁴₅ ina+b= ²⁴₂₅. Reˇsitvi: a= ⁵⁶₂₅,b =−³²₂₅.

Enaˇcba tangente v toˇcki zlepka jey = ₂₅⁸ +²⁴₂₅x.

Odvod funkcije

L’Hospitalovo pravilo in odvedljivost

Grafiˇcni prikaz

1 2 3 4 5

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

Odvod funkcije Odvajanje funkcij

L’Hospitalovo pravilo in odvedljivost

Za dano funkcijo f (x ),

f(x) =

(ax²+bx,x <2

cx²+d,x ≥2 , f(1) =1, f(4) =3,

doloˇci konstantea,b c ind tako, da bo povsod odvedljiva in zapiˇsi enaˇcbo tangente v toˇcki zlepka.

Izpolnjeni morajo biti naslednji pogoji: f(1) =1,f(4) =3, limx%2f(x) =limx&2f(x), limx%2f⁰(x) =limx&2f⁰(x).

Enaˇcbe: a+b=1, 16c+d =3, 4a+2b=4c+d in 4a+b =4c.

Reˇsitve: a=−(2/11),b=13/11,c=5/44 ind =13/11.

Enaˇcba tangente v toˇcki zlepka jey = ⁸ + ⁵x.

Odvod funkcije

L’Hospitalovo pravilo in odvedljivost

Grafiˇcni prikaz

1 2 3 4 5

1 2 3 4