i i
“2-4-Legisa-naslov” — 2009/3/26 — 14:34 — page 1 — #1
i i
i i
i i List za mlade matematike, fizike, astronome in raˇ cunalnikarje
ISSN 0351-6652 Letnik 2 (1974/1975) Številka 4
Strani 136–142
Peter Legiša:
NEKAJ O RAZDALJI
Kljuˇ cne besede: matematika.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/2/2-4-Legisa.pdf
c
1974 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije c
2009 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
NEKAJ O RAZDALJI
Pojem razdalje ima za različne ljudi in ob ra zl ičn i h pr i lož no -
st ih.različne pomene. Za pi lo ta je razda l ja med to č k ama zračna
razd alja, se pr a v i dolžina njune zveznice. Ce pa us ta v i mo avt o ob cesti in vprašamo mimoidočega, kolikšna je razdalja med Ljub - ljano in Ma r iborom, nam bo vsak odgovoril , da je od Ljubljane do Ma r ibo ra 13 5 kilometrov . Teh 135 kilome trov je precej več, kot je
zrač n a razda l ja med Ljub lj an o in Mariborom .
Tak i h pr imerov je mnogo. Denimo, da sta n u jemo v mestu , v kate- remso vse ulice ravn e in se sekajo le pravokotna. Za prebivalce tega mes ta dolžina zveznice med točkama (razen v primeru, ko toč
ki ležita na isti ulici) ni ustrezno merilo za ra zdaljo . Zanje je razda lj a med točkama dolžina na jkra jše povezave med nj ima. Vsi ve- mo, da je tak i h na jkrajši h povezav med danima točkama lahko več.
Na sl. l je na r i s a n del ulične mreže takega mesta in najkrajši po- vezavi med križiščema A in B.
~tjBBD C [
B·I
~Jc:::J1 .J I CJ C
A
I I n I l I li
51. 1 51. 2
q
p
Tole mesto in njegov e prebivalce sem navedel le zato, da bi la- že razumel i nasled n j o si t u ac i jo . Ima mo ra v n i no in na njej prem i c i p in q, ki se se kata pravoko t na . Na ravni n i imamo še točkas t de- lec. Ta dele c ima poseb n o lastnost : iz ravn i n e ne more, po ravni- ni pa se lah ko premika le vzpored no premici p ali premi ci q. Si - cer pa lahko po č ne karko l i. Po dobnost z mest om in ljudmi v nj e m je očitna : pre bivalec mesta, ·ki nima ravno he l ik opt e r j a , mora pač ho dit i po ulicah. (Prav tako dobr a je pr i me r j a v a s trdn javo na šaho v sk i des ki.)
Nar išimo si sliko ! Na li s t u pap lr]a potegnimo premi c i p in q.
Zače tno le g o delc a označ imo z A. Poskus imo se vžive t i v polo ž a j naš ega del c a . Ce je B pol j ubna to č k a na ravn in i , jo de le c gotovo lah ko obišče. To lah k o stori celo na neskončno načinov . Denimo , da je kdo de lcu, ki se je odpr a v i l na pot od toč k e A do to čke B, nas k r ivaj obesil na hrbet prel ukn jano vrečko s kašo - tako kot kra ljič n i v Ande rsenov i prav l j i c i . Ko del e c pr ide v to čko B, je za sabo pustil sled, ki j i pravimo tir delca med točko A in toč ko B.
Ti r delca med to č ko A in točko B je v sploš ne mnek a več krat
pravokotno prelomljena črta (g l e j sl.2) .
Pojavi se vpraš a n je, koli k š na je dolži na najkrajšega ti r a del - ca med danim a točkama. Po t e g ni mo skozi točko A vzporednico premi- ci p in sk o z i B vzporednico pr e mi c i q. Preseč išče dobl jeni h pre- mic označimo s C. (s l .3 ) Trdi mo , da za delec ni mogoče najt i t ir a med A in B, ki bi bil krajši , kot je t i r , sestavljen iz dalj ic AC in CB. (Seveda pa v sploš nem ti r, sestavl jen iz daljic AC in CB, ni edin i najkra jš i tir med A in B. )
Vzemimo poljuben t ir na še ga delca med točkama A in B. Vsota dolži n tist ih da lj i c v tiru, ki so vzporedne premic i p, je očit no večja ali kvečjemu enaka dolžini daljice AC. Prav tako ugoto - vimo, da je vsota dolž in dal jic , ki so vzpo redne premici q, večja al i kvečjemu enaka dolž ini daljice CB. Splošno bomo dolžino dalj i- ce T1T2 (kj e r sta TI ' T2 poljubni točki na ravnini) označili s
~2' Tako la h ko reč emo, da je dolžina najkrajšega tira za delec med točkama A in Benaka AC+CB. Delec z vso upraviče nostjo trdi , da je za n j razda l j a med dvema to č k ama dolž i n a na jkraj š e ga tira med njima. Da ne bo prišlo do zmešnjave, se dogovorimo takole:
"ra z da~ j a" (v narekova j ih ) naj pomeni razdaljo , kot jo razume de- lec; razda~ja brez narekova jev pa navadno razdaljo med točkama
(d ol ž i no zveznice) .
