UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Finančna matematika – 2. stopnja Anja Leskovšek Kunc OBRATNE STOHASTIČNE DIFERENCIALNE ENAČBE Magistrsko delo Mentor: izr. prof. dr. Mihael Perman Ljubljana, 2022

UNIVERZA V LJUBLJANI

FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Finančna matematika – 2. stopnja

Anja Leskovšek Kunc

OBRATNE STOHASTIČNE DIFERENCIALNE ENAČBE

Magistrsko delo

Mentor: izr. prof. dr. Mihael Perman

Ljubljana, 2022

Kazalo

Program dela v

1 Obratne stohastične diferencialne enačbe 1

1.1 Potrebna sredstva iz stohastične integracije . . . 1

1.2 Formulacija problema . . . 4

1.3 Obstoj in enoličnost rešitev . . . 5

1.3.1 Obratne stohastične diferencialne enačbe . . . 12

1.4 Eksistenca in enoličnost . . . 14

1.5 Primeri . . . 20

1.6 Zrcalne obratne stohastične diferencialne enačbe . . . 23

1.6.1 Itôva ovira . . . 24

1.7 Premo-obratne stohastične diferencialne enačbe . . . 27

1.7.1 Formulacija problema . . . 27

2 Stohastična kontrola 30 2.1 Osnovni pojmi . . . 31

2.2 Dinamika kontrolnega sistema . . . 31

2.3 Optimizacijski problem . . . 32

2.4 Hamiltonian sistema . . . 34

2.5 Difuzijska dinamika . . . 35

2.6 Primer nekontrolirane volatilnost: Šibka formulacija . . . 36

2.6.1 Predpostavka difuzijskega koeficienta dinamike stanja . . . 36

2.6.2 Predpostavka tendence dinamike stanja . . . 36

2.6.3 Dinamika kontrolnega sistema . . . 37

2.6.4 Stroškovni funkcional . . . 37

2.7 Dinamično programiranje in HJB enačba . . . 40

2.7.1 Princip dinamičnega programiranja . . . 42

3 BSDE in stohastična kontrola 44 3.1 Vrednostna funkcija kot rešitev BSDE . . . 45

3.2 Optimizacija družine BSDE . . . 46

3.2.1 Stohastična HJB enačba . . . 48

3.3 Pontrjaginov stohastični princip maksimuma . . . 51

3.3.1 Potrebni pogoji za optimalnost . . . 51

Program dela

Motivacija za formulacijo obratnih stohastičnih diferencialnih enačb so bili nekateri problemi stohastične kontrole. V magistrskem delu predstavite obratne stohastične diferencialne enačbe in osnovne izreke o enoličnosti in obstoju rešitev. V drugem delu naloge formulirajte probleme stohastične kontrole in njihovo povezavo z obratnimi stohastičnimi diferencialnimi enačbami. Za izhodiščno literaturo vzemite monogra- fijo [1].

Literatura

[1] R. Carmona, Lectures on BSDEs, Stochastic Control, and Stochastic Differen- tial Games with Financial Applications, SIAM, Philadelphia, 2016.

Podpis mentorja:

Obratne stohastične diferencialne enačbe Povzetek

Obratne stohastične diferencialne enačbe so poseben tip stohastičnih diferencialnih enačb, pri katerih imamo dano končno vrednost, ki se uporabljajo v finančnih mo- delih, ekonomskih problemih, stohastični kontroli, stohastičnih diferencialnih igrah itd. V tem delu si bomo pogledali, pod katerimi pogoji obstaja enolična rešitev za obratne stohastične diferencialne enačbe in nekaj primerov iz financ. Nato bomo de- finirali stohastično kontrolo ter dve glavni metodi, s katerima jo lahko rešujemo: di- namično programiranje ter Pontrjaginov stohastični princip maksimuma. Na koncu si bomo pogledali povezavo med obratnimi stohastičnimi diferencialnimi enačbami in stohastično kontrolo.

Backward stochastic differential equations Abstract

Backward stochastic differential equations are a special type of stochastic differential equations, in which the terminal value is already given, that are used in financial models, economic problems, stochastic control, stochastic differential games, etc. In this thesis we are going to look at the conditions under which there is a unique solution for the backward stochastic differential equations and some examples from finance. Then we will define stochastic control and two main methods with which we can solve it. These methods are dynamic programming and Pontryagin stochastic maximum principle. At the end, we will take a look at the connection between backward stochastic differential equations and stochastic control.

Math. Subj. Class. (2020): 60H10, 60H30, 93E10

Ključne besede: obratne stohastične diferencialne enačbe, stohastična kontrola, Hamiltonian sistema, dinamično programiranje, Pontrjaginov stohastični princip maksimuma.

Keywords: backward stochastic differential equations, stochastic control, the Ha- miltonian of the system, dynamic programming, Pontryagin stochastic maximum principle.

Uvod

Linearne obratne stohastične diferencialne enačbe (BSDE) je prvič predstavil Bi- smut (1973), med tem ko je iskal rešitev stohastične optimalne kontrole s pomočjo Pontrjaginovega stohastičnega principa maksimuma. Ker je veliko finančnih pro- blemov povezanih s stohastično kontrolo, so BSDE postale uporabno matematično orodje za njihovo reševanje. Naslednja sta bila Pardoux in Peng (1990), ki sta teorijo BSDE posplošila in dokazala, da obstaja enolična rešitev kadar koeficienti zadoščajo Lipschitzovem pogoju ter linearni rasti. Njihova slabost je ta, da se jih po večini ne da rešiti eksplicitno, zato se uporabljajo numerične metode, s katerimi poizkušamo poiskati čim boljši približek rešitve.

V delu si bomo pogledali, kako lahko rešimo problem vrednotenja evropske op- cije. Po uvedbi zrcalnih obratnih diferencialnih enačb, pa si bomo pogledali še rešitev problema vrednotenja ameriške opcije. Pri stohastični kontroli bomo obrav- navali difuzijske modele, ki so sistemi, opisani z Itôvimi stohastičnimi diferencialnimi enačbami. Pogledali si bomo primere optimalne stohastične kontrole, kjer je rešitev dana kot rešitev BSDE.

V zadnjih nekaj letih se je to področje močno razvilo. Kar nekaj člankov se osre- dotoča na šibkejše pogoje za obstoj in enoličnost rešitve ali pa na njihovo uporabo.

1 Obratne stohastične diferencialne enačbe

1.1 Potrebna sredstva iz stohastične integracije

Najprej ponovimo nekaj definicij, ki predstavljajo osnovni temelj za nadaljno teorijo.

Definicija 1.1. Naj boXneprazna množica. DružinoF, za katero veljaF ⊆ P(X), imenujemo σ - algebra, če velja:

• X ∈ F

• čeE ∈ F, potem E^C ∈ F

• čeE₁, E₂, E₃, . . . ∈ F, potem ∪^∞_i=1E_i ∈ F

Elementomσ - algebre rečemo merljive množice, paru(X,F)pa merljiv prostor.

