IN STATISTIKE
Martin Raič
Datum zadnje spremembe: 27. marec 2022
1. Osnove kombinatorike 3
2. Elementarna verjetnost 5
3. Pogojna verjetnost 10
4. Slučajne spremenljivke 18
5. Slučajni vektorji 33
6. Pričakovana vrednost in sorodne karakteristike 45
7. Pogojne porazdelitve in pogojevanje na slučajne spremenljivke 56
8. Rodovne, momentno-rodovne in karakteristične
funkcije 67
9. Limitni izreki 77
10.Zadostne in postranske statistike 85
11.Točkasto ocenjevanje in vzorčenje 90
12.Intervali zaupanja 99
13.Preizkusi značilnosti 108
14.Povezanost dveh številskih spremenljivk 127
15.Linearna regresija 131
REŠITVE 135
1. Osnove kombinatorike 136
2. Elementarna verjetnost 138
3. Pogojna verjetnost 147
4. Slučajne spremenljivke 162
5. Slučajni vektorji 183
6. Pričakovana vrednost in sorodne karakteristike 206
7. Pogojne porazdelitve in pogojevanje na slučajne spremenljivke 226
9. Limitni izreki 259
10.Zadostne in postranske statistike 273
11.Točkasto ocenjevanje in vzorčenje 280
12.Intervali zaupanja 295
13.Preizkusi značilnosti 305
14.Povezanost dveh številskih spremenljivk 318
15.Linearna regresija 319
1. Osnove kombinatorike
Pravilo vsote, pravilo produkta. Variacije, kombinacije in permutacije.
1. Na koliko načinov lahko opremimo dnevno sobo, če imamo na voljo 4 vrste parketa, 3 vrste nelesnih talnih oblog in 5 vrst pohištva?
2. Koliko je:
a) vseh trimestnih števil?
b) vseh sodih trimestnih števil?
c) vseh trimestnih števil s sodo prvo števko?
d) vseh trimestnih števil s samimi enakimi števkami?
e) vseh trimestnih števil s samimi različnimi števkami?
f) vseh trimestnih števil, ki so palindromi?
3. Na koliko načinov lahko iz škatle s petimi različnimi kroglicami vzamemo:
a) eno kroglico b) dve kroglici
c) tri kroglice
Pri tem ločite primer, ko kroglice vračamo, in primer, ko jih ne vračamo. Poleg tega ločite primer, ko je vrstni red jemanja pomemben, in primer, ko ni pomemben.
Pri različici, ko kroglic ne vračamo in vrstni red jemanja ni pomemben, primerjajte rezultata iz točk b) in c).
4. Na koliko načinov lahko na ravno polico razporedimo 3 begonije in 4 fuksije? Pri tem ločite primer, ko razločujemo vse cvetlice, in primer, ko cvetlic iste vrste med seboj ne razločujemo.
Splošneje: iz škatle z n različnimi kroglicami lahko izvlečemo k kroglic na naslednje število načinov:
vrstni red vlečenja
pomemben ni pomemben
vračamo (p)Vnk =nk (p)Cnk =
n+k−1 k
ne vračamo Vnk =n(n−1). . .(n−k+ 1) Cnk = n
k
= Vnk k!
Velja še Vnk= n!
(n−k)! in n
k
= n!
k! (n−k)! = n
n−k
.
5. V posodi je 6 rdečih in 4 modre kroglice, vse kroglice so različne. Na koliko načinov lahko iz posode brez vračanja vzamemo (vrstni red ni pomemben):
a) 4 rdeče in 2 modri kroglici?
b) 4 kroglice, a od tega vsaj eno rdečo in vsaj eno modro?
6. Na koliko načinov lahko v vrsto postavimom miroljubnih in n nasilnih vojakov, če nobena dva nasilna vojaka ne smeta stati skupaj? Vojake med seboj ločimo.
7. Na koliko načinov lahko v ravno vrsto položimo tri brezove, dve leskovi in štiri vrbove šibe, če:
a) vse šibe razločujemo in ni omejitev?
b) vse šibe razločujemo ter morajo priti najprej brezove, nato leskove in nazadnje vrbove?
c) vse šibe razločujemo in morajo biti šibe posamezne vrste skupaj?
d) šib iste vrste med seboj ne razločujemo in ni omejitev?
8. Na koliko načinov lahko razvrstimo šest otrok (ki jih razločujemo) na vrtiljak s šestimi sedeži (ki jih ločimo le glede na njihovo medsebojno lego)? Kaj pa na vrtiljak z desetimi sedeži? Na vsak sedež gre največ en otrok.
9. 1 7 moških in 5 žensk se odpravi na taborjenje. Na voljo imajo dva šotora za tri osebe in tri šotore za dve osebi. Vse šotore med seboj ločimo. Na koliko načinov se lahko razporedijo v šotore, če:
a) ni omejitev?
b) smejo biti v posameznem šotoru le osebe istega spola?
c) mora biti v posameznem šotoru najmanj en moški in najmanj ena ženska?
1Avtor naloge: Gregor Šega
2. Elementarna verjetnost
Klasična verjetnost, klasična geometrijska verjetnost. Računanje z dogodki.
Klasična verjetnost Če so vsi izidi enako verjetni, za dogodek A velja:
P(A) = število izidov, ki so v A število vseh izidov .
Temu, da so vse možnosti enako verjetne, pravimo slepa izbira.
Izbirati dve (splošneje n) stvari na slepo in neodvisno pa pomeni, da so vse kombinacije možnosti (kjer stvari ločimo) enako verjetne. Z drugimi besedami, to pomeni slepo izbiro ustreznega urejenega para oz. n-terice.
1. Vržemo dve neodvisni standardni kocki. Kolikšna je verjetnost, da bo skupno število pik enako 8?
2. Zakonca načrtujeta štiri otroke. Kaj je verjetneje: da bosta oba spola enako zasto- pana ali da bodo trije enega, eden pa nasprotnega spola? Privzamemo, da sta oba spola pri posameznem rojstvu enako verjetna in da so spoli pri posameznih rojstvih neodvisni.
P(Ac) = 1−P(A)
3. Vržemo pet neodvisnih standardnih kock. Kolikšna je verjetnost, da bo na vsaj eni kocki padla šestica?
4. V posodi je 5 belih, 4 črne in 3 rdeče kroglice. Iz posode potegnemo tri kroglice.
Kolikšna je verjetnost, da bo med njimi po ena kroglica vsake barve, če:
a) kroglice vračamo?
b) kroglic ne vračamo?
P(A∪B) =P(A) +P(B)−P(A∩B)
Dokaz. Ker staA inB\A nezdružljiva, veljaP(A∪B) = P(A) +P(B\A). Podobno, ker staA∩B inB\Anezdružljiva, velja P(B) =P(A∩B) +P(B\A). Ko dobljeni enakosti odštejemo in preoblikujemo, dobimo natančno želeno formulo.
5. Iz posode, v kateri so 3 rdeče, 2 zeleni in 5 belih kroglic, na slepo in brez vračanja izvlečemo dve kroglici. Kolikšna je verjetnost, da je prva rdeča ali pa druga zelena?
Računanje z dogodki
A∪B =B∪A A∩B =B∩A
A∪(B ∪C) = (A∪B)∪C A∩(B ∩C) = (A∩B)∩C A∩(B ∪C) = (A∩B)∪(A∩C) A∪(B ∩C) = (A∪B)∩(A∪C)
A∪Ω = Ω A∩Ω =A
A∪ ∅=A A∩ ∅=∅
(A∪B)c=Ac∩Bc (A∩B)c=Ac∪Bc
A∪Ac= Ω A∩Ac =∅
(Ac)c=A
6. Poenostavite naslednji izraz z dogodki:
(B ∪C)∩(B∪Cc)∩(Bc∪C) 7. Dani so dogodki A, B inC. Matematično zapišite:
a) dogodek, da se ne zgodi niti A niti B niti C;
b) dogodek, da se zgodi natanko eden od teh treh dogodkov;
c) dogodek, da se zgodita vsaj dva od teh treh dogodkov.
Izračunajte še verjetnosti zgornjih dogodkov, če veste, da je P(A) = 0.
3, P(B) = 0.
45,P(C) = 0.