"Ra z dal j o " med to č k am a A in B bomo označili z r(A,B ), ra z d al j o med istima točkama pa, kot smo že re kl i , z AB. Situacijo na sl.3 la h k o na kratko povzamemo takole:
r(A ,B) = AC + CB
Denimo, da je naš delec int e l i g e n tno bitje , ki ve nekaj o arit - metik i , nič pa o geometriji. Delec živi v ravn i n i. Za t o mu posku- simo razložiti nekaj pojmov iz ravninske geometrije, in to kar na
ravnini, po kate r i se gib l je . Ker delec vsak ič , ko re č emo be s edo razdalja, razume "razdalja", nastanej o prav za ba vni nesporazumi.
Začn i mo s kro ž nico . Gotovo bomo delc u rekli: krožnica s sredi- ščem v to čki A in polmero m a je mno žica (g e ometrijs ko mesto) točk na ravnini, ka te r i h razdalja od A je en ak a a. Delec name sto razda- lja sliši "razdalja" in se loti risanja "kr ožn ic e ". Po s k u s i mo u- go t o v i t i , kakšna bo njego va slika. Nič hudeg a ne bo, če pre mici p in q vzporedno pre ma k nem o , tako da se se kata v to čki A (sl.4).
Iš č e mo vse tiste toč ke B, za kater e je r(A,B)=a. Za točko B, ki leži na premici p ali na pr e mi c i q, je oč i tno r(A,B)=A B. Ce torej od točk e A odmeri mo na premicah p in q ra zd a l j o a, dobimo štiri točk e P, Q, P: Q: ki leže na naši "krožni ci" .
q
p
Q'
SI. 3 SI. 4
Naj bo zdaj B poljubna to č k a , ki le ž i desno od q in nad p in za katero je r(A,B) =a. Potegnima skozi B vzporednico premici q.
Presečišče dobljene premice spremico p označimo s C. Kot smo vide- li , je r(A, B) =A~+CB
=
a. Ker je tu d i AC+CP=
a, je CP=CB. Vemo, da je AP=AQ. Zato sta tri k o t n i k a PAQ in PCB podobna . Od tod skle - pamo, da le ž i to č k a B na zveznic i točk P in Q. "Ra z dalja" vsake točke na daljici PQ od točke A je očitno enaka a. Torej je tist i del "krožnice " , ki le ž i desno od q in nad p, natančno daljica PQ.Od tod takoj vidimo, da je delčeva "k r o ž ni c a" ravno rob kvadrata PQP'Q' (sl.5).
Tehniki bodo rekli, da je bil naš poskus razložiti dc l c u, ka j je krožnica , čista polomija. Za tehnika res ni vseeno, ali so ko- lesa pri avtomobilu okrogla ali kvadratična. Hatematik pa se za
q Q
p'
Q/
Slo 5
p p
svinčnik
EE!P ~/buciki
slo 6
ta ke malen kos ti vč asih ne zme n i . Rav no nasp rot no, vsake ga pr a veg a ma tema t ik a bo ta primer sp o d bod el , da bo poskušal ug oto v i t i , kako si delec pre d stavlja še ka j drugega.
Za elipso so bra l ci verje t no že slišal i . Ti s t im , ki je ne po z- na jo , bern povedal , kako jo nar išemo . Lis t pa p i r ja položimo na pod- lago in zabodemo skozen j dve bueiki . Po tem iz ko sa niti na p r av i mo za n k o, jo napne mo na ob e bueiki in svi nč nik ter rišemo (sl.6) in pa z imo , da ostan e nitka ves čas nape ta. Do bimo oval e n lik, ki ga imenu jemo eZipsa .
To čki, v kater ih sta zapičeni bu eiki , ime n ujemo go rišč i el i pse . Odšte j emo od do lžine niti dolž ino zve z n i ce med go rišč ema. Polo vi - ca dob l je n eg a števi la se imenuje veLika poZos eli pse . Rečemo lah- ko : elipsa z goriščema Gi ' G2 in vel ik o polo sjo a je množ ic a točk, za ka tere je vsota ra z dal j od točk Gi in G
2 enaka 2a. Ugan imo , kaj bo na podlag i te ga stavka narisal dele c (ki besedo razd alja ra zu- me kot "razd alj a"). Tistemu, kar bo narisal , recimo "eZi p sa". Da bo stvar lažja, izb e rimo gorišč i Gi in G
2 tako, da le žit a na pre - mic i p in da premica q poteka sko zi Gi' Ozn ači mo G1G2
=
2e . Išč emo tore j ta k e točke A, da je r(G
1,A) + r(G
2,A)
=
2a. Vz eli bomo tudi, da je a>e. (Če je a<e, lah ko hi t ro po kaže š , da ni nobe n e točke A, za katero bi bi la izpolnje na enak ost r(~l , A ) + r(G
2,A)
=
2a . ) Skozi točko G2 potegnimo vzporedn ico prem ici q in jo oz n ač imo s q? (s1.7) .