Spomnimo se nekaj pojmov iz teorije mere:

• Filtracija v zveznem času je nepadajoča družina σ-podalgeber F_t merljivega prostora (Ω,F), kjer je t ≥ 0. Z F_t ↑ F∞ označimo filtracijo, kjer je F∞ = σ(⋃

tFt), tako da velja Fs ⊆ Ft za vsaka 0≤s≤t≤ ∞ .

• Slučajni proces je zaporedje slučajnih spremenljivk{X_t, t≥0}.

• Slučajni proces {X_t, t ≥ 0} je prilagojen filtraciji {F_t}, če je za vsak t ≥ 0 slučajna spremenljivkaX_t∈ F_t.

Definicija 1.2. Čas ustavljanja T glede na filtracijo {F_t}t≥0 je slučajna spremen- ljivka T z vrednostmi v [0,∞)∪ {∞}, taka da za vsak t ≥0velja {T ≤t} ∈ F_t. Definicija 1.3. Verjetnost (ali verjetnostna mera) na σ-algebriF, ki jo sestavljajo določene podmnožice množice izidov Ω (dogodki), je predpis, ki vsakemu dogodku A priredi število, ki ga označimo s P(A) in mu pravimo verjetnost dogodka A. Pri tem mora veljati

• 0≤P(A)≤1za vsak dogodek A.

• P(∅) = 0 in P(Ω) = 1.

• Za poljubno zaporedje dogodkov A₁ ⊆A₂ ⊆A₃ ⊆. . .mora veljati:

P(A1∪A2∪A3∪. . .) = lim

n→∞P(An)

Definicija 1.4. Trojica (Ω,F,P) je verjetnostni prostor, kjer je Ω dana neprazna množica, F σ-algebra podmnožic Ωin Pverjetnostna mera.

Definicija 1.5. ProcesX , definiran na verjetnostnem prostoru(Ω,F,(F)t≥0,P), je progresivno merljiv glede na(F)_t≥0, če je funkcijaX(s, ω) : [0, t]×Ω→R B([0, t])×

F - merljiva, za vsakt ≥0.

Zgornja definicija je pomembna, saj nam pove, da je ustavljen progresivno merljiv proces merljiv.

Definicija 1.6. Verjetnostni prostor (Ω,F,P) je poln verjetnostni prostor, če za vsak B ∈ F s P(B) = 0 in A ⊂ B, sledi A ∈ F.

V nadaljevanju bo za poln verjetnostni prostor uporabljena notacija(Ω,F,P).

Definicija 1.7. Naj bo (Ω,F,P) verjetnostni prostor in f : Ω → R funkcija. Pra- vimo, da je f ∈L², če velja

∫

Ω

|f|²dP<∞.

Definirajmo L² normo kot

||f||=(∫

Ω

|f|²dP )¹₂

.

Definicija 1.8. Stohastični proces X_n je diskreten martingal v F_n, če je X_n prila- gojena F_n in zadošča E[X_n/F_m] =X_m s.g. za vsak m≤n.

Definicija 1.9. Brownovo gibanje je nabor slučajnih spremenljivk (W_t, t ≥0)glede na filtracijo (Ft)t≥0 na verjetnostnem prostoru(Ω,F,P), če velja:

• Wt+h−Wt je neodvisna od F_t za vset, h ≥0. Za vsakt je Wt merljiva glede na F_t.

• Porazdelitev W_t+h−W_t je normalna N(0, h) porazdelitev za vsaka t, h≥0.

• Za fiksen ω∈Ω je funkcija t ↦→W_t(ω) zvezna za skoraj vse ω∈Ω.

Definicija 1.10. Brownovo gibanje ima markovsko lastnost. To pomeni, da je P(W_tn+h ∈A/W_t1, W_t2, . . . , W_tn) = ∫

Ap_h(W_tn, y)dy.

Zgornja definicija nam pove, da se Brownov delec giblje nedvisno glede na pre- teklost. Poglejmo si še definicijo markovske lastnosti v zveznem času, ki velja tudi za Brownovo gibanje.

Definicija 1.11. F_t prilagojen proces X_t je F_t-markovski proces, če velja enakost E[f(X_t)|F_s] =E[f(X_t)|X_s] za vsakt≥s in za vsako omejeno funkcijof.

Stohastične diferencialne enačbe bomo definirali na Hilbertovem prostoru, zato si poglejmo še definicijo prostora in nekaj osnovnih lastnosti.

Definicija 1.12. Hilbertov prostor je poln vektorski prostorHs skalarnim produk- tom ⟨f, g⟩. Norma je definirana kot

∥f∥=√

⟨f, f⟩.

Skalarni produkt ima naslednje lastnosti:

• Simetričnost: ⟨f, g⟩=⟨g, f⟩

• Linearnost: ⟨αf+βh, g⟩=α⟨f, g⟩+β⟨h, g⟩

• Pozitivna definitnost:

{ ⟨f, f⟩>0, f ̸= 0

⟨f, f⟩= 0, f = 0

Temeljni doprinos pri teoriji stohastičnih procesov je imel japonski matematik Kiyosi Itô, ki je tudi izumil koncept stohastičnega integrala. Definirajmo najprej integral, ki je tudi martingal, tipa

∫ t 0

f(s)dW_s, (1)

kjer je f stohastičen proces in W_t Brownovo gibanje.

Definicija 1.13. Itôv proces ali stohastični integral je stohastični proces na verje- tnostnem prostoru(Ω,F,P), ki je prilagojen F_t. Zapišemo ga kot

X_t =X₀+

∫ t 0

U_sds+

∫ t 0

V_sdW_s ali simbolično

dX_t=U_tdt+V_tdW_t, kjer staU_t in V_t∈L₂ in sta progresivno merljiva.

Primer Itôvega procesa je W_t² =∫t

0 ds+ 2∫t

0 W_sdW_s, ki ga lahko zapišemo tudi v diferencialni oblikid(W_t²) = dt+ 2W_tdW_t.

Naslednji izrek je izrek Girsanova, ki nam pove, kaj se zgodi z Brownovim giba- njem, če na (Ω,F_t)spremenimo mero.

Izrek 1.14. (Girsanov) Naj bo W_t, kjer je t ∈ [0, T], Brownovo gibanje pod mero P. Definirajmo martingal

Λ_t=e^{−12∫0tHs2dt−∫0tHsdWs}, (2) kjer je H_t tak progresivno merljiv proces, da velja

E [∫ T

0

H_s²Λ²_sds]

<∞. (3)

Potem je ekvivalentna mera Q dana kot Λ_t = dQ

dP in proces

W˜_t=W_t+

∫ t 0

H_sds (4)

je Brownovo gibanje pod mero Q.

Naslednji izrek nam pove, da lahko vsako slučajno spremenljivko, ki je mer- ljiva glede na filtracijo generirano z Brownovim gibanjem, zapišemo v obliki Itôvega integrala z Brownovim gibanjem.

