Eksperimentalna in numeriˇ cna analiza voljnosti polimernega ohiˇ sja rotorja

UNIVERZA V LJUBLJANI Fakulteta za strojniˇstvo

Eksperimentalna in numeriˇ cna analiza voljnosti polimernega ohiˇ sja rotorja

elektromotorja

Magistrsko delo magistrskega ˇstudijskega programa II. stopnje Strojniˇstvo

Gaˇ sper Bukovnik

Ljubljana, februar 2022

UNIVERZA V LJUBLJANI Fakulteta za strojniˇstvo

Eksperimentalna in numeriˇ cna analiza voljnosti polimernega ohiˇ sja rotorja

elektromotorja

Magistrsko delo magistrskega ˇstudijskega programa II. stopnje Strojniˇstvo

Gaˇ sper Bukovnik

Mentor: doc. dr. Lidija Slemenik Perˇse Somentor: doc. dr. Miroslav Haliloviˇ c

Ljubljana, februar 2022

Zahvala

V prvi vrsti bi se rad zahvalil delovnemu mentorju dr. Marku Beku. S svojim strokov- nim znanjem in svetovanjem mi je bil v veliko pomoˇc pri ustvarjanju tega dela, prav tako pa tekom ˇstudija. Zahvala gre tudi mentorici doc. dr. Lidiji Slemenik Perˇse in celotnemu osebju v Laboratoriju za eksperimentalno mehaniko, kjer sem tekom ˇstudija preˇzivel kar precej ˇcasa.

Zahvalil bi se tudi somentorju doc. dr. Miroslavu Haliloviˇcu in dr. Janezu Urevcu, ki sta mi bila v veliko strokovno pomoˇc pri reˇsevanju numeriˇcnih teˇzav. Celotnemu Laboratoriju za numeriˇcno modeliranje in simulacije pa gre zahvala za prejeto znanje in navduˇsenje nad numeriˇcnimi simulacijami.

Matevˇzu Maliju in dr. Franciju Gaˇcniku iz podjetja Domel d. o. o. se zahvaljujem za zaupanje, pomoˇc in omogoˇceno sodelovanje s podjetjem.

Posebna zahvala gre tudi prijateljem, sodelavcem in vsem ostalim, ki so bili kakorkoli vkljuˇceni v moje magistrsko delo.

Rad bi se zahvalil tudi svoji druˇzini za razumevanje, potrpeˇzljivost in spodbudo tekom mojega ˇstudija in pisanje tega dela.

Nazadnje bi se zahvalil punci Tjaˇsi za njeno podporo in potrpeˇzljivost pri iskanju slovniˇcnih napak. S svojim umetniˇskim znanjem pa je to delo naredila bolj prijetno za prebiranje.

v

vi

viii

Izvleˇ cek

UDK 539.3:678.7:519.61(043.2) Tek. ˇstev.: MAG II/889

Eksperimentalna in numeriˇ cna analiza voljnosti polimernega ohiˇ sja rotorja elektromotorja

Gaˇsper Bukovnik

Kljuˇcne besede: striˇzno lezenje

metoda konˇcnih elementov Pronyjeve vrste

sumarna krivulja viskoelastiˇcnost numeriˇcne simulacije

V sodelovanju s podjetjem Domel d. o. o. ˇzelimo preveriti ustreznost ohiˇsja rotorja iz polifenilen sulfida. Pri tem se osredotoˇcimo na ˇcasovno odvisne mehanske lastno- sti polimerov. Ohiˇsje tako v obratovalni dobi 30 000 h pri kotni hitrosti 650 rad s⁻¹ in temperaturi 90°C ne sme preseˇci pomika 0,6 mm na najbolj kritiˇcnem mestu. Naj- prej pripravimo vzorce iz izbranega materiala za eksperimentalno doloˇcitev striˇzne voljnosti. S pomoˇcjo ˇcasovno-temperaturne superpozicije iz serije meritev ustvarimo sumarno krivuljo s pomoˇcjo CFS algoritma. Iz dobljene sumarne krivulje doloˇcimo parametre Pronyjeve vrste za popis viskoelastiˇcnega materiala. S pomoˇcjo metode konˇcnih elementov z numeriˇcno simulacijo najprej preverimo ustreznost parametrov na testni simulaciji eksperimenta striˇzne voljnosti. Na koncu pripravimo funkcionalni numeriˇcni model rotorja, kjer ugotovimo, da pomik na ohiˇsju po omenjeni ˇcasovni dobi ne preseˇze dopustne vrednosti.

