Izpit iz Matematike 2
15. junij 2009 1. Izraˇcunaj naslednjo n×n determinanto:
1 a a · · · a a 1 a · · · a a a 1 · · · a
... ... ... ...
a a · · · a 1
.
2. Linearna preslikava T:R2,2 → R2,2 je definirana s predpisom T(X) = AX +XTA, kjer je A=
2 4
−1 −2
.
(a) Doloˇci jedro in zalogo vrednosti preslikave T.
(b) Doloˇci lastne vrednosti in lastne vektorje preslikave T. Ali je T diagonalizabilna?
3. Dane so matrike A1, A2, A3, A4 ∈ R2,2. Za vsak i = 1,2,3,4 definiramo linearen funkcional fi:R2,2 → R s predpisom fi(X) = sled (AiX).
(a) Dokaˇzi, da so funkcionali f1, f2, f3 in f4 linearno neodvisni natanko takrat, ko so matrike A1, A2, A3 in A4 linearno neodvisne.
(b) Naj bo A1 =
1 0 0 0
, A2 =
1 1 0 0
, A3 =
1 1 1 0
in A4 = 1 1
1 1
. Doloˇci tako bazo prostoraR2,2, da bo {f1, f2, f3, f4} njena dualna baza.
4. Doloˇci vse lokalne ekstreme funkcije f, podane s predpisom f(x, y, z) = x+ y2
4x + z2 y + 2
z.