Izrek 1.15. (Martingalska reprezentacija) Naj bo W(t) = (W₁(t), . . . , W_n(t)) n- dimenzionalno Brownovo gibanje in Xt lokalni martingal, ki je prilagojen naravni filtraciji {F_t}0≤t≤T. Potem obstaja predvidljiv proces H_t, tak da je ∫T

0 H_sds <∞ in Xt=X0+

∫ t 0

HsdW s.

Pri dokazovanju obstoja in enoličnosti rešitve za stohastične diferencialne enačbe in obratne stohastične diferencialne enačbe je zelo pomemben Banachov izrek o fiksni točki, zato si poglejmo naslednje.

Definicija 1.16. Naj bo X metrični prostor in d pripadajoča razdalja. Preslikava f :X →X je skrčitev, če obstaja tak 0< λ <1, tako da velja

d(f(x₁), f(x₂))≤λd(x₁, x₂), ∀x₁, x₂ ∈X

Izrek 1.17. (Banachov izrek o fiksni točki) Naj bo f skrčitev na polnem metričnem prostoru X. Potem ima f enolično fiksno točko x¯∈X, za katero velja f(¯x) = ¯x.

1.2 Formulacija problema

Preden si pogledamo naš problem, si poglejmo še oznake in začetne definicije pro- stora.

Definicija 1.18. Naj bo(Ω,F,P)poln verjetnostni prostor inW Brownovo gibanje v R^m glede na{F_t}0≤t≤T. Za vsakk ≥1označimo z H^0,k množico vseh progresivno merljivih procesov, ki slikajo[0, T]−→R^k. Definirajmo podprostora:

H^2,k :={Z ∈H^0,k;E

∫ T 0

|Z_s|²ds <∞}

in

S² :={Y ∈H^0,k;E sup

0≤t≤T

|Y_s|² <∞}

Definirajmo še B^k:={Z ∈H^0,k; sup

0≤t≤T

|Z_t|<∞,P−s.g.}.Če je k = 1, se ta izpusti.

Prostor H^2,k predstavlja kvadratno integrabilne progresivno merljive procese. Nor- malna diferencialna stohastična enačba (SDE) ima obliko

dX_t=b(t, X_t)dt+σ(t, X_t)dW_t, X₀ =x₀, (5) ki jo lahko zapišemo tudi kot

X_t=x₀+

∫ t 0

b(s, X_s)ds+

∫ t 0

σ(s, X_s)dW_s, 0≤t ≤T,

kjer jeX_t F_t-merljiv inX₀ =x₀ determinističen. Pri tem stab inσ merljivi funkciji (b, σ) : [0, T]×R^d−→R^d×R^d×m,

ki zadoščata Lipschitzovem pogoju, kjer ∃c > 0 tak, da za ∀t ∈ [0, T],∀x, x^′ ∈ R^d sledi

|(b, σ)(t, x)−(b, σ)(t, x^′)| ≤c| x−x^′|

Definicija 1.19. Rečemo, da je F_t-progresivno merljiv proces X = (X_t)0≤t≤T

krepka rešitev SDE, če

• ∫T

0 (|b(t, X_t)|+|σ(t, X_t)|²)dt <∞,P−s.g.

• Xt =X0+∫t

0 b(s, Xs)ds+∫T

0 σ(s, Xs)dWs, 0≤t≤T

1.3 Obstoj in enoličnost rešitev

Zapišimo najprej lemo, ki jo bomo potrebovali pri dokazovanju obstoja in enoličnosti rešitve SDE.

Lema 1.20 (Gronwallova neenakost). Naj bo interval I definiran kot [a,∞) ali [a, b], kjer je a < b. Naj bodo φ, α in β funkcije definirane na I. Predpostavimo, da sta φ in β zvezni in negativen del α integrabilen na vsakem omejenem in zaprtem podintervalu I. Če je β nenegativna in če velja neenakost

φ(t)≤α+

∫ t a

β(s)φ(s)ds, (6)

potem sledi

φ(t)≤α(t) +

∫ t a

α(s)β(s)e^∫stβ(r)drds, t∈I (7) Če je α nepadajoča, potem sledi še

φ(t)≤α(t)e^∫0tβ(s)ds (8)

Dokaz. Definirajmo

v(s) =e^{−∫asβ(r)dr}

∫ s a

β(r)φ(r)dr, s∈I.

Če zgornjo funkcijo odvajamo, dobimo v^′(s) = (φ(s)−

∫ s a

β(r)φ(r)dr)β(s)e^{−∫asβ(r)dr}ds, s∈I.

Iz (7) je očitno, da velja

φ(s)−

∫ s a

β(r)φ(r)dr ≤α(s).

Ker sta β in eksponentna funkcija nenegativni, lahko navzgor ocenimo odvod funk- cije v. Vemo, da velja v(a) = 0 in če integriramo nazaj odvod v, dobimo

v(t)≤

∫ t a

α(s)β(s)e^{−∫atβ(r)dr}ds.

Poglejmo si zdaj naslednjo oceno

∫ t a

β(s)φ(s)ds=e

∫t aβ(r)dr

v(t)≤

∫ t a

α(s)β(s)e⁽

∫t

aβ(r)dr−∫s aβ(r)dr)

ds, kjer je ∫t

aβ(r)dr−∫s

a β(r)dr = ∫t

sβ(r)dr. Če uporabimo to oceno v (6), sledi (7).

Poglejmo si še dokaz za (8). Ker je α(t) nepadajoča, velja α(s)< α(s) in ocenimo φ(t)≤α(t) +(

−α(t)e^∫stβ(r)dr)⏐

⏐

⏐

s=t s=a

=α(t)e^∫stβ(r)dr, t∈I.

S tem smo dokazali neenakost (8).

Izrek 1.21. Naj bo X_t tak, da velja E[X_t²]<∞ ter X₀ ∈ L² neodvisen od W. Naj bosta funkcijibinσ, ki ustrezata Lipschitzovem pogoju ter spodnjima predpostavkama

• E [∫t

0 b²(s, X_s)ds]

<∞ in E [∫t

0σ²(s, X_s)ds]

<∞.