6,P(A∩B) = 0.
2,P(A∩C) = 0.
2,P(B∩C) = 0.
3inP(A∩B∩C) = 0.
1.
8. Kolikšna je verjetnost, da v skupini n ljudi obstajata dva, ki imata rojstni dan na isti dan? Prestopna leta zanemarite. Najmanj koliko ljudi mora biti, da je ta verjetnost enaka vsaj 1/2? Zapišite rezultat še za splošno število dni v letu in raziščite asimptotično obnašanje, ko gre le-to proti neskončno.
9. Dan je dobro premešan kup 16 kart, med katerimi so štirje piki. Kolikšna je verje- tnost, da sta med prvimi osmimi kartami natanko dva pika?
10. Med 100 izdelki v seriji je 10 okvarjenih. Iz serije na slepo izberemo 10 izdelkov. Če je med njimi več kot en okvarjen, serijo zavrnemo. Kolikšna je verjetnost, da se bo to zgodilo?
11. V posodi je 8 belih, 4 črne in 2 rdeči kroglici. Iz posode brez vračanja potegnemo sedem kroglic. Kolikšna je verjetnost, da bo razmerje barv enako kot v posodi?
12. Pri igri Loto na kombinacijskem listku prekrižamo 7 številk izmed 39. Izžreba se 7 rednih številk in še ena dodatna. Včasih so bili možni naslednji dobitki:2
2Danes sta možna tudi dobitka štiri in dodatna ter pet in dodatna.
sedmica: vse prekrižane številke so redno izžrebane;
šest in dodatna: med prekrižanimi številkami je šest redno izžrebanih in ena dodatna;
šestica: natanko šest prekrižanih številk je redno izžrebanih, dodatna ni pre- križana;
petica: natanko pet prekrižanih številk je redno izžrebanih (dodatna pa je lahko prekrižana ali ne);
štirica: natanko štiri prekrižane številke so redno izžrebane (dodatna pa je lahko prekrižana ali ne);
tri in dodatna: natanko tri prekrižane številke so redno izžrebane, prekrižana pa je tudi dodatna številka.
Izračunajte verjetnosti posameznih dobitkov.
Če lahko prostor izidov razbijemo na paroma nezdružljive enako verjetne dogodke, jih lahko obravnavamo kot izide: če je dogo- dek A unijak od n takih dogodkov, je P(A) =k/n.
13. V kupu je 10 kart, od tega dve rdeči, tri zelene in pet belih. Kup dobro premešamo in drugo za drugo brez vračanja vlečemo karte. Izračunajte verjetnosti dogodkov:
a) da bo prva rdeča karta izvlečena pred prvo zeleno;
b) da bo prva rdeča karta izvlečena pred zadnjo zeleno.
14. Študenti, ki bodo pisali izpit, se posedejo v tri vrste in tri kolone, tako kot je prikazano spodaj:
Aljaž Brigita Cveto
Dragica Edo Fani
Gregor Hana Iztok
Asistent na slepo izbere tri študente in jih zamenja: prvega premesti na mesto dru- gega, drugega na mesto tretjega in tretjega na mesto prvega. Kolikšna je verjetnost, da sta Aljaž in Brigita po premestitvi še vedno soseda v isti vrsti?
Načelo vključitev in izključitev
P(A1∪A2∪ · · · ∪An) = P(A1) +P(A2) +· · ·+P(An)−
−P(A1∩A2)−P(A1∩A3)− · · · −P(An−1∩An) +
· · ·
+ (−1)n+1P(A1∩A2∩ · · · ∩An)
Dokaz z indukcijo. Zan= 1inn= 2velja. Naredimo indukcijski korak znnan+ 1. Najprej opazimo:
P(A1∪A2∪ · · · ∪An∪An+1) =P(A1∪A2∪ · · · ∪An) +P(An+1)−P (A1∪A2∪ · · · ∪An)∩An+1
=
=P(A1∪A2∪ · · · ∪An) +P(An+1)−P (A1∩An+1)∪ · · · ∪(An∩An+1) .
Po indukcijski predpostavki je:
P(A1∪A2∪ · · · ∪An∪An+1) =P(A1) +P(A2) +· · ·+P(An)−
−P(A1∩A2)−P(A1∩A3)− · · · −P(An−1∩An) + +1A1∩A2∩A3+1A1∩A2∩A4+· · ·+1An−2∩An−1∩An−
· · ·
+ (−1)n+1P(A1∩ · · · ∩An) + +P(An+1)−
−P(A1∩An+1)−P(A2∩An+1)− · · ·+P(An∩An+1)−
+P(A1∩A2∩An+1) +P(A1∩A3∩An+1) +· · ·+P(An−1∩An∩An+1) +
· · ·
+ (−1)n+2P(A1∩A2∩ · · · ∩An∩An+1),
kar je natančno ustrezna desna stran: iz razvoja verjetnostiP(A1∪A2∪ · · · ∪An)smo dobili tiste člene, ki ne vsebujejo dogodkaAn+1, iz P(An+1)in razvoja verjetnostiP (A1∩An+1)∪ · · · ∪(An∩An+1)
pa tiste člene, ki dogodekAn+1vsebujejo.
15. Na okensko polico povsem naključno razporedimob begonij, f fuksij ink kalanhoj.
a) Kolikšna je verjetnost, da so vse begonije skupaj, prav tako pa tudi vse fuksije?
b) Kolikšna je verjetnost, da niti za begonije niti za fuksije niti za kalanhoje ne velja, da so skupaj?
16. Mama napiše pet različnih pisem in pripravi pet kuvert za ta pisma s samimi raz- ličnimi naslovi. Mali Pepček želi pomagati in na slepo vtakne pisma v kuverte, v vsako kuverto po eno pismo. Kolikšna je verjetnost, da je vsaj eno pismo v pravi kuverti?
17. Desetkrat vržemo pošteno kocko in pri vsakem metu zabeležimo, koliko pik je padlo.
Kolikšna je verjetnost, da bodo na koncu zabeležena vsa možna števila pik (od 1 do 6)?
18. Dano je slučajno zaporedje m števil od 1 do m, vse možnosti so enako verjetne;
števila se lahko ponavljajo. Kolikšna je verjetnost, da najdaljše strnjeno strogo naraščajoče podzaporedje, ki se začne s prvim členom, vsebuje dano število l ∈ {1,2, . . . , m}?
Klasična geometrijska verjetnost
Točka je izbranana slepoiz množiceG, ki je lahko interval, lik, telo ipd., če za vsako merljivo podmnožico A⊆G velja:
P(točka pripada A) = mera množice A mera množice G. Pri tem je mera lahko dolžina, ploščina itd.
Na slepo in neodvisno izbrati dve točki (splošneje, n točk) pomeni slepo izbiro njunega urejenega para (oz.n-terice) v ustreznem karte- zijskem produktu.
19. Do šole je štiri minute hoda, vmes pa je semafor, na katerem dve minuti gori zelena, dve minuti pa rdeča luč. Od doma se odpravim pet minut pred začetkom pouka.
Kolikšna je verjetnost, da pridem še pravočasno, če se držim predpisov? Kaj pa, če sta na poti dva semaforja? Seveda privzamemo, da je faza semaforja izbrana na slepo (oz. da sta fazi semaforjev izbrani na slepo in neodvisno).
20. Avtobus odpelje s postaje na slepo med 6:55 in 7:05. Študent pa je nagnjen k zamujanju in pride na postajo na slepo med 7:00 in 7:07, neodvisno od avtobusa.
a) Kolikšna je verjetnost, da ujame ta avtobus?
b) Če želi študent še pravočasno priti na predavanje, mora biti na tem avtobusu najkasneje ob 7:02. Kolikšna je verjetnost, da se to zgodi?
21. Kolikšna je verjetnost, da je na slepo izbrana točka v kvadratu bližje robu kot središču kvadrata?
22. Buffonova3 igla. Na list papirja z ravnimi vzporednimi črtami, razmaknjenimi za a, na slepo vržemo iglo dolžine b. Kolikšna je verjetnost, da igla seka katero od črt?