Naj bo B pol jubn a to čk a, ki le ži nad p ter med q in q' in za - došča enačbi r(G
1,B) + r(G
2,B) = 2a . Potegnimo sko z i B vzp o re d nic o
premici q in presečišče dobljene prem ice spremico p označ imo s C. Takoj vid imo , da je r( Gl ,B)
=
G1C + CB in r( G2,B)
=
CG 2 + CB.Ker je G1C + CG2
=
G1G2=
2e , je 2a=
r(Gl ,B) + r( G2,B)=
2e + + 2CB. Tako je CB=
a-e . Del "eli ps e", ki leži med q in q> in nad p, je to rej dal ji ca, ki je vz pore d n a dalj ici G1G
2 in je za a-e nad njo.
Na j bo A to č ka naše "eLip s e" , ki Lež i, de s no od q' in nad p (sl.7). Spust i mo iz A pra voko t n ico na pr emico p in preseč išč e obeh pre mic oz na č i mo z D. Potem je r(Gl,A)
=
G1D + DA=
G1G2 + G2D + + DA=
G1G2 + r(G2,A) . '.lako je 2a
=
d Gl' A ) + r(G2,a)=
G1G2 + + 2r(G2,A)
=
2e + 2r (G2,A). Od tod vid imo , da je r(G
2, A) = a-e .
Toč k a A le ž i tore j na "kro žni ci" s sre d iš č em v G
2 in pol mero m a-e.
Del "kro ;:n ic e", ki lež i desno od q' in nad p, pa zn amo na ri sati.
Odmerimo od to č ke G
2 po premici q> navzgo r raz d al j o a-e te r od G 2 po p na desno enako raz d aljo in dobljeni to čki zve;:emo. ld aj igr a- je la hko narišemo celo "elipso".
q q'
q q'
~--
l! ___ ___
1',
Aa-e
r'- ,
45~
Gj C G2 D P P
51. 7 51. 8
Do ko nč no podo bo naš e elipse lahko vidit e na sl iki 8.
Tr et j a stv a r , s kate ro se bomo spoprij e li , je parabola. Ime j mo na na s~ ravn in i premico s in tOČko F, ki ne le ži na premi ci s. Pa- raboLa z go riš č em F in vodnico s je mno ži ca to č k (n a ra vn i ni ), ki so en ako odda l jene od prem ice s in tO Čk e F. Tipi č no parab olo ima- mo na sli ki 9.
Za naš del e c je "ra zdalj a" med točko A in premico s dolžina na j- krajšega tira, ki se začne v A in konča na s. Označ imo "raZda ljo"
med premico s in toč ko A z r( s ,A ). Dele c bo de f i nici jo parabole ra z ume l tak ole: "parabol a " z vod nico s in gor iščem F je mno ž ic a takih točk A, da je r(s,A)
=
r(F,A). Poj dimo gledat , ka j pra vz a-prav je ta "p a r a b o l a" . Vzemimo , da je premi ca s kar premica q in da premica p poteka skozi točko F.
Preseči š če premic p in q označimo z R. Sk o z i F potegnimo vzpo- redn i c o premici q in jo označimo s q' . Naj bo T ra zpo l o v iš če da - ljice RF. To č k a T go t ovo leži na "pa r a boli", sa j je r(s, T)
=
r(F ,T ) .Ozn ač imo TF
=
e. Naj bo A točka na "par abo li" in naj A le ži med q in q' ter nad p. Spu s ti mo skozi A vzporedni c o premici q. Presek do bl jene pre mi ce s p označimo z D (slo10) . •Ker je r(s,A) RD in r(F,A) DF+DA, mora biti RD DF+DA.
Upo š t e v a j mo , da je RD+DF
=
2e in da.je RD=
e + TD, pa vid imo , da- l -
je 1'D
= 2"
DA. Naj bo P tista toč.ka na premici q' , ki le ži nad Fs
R
q q'
p
A /I I / I
T D F
TF:FP =1'2 RT=TF
p
Slo 9 51. 10
s
F
Slo 11 Slo 12
m ar katrsrlrp je IT
a49. K ~ F j e ~ r m a ~ j a
WlBp* 122 RElbX,
e t a S ~ i k e t n i k aF a
i nPFP
PprQohna*8d
tod@klspanw*
da 1 Isid&aru da- Ijici PP, Vsaka tol5ka BAjiau TP
jjsw v ~ d a na " p ~ a b l i ~ . If atY dal L'paFabala"t ki YeBi darn@
rad q Jin
xmt3pa
30kar paltrak,
bi j a v~pim-denp LFI
ea&alas v P. tTo M e $=hi
atlahkaua~.otov%li)
Pa~,rabela j a napilsaaa na sliki i t *
Z a