• (Linearna rast) |b(t, x)|² ≤k(1 +|x|²) in |σ(t, x)|² ≤k(1 +|x|²), za k ≥0 Potem obstaja enolična rešitev enačbe (5) v H^2,d in za nek c_T >0, odvisen od T in Lipschitzovih konstant b in σ, ki ustreza

E[ sup

0≤t≤T

|X_t|²]

≤c_T(1 + 3E|X₀|²)e^3k(T+4)T (9)

Dokaz. Za vsak X ∈H^2,d definiramo proces U(X) U(X)_t =X₀+

∫ t 0

b(s, X_s)ds+

∫ t 0

σ(s, X_s)dW_s

Najprej dokažimo, da je U(X) ∈ H^2,d. Nato lahko rečemo, da je X rešitev SDE iz definicije 1.19 natanko takrat, ko jeU(X) =X. Norma prostora H^2,d je

||Z||² =E

∫ T 0

|Z_t|²dt Poglejmo si torej

||U(X)||² =E

∫ T 0

|U(X)_t|²dt=E

∫ T 0

⏐

⏐

⏐

⏐ X₀+

∫ t 0

b(s, X_s)ds+

∫ t 0

σ(s, X_s)dW_s

⏐

⏐

⏐

⏐

2

dt Tukaj uporabimo neenakost(x₁+x₂+x₃)² ≤3(x²₁+x²₂+x²₃)in dobimo oceno

||U(X)||²

≤3E

∫ T 0

(

|X₀|²+|

∫ t 0

b(s, X_s)ds|²+|

∫ t 0

σ(s, X_s)dW_s|² )

dt = (i) + (ii) + (iii) kjer je (i) = 3TE|X0|² <∞, ker je X0 ∈L². Poglejmo si oceno drugega člena

(ii) = 3E

∫ T 0

⏐

⏐

⏐

⏐

∫ t 0

b(s, X_s)ds

⏐

⏐

⏐

⏐

2

dt. (10)

Notranji integral ocenimo s pomočjo Cauchy-Schwarzove neenakosti

⏐

⏐

⏐

∫ t 0

b(s,Xs)ds

⏐

⏐

⏐

2

≤

∫ t 0

b(s, X_s)²ds·

∫ t 0

1²ds

=t·

∫ t 0

b(s, X_s)²ds Če upoštevamo zgornjo neenakost, sledi

3E

∫ T 0

⏐

⏐

⏐

⏐

∫ t 0

b(s, X_s)ds

⏐

⏐

⏐

⏐

2

dt

≤3E

∫ T 0

t (∫ t

0

b(s, X_s)²ds )

dt

= 3

∫ T 0

t (

E [∫ t

0

[b(s, X_s)²] ds

]) dt

≤3k

∫ T 0

t (∫ t

0

E[1 +|X_s|²]ds )

dt (Linearna rast)

≤3k

∫ T 0

t(

t+||X||²) dt

≤3k (T³

3 +T² 2 ||X||²

)

<∞,

ker smo vzeli X_t iz prostoraH^2,d, za katerega veljaE∫T

0 |X_s|²ds <∞. Za oceno (iii) potrebujemo Doobovo maksimalno neenakost skupaj s predpostavko o linearni rasti σ

(iii)≤3TE [

sup

0≤t≤T

⏐

⏐

⏐

⏐

∫ t 0

σ(s, X_s)dW_s

⏐

⏐

⏐

⏐

2]

≤12TE [⏐

⏐

⏐

⏐

∫ T 0

σ(s, Xs)dWs

⏐

⏐

⏐

⏐

2]

(Doobova maksimalna neenakost)

≤12TE [∫ T

0

|σ(s, X_s)|²ds ]

(Itôvaizometrija)

≤12T kE [∫ T

0

(1 +|X_s|²)ds ]

(Linearna rast)

≤12kT(T +||X||²)

<∞

Pokazali smo, da U slika prostor H^2,d vase. Dokažimo, da je stroga skrčitev v prostoru z nekoliko spremenjeno ekvivalentno normo. Za vsak α > 0 definiramo normo, ki je ekvivalentna normi na Hilbertovem prostoru H^2,d kot

||ξ||²_α =E

∫ T 0

e^−αt|ξ_t|²dt

Normi || · ||α in || · || (če je α = 0 velja enakost) sta ekvivalentni in definirata isto topologijo. Če staXinY generična elementa prostoraH^2,dzX₀ =Y₀terE[Y_s]<∞, velja

E [⏐

⏐

⏐U(X)_s−U(Y)_s

⏐

⏐

⏐

2]

=E [⏐

⏐

⏐

∫ s 0

(b(u, Xu)−b(u, Yu))du+

∫ s 0

(σ(u, Xu)−σ(u, Yu))dWu

⏐

⏐

⏐

2]

≤2E [⏐

⏐

⏐

⏐

∫ s 0

[b(u, X_u)−b(u, Y_u)]du

⏐

⏐

⏐

⏐

2] + 2E

[⏐

⏐

⏐

⏐

∫ s 0

[σ(u, X_u)−σ(u, Y_u)]dW_u

⏐

⏐

⏐

⏐

2]

= (iv) + (v)

Ocenimo najprej prvi del, kjer uporabimo Cauchy-Schwarzovo neenakost in Lipschi- tzovo predpostavko

(iv)≤2E [∫ s

0

1²du·

∫ s 0

(b(u, X_u)−b(u, Y_u))²du]

≤t²·c²·2E [⏐

⏐

⏐X_s−Y_s

⏐

⏐

⏐

2]

Pri oceni drugega dela pa bomo uporabili Lipschitzovo predpostavko

(v)≤2E [⏐

⏐

⏐

∫ t 0

(σ(u, X_u)−σ(u, Y_u))dB_u

⏐

⏐

⏐

2]

≤2E [∫ t

0

|σ(u, X_u)−σ(u, Y_u)|²du]

(Itôvaizometrija)

≤2E [

c²·

∫ t 0

⏐

⏐

⏐X_u−Y_u

⏐

⏐

⏐

2

du]

(Lipschitzovapredpostavka)

≤c²·2E [⏐

⏐

⏐X_u−Y_u

⏐

⏐

⏐

2]

Če se zdaj vrnemo na neenakost, lahko zapišemo

E [⏐

⏐

⏐U(X)t−U(Y)t

⏐

⏐

⏐

2]

≤c²·2(t+ 1)E [∫ T

0

⏐

⏐

⏐X_u−Y_u

⏐

⏐

⏐

2

dt] .

Zapišimo C = 2c²(t+ 1) in če ponovno uporabimo Lipschitzovo predpostavko, do- bimo

||U(X)−U(Y)||²_α =

∫ T 0

e^−αtE|U(X)_t−U(Y)_t|²dt

≤CT

∫ T 0

e^−αt

∫ t 0

E|X_s−Y_s|²dsdt

≤CT

∫ T 0

E|X_s−Y_s|²ds

∫ T t

e^−αtdt (Fubinijev izrek)

≤ CT

α ||X−Y||²_α

Sledi, da je U skrčitev v prostoru H^2,d, če velja, da je vrednost α dovolj velika in α > CT. S tem smo dokazali obstoj in enoličnost rešitve. Pokažimo zdaj neenakost

(9) za fiksen t ∈[0, T]

E[ sup

0≤s≤t

|Xs|²]

=E [

sup

0≤s≤t

⏐

⏐

⏐

⏐ X0+

∫ s 0

b(r, Xr)dr+

∫ s 0

σ(r, Xr)dWr

⏐

⏐

⏐

⏐

2]

≤3 (

Esup

0≤s≤t

|X₀|²+Esup

0≤s≤t

⏐

⏐

⏐

⏐

∫ s 0

b(r, X_r)dr

⏐

⏐

⏐

⏐

2

+Esup

0≤s≤t

⏐

⏐

⏐

⏐

∫ s 0

σ(r, X_r)dW_r

⏐

⏐

⏐

⏐

2)