3Georges-Louis Leclerc, comte de Buffon (1707–1788), francoski naravoslovec, matematik, kozmolog in filozof; enciklopedist; grof
3. Pogojna verjetnost
Računanje pogojne verjetnosti po definiciji. Izrek o polni verjetnosti, Bayesova formula. Neod- visnost. Zapletenejši primeri pogojne verjetnosti.
Definicija pogojne verjetnosti
P(A|B) = P(A∩B) P(B)
A B Ω
Če je dogodekB sestavljen iz samih enako verjetnih izidov, pa je tudi:
P(A|B) = ](A∩B) ](B) .
1. Vržemo standardno kocko. Naj boAdogodek, da padejo vsaj štiri pike,B dogodek, da pade šest pik, L pa dogodek, da pade liho mnogo pik. Izračunajte P(A | L) in P(B | L). Kaj pa, če kocka ni poštena, tako da ena pika pade z verjetnostjo 0.
3, izidi z dvema, tremi, štirimi in petimi pikami imajo verjetnost0.
15, šest pik pa pade z verjetnostjo 0.
1?
2. Iz dobro premešanega kupa 16 kart, med katerimi so štirje piki, na slepo in brez vračanja izvlečemo štiri karte. Kolikšna je pogojna verjetnost, da je prva med njimi pik, če vemo, da sta med njimi natanko dva pika?
3. Bertrandov paradoks. Dane so tri škatle. V eni sta dva zlata kovanca, v drugi en zlat in en srebrn, v tretji pa dva srebrna. Dovoljeno nam je, da na slepo izberemo en kovanec (tj. vseh šest z enako verjetnostjo). Če uganemo, kakšen je drugi kovanec v škatli, ki smo jo izbrali, dobimo kovanec. Kolikšna je verjetnost, da dobimo kovanec?
Razmislek: Recimo, da je kovanec zlat. Potem vemo, da je prišel ali iz škatle z dvema zlatima kovancema ali pa iz škatle z enim zlatim in enim srebrnim kovancem. Ker sta obe škatli enako verjetni, je verjetnost, da bomo uganili, enaka 1/2, ne glede na to, kaj rečemo.
Je s tem razmislekom vse v redu?
4. Monty Hallov4 paradoks. Danih je troje vrat. Za enimi je skrit avto, za preostalimi dvojimi pa buča. Najprej izberemo ena vrata, ne da bi jih odprli, nakar vodja
4Monte Halparin (1921–2017), bolj znan pod odrskim imenom Monty Hall, kanadsko-ameriški radijski in televizijski voditelj, producent in filantrop
igre odpre ena izmed vrat, za katerima je buča in ki jih nismo izbrali. Nato nam ponovno ponudi, da izberemo ena izmed še zaprtih vrat. Tisto, kar se skriva za njimi, dobimo.
Kako naj ravnamo, če želimo dobiti avto? Privzamemo, da so vse možnosti za vrata, za katerimi stoji avto, enako verjetne.
Razmislek: Recimo, da smo najprej pokazali na prva vrata, vodja igre pa je nato odprl tretja vrata. Prva in druga vrata so še zaprta. Ker so vsa vrata enako verjetna, je pri obojih verjetnost, da bo zadaj avto, enaka 1/2. Torej je čisto vseeno, kaj storimo.
Je s tem razmislekom vse v redu?
5. Dana je naslednja različica Monty Hallovega paradoksa: za enimi izmed trojih vrat je skrita nagrada, za preostalimi dvojimi ni ničesar. Igralec najprej pokaže na ena vrata, nakar vodja igre odpre ena izmed vrat, za katerima ni ničesar in na katera igralec ni pokazal. Nato igralec izbere ena izmed še zaprtih vrat in jih odpre (lahko torej ostane pri istem ali pa se premisli). Če se za temi vrati skriva nagrada, jo dobi, sicer ne dobi ničesar.
Nagrada je za prvimi vrati z verjetnostjo 12, za drugimi vrati z verjetnostjo 103 in za tretjimi z verjetnostjo 15. Nadalje so v tabeli na desni pri- kazane verjetnosti, da vodja igre odprej-ta vrata, če je igralec pokazal na i-ta vrata in je za temi vrati nagrada.
i\j 1 2 3
1 0 14 34 2 34 0 14 3 14 34 0
a) Recimo, da igralec najprej pokaže na prva vrata, vodja igre pa odpre druga vrata. Kolikšna je pogojna verjetnost, da igralec dobi nagrado, če ostane pri istem? Kolikšna pa, če se premisli? Kaj od tega se mu bolj splača? Izračunajte še za primer, ko vodja igre odpre tretja vrata (igralec pa še vedno najprej pokaže na prva vrata).
b) Recimo, da igralec pokaže na prva vrata, nakar glede na to, katera vrata odpre vodja igre, igra tako, kot se mu bolj splača. Kolikšna je verjetnost, da bo dobil nagrado?
c) Se igralcu splača v prvem koraku pokazati na katera druga vrata?
6. Janez in Peter igrata namizni tenis. V vsaki rundi nekdo zmaga in oba sta enako- vredna, ne glede na zgodovino, igrata pa, dokler eden od njiju ne dobi šest rund.
Trenutni izid je4 : 2za Janeza. Kolikšna je verjetnost, da bo Janez dobil cel dvoboj?
Izrek o polni verjetnosti
Če H1, H2, H3, . . . tvorijo popoln sistem dogodkov (tj. vedno se zgodi na- tanko eden izmed njih), velja:
P(A) = P(H1)P(A |H1) +P(H2)P(A|H2) +P(H3)P(A|H3) +· · · Dogodkom Hi često pravimo hipoteze in jih je lahko končno ali pa števno neskončno.
7. V prvi posodi je 5 belih, 3 rdeče in 2 črni kroglici, v drugi posodi pa so tri bele in tri črne kroglice. Iz prve posode v drugo na slepo premestimo eno kroglico, nato pa iz druge na slepo in brez vračanja potegnemo dve kroglici. Kolikšna je verjetnost, da je med njima ena bela in ena črna?
8. Janez in Peter spet igrata namizni tenis. Spet v vsaki rundi nekdo zmaga, a tokrat Janez dobi posamezno rundo z verjetnostjo 1/3 (ne glede na zgodovino), igrata pa na dve točki razlike. Kolikšna je zdaj verjetnost, da bo Janez dobil dvoboj? Le-to zdaj računamo od začetka, tj. izida 0:0.
Namig: Rekurzivna formula
9. Pri določenem slučajnem poskusu lahko med drugim pride do opažanja A in do opažanja B. Lahko pride tudi do obeh opažanj, to označimo zA∩B. Poskus po- navljamo in pri vsaki izvedbi pride do opažanjaA z verjetnostjoP(A), do opažanja B z verjetnostjo P(B) in do obeh opažanj z verjetnostjo P(A∩B), ne glede na zgodovino. Privzemimo, da je P(B)>0.
Poskus ponavljamo, dokler ne pride do opažanja B. Kolikšna je verjetnost, da pri zadnjem poskusu pride tudi do opažanja A?
10. Mečemo pošten kovanec, pri čemer privzamemo, da je verjetnost, da v posameznem metu pade grb, enaka 1/2 ne glede na prejšnje mete. Kolikšna je verjetnost, da v prvih n metih nista padli dve zaporedni cifri?
Bayesova5 formula
Če H1, H2, H3, . . . tvorijo popoln sistem dogodkov, velja:
P(Hi |A) = P(Hi)P(A|Hi)
P(H1)P(A|H1) +P(H2)P(A|H2) +P(H3)P(A |H3) +· · ·. Brezpogojnim verjetnostim P(Hi) pravimo apriorne, pogojnim verjetnostim P(Hi |A) paaposteriorne verjetnosti hipotez.
5Thomas Bayes (ok. 1701–1761), angleški statistik, filozof in duhovnik
11. Žena pošlja moža na trg po solato, ki jo prodajata dve branjevki, Francka in Micka.
Verjetnost, da mož kupi solato pri Francki, je 60%, verjetnost, da kupi pri Micki, pa 40%. Francka ima 10%, Micka pa 20% nagnitih glav solate. Mož prinese domov nagnito glavo solate. Katero branjevko lahko žena bolj upravičeno osumi, da mu je prodala nagnito solato? Privzamemo, da branjevki solato izbirata na slepo.