ix

x

Abstract

UDC 539.3:678.7:519.61(043.2) No.: MAG II/889

Experimental and numerical analysis of compliance for polymer housing of the rotor of electromotor

Gaˇsper Bukovnik

Key words: creep compliance finite element method Prony series

master curve viscoelasticity

numerical simulations

In collaboration with Domel d. o. o. company we want to check viscoelastic effects of polyphenylene sulfide on rotor housing of electromotor. Housing is subjected to angular velocity of 650 rad s⁻¹ and temperature of 90°C. In time period of 30 000 h the housing must not exceed radial displacement of 0,6 mm. We start with experimental determination of creep compliance for chosen polymer. We obtain master curve from the series of short experiments with the help of time-temperature superposition and CFS algorithm. From the master curve we determine parameters of Prony series for behaviour of viscoelastic material. With finite element method we first run a test simulation with same boundary conditions as in creep compliance experiment in order to validate material parameters. At the end we establish functional numerical model of rotor with boundary conditions same as operating ones. Thus we simulate behaviour of rotor in time period of 30 000 h. We reach finding that radial displacement on housing does not exceed the admissible value.

xi

xii

Kazalo

Kazalo slik . . . xv

Kazalo preglednic . . . xvii

Seznam uporabljenih simbolov . . . xix

Seznam uporabljenih okrajˇsav . . . xxi

1 Uvod . . . 1

1.1 Ozadje problema . . . 1

1.2 Cilji naloge . . . 1

2 Teoretiˇcne osnove in pregled literature . . . 3

2.1 Polimeri . . . 3

2.1.1 Zgradba polimerov . . . 3

2.1.2 Materialne funkcije . . . 4

2.1.3 Linearna teorija viskoelastiˇcnosti . . . 5

2.1.4 Casovno-temperaturna superpozicija . . . .ˇ 6 2.1.5 CFS algoritem . . . 7

2.2 Robni problem in MKE . . . 8

2.2.1 Algoritem reˇsevanja . . . 9

2.3 Reoloˇski modeli viskoelastiˇcnosti . . . 11

2.3.1 Termodinamsko ozadje . . . 11

2.3.2 Cisto lezenje . . . .ˇ 12 2.3.3 Generaliziran Maxwellov model . . . 14

2.3.4 Implicitna Eulerjeva metoda . . . 16

2.4 Viskoelastiˇcnost v programskem okolju Abaqus . . . 16

3 Metodologija raziskave . . . 19

3.1 Izbrani materiali . . . 19

3.1.1 Polifenilen sulfid . . . 19

3.1.2 Kovinski materiali . . . 20

3.2 Vzorci . . . 20 xiii

3.3 Dinamiˇcna mehanska analiza . . . 22

3.4 Meritev striˇzne voljnosti . . . 24

3.4.1 Analitiˇcni preraˇcun striˇznega modula . . . 25

3.5 Numeriˇcna simulacija . . . 26

3.5.1 Simulacija eksperimenta . . . 26

3.5.1.1 Geometrija . . . 26

3.5.1.2 Material . . . 27

3.5.1.3 Izbira analize . . . 28

3.5.1.4 Mreˇzenje . . . 28

3.5.1.5 Robni pogoji in obremenitev . . . 29

3.5.2 Simulacija rotorja . . . 30

3.5.2.1 Geometrija . . . 30

3.5.2.2 Materiali . . . 31

3.5.2.3 Obremenitve in parametri analize . . . 32

3.5.2.4 Mreˇzenje . . . 32

3.5.2.5 Kontakti in kinematiˇcne zveze . . . 34