≤3 (

E|X₀|²+tEsup

0≤s≤t

∫ s 0

b²(r, X_r)dr+ 4E

⏐

⏐

⏐

⏐

∫ t 0

σ(r, X_r)dW_r

⏐

⏐

⏐

⏐

2)

(Doob in Cauchy−Schwarzova neenakost)

≤3 (

E|X₀|²+tE

∫ t 0

b²(s, X_s)ds+ 4E

∫ t 0

|σ(s, X_s)|²ds )

(Itôvaizometrija)

≤3 (

E|X₀|²+tk

∫ t 0

(1 +E|X_s|²)ds+ 4k

∫ t 0

(1 +E|X_s|²)ds )

= 3E|X₀|²+ 3k(t+ 4)

∫ t 0

(1 +E|X_s|²)ds

≤3E|X0|²+ 3k(t+ 4)

∫ t 0

(1 +Esup

0≤s≤t

|Xs|²)ds Posledično lahko zapišemo

1 +Esup

0≤s≤t

|X_s|² ≤1 + 3E|X₀|²+ 3k(t+ 4)

∫ t 0

(1 +E sup

0≤u≤s

|X_u|²)ds (11) S pomočjo Gronwallove neenakosti, kjer je φ(t) = 1 + Esup

0≤s≤t

|X_s|², pridemo do zaključka.

Opomba 1.22. Ker je U(X) rešitev enačbe 1.19 sledi, da jeU(X) zvezen proces.

Ena izmed bolj pomembnih lastnosti SDE je ta, da njihove rešitve ustrezajo mar- kovski lastnosti. To pomeni, da lahko velik razred markovskih procesov v zveznem času dobimo kot rešitev pripadajoče SDE in posledično lahko na njih uporabljamo metode, kot so recimo enačbe Kolmogorova.

Izrek 1.23. Naj veljajo pogoji v izreku 1.21. Potem je enolična rešitev X_t pripada- joče SDE F_t-markovski proces, za katerega velja

E^x[f(X_t+h)|F_t]_(ω) =E^Xt(ω)[f(X_h)], (12) za vsako omejeno Borelovo funkcijo f.

Dokaz. Zapišimo SDE zar ≥t v naslednji obliki Xr(ω) =Xt(ω) +

∫ r t

b(s, Xs)ds+

∫ r t

σ(s, Xs)dWs,

ki jo dobimo, če izpeljemo X_r −X_t. Ker je X_r F_r-merljiv in {W_s+t−W_t : s ≥ 0}

Brownovo gibanje, neodvisno odF_t, lahko zgornjo enačbo zapišemo kot Yr−t(ω) = Y0(ω) +

∫ r−t 0

˜b(s, Ys)ds+

∫ r−t 0

˜

σ(s, Ys)dW s,˜

kjer je Y_s = X_s+t, ˜b(s, x) = b(s+t, x), σ(s, x) =˜ σ(s+t, x) in W˜_s = W_s+t−W_t. Zgornja enačba je ponovno SDE, ki ustreza pogojem iz izreka 1.21 na intervalus ∈ [0, T −t]in velja, da jeY_sσ{Y₀,W˜_t:t≤s}-merljiva. Podobno lahko opazimo, da je X_r σ{X_t, W_s−W_t:s ∈[t, r]}-merljiva in zaradi enoličnosti veljaX_r(ω) =X_r^t,Xt(ω).

Zdaj lahko definiramo funkcional

F(x, t, r, ω) =X_r^t,x(ω), r≥t (13) za katerega velja

X_r(ω) =F(X_t, t, r, ω), r≥t. (14) Preslikavaω →F(x, t, r, ω) je neodvisna odF_t^(m). Če vstavimo (14) v (12), dobimo E[f(F(X_t, t, t+h, ω))|F_t] =E[f(F(x,0, h, ω))]|_x=Xt (15) Definirajmo g(x, ω) =f ◦F(x, t, t+h, ω), kjer je (x, ω) → g(x, ω) merljiva. Sledi, da lahko g aproksimiramo po točkah s funkcijo oblike

m

∑

k=1

ϕ_k(x)ψ_k(ω). (16)

Poglejmo si zdaj pogojno matematično upanje E[g(Xt, ω)|F_t^(m)] =E[ lim

k→∞

∑ϕk(Xt)ψk(ω)|F_t^(m)]

= lim

k→∞

∑ϕk(Xt)·E[ψk(ω)|F_t^(m)]

= lim

k→∞

∑

E[ϕ_k(y)ψ_k(ω)|F_t^(m)]_y=Xt

=E[g(y, ω)|F_t^(m)]y=Xt =E[g(y, ω)]y=Xt.

Ker je procesX_t časovno homogen, velja

E[f(F(X_t, t, t+h, ω))|F_t^(m)] =E[f(F(y, t, t+h, ω))]_y=Xt

=E[f(F(y,0, h, ω))]_y=Xt

in s tem smo dokazali markovsko lastnost.

1.3.1 Obratne stohastične diferencialne enačbe

Ena izmed razlik med stohastičnimi diferencialnimi enačbami in navadnimi diferen- cialnimi enačbami je ta, da pri slednji ne moremo iti obratno v času. Kot motivacijo si poglejmo naslednji primer.

Primer 1.24. Naj bo Brownovo gibanje enodimenzionalno in si poglejmo naslednjo trivialno diferencialno enačbo

dY_t= 0, t∈[0, T], (17)

kjer jeT > 0dan končen čas. Za vsakξ ∈Rlahko zahtevamoY₀ =ξaliY_T =ξ, tako da ima enačba (17) enolično rešitevY_t =ξ. Obravnavajmo zdaj (17) kot stohastično diferencialno enačbo z ničelno tendenco in difuzijskim koeficientom v Itôvem smislu.

Rešitev SDE mora biti F_t-prilagojena in zato pride do ključne razlike pri definiciji Y₀ ali Y_T. Zapišimo zdaj zgornji problem v naslednji obliki:

{ dYt = 0, t∈[0, T]

Y_T =ξ (18)

kjer je ξ ∈ L²_FT, množica vseh FT-merljivih in kvadratno integrabilnih slučajnih spremenljivk. Ker je edina rešitev problema (18)Y_t =ξ ∀t∈[0, T], ki pa ni{F_t}t≥0- prilagojeno, razen če je ξ konstanta, zgornji problem nima rešitve v splošnem. In- tiutivno sta dva načina, kako pridemo do rešitve Yt. Prvi je ta, da preoblikujemo prilagojenost rešitve v njeni definiciji. Drugi način pa je, da preoblikujemo končni problem SDE tako, da dopušča rešitev, ki je {F_t}t≥0-prilagojena. Tukaj se bomo osredotočili na drugi način, saj prvi zahteva tehnike, kot so obraten Itôv integral, ki ga tukaj ne bomo obravnavali.