12. Matičnemu podjetju dobavljajo trije kooperanti: kooperant Alfa Deli dobavlja 20%, kooperant Bobo Deli 50%, kooperant Centro Deli pa 30% vseh delov. Kooperant Alfa Deli ima 5%, Bobo Deli 1%, Centro Deli pa 2% okvarjenih delov. Kontrolor v matičnem podjetju preizkusi na slepo izbran del in izkaže se, da je okvarjen, zato zavzdihne: “Oh, že spet ti Alfa Deli!” Kolikšna je verjetnost, da je bil del dobavil kooperant Alfa Deli?
13. V prvi posodi je 6 belih in 4 rdeče kroglice, v drugi pa ena bela in ena rdeča.
Najprej na slepo premestimo 3 kroglice iz prve posode v drugo, nato pa iz druge posode potegnemo dve kroglici (na slepo in brez vračanja). Obe sta rdeči. Kolikšna je pogojna verjetnost, da so bile vse tri premeščene kroglice rdeče?
14. Manja ugiba neznano besedo, ki ima štiri sogla- snike in en samoglasnik. Črke se ji prikazujejo druga za drugo, vrstni red prikazovanja pa je iz- bran na slepo. Ko so črke enkrat prikazane, osta- nejo na zaslonu. V tabeli na desni so prikazane pogojne verjetnosti, da Manja ugane besedo po določenem številu prikazanih soglasnikov in sa- moglasnikov, če besede prej še ni uganila. Te po- gojne verjetnosti veljajo ne glede na to, katere črke so bile prikazane prej.
sogl. samogl. ugane
0 0 0.
05
0 1 0.
1
1 0 0.
15
1 1 0.
2
2 0 0.
4
2 1 0.
6
3 0 0.7
a) Kolikšna je verjetnost, da Manja ugane besedo po treh prikazanih črkah (ne pa tudi prej)?
b) Recimo, da je Manja uganila besedo po treh prikazanih črkah. Kolikšna je pogojna verjetnost, da so bili to sami soglasniki?
DogodkaA inB staneodvisna, če velja:
P(A∩B) = P(A) P(B)
Če jeP(B)>0, je to ekvivalentno pogoju, da je P(A|B) =P(A).
Če je 0 < P(B) < 1, pa je to ekvivalentno tudi pogoju, da je P(A | B) = P(A|Bc).
DogodkiA1, A2, A3. . .so neodvisni, če za poljubne različne indeksei1, i2, . . . , ik velja:
P(Ai1 ∩Ai2 ∩ · · · ∩Aik) =P(Ai1) P(Ai2). . .P(Aik).
15. Na kupu so štiri karte: pikov kralj, pikova dama, srčev kralj in srčeva dama. Na slepo izvlečemo eno izmed kart. Definirajmo naslednje dogodke:
A:={izvlekli smo pika}
B :={izvlekli smo damo}
C :={izvlekli smo srčevega kralja ali pikovo damo}
Sta dogodka A in B neodvisna? Kaj pa A in C? Kaj pa B in C? Kako pa je z dogodki A,B inC, so neodvisni?
16. Danih je osem kart: as, kralj, dama, fant, 10, 9, 8 in 7. Na slepo izvlečemo eno karto. Definirajmo naslednje dogodke:
F :={karta je as, kralj, dama ali fant}
G:={karta je as, kralj, 10 ali 9}
H :={karta je as, dama, 8 ali 7}
So dogodki F,G in H neodvisni?
17. Vržemo tri kovance. Meti so med seboj neodvisni, verjetnosti, da pade grb, pa niso nujno enake. Naj boAdogodek, da se na prvem kovancu pojavi grb, B pa dogodek, da se grb pojavi na natanko dveh kovancih.
a) Recimo, da so vsi trije kovanci pošteni, se pravi, da je verjetnost za grb pri vseh kovancih enaka 1/2. Sta dogodka A inB neodvisna?
b) Recimo, da je prvi kovanec pošten, druga dva pa ne: na vsakem od njiju se grb pojavi z verjetnostjo p. Pri katerih psta A inB neodvisna?
18. Standardno kockon-krat vržemo, meti so neodvisni. Označimo jih z1,2, . . . , n. Za k = 1,2, . . . , n označimo z Ak dogodek, da je v k-tem metu prvič padla ena pika, z Bl pa označimo dogodek, da je v l-tem metu zadnjič padlo šest pik. Pri katerih k in l sta dogodka Ak inBl neodvisna?
19. Simpsonov paradoks. Dve zdravili so preizkušali na ženskah in moških. Rezultati so naslednji:
zdravljenje ženske moški
Prvo zdravilo Drugo zdravilo Prvo zdravilo Drugo zdravilo
uspelo 200 10 190 1000
ni uspelo 1800 190 10 1000
Katero zdravilo je bilo uspešnejše:
pri ženskah?
pri moških?
pri obojih skupaj?
Komentirajte!
Neodvisnost izpeljanih dogodkov
Naj boF družina dogodkov. Sσ(F)označimo najmanjšoσ-algebro, ki vsebuje F, tj. družino vseh dogodkov, ki jih dobimo iz dogodkov izF s števnimi unijami in komplementi.
Naj bodo:
A11, A12, A13, . . . A21, A22, A23, . . . A31, A32, A33, . . .
... ... ...
neodvisni dogodki. Tedaj so tudi poljubni dogodki B1 ∈σ(A11, A12, . . .), B2 ∈σ(A21, A22, . . .), B3 ∈σ(An1, An2, . . .), . . . neodvisni.
20. V vezju, ki ga prikazuje spodnja skica, vsako stikalo prepušča električni tok z verje- tnostjo 1/3, posamezna stikala pa so med seboj neodvisna. Kolikšna je verjetnost, da vezje prepušča tok?
21. Janez, Francelj in Tone gredo streljat zajce. Janez zadene z verjetnostjo0.
1, Francelj z verjetnostjo 0.
2, Tone pa z verjetnostjo 0.
3, neodvisno drug od drugega.
a) Vsi pomerijo, ustrelijo in zajec je zadet. Kolikšna je pogojna verjetnost, da ga je Janez zadel?
b) Ko pridejo do zajca, se izkaže, da ga je zadel natanko eden. Kolikšna je pogojna verjetnost, da je bil to Janez?
22. Andraž, Bojan, Cilka in Darja streljajo v tarčo. Andraž in Bojan streljata z mo- drimi, Cilka in Darja pa z rdečimi puščicami. Andraž zadene z verjetnostjo 0.
6, Bojan z verjetnostjo 0.
7, Cilka z verjetnostjo 0.
5, Darja pa z verjetnostjo 0. 9. Vsi hkrati pomerijo in ustrelijo, neodvisno drug od drugega. V tarči se znajdeta ena modra in ena rdeča puščica. Kolikšna je pogojna verjetnost, da sta to Bojanova in Darjina?
23. Študent se od 50 izpitnih vprašanj nauči le 30. Za vsako vprašanje, ki se ga nauči, je potem še 30% verjetnosti, da pozabi odgovor, za vsako vprašanje, ki se ga ne nauči, pa je še 10% verjetnosti, da odgovor ugane. Privzamemo, da so dogodki, da študent posamezno vprašanje pozabi oz. ugane odgovor nanj, neodvisni. Na izpitu dobi tri na slepo izbrana vprašanja in izpit naredi, če pravilno odgovori na vsaj dve vprašanji. Kolikšna je verjetnost, da bo naredil izpit?
24. Miha se odpravi na obisk k vinogradnikom Janezu, Lojzu in Štefanu. Vsak mu ponudi kozarec vina, ki je lahko cviček ali pa šmarnica. Janez mu ponudi šmarnico z verjetnostjo 60%, Lojz z verjetnostjo 40%, Štefan pa z verjetnostjo 10%. Verjetnost, da Miho boli glava, ne da bi pil šmarnico, je 10%, verjetnost, da ga boli po kozarcu šmarnice (ne glede na to, čigave), 40%, po dveh kozarcih (ne glede na to, čigave šmarnice) 70% in po treh kozarcih 100%. Naslednji dan Miho boli glava in prijatelj Tone mu pravi: “Janez in Lojz sta ti gotovo dala šmarnico!” Kolikšna je pogojna verjetnost, da ima prav? Privzamemo, da vinogradniki izberejo vrsto vina neodvisno drug od drugega.