3.5.2.6 Robni pogoji in obremenitev . . . 36

4 Rezultati in diskusija . . . 39

4.1 Dinamiˇcna mehanska analiza . . . 39

4.2 Materialna funkcija striˇzne voljnosti . . . 40

4.2.1 Analitiˇcni izraˇcun G . . . 42

4.3 Numeriˇcna analiza . . . 42

4.3.1 Numeriˇcna simulacija striˇzne voljnosti . . . 42

4.3.2 Numeriˇcna simulacija rotorja . . . 44

5 Povzetek in zakljuˇcki . . . 47

Literatura . . . 49

xiv

Kazalo slik

Slika 2.1: Shematski prikaz urejenosti verig v (a) amorfnih in (b) delno-kristaliniˇcnih

termoplastih. . . 4

Slika 2.2: Shematski prikaz (a) obremenitev in odziv materiala in (b) dvakrat veˇcja obremenitev in odziv materiala. . . 5

Slika 2.3: Sestava sumarne krivulje iz segmentov v ˇcasovnem oknu. . . 6

Slika 2.4: Princip delovanja CFS algoritma. . . 7

Slika 2.5: Shematski prikaz robnega problema. . . 8

Slika 2.6: Skica obojestransko togo vpete palice. . . 9

Slika 2.7: Shematski prikaz Maxwellovega modela [11]. . . 11

Slika 2.8: Funkcija lezenja za Maxwellov model [11]. . . 13

Slika 2.9: Shematski prikaz generaliziranega Maxwellovega modela [11]. . . 14

Slika 3.1: Monomerna enota polifenilen sulfida [15]. . . 19

Slika 3.2: Profil popuˇsˇcanja vzorcev. . . 22

Slika 3.3: Shematski prikaz mest merjenja dimenzij vzorca. . . 22

Slika 3.4: Prikaz vpetja vzorca v reometerAnton Paar MCR 720 z oznaˇcenimi glavnimi komponentami. . . 23

Slika 3.5: Profil meritve striˇzne voljnosti. . . 25

Slika 3.6: Glavni koraki pri analizi MKE. . . 26

Slika 3.7: Izbira ustreznega profila v HM. . . 27

Slika 3.8: Nastavitev podatkov za izotropno elastiˇcnost. . . 28

Slika 3.9: Prikaz (a) geometrijskega modela in globalni koordinatni sistem, (b) mreˇza modela in (c) parametri mreˇze. . . 29

Slika 3.10: Celoten numeriˇcni model. . . 30

Slika 3.11: (a) Tretjina modela rotorja z oznaˇcenimi komponentami in materiali in (b) prikaz pozicije magnetov v eletroploˇcevini in materiali. Zelena ˇ crta oznaˇcuje simetrijsko ravnino . . . 31

Slika 3.12: Sestina geometrijskega modela in toˇˇ cke opazovanja. . . 31

Slika 3.13: Panel surface deviation. . . 33

Slika 3.14: Deleˇz elementov v odvisnosti od razmerja stranic. . . 33

xv

Slika 3.15: Prikaz kontaktnih povrˇsin med (a) elektroploˇcevino in primarnim ter sekundarnim zabrigavanjem, (b) magnetom in primarnim zabrizga-

vanjem in (c) primarnim in sekundarnim zabrizgavanjem. . . 35

Slika 3.16: Shematski prikaz kinematiˇcne zveze med dvema komponentama. . . 35

Slika 3.17: Fiksno vpetje rotorja preko DCOUP3D elementa. . . 36

Slika 3.18: Simetrijski ravnini. . . 37

Slika 4.1: G^′, G^′′ intan(δ) v odvisnosti od temperature in ocenaT_g. . . 40

Slika 4.2: Prikaz segmentov pri posameznih temperaturah merjenja. . . 41

Slika 4.3: Sumarna krivulja pri referenˇcni temperaturi 90°C. . . 41

Slika 4.4: Grafiˇcni prikaz tangencialnih pomikov v smeri lokalne t osi z vredno- stjo modula elastiˇcnosti (a) proizvajalca in (b) iz DMA meritve. . . 43