Preoblikujmo najprej rešitev Y_t = ξ tako, da je {F_t}t≥0-prilagojena in zadošča YT =ξ

Yt =E[ξ|Ft], t∈[0, T]. (19) Izpeljimo zdaj SDE, ki ji bo zadoščal proces Y(·). Ključno vlogo pri tej izpeljavi ima izrek o martingalski reprezentaciji, ki nam pove, da če je filtracija {F_t}t≥0

Brownova, lahko vsak kvadratno integrabilen martingal M z ničelno pričakovano vrednostjo zapišemo kot stohastičen integral enoličnega integranda, ki je {F_t}_t≥0- progresivno merljiv in kvadratno integrabilen. Proces Y(·) je definiran v (19) in je očitno kvadratno integrabilen{F_t}t≥0 martingal. Na njem uporabimo martingalsko reprezentacijo ter dobimo

Y_t=Y₀+

∫ t 0

Z_sdW_s, ∀t∈[0, T]s.g., (20) kjer jeZ(·)∈H^2,diz množice{Ft}t≥0-prilagojenih kvadratno integrabilnih procesov.

Zapišimo zdaj (20) v diferencialni obliki ter upoštevajmo še pogoj (19) in to, da je ξ F_T-merljiv

{ dYt=ZtdWt, t∈[0, T],

Y_T =ξ (21)

Torej, če preoblikujemo (18) v (21), iščemo namesto {F_t}t≥0 - prilagojenega procesa Y(·) kot rešitev SDE raje par (Y(·), Z(·)). Dodatna komponenta Z(·) je zelo pomembna, ker zaradi nje lahko najdemo prilagojeno rešitev. Če (21) zapišemo v integralski obliki dobimo

Y₀ =Y_T −

∫ T 0

Z_sdW_s =ξ−

∫ T 0

Z_sdW_s. (22)

Če vstavimo zdaj (22) v (20), dobimo Y_t=Y₀+

∫ t 0

Z_sdW_s =ξ−

∫ T t

Z_sdW_s, ∀t ∈[0, T] (23) Tukaj ne bomo razlikovali (21) in (23), saj oba primera spadata pod obratne sto- hastične diferencialne enačbe. Uporabimo zdaj Itôvo formulo na |Y(t)|², kjer | · | označuje evklidsko normo, in zapišimo

E|ξ|² =E|Y_t|²+

∫ T t

E|Z_s|²ds, ∀t∈[0, T]. (24) V primeru, da je ξ = 0, sledi Y = 0 in Z = 0. Enačba (23) je linearna in iz (24) sledi enoličnost{Ft}t≥0 - prilagojene rešitve(Y(·), Z(·))za (23). Posledično, če ξ ni konstanta, potem zaradi enoličnosti zapišemo rešitev kot Y_t=ξ in Z_t= 0.

Definicija 1.25. Rešitev BSDE z generatorjemΨ :R×R^p×R^p×m →R^rin končnim pogojem ξ je par (Y, Z), ki je {Ft}-merljiv proces z vrednostmi v R^p in R^p×m in zadostuje pogojema

1. E [

sup

0≤t≤T

|Y_t|² +∫T

0 |Z_t|²dt]

<∞ 2. ∀t≤T, Y_t=ξ+∫T

t Ψ(s, Y_s, Z_s)ds−∫T

t Z_sdW_s Opomba 1.26. Y je semimartingal, ker velja

Y_t=ξ+

∫ T t

Ψ(s, Y_s, Z_s)ds−

∫ T t

Z_sdW_s (25)

in

Y₀ =ξ+

∫ T 0

Ψ(s, Y_s, Z_s)ds−

∫ T 0

Z_sdW_s. (26)

Če si pogledamo razliko Y₀−Y_t, sledi Y₀−Y_t=

∫ t 0

Ψ(s, Y_s, Z_s)ds−

∫ t 0

Z_sdW_s, (27)

kar pa je semimartingal, ker imamo procesΨs končno omejeno vairanco in martingal

∫t

0 Z_sdW_s.

Prostor H^2,p×m ima enako definicijo, kot pri SDE, zato definirajmo Y ∈ S^2,p in Z ∈H^2,p×m.

1.4 Eksistenca in enoličnost

Obstaja več izrekov, ki govorijo o eksistenci in enoličnosti BSDE. Prvi izrek je do- kazal Bismut (1979), ki je obravnaval primer z linearnim generatorjem. Naslednja sta bila Pardoux in Peng, ki sta posplošila Bismutovo idejo tako, da generator za- došča Lipschitzovem pogoju. V nadaljevanju si bomo pogledali naslednji izrek. Pri dokazih za eksistenco in enoličnost se bomo sklicevali na vir [8]. Najprej si poglejmo lemo, ki pokaže eksistenco in enoličnost za primer, ko je generator neodvisen od (Y, Z). Pri dokazu uporabimo martingalsko reprezentacijo in zato ne potrebujemo Lipschitzovega pogoja na Ψ.

Lema 1.27. Naj bosta ξ ∈L²_T in Ψ∈H^2,d, kjer je Ψ :R⁺ →R^d generator. Potem obstaja enoličen par (Y, Z)∈H^2,d×H^2,n×d, ki zadošča enačbi

Y_t=ξ+

∫ T t

Ψ(s)ds−

∫ T t

Z_sdW_s (28)

Dokaz. Naj bo

Y_t =E [

ξ+

∫ T t

Ψ(s)ds|F_t ]

. (29)

Martingalski reprezentacijski izrek pove, da obstaja stohastičen proces Z ∈H^2,d×m, tako da je

Y₀ =E [

ξ+

∫ T 0

Ψ(s)ds

⏐

⏐

⏐F_t ]

−

∫ t 0

Z_sdW_s (30)

Sledi, da sta (Y, Z), definirana v (29) in (30), rešitev (28), ker je ξ ∈L². Zapišimo zdaj

E [

ξ+

∫ T 0

Ψ(s)ds

⏐

⏐

⏐F_T ]

=ξ+

∫ T 0

Ψ(s)ds=Y₀+

∫ T 0

Z_sdW_s (31) Če enačimo (30) in (31) v Y0, sledi

∫ T t

Z_sdW_s =ξ+

∫ T 0

Ψ(s)ds−E [

ξ+

∫ T 0

Ψ(s)ds

⏐

⏐

⏐F_t ]

. (32)

Če zamenjamo (29) in (32) v enačbi (28) vidimo, da je (Y, Z)rešitev.

Sledi trditev, ki obravnava generator, ki je odvisen odZ. Tukaj bomo potrebovali Lipschitzev pogoj, ki je potreben za dokaz enoličnosti s pomočjo Gronwallove leme.

Za eksistenco uporabimo Picardovo konstrukcijo, ki je dobro definirana zaradi leme 1.27, ker če poznamoZn−1, dobimo linearni generator, za katerega pa smo že dokazali obstoj.

Trditev 1.28. Naj bo ξ ∈ L² in generator Ψ : [0, T]×R^n×d → R^d, tako da velja Ψ(·,0)∈H^2,d in Lipschitzov pogoj. To pomeni, da obstaja konstanta c > 0, tako da velja

|Ψ(t, z₁)−Ψ(t, z₂)| ≤c|z₁−z₂|.