25. V kolektivu je n delavcev, med katerimi je tudi Zdravko. Vsi opravijo test za novi koronavirus SARS-Cov-2. Pri okuženih je test pozitiven z verjetnostjo a, pri neokuženih pa z verjetnostjo 1 −b. Številu a pravimo občutljivost, številu b pa specifičnost testa. Vsak od delavcev je okužen z verjetnostjo p, neodvisno od vseh ostalih. Privzamemo še, da so testiranja posameznih oseb med seboj neodvisna.
a) Kolikšna je verjetnost, da je Zdravkov test pozitiven?
b) Izkaže se, da je bilo pozitivnih natanko kdelavcev, a ni znano, kateri so to bili.
Kolikšna je pogojna verjetnost, da je Zdravko okužen?
26. Pustolovec Albert pride v tujo deželo, kjer ga takoj primejo in vtaknejo v ječo. Po prvi noči, prebiti v ječi, ga obišče kralj in mu ponudi posodo, v kateri je ena rdeča in ena zelena kroglica. Albert na slepo izvleče eno kroglico. Če izvleče zeleno, je izpuščen, če izvleče rdečo, pa mora prebiti v ječi še eno noč. Naslednji dan ga spet obišče kralj in spet mu ponudi posodo, le da sta tokrat notri dve rdeči in ena zelena kroglica. Spet je Albert izpuščen, če izvleče zeleno kroglico, sicer pa mora ponovno prespati v ječi. Tako se nadaljuje: vsak dan je v posodi ena rdeča kroglica več.
a) Dokažite, da Albert z verjetnostjo ena nekoč pride iz ječe.
b) Ko Alberta izpustijo, mu kralj izroči posodo s kroglicami (n rdečimi in eno zeleno, če je Albert v ječi prespal n-krat). Albert nato sam takoj izvleče eno kroglico. Če je zelena, takoj zapusti deželo, sicer pa izvlečeno rdečo kroglico odvrže in tam prespi (tokrat na svobodi). Nato spet vleče kroglice (tokrat z eno rdečo manj) in če izvleče zeleno, deželo zapusti, sicer pa ponovno prespi.
Tako nadaljuje, vsakič z eno rdečo kroglico manj.
Recimo, da je Albert v tej deželi prespal natanko petkrat. Kolikšna je pogojna verjetnost, da je v ječi prespal trikrat?
27. Iz posode, v kateri je sprvaardečih inbbelih kroglic, vlečemo kroglice. Če izvlečemo rdečo, končamo, če izvlečemo belo, pa jo vrnemo v posodo in dodamo še d novih
belih kroglic. Seveda vsakič vlečemo na slepo. Dokažite, da skoraj gotovo nekoč nehamo vleči.
Opomba: tovrstni protokoli vlečenja kroglic so znani kot Pólyeva žara.6
28. Miranda je na nočni zabavi spoznala Ferdinanda. V dneh po zabavi čaka na njegov klic. Verjetnost, da jo Ferdinand prvič pokliče k-ti dan po zabavi, je enaka 3−k. Vsako noč, ki sledi dnevu, ko Ferdinand Mirande ne pokliče, Miranda spozna novega fanta z verjetnostjo 1/10.
Recimo, da je Ferdinand poklical Mirando. Kolikšna je pogojna verjetnost, da je, preden jo je prvič poklical, že spoznala novega fanta? Privzamemo, da Miranda fante spoznava le ponoči in da Franc na posamezen dan pokliče Mirando neodvisno od tega, ali je prej spoznala novega fanta ali ne.
6György Pólya (1887–1985), madžarski matematik judovskega rodu
4. Slučajne spremenljivke
Pojem porazdelitve, kumulativna porazdelitvena funkcija, porazdelitvena shema diskretno po- razdeljene slučajne spremenljivke, porazdelitvena gostota zvezno porazdeljene slučajne spremen- ljivke. Ugotavljanje in prepoznavanje porazdelitev. Približni obrazci za binomsko porazdelitev.
Vrstilne karakteristike. Transformacije (funkcije) slučajnih spremenljivk. Generiranje slučajnih spremenljivk.
Diskretne slučajne spremenljivke
Porazdelitev diskretne slučajne spremenljivke (tj. take, ki svoje vrednosti zavzema le na končni ali števno neskončni množici) lahko opišemo sporazde- litveno shemo:
X ∼
a1 a2 a3 · · · p1 p2 p3 · · ·
,
ki (če so vse vrednostiai različne) pomeni P(X =a1) = p1, P(X = a2) = p2
itd. Velja:
p1+p2+p3 +· · ·= 1.
Slučajna spremenljivka X je diskretna natanko tedaj, ko njena verjetnostna funkcija:
pX(x) =P(X =x) zadoščaP
xpX(x) = 1.
1. Vržemo standardno kocko in število pik, ki padejo, označimo z X. Zapišite poraz- delitev te slučajne spremenljivke.
Diskretna enakomerna porazdelitev na n-elementni množici {a1, a2, . . . , an} je porazdelitev na slepo izbranega elementa te množice, tj. porazdelitev s shemo:
a1 a2 · · · an
1 n
1
n · · · n1
. Označevali jo bomo z ED{a1, a2, . . . , an}.
2. Neodvisno vržemo dva poštena kovanca in standardno kocko. Za vsako piko na kocki dobimo en evro, za vsako cifro na kovancu pa dva evra. Slučajna spremenljivka S naj predstavlja skupni znesek v evrih, ki ga dobimo. Zapišite njeno porazdelitev.
3. Slučajna spremenljivkaX ima diskretno porazdelitev z vrednostmi v množici {1,2, . . . ,10}. Verjetnost, da jeX enaka določenemu številu iz te množice, je premo sorazmerna s tem številom. Izračunajte P(X >3).
4. Naj bo X število šestic, ki padejo v desetih neodvisnih metih standardne kocke.
Zapišite porazdelitev te slučajne spremenljivke.
Bernoullijevo7 zaporedje poskusov je zaporedje neodvisnih slučajnih po- skusov, od katerih lahko vsak uspe ali ne uspe, in sicer vsak poskus uspe z isto verjetnostjo.
Binomska porazdelitev b(n, p) je porazdelitev števila uspelih poskusov v Bernoullijevem zaporedju n poskusov, od katerih vsak uspe z verjetnostjo p.
Če jeX ∼b(n, p), velja:
P(X =k) = n
k
pk(1−p)n−k; k = 0,1, . . . , n .
5. Šestkrat vržemo nepošten kovanec, pri katerem grb pade z verjetnostjo 1/3. Meti so med seboj neodvisni. Kolikšna je verjetnost, da padeta več kot dva grba?
6. Dani sta dve posodi, v vsaki je po n kroglic. Na vsakem koraku iz vsake posode na slepo in neodvisno izberemo po eno kroglico, tako da so izbire neodvisne tudi od prejšnjih izbir. Kroglici nato zamenjamo, tako da imamo v vsaki posodi spet po n kroglic. Kolikšna je verjetnost, da je posamezna kroglica po k korakih spet v isti posodi kot na začetku?
Opomba. Ta “difuzijski model” je leta 1769 opisal švicarski matematik in fizik Daniel Bernoulli (1700–1782).
Aproksimacija točkastih verjetnosti pri binomski porazdelitvi Naj bo X ∼b(n, p) in n→ ∞ ter še k ∈N0. Če grep→0, velja Poissonov8 obrazec:
P(X =k)≈ (np)ke−np k! ; za majhno relativno napako zahtevamo še |k−np| √
n.
Če pa je p,1−p 1/n (ali, ekvivalentno, σ := p
np(1−p) → ∞), velja Laplaceova9 lokalna formula:
P(X =k)≈ 1 σ√
2πe−(k−np)2/(2σ2) ; za majhno relativno napako zahtevamo še |k−np| σ4/3.
Produktnp je pričakovano število uspelih poskusov, količina σ pa je njegov standardni odklon.
Meja med smotrnostjo uporabe Poissonovega obrazca in Laplaceove lokalne formule je za veliken približno prip= 0.
6/√3 n.