Slika 4.5: Zasuk vzorca v odvisnosti od ˇcasa za obe vrednosti modulov ela- stiˇcnosti. . . 44

Slika 4.6: Grafiˇcni prikaz pomika rotorja v globalni Z osi z vrednostjo modula elastiˇcnosti (a) proizvajalca in (b) iz DMA meritve. . . 45

Slika 4.7: Pomik vzorca v odvisnosti od ˇcasa za toˇcko B in obe vrednosti mo- dulov elastiˇcnosti. . . 45

Slika 4.8: Pomik vzorca v odvisnosti od ˇcasa za toˇcko C in obe vrednosti mo- dulov elastiˇcnosti. . . 46

Slika 4.9: Pomik vzorca v odvisnosti od ˇcasa za toˇcko D in obe vrednosti mo- dulov elastiˇcnosti. . . 46

xvi

Kazalo preglednic

Preglednica 2.1: Materialne funkcije za popis viskoelastiˇcnega vedenja [3] . . 4 Preglednica 3.1: Povpreˇcne dimenzije vzorcev. . . 21

xvii

xviii

Seznam uporabljenih simbolov

Oznaka Enota Pomen

A mm² povrˇsina

a mm ˇsirina

a

¯ mm povpreˇcna ˇsirina

a_T / premaknitveni faktor

b mm debelina

¯b mm povpreˇcna debelina

C / materialna konstanta

D MPa s⁻¹ disipativna neenakost

E MPa modul elastiˇcnosti

F N sila

f Hz frekvenca

G MPa striˇzni modul

G^′ MPa shranitveni striˇzni modul G^′′ MPa striˇzni modul izgub G^∗ MPa kompleksni striˇzni modul g / relaksacijski striˇzni modul J MPa⁻¹ striˇzna voljnost

K mm⁴ moment prereza

k_tr / koeficient trenja

L mm dolˇzina

L¯ mm povpreˇcna dolˇzina

M N mm torzijski moment

N N notranja osna sila

s / spremenljivka transformiranega prostora

T °C temperatura

t s ˇcas

u mm pomik

W J notranja energija

γ / striˇzna deformacija

δ / faktor duˇsenja

ε / deformacija

ε̇ s⁻¹ hitrost deformacije µ kg m⁻¹s⁻¹ viskoznost

ν / Poissonov koliˇcnik

σ MPa normalna napetost

τ MPa striˇzna napetost

φ rad zasuk

H / Heavisideova funkcija

xix

Indeksi

0 zaˇcetni, konstantno

cr lezenje

e elastiˇcna

ext zunanje

g steklast prehod

int notranje

max celotna

ref referenˇcna

tr poskusna

v viskozna

xx

Seznam uporabljenih okrajˇ sav

Okrajˇsava Pomen

CFS algoritem za horizontalni premik segmentov (ang. closed form shifting)

DMA dinamiˇcna mehanska analiza LTVE linearna teorija viskoelastiˇcnosti MKE metoda konˇcnih elementov PPS polifenilen sulfid, vrsta polimera

xxi

xxii

1 Uvod

1.1 Ozadje problema

Napredek v inˇzenirstvu vse pogosteje uporablja alternativne materiale za aplikacije, kjer so se sicer v preteklosti uveljavili standardni materiali. Izdelki stremijo k ˇcim cenejˇsi, preprostejˇsi in laˇzji proizvodnji. Kovine kot glavni inˇzenirski konstrukcijski material vse pogosteje zamenjujejo polimerni materiali, kjer je le to mogoˇce.