Potem obstaja enoličen par (Y, Z)∈H^2,d×H^2,n×d, ki reši enačbo Y_t=ξ+

∫ T t

Ψ(s, Z_s)ds−

∫ T t

Z_sdW_s. (33)

Dokaz. Dokažimo najprej enoličnost. Naj bosta(Y, Z)in( ˜Y ,Z˜)rešitvi enačbe (33).

Uporabimo Itôvo formulo na |Y_s−Y˜_s|² zas=t in s=T ter sledi

|Y_t−Y˜_t|²− |Y₀−Y˜₀|² =2

∫ t 0

(

Y_s−Y˜_s,Ψ(s, Z_s)−Ψ(s,Z˜_s)) ds+

+ 2

∫ t 0

(

Y_s−Y˜_s, Z_s−Z˜_s)

dW_s+

∫ t 0

|Z_s−Z˜_s|²ds in

|YT −Y˜T|²− |Y0−Y˜0|² =2

∫ T 0

(

Ys−Y˜s,Ψ(s, Zs)−Ψ(s,Z˜s) )

ds+

+ 2

∫ T 0

(

Ys−Y˜s, Zs−Z˜s

)

dWs+

∫ T 0

|Zs−Z˜s|²ds, kjer je|Y_T−Y˜_T|² =|ξ−ξ|² = 0. Če združimo zgornji dve enačbi v|Y₀−Y˜₀|², dobimo

|Y_t−Y˜_t|²+

∫ T t

|Z_s−Z˜_s|²ds =−2

∫ T t

(

Y_s−Y˜_s,Ψ(s, Z_s)−Ψ(s,Z˜_s)) ds

−2

∫ T t

(

Y_s−Y˜_s, Z_s−Z˜_s) dW_s.

Pri oceni izraza −2(Y_s−Y˜_s,Ψ(s, Z_s)−Ψ(s,Z˜_s)) bomo uporabili naslednjo oceno.

Velja

|(⃗a,⃗b)|= 1

2|⃗a|²+1

2|⃗b|² − |⃗a+⃗b|² (34) in

|(⃗a,⃗b)|=|(√

2c⃗a, ⃗b

√2c)|. (35)

Sledi

|(√

2c⃗a, ⃗b

√2c)| ≤(2c²

2 |⃗a|²+1 2

|⃗b²| 2c²)

≤c²|⃗a|²+ 1 4|⃗b|². Poglejmo si zdaj

−2(Ys−Y˜s,Ψ(s, Zs)−Ψ(s,Z˜s)) =−2(√

2c(Ys−Y˜s),Ψ(s, Z_s)−Ψ(s,Z˜_s)

√2c )

= 2c²|Y_s−Y˜_s|²+ |Ψ(s, Z_s)−Ψ(s,Z˜_s)|² 2c²

−2|Ys−Y˜s+ Ψ(s, Zs)−Ψ(s,Z˜s)|

≤2c²|Ys−Y˜s|² +|Ψ(s, Z_s)−Ψ(s,Z˜_s)|² 2c²

≤2c²|Ys−Y˜s|² +1

2|Zs−Z˜s|²,

ker je ΨLipschitzov. Iz zgornjega sledi neenakost

|Yt−Y˜t|²+

∫ T t

|Zs−Z˜s|²ds ≤

∫ T t

(2c²|Ys−Y˜s|²+ 1

2|Zs−Z˜s|²)ds

−2

∫ T t

(

Ys−Y˜s, Zs−Z˜s

) dWs. Uporabimo zdaj še matematično upanje in zapišimo

E|Y_t−Y˜_t|²+E

∫ T t

|Z_s−Z˜_s|²ds≤2c²E

∫ T t

|Y_s−Y˜_s|²ds+1 2E

∫ T t

|Z_s−Z˜_s|²ds. (36) Če zgornjo enačbo poenostavimo, dobimo

E|Yt−Y˜t|² ≤ −1 2E

∫ T t

|Zs−Z˜s|²ds+ 2c²E

∫ T t

|Ys−Y˜s|²ds (37) Uporabimo Gronwallovo neenakost in sledi

0≤E|Y_t−Y˜_t|² ≤ −1 2exp(

2c²(T −t)) E

∫ T t

|Z_s−Z˜_s|²ds ≤0, (38) kar lahko zapišemo tudi kot

0 = E|Y_t−Y˜_t|² =−1 2exp(

2c²(T −t)) E

∫ T t

|Z_s−Z˜_s|²ds (39) in s tem dokažemo enoličnost rešitve. Zdaj pa si poglejmo še dokaz za eksistenco. Naj bo (Y₀(t), Z₀(t))≡ (0,0) in (Y_n(t), Z_n(t))_n≥1 : 0 ≤t ≤ T zaporedje v H^2,d×H^2,n×d definirana rekurzivno z

Y_n(t) = ξ+

∫ T t

Ψ(s, Zn−1(s))ds−

∫ T t

Z_n(s)dW_s, (40) kar je dobro definirano po lemi (1.27). Podobno kot prej, uporabimo Itôvo formulo na |Yn+1(s)−Yn(t)|² za s = t in s = T. Če uporabimo še predpostavko, da je Ψ Lipschitzov, lahko zapišemo neenakost

E|Y_n+1(t)−Y_n(t)|² +E

∫ T t

|Z_n+1(s)−Z_n(s)|²ds

≤KE

∫ T t

|Y_n+1(t)−Y_n(t)|²ds+ 1 2E

∫ T t

|Z_n(s)−Zn−1(s)|²ds, kjer je K = 2c². Definirajmo zdaj u_n(t) = E∫T

t |Y_n(t)−Yn−1(t)|²ds in v_n(t) = E∫T

t |Zn(s)−Zn−1(s)|²ds ter zapišimo zgornjo neenakost v drugi obliki kot

− d

dt(u_n+1(t)e^Kt) +e^Ktv_n+1(t)≤ 1

2e^Ktv_n(t) (41)

Če integriramo (41), sledi

−

∫ T t

d(un+1(s)e^Ks) +

∫ T t

e^Ksvn+1(s)ds ≤

∫ T t

1

2e^Ksvn(s)ds (42) kjer je ∫T

t d(u_n+1(s)e^Ks) =−u_n+1(T)e^KT +u_n+1(t)e^Kt in u_n(T) = 0. Poenostavimo zgornjo neenakost

u_n+1(t) +

∫ T t

e^K(s−t)v_n+1(s)ds≤

∫ T t

1

2e^K(s−t)v_n(s)ds. (43) Naj bo ¯c=TE∫T

0 |Z₁(t)|²dt= sup

0≤t≤T

v₁(t), potem lahko zapišemo

∫ T 0

e^Ktv₁(t)dt ≤

∫ T 0

e^kTE

∫ T 0

|Z₁(s)|²dsdt= ¯ce^Kt. (44) Neenakost lahko iteriramo in sledi

∫ T 0

e^Ktvn+1(t)dt≤ 1

2ⁿ¯ce^kT. (45)

Iz (43) sledi

u_n+1(0) ≤ 1

2ⁿce¯ ^kT (46)

in če uporabimo dejstvo, da je _dt^d(un+1(t)) =−E|Yn+1(t)−Yn(t)|² ≤ 0, lahko (41) zapišemo kot

v_n+1(0)≤ 1

2v_n(0) +Ku_n+1(0) ≤ 1 2ⁿ

Ke¯ ^Kt+1

2v_n(0), (47) kjer je K¯ = ¯cKe^kT in sledi

v_n+1(0) ≤ 1

2ⁿ(nK¯ +v₁(0)). (48) Iz (46) in (48) lahko opazimo, da sta v_n+1(0) in u_n+1(0) seštevka, kar pomeni, da sta(Y_n)n≥1 ∈H^2,d in (Z_n)n≥1 ∈H^2,n×d Cauchyjevi v kompletnem prostoru in sledi, da obstajata limiti

n→∞limY_n in lim

n→∞Z_n (49)

Dokažimo, da limiti (49) konvergirata k(Y, Z)in s tem bomo dokazali obstoj rešitve enačbe (33). Vemo, da Z_n konvergira proti Z v H^2,d. Potem lahko zapišemo

∫ t 0

Zn(s)dWs L²

−→

∫ t 0

Z(s)dWs (50)

in sledi

E [∫ t

0

(Zn(s)−Z(s))²dWs

]

−→0. (51)

Poglejmo si še konvergenco Y_n, ki je definiran kot Y_n(t) =ξ+

∫ T t

Ψ(s, Zn−1(s))ds+

∫ T t

Z_n(s)dW_s. (52) Pokazali smo že, da ∫T

t Z_n(s)dW_s konvergira v L² proti ∫T

t Z(s)dW_s. Ocenimo

|

∫ T t

Ψ(s, Zn−1(s))ds−

∫ T t

Ψ(s, Z_n(s))ds|

≤

∫ T t

|Ψ(s, Zn−1(s))−Ψ(s, Z_n(s))|ds

≤

∫ T t

K|Zn−1(s)−Z_n(s)|ds (Lipschitzov pogoj)

≤K(

∫ T t

|Zn−1(s)−Z_n(s)|²ds)¹²(T)¹² (Cauchy−Schwarzova neenakost), kar pa konvergira v L² in sledi

Yn L²

−→Y. (53)

Po konstrukciji (Y, Z)je to rešitev enačbe (33).

Opomba 1.29. Lastnost stroge skrčitve nam da konstrukcijo rešitve po Picardovi iteraciji. Dobimo Cauchyjevi zaporedji (Y_k, Z_k), ki konvergirata k enolični rešitvi (Y, Z) naše BSDE(Ψ, ξ)po Banachovem izreku o negibni točki.

Naslednji izrek sta dokazala Pardoux in Peng, ki velja za Lipschitzov genera- tor, odvisen od Y in Z. Pri dokazu eksistence bomo ponovno uporabili Picardovo konstrukcijo, ki pa je tokrat dobro definirana zaradi leme 1.28.

Izrek 1.30. (Pardoux in Peng 1990) Če je generatorΨ Lipschitzov v (y, z) enako- merno na t ∈[0, T] in če je proces {Ψ(t,0,0)}0≤t≤T v H^2,p, potem ima enačba

Yt =ξ+

∫ T t

Ψ(s, Ys, Zs)ds−

∫ T t

ZsdWs (54)

kjer je ξ ∈L²_T enolična rešitev (Y, Z)∈H^2,d×H^2,n×d

Rečemo, da je generator Ψ Lipschitzev v (y, z) enakomerno na t ∈ [0, T], če obstaja konstanta CΨ >0, tako da velja

∀y1, y2 ∈R^p,∀z1, z2 ∈R^pm,|Ψ(t, y1, z1)−Ψ(t, y1, z2)| ≤CΨ(|y1−y2|+|z1−z2|) za vsak t∈[0, T].

Dokaz. Naj bosta (Y, Z) in ( ˜Y ,Z)˜ rešitvi enačbe (33). Podobno kot pri dokazu trditve 1.28 lahko zapišemo

E|Y_t−Y˜_t|²+E

∫ T t

|Z_s−Z˜_s|²ds=−2

∫ T t

(

Y_s−Y˜_s,Ψ(s, Y_s, Z_s)−Ψ(s,Y˜_s,Z˜_s)) ds (55)

in ker je ΨLipschitzev, velja E|Yt−Y˜t|²+E

∫ T t

|Zs−Z˜s|²ds≤2c²E

∫ T t

|Ys−Y˜s|²ds+1 2E

∫ T t

|Zs−Z˜s|²ds, (56) kar lahko poenostavimo v

E|Y_t−Y˜_t|² ≤ −1 2E

∫ T t

|Z_s−Z˜_s|²ds+ 2c²E

∫ T t

|Y_s−Y˜_s|²ds. (57) Uporabimo zdaj Gronwallovo lemo in zapišimo

0≤E|Y_t−Y˜_t|² ≤ −1 2E

∫ T t

|Z_s−Z˜_s|²ds e^(2c2(T−t))≤0 (58) od koder sledi dokaz enoličnosti rešitve. Poglejmo si še dokaz obstoja. Naj bo (Y₀(t), Z₀(t)) ≡ (0,0), {Y_n(t), Z_n(t) : 0 ≤ t ≤ T}n≥1 zaporedje na H^2,d ×H^2,n×d definirana rekurzivno z

Y_n(t) =ξ+

∫ T t

Ψ(s, Yn−1(s), Z_n(s))ds−

∫ T t

Z_n(s)dW_s, (59) ki je dobro definirano po trditvi 1.28. Če uporabimo enako idejo kot pri prejšnjem dokazu, dobimo

E|Y_n+1(t)−Y_n(t)|² +1 2E

∫ T t

|Z_n+1(s)−Z_n(s)|²ds

≤cE

∫ T t

|Y_n+1(t)−Y_n(t)|²ds+cE

∫ T t

|Y_n(s)−Y_n−1(s)|²ds.

Definirajmo u_n(t) = E∫T

t |Y_n(t)−Yn−1(t)|²ds in zapišimo zgornjo enačbo kot

− d

dtun+1(t)−cun+1(t)≤cun(t), un+1(T) = 0. (60) Z uporabo integrala na obeh straneh neenačbe dobimo

u_n+1(t)≤c

∫ T t

1

2e^c(s−t)u_n(s)ds (61)

in s pomočjo iteracije sledi

u_n+1(0) ≤ (ce^cT)ⁿ

n! u₁(0). (62)

Iz (62) lahko vidimo, da u_n+1(0) konvergira in lahko pridemo do sklepa, da sta (Y_n)n≥1 ∈H^2,d in(Z_n)n≥1 ∈H^2,n×d Cauchyjevi zaporedji in lahko uporabimo limiti v n→ ∞. Definirajmo

Y = lim

n→∞Y_n in Z = lim

n→∞Z_n (63)

po konstrukciji (Y, Z) je to rešitev enačbe (54).