V okviru dometa aproksimacij lahko relativne napake pri aproksimaciji točkastih verjetnostiP(X=k)navzgor omejimo s količinami naslednjih velikostnih redov:
7Jakob Bernoulli (1655–1705), švicarski matematik
8Siméon Denis Poisson (1781–1840), francoski matematik, geometer in fizik
9Pierre-Simon de Laplace (1749–1827), francoski matematik, astronom, fizik in politik
pri Poissonovi aproksimaciji:p+(k−np)2n ;
pri Laplaceovi lokalni formuli: 1
σ+|k−np|3 σ4 ;
pri Laplaceovi lokalni formuli, če jek∈Z+ 1/2: 1 +|k−np|
σ2 +|k−np|3 σ4 . Izboljšave aproksimacij (asimptotski razvoj 1. reda):
pri Poissonovem obrazcu:P(X=k)≈(np)k
k! exp −np+k−(k−np)2 2n
!
≈(np)k
k! exp −np+p−(k−np)2 2n
!
;
pri Laplaceovi lokalni formuli:P(X=k)≈ 1 σ√
2πexp −x2 2 +2p−1
6σ (3x−x3)
!
;
pri Laplaceovi integralski formuli:P(X < k)≈1 2+ Φ
x+2p−1 6σ (x2−1)
(zak∈Z+ 1/2);
Označili smox= (k−np)/σ. Iz zgornjih izboljšanih aproksimacij lahko izpeljemo asimptotično obnašanje napake pri Poissonovi aproksimaciji in pri Laplaceovi lokalni formuli, če je1/np1:
max k
P(X=k)−(np)ke−np k!
∼ p
2σ√ 2πmax
x 1−x2
e−x2/2= p 2σ√
2π
= 0. .199p σ;
X
k
P(X=k)−(np)ke−np k!
∼ p 2√ 2π
Z∞
−∞
1−x2
e−x2/2dx= 2p
√ 2πe
= 0. .484p;
max k
P(X=k)− 1 σ√
2πexp −(k−np)2 2σ2
!
∼ 1
6σ2√ 2πmax
x 3x−x3
e−x2/2= 1 σ2√
2π s
3−√ 6 6 e−(3−
√ 6)/2 .
=0. 0918 σ2 ;
X
k
P(X=k)− 1 σ√
2πexp −(k−np)2 2σ2
!
∼ 1
6σ√ 2π
Z∞
−∞
3x−x3
e−x2/2dx= 1 σ√ 2π
1 + 4e−3/2 3
=. 0.252 σ . Asimptotična meja med smotrnostjo uporabe Poissonove in Laplaceove aproksimacije bo torej:
če gledamo maksimalno absolutno napako: prip= 2(3−√
6) 3 e−(3−
√ 6)1/3
n−1/3 .
= 0.596n−1/3;
če gledamo vsoto absolutnih napak: prip=
e1/2 +4e−1 6
2/3 n−1/3 .
= 0.647n−1/3.
7. Naj boXspet število šestic, ki padejo v desetih neodvisnih metih standardne kocke.
Preverite, kako natančna sta Poissonov obrazec in Laplaceova lokalna formula pri izračunu P(X = 1).
8. 50-krat vržemo nepošten kovanec, pri katerem je verjetnost, da pade grb, enaka0. 4.
Meti so neodvisni. Kolikšna je verjetnost, da bo padlo natanko 20 grbov? Kolikšna pa je verjetnost, da bo padlo natanko 25 grbov?
Točen rezultat primerjajte z rezultatoma, dobljenima po Poissonovem obrazcu in po Laplaceovi lokalni formuli.
9. Verjetnost, da uporabnik stranišča potegne vodo, je0.
99. Kolikšna je verjetnost, da se pri 1000 uporabah voda potegne natanko 990-krat?
10. Enota nujne medicinske pomoči pokriva večje število prebivalcev in ima v povpre- čju 10 obiskov na dan. Ocenite verjetnost, da bo imela v določenem dnevu več kot 15 obiskov. Poenostavljeno privzamemo, da vsak prebivalec potrebuje nujno medicinsko pomoč z isto verjetnostjo in neodvisno od drugih prebivalcev.
Aproksimacija intervalskih verjetnosti pri binomski porazdelitvi Če jeX ∼b(n, p), a≤b in jep,1−p1/n (ali, ekvivalentno,
σ:=p
np(1−p)→ ∞), velja Laplaceova integralska formula:
P(a < X < b)≈P(a≤X ≤b)∼Φ
b−np σ
−Φ
a−np σ
; za majhno relativno napako zahtevamo še:
|a−np| σ4/3 ali|b−np| σ4/3;
a, b∈Z+12 ali b−a1.
Funkcija Φje Gaussov10 verjetnostni integral:
Φ(x) = 1
√2π Z x
0
e−t2/2dt in je liha. Graf:
x Φ(x)
−3 −2 −1 1 2 3
−12
1 2
V literaturi so definicije funkcijeΦ različne, zato je treba paziti!
11. Hotelski kompleks ima 1600 sob. Gostje jih vse naenkrat rezervirajo, a vsaka rezer- vacija je z verjetnostjo 10% odpovedana. Odpovedi so med seboj neodvisne.
a) Kolikšna je verjetnost, da bo zasedenih od 1420 do 1450 sob, pri čemer sta obe meji vključeni?
b) Kolikšna je verjetnost, da bo zasedenih manj kot 1420 sob?
c) Uprava se odloči prenoviti sobe, a glede na možne odpovedi ne prenovijo vseh sob. Tako seveda tvegajo, da bo treba kakšnega gosta namestiti v nepreno- vljeno sobo, a ne želijo, da se to zgodi z verjetnostjo več kot 5%. Najmanj koliko sob morajo prenoviti?
d) Uprava končno prenovi vse sobe, a se odloči, da bo sprejela več rezervacij, kot je sob. Največ koliko rezervacij naj sprejmejo, če naj bo verjetnost, da ne bodo mogli sprejeti vseh gostov, največ 5%?
12. V deželi razsaja epidemija, okuženih je 3% prebivalcev. Obravnavajte različne me- tode (približnega) izračuna verjetnosti, da sta med 100 neodvisnimi mimoidočimi več kot dva okužena: katere so smiselne, katere hitrejše in katere natančnejše.
10Carl Friedrich Gauß (1777–1855), nemški matematik
13. Verjetnost, da je izdelek prvovrsten, je 60%. Najmanj koliko izdelkov približno moramo naročiti, če naj bo med naročenimi izdelki z verjetnostjo najmanj0.
99vsaj 59% izdelkov prvovrstnih? Seveda privzamemo, da so posamezni izdelki med seboj neodvisni.
14. Verjetnost, da je izdelek prvovrsten, je 10%. Najmanj koliko izdelkov približno moramo naročiti, če naj bo med naročenimi izdelki z verjetnostjo najmanj0.
95vsaj 100 izdelkov prvovrstnih?
15. Naj boXštevilo metov standardne kocke, ki jo mečemo, dokler ne pade šestica. Meti so med seboj neodvisni. Zapišite in poimenujte porazdelitev slučajne spremenljivke X.
Geometrijska porazdelitev je porazdelitev na N, pri kateri točkaste verjetnosti tvorijo geometrijsko zaporedje.
Natančneje, zapis X ∼ Geom(p), kjer je 0 < p ≤ 1, po- meni:
P(X =k) = p(1−p)k−1; k ∈N.
Geometrijska porazdelitev je tudi porazdelitev števila po- skusov do vključno prvega uspelega, če izvajamo Bernoul- lijevo zaporedje poskusov, pri katerih vsak uspe z verjetno- stjo p.
16. Naj boX število metov standardne kocke, ki jo mečemo, dokler šestica ne pade de- setkrat. Meti so med seboj neodvisni. Zapišite porazdelitev slučajne spremenljivke X.
Negativna binomska (Pascalova)11 porazdelitev NegBin(n, p) je poraz- delitev števila poskusov do vključno n-tega uspelega, če izvajamo Bernoulli- jevo zaporedje poskusov, pri katerih vsak uspe z verjetnostjo p. Če je X ∼ NegBin(n, p), velja:
P(X =k) =
k−1 n−1
pn(1−p)k−n; k =n, n+ 1, n+ 2, . . .
POZOR! Marsikje v literaturi je negativna binomska porazdelitev pomaknjena za n v levo, tj.:
P(Y =l) =
n+l−1 n−1
pn(1−p)l; l = 0,1,2, . . . To lahko interpretiramo tako, da uspelih poskusov ne štejemo v Y.
Tako premaknjena porazdelitev se da lepo posplošiti tudi na necelen >0, tako da definiramo:
P(Y=l) =n(n+ 1)· · ·(n+l−1)
k! pn(1−p)l= −n
l
pn(p−1)l.
11Blaise Pascal (1623–1662), francoski matematik, fizik, izumitelj, filozof, moralist in teolog
Tej porazdelitvi često pravimoPólyeva12porazdelitev. Uporablja se v statistiki za modeliranje raznih stvari, kot npr. števila tropskih ciklonov v sezoni ali števila dni, ki jih pacient preživi v bolnišnici.
17. Naj boXštevilo metov poštenega kovanca, ki ga mečemo, dokler ne pade cifra, takoj za njo pa še grb. Meti so med seboj neodvisni. Zapišite in poimenujte porazdelitev slučajne spremenljivke X.
Kaj pa, če kovanec ni pošten?
18. Naj bo X število metov poštenega kovanca, ki ga mečemo, dokler ne pade tako cifra kot tudi grb. Meti so med seboj neodvisni. Zapišite porazdelitev slučajne spremenljivke X. Je le-ta kaj povezana s kako znano porazdelitvijo?
19. Kovanec, na katerem grb pade z verjetnostjo p∈(0,1), mečemo, dokler ne dobimo alim grbov ali pa mcifer, kjer je mdano naravno število. Izračunajte porazdelitev števila potrebnih metov. Privzamemo, da so meti med seboj neodvisni.
20. Pošten kovanec mečemo, dokler ne padeta dve zaporedni cifri, vendar največkrat 7-krat. Meti so med seboj neodvisni. Označimo z X število metov. Zapišite po- razdelitev te slučajne spremenljivke. Kaj pa, če umaknemo omejitev, da vržemo največ 7-krat?
21. Med 16 kartami so štirje piki. Na slepo in brez vračanja izvlečemo sedem kart. Naj bo X število pikov med njimi. Zapišite porazdelitev slučajne spremenljivkeX.
Hipergeometrijska porazdelitev
Iz posode, v kateri je n kroglic, od tega r rdečih, na slepo in brez vračanja izvlečemo s kroglic. Če z X označimo število rdečih med izvlečenimi, ima ta slučajna spremenljivka hipergeometrijsko porazdelitev: X ∼ H(s, r, n) = H(r, s, n). Velja:
P(X=k) = r
k
n−r s−k
n
s
= s
k
n−s r−k
n
r
; k = 0,1,2, . . .
Opomba. Če naredimo limito, ko gre n proti neskončno in r/n proti nekemu fiksnemu številu p,s pa ostane konstanten, je plavzibilno, da postanejo vlečenja med seboj neodvi- sna: dobimo torej Bernoullijevo zaporedje poskusov z verjetnostjo uspeha p. V kakšnem smislu limito dobimo, bi bilo sicer treba še precizirati, a tukaj tega ne bomo storili. Opa-
12György Pólya (1887–1985), madžarski matematik judovskega rodu
zimo pa, da, brž ko je r1, r2, . . . zaporedje zlimn→∞rn/n=p, za vsak k velja:
n→∞lim s
k
n−s rn−k
n
rn
=
= lim
n→∞
s k
(n−s)!rn! (n−rn)!
(rn−k)! (n−rn−s+k)!n! =
= lim
n→∞
s k
rn(rn−1)· · ·(rn−k+ 1)·(n−rn)(n−rn−1)· · ·(n−rn−s+k+ 1) n(n−1)· · ·(n−s+ 1) =
= lim
n→∞
s k
pk(1−p)s−k.
Hipergeometrijska porazdelitev H(s, r, n), ki izhaja iz izvirnega poskusa, torej glede na točkaste verjetnosti konvergira proti binomski porazdelitvi b(s, p), ki izhaja iz limitnega Bernoullijevega zaporedja poskusov.
22. Danih je 12 praznih škatel. Mimo pride Janezek, na slepo izbere tri škatle in v vsako vrže po eno kroglico. Mimo pride še Marička, na slepo (in neodvisno od Janezka) izbere štiri škatle in prav tako v vsako vrže po eno kroglico. Zapišite in poimenujte porazdelitev števila škatel, ki so ostale prazne.
23. Na nekem izpitu dobi študent dve na slepo izbrani vprašanji izmed 10 možnih.
Študent se je učil le polovico vseh vprašanj. Vendar pa na vsako vprašanje, ki se ga ni učil, z verjetnostjo 20% ugane odgovor. Glede tega so vprašanja neodvisna, prav tako je študentova zmožnost ugibanja odgovorov neodvisna od izbire izpitnih vprašanj.
Slučajna spremenljivka U naj pove število vprašanj, ki se jih študent ni učil, je pa uganil odgovor. Zapišite njeno porazdelitev numerično na 4 decimalke natančno.
24. V dobro premešanem kupu šestih kart so tri rdeče in tri črne. Iz kupa brez vračanja vlečemo karte, dokler črna karta ne sledi rdeči karti ali pa ne izvlečemo vseh kart.
Zapišite porazdelitev števila izvlečenih kart.
25. V Pólyevi žari je sprva b belih in r rdečih kroglic. Iz nje na slepo vlečemo kroglice.
Vsakič, ko izvlečemo kroglico posamezne barve, jo vrnemo v posodo in dodamo še eno kroglico enake barve. Določite porazdelitev števila belih izvlečenih kroglic pon vlečenjih. Kakšna je ta porazdelitev za b=r= 1?
26. Iz posode, v kateri jen kroglic, od tegar rdečih, na slepo in brez vračanja vlečemo kroglice, dokler ne izvlečemo s rdečih (1 ≤ s ≤ r). Porazdelitvi števila izvlečenih kroglic pravimo negativna hipergeometrijska porazdelitev. Določite jo.
27. V Pólyevi žari je sprvaa rdečih in b belih kroglic. Iz nje na slepo vlečemo kroglice.
Če izvlečemo rdečo, končamo, če izvlečemo belo, pa jo vrnemo v posodo in dodamo še k novih belih kroglic. V27. nalogi iz 3. razdelka smo dokazali, da z verjetnostjo ena nekoč nehamo vleči. Zapišite porazdelitev števila vlečenj.
28. V skupini je n moških in n žensk. Le-te povsem naključno razporedimo po parih.
Določite porazdelitev števila parov, v katerih sta osebi različnega spola.
Kumulativna porazdelitvena funkcija
V splošnem porazdelitev opišemo z verjetnostmi P(X ∈ C) za vse merljive množice C. Pri realnih slučajnih spremenljivkah pa zadostuje za C vzeti poltrake(−∞, x]. Tako dobimo kumulativno porazdelitveno funkcijo:
FX(x) =P(X < x).
29. Narišite grafa kumulativnih porazdelitvenih funkcij slučajnih spremenljivk iz 1. in 2. naloge.
30. Na intervalu [−3,3] na slepo izberemo število. Označimo z D oddaljenost tega števila od intervala[0,1]. Izračunajte kumulativno porazdelitveno funkcijo slučajne spremenljivke Din narišite njen graf.
31. V kvadratu s stranico 2 na slepo izberemo točko. Izračunajte kumulativno poraz- delitveno funkcijo oddaljenosti izbrane točke od najbližje stranice in narišite njen graf.
Realna slučajna spremenljivkaX je porazdeljena zvezno, če obstaja taka in- tegrabilna funkcija fX: R→[0,∞), da za poljubnaa≤b velja:
P(a < X < b) =P(a≤X ≤b) = Z b
a
fX(x) dx . (∗) Funkciji fX pravimo porazdelitvena gostota.
Če formula (∗) velja za vse realne a in b, a ≤ b, velja tudi za a = ∞ in/ali b=∞. Posledično je:
Z ∞
−∞
fX(x) dx= 1.
Iz formule(∗)pa sledi tudi, da je P(X =x) = 0 za vse x∈R. 32. Slučajna spremenljivka X je porazdeljena zvezno z gostoto:
fX(x) =
√c
x ; 0< x <9 0 ; sicer.
Določite konstanto c ter izračunajteP(1< X <4)in P(X >1).
33. Za slučajni spremenljivki iz30. in31. naloge določite, ali sta porazdeljeni diskretno in ali sta porazdeljeni zvezno. Za primer, ko je katera od teh slučajnih spremenljivk porazdeljena zvezno, zapišite še porazdelitveno gostoto.
Naj bo FX kumulativna porazdelitvena funkcija slučajne spremenljivke X.
Če jeXporazdeljena zvezno, jeFX zvezna in veljaFX(x) = Z x
−∞
fX(t) dt .
Če jeFX zvezna in odsekoma zvezno odvedljiva, jeXporazdeljena zvezno in za vse razen za končno mnogo točk x veljafX(x) =FX0 (x).
34. Avtobus vozi na 10 minut, na postajo pa pridemo na slepo. Slučajna spremenljivka X naj predstavlja čas čakanja na avtobus v minutah. Zapišite kumulativno poraz- delitveno funkcijo te slučajne spremenljivke. Nadalje dokažite, da je porazdelitev zvezna, in zapišite še njeno gostoto.
Zvezna enakomerna porazdelitev na intervalu (a, b) (a < b) je porazdelitev na slepo izbrane točke iz tega inter- vala. To je porazdelitev z gostoto:
f(x) =
1
b−a ; a < x < b 0 ; sicer.
35. Rok in Simona se dogovorita za zmenek natanko ob osmih pod starim zvonikom. A v resnici prideta enkrat med 20:00 in 20:10, in sicer z enakomerno porazdelitvijo in neodvisno drug od drugega. Ljubosumni Maks vse od 20:00 opreza za vogalom in čaka, dokler ne prideta obadva. Slučajna spremenljivka M naj predstavlja, koliko časa (v minutah) je čakal Maks. Zapišite kumulativno porazdelitveno funkcijo in gostoto te slučajne spremenljivke. Kolikšna je verjetnost, da je Maks čakal med 5 in 6 minut?
36. Na slepo izberemo točko iz lika, ki ga sestavljajo točke, ki ležijo levo od ordinatne osi in so od iz- hodišča oddaljene največ 1, in točke, ki ležijo de- sno od ordinatne osi in so od izhodišča oddaljene največ 2 (glej sliko). Naj bo Z oddaljenost iz- brane točke od izhodišča. Zapišite kumulativno porazdelitveno funkcijo in gostoto porazdelitve te slučajne spremenljivke.
x y
−2 −1 1 2
−2
−1 1 2
37. Naj bo λ >0. Slučajna spremenljivka X je porazdeljena zvezno z gostoto:
fX(x) =
ce−λx ; x >0 0 ; sicer
Izračunajte konstanto cin določite kumulativno porazdelitveno funkcijo FX(x). Iz- računajte še P(1< X <2).
Eksponentna porazdelitevje zvezna porazdelitev, skon- centrirana na intervalu [0,∞) in katere gostota na tem in- tervalu je eksponentna funkcija. Natančneje, porazdelitev Exp(λ) ima gostoto:
f(x) =
λe−λx ; x >0 0 ; sicer
38. Neodvisno zaporedoma izbiramo naravna števila od 1 dom. Določite porazdelitev dolžine najdaljšega strnjenega strogo naraščajočega podzaporedja, ki se začne s prvim številom.
39. Slučajna spremenljivka X je porazdeljena diskretno po naslednji shemi:
X ∼
−1 0 1 2 0.
4 0. 1 0.
3 0. 2
Zapišite porazdelitev slučajne spremenljivke Y =X2.
40. Slučajna spremenljivkaX je porazdeljena geometrijsko Geom(p). Zapišite porazde- litev slučajne spremenljivke Y := sin(πX/2).
41. Nekorektno zastavljen problem: kakšna je porazdelitev prve signifikantne decimalke naključno izbranega pozitivnega realnega števila (za številoπ je npr. to3, za število 2038 je to 2, za število 1/16 pa je to 6)?
Če želimo dobiti korekten problem, moramo sprejeti določene dodatne predpostavke, npr. kakšno porazdelitev imamo v mislih, ko govorimo o naključnosti števila. Števila, s katerimi se srečujemo, zavzemajo precej velik razpon, od zelo majhnih, kakršen je npr. Planckov čas 5.
39·10−44s, do zelo velikih, npr. en kilogram vodika vsebuje približno 5.
975·1026 atomov.
Privzemimo, da gostota porazdelitve v glavnini zaloge vrednosti ostane v glavnini nespremenjena, če slučajno število pomnožimo s faktorjem reda velikosti od1/10do 10. To si lahko predstavljamo tako, da zamenjamo enote (npr. če namesto palcev vzamemo centimetre, se mersko število pomnoži z 2.
54). To ustreza predpostavki, da gostota porazdelitve logaritma tega števila ostane v glavnini nespremenjena, če temu logaritmu prištejemo število reda velikosti od −1 do 1. To pa je takrat, ko je gostota porazdelitve logaritma v glavnini približno konstantna.
Označimo dano slučajno število z X. Njegova prva decimalka se ohrani, če ga pomnožimo z določeno potenco števila10. To lahko povemo tudi tako, da njegovemu desetiškemu logaritmu Y := log10X prištejemo določeno celo število. Število X je z Y natančno določeno, prva decimalka števila X pa je natančno določena že z necelim delom števila Y, torej z U :=Y − bYc.
Iz predpostavke, da je gostota porazdelitve slučajne spremenljivkeY v glavnini, ki se razpenja čez veliko celih števil, sledi, da je slučajna spremenljivka U porazdeljena
približno enakomerno na intervalu [0,1). Približno kakšna je torej porazdelitev iskane prve decimalke?
42. Naj bo a ∈ R in λ > 0. Slučajna spremenljivka X je porazdeljena eksponentno Exp(λ). Dokažite, da je slučajna spremenljivkaY = (X+a)2 zvezno porazdeljena, in zapišite njeno porazdelitveno gostoto.
43. Na razpolago imamo generator slučajnih števil, ki generira enakomerno porazdelitev EZ(0,1). Kako bi generirali porazdelitev slučajne spremenljivke X iz 39. naloge?
Kaj pa eksponentno porazdelitev Exp(λ)?
Naj boXslučajna spremenljivka, porazdeljena zvezno z gostoto, ki je na nekem intervalu (končnem ali neskončnem) strogo pozitivna, drugje pa enaka nič. Naj bo0< α <1. Številoxα je kvantil slučajne spremenljivkeX za verjetnostα, če velja:
P(X < xα) = P(X ≤xα) = FX(xα) =α .
Kvantili take slučajne spremenljivke za vse verjetnosti iz (0,1)obstajajo in so enolično določeni.
Kvantilu za verjetnost1/2pravimo mediana.
Kvantiloma za verjetnosti 1/3 in2/3pravimo prvi in drugi tercil.
Kvantili za verjetnosti1/4,2/4in 3/4so kvartili.
Kvantili za verjetnosti0. 1,0.
2, . . . ,0.
9 so decili.
Kvantili za verjetnosti0. 01,0.
02, . . . ,0.
99pa so centili ali percentili.
Medkvartilni razmikje razlika IQR =x3/4−x1/4.
44. Slučajna spremenljivka X je porazdeljena zvezno z naslednjo gostoto:
fX(x) =
1
(1 +x)2 ; x≥0 0 ; sicer.
Izračunajte vse njene kvantile. Posebej izračunajte še mediano in medkvartilni razmik.
Številoxαje kvantil splošne slučajne spremenljivkeX za verjetnostα, če velja:
P(X < xα)≤α≤P(X≤xα).
Kvantil za vsako verjetnost iz(0,1)še vedno obstaja, ni pa več nujno enolično določen.
45. Slučajna spremenljivka X je porazdeljena diskretno po shemi:
1 2 3 4 5 6 0.
05 0. 15 0.
15 0. 15 0.
15 0. 35
.
Določite tretji decil in mediano. Kateri od teh dveh kvantilov je enolično določen?