Polimeri imajo nekatere ugodne lastnosti za inˇzenirje, kot so nizka gostota, cena, malo omejitev pri izdelavi kompleksnih geometrij (3D tiskanje) in druge. Visoko inˇzenirski polimeri lahko dosegajo odliˇcne mehanske lastnosti in iz vidika trdnosti lahko v doloˇcenih primerih nadomestijo kovine. Omogoˇcajo nam, da jim z raznimi dodatki (npr. steklena vlakna) doloˇcene lastnosti ˇse izboljˇsamo.

Uporaba polimernega materiala pa prinese nove probleme. Ce je v primeru kovinˇ dimenzija ˇcasa skoraj nepomembna pri snovanju neke konstrukcije, pa pri polimernih materialih ta dimenzija postane glavni problem. Polimeri izkazujejo ˇcasovno odvisne mehanske lastnosti. Zaradi tega je napoved ˇzivljenjske dobe precej teˇzja kot pri drugih materialih.

1.2 Cilji naloge

V sodelovanju s podjetjem Domel d. o. o. bomo v magistrskem delu obravnavali rotor, katerega posebnost je, da ima ohiˇsje iz polimernega materiala polifenilen sul- fida. Ohiˇsje ˇsˇciti rotor pred zunanjimi vplivi. Ohiˇsje mora tako zagotoviti ustreznost izdelka pri danih mehanskih obremenitvah. Te so vrtenje rotorja s 650 rad s⁻¹, obra- tovalna temperatura 90°C in vpliv ˇcasa. Ohiˇsje rotorja se na najbolj kritiˇcnem mestu zaradi omenjenih dejavnikov ne sme pomakniti veˇc kot 0,6 mm v obratovalni dobi 30 000 h. V podjetju so ˇze zagotovili ustreznost rotorja z vidika trdnostne analize. V tem delu pa bomo izvedli analizo lezenja polimernega materiala na ohiˇsju rotorja. S kombinacijo eksperimentov in numeriˇcno metodo konˇcnih elementov bomo analizirali viskoelastiˇcno vedenje polimernih komponent na rotorju. Osredotoˇcili se bomo na eks- perimentalno doloˇcitev striˇzne voljnosti na rotacijskem reometru. Iz dobljenih meritev bomo s pomoˇcjo numeriˇcne metode pridobili parametre Pronyjeve vrste, ki so potrebni za popis viskoelastiˇcnega materiala pri metodi konˇcnih elementov. Same numeriˇcne 1

Uvod

metode ne bomo podrobneje obravnavali, saj ta ni cilj magistrske naloge, zato bomo to vzeli kot dan podatek iz meritev.

Cilji naloge so tako:

– eksperimentalno doloˇciti striˇzno voljnost polifenilen sulfida,

– iz eksperimentalnih podatkov pridobiti parametre Pronyjeve vrste za popis viskoe- lastiˇcnega materiala v numeriˇcnem modelu,

– izvesti testno numeriˇcno simulacijo, ki ima enake pogoje kot eksperiment striˇzne voljnosti z namenom validirati materialne parametre,

– pripraviti funkcionalni numeriˇcni model rotorja z robnimi pogoji, ki so enaki obra- tovalnim pogojem.

2

2 Teoretiˇ cne osnove in pregled lite- rature

2.1 Polimeri

2.1.1 Zgradba polimerov

Polimeri so dolge verige molekul, med seboj povezane s kovalentno vezjo. Osnovni gradnik polimerne verige je monomerna enota. Ta je sestavljena iz ogljikovih atomov, na katerega se veˇzejo vodikovi atomi in funkcionalne skupine. Enote se potem poveˇzejo med seboj, iz ˇcesar dobimo ime polimer [1].

Polimere delimo v naslednje skupine:

– elastomeri,

– duroplasti ali duromeri, – termoplasti ali plastomeri.

Termoplaste nadalje, glede na strukturo polimernih verig, razdelimo ˇse na amorfne in delno-kristaliniˇcne. Ureditev polimernih verig pri amorfnih polimerih je nakljuˇcna in neurejena, medtem ko imajo delno-kristaliniˇcni polimeri del polimernih verig urejen.

Osredotoˇcili se bomo zgolj na delno-kristaliniˇcne termoplaste, ker je bil izbrani material v magistrskem delu iz te skupine polimerov. Delno-kristaliniˇcni termoplasti zaradi svoje strukture izkazujejo temperaturo steklastega prehoda T_g in temperaturo taliˇsˇca.

Temperatura steklastega prehoda je stanje polimera, ko se trdna struktura polimera pod vplivom naraˇsˇcajoˇce temperature spremeni v gumijasto stanje [1]. Shematsko obe ureditvi prikazuje slika 2.1.

3

Teoretiˇcne osnove in pregled literature

(a) (b)

neurejeni (amorfni) del urejeni (kristalinični) del neurejene verige

Slika 2.1: Shematski prikaz urejenosti verig v (a) amorfnih in (b) delno-kristaliniˇcnih termoplastih.

2.1.2 Materialne funkcije

Polimerni materiali izkazujejo viskoelastiˇcnost vedenje. To pomeni, da izkazujejo tako elastiˇcno kot tudi viskozno komponento. Viskoelastiˇcno vedenje v sploˇsnem popisuje 18 materialnih funkcij, ki so predstavljene v tabeli 2.1. Vse materialne funkcije so funkcije ˇ

casa. Vpliv viskozne komponente pogojuje ˇcasovno odvisne mehanske lastnosti polime- rov. Za popis celotnega napetostno-deformacijskega stanja viskoelastiˇcnih materialov je potrebno poznati 2 materialni funkciji. To sta ponavadi volumetriˇcni in deviatoriˇcni del Cauchyjevega tenzorja. Ker pa se volumen materiala tekom obremenjevanja spre- minja zanemarljivo malo, ga lahko izpustimo. Tako lahko samo s poznavanjem striˇzne materialne funkcije popiˇsemo celotno mehansko stanje [1, 2].

Preglednica 2.1: Materialne funkcije za popis viskoelastiˇcnega vedenja [3]

.

Naˇcin obremenitve

Tip obremenitve

Strig Volumetriˇcno Enoosno

Poissonovo razmerje

Statiˇcno vzbujanje

Relaksacija G(t) K(t) E(t) θ(t)

Lezenje J(t) M(t) D(t) /

Dinamiˇcno vzbujanje

Relaksacija

Povraˇcljiv del G^′(t) K^′(t) E^′(t) θ^′(t) Nepovraˇcljiv del G^′′(t) K^′′(t) E^′′(t) θ^′′(t)

Lezenje

Povraˇcljiv del J^′(t) M^′(t) D^′(t) / Nepovraˇcljiv del J^′′(t) M^′′(t) D^′′(t) /

V naˇsem primeru smo se osredotoˇcili na lezenje pri statiˇcnem vzbujanju, kjer smo upoˇstevali zgolj strig. To narekuje, da smo merili materialno funkcijo striˇznega lezenja J(t).

4

Teoretiˇcne osnove in pregled literature

2.1.3 Linearna teorija viskoelastiˇ cnosti

Linearna teorija viskoelastiˇcnosti (LTVE) temelji na tem, da so materialne funkcije neodvisne od zunanje obremenitve [4]. To nam shematsko prikazuje slika 2.2.

t σ

t₀ t1

σ₀

t₀ t1 t

ε

ε₁

ε₂ ε₂

ε₁ ε

ε₂ ε3

t σ

t0 t₁

2σ₀

t₀ t₁ t

ε

2ε1

2ε₂

2ε₁

2ε₂ 2ε3

(a) (b)

Slika 2.2: Shematski prikaz (a) obremenitev in odziv materiala in (b) dvakrat veˇcja obremenitev in odziv materiala.

Na sliki 2.2ε1 predstavlja takojˇsnjo elastiˇcno deformacijo materiala, ε2 predstavlja za- kasnelo deformacijo, kar imenujemo tudi retardacija inε₃ je trajna deformacija zaradi viskoznega doprinosa. Slika 2.2 (a) zgoraj prikazuje aplicirano obremenitev, spodaj pa je odziv materiala na to obremenitev. Na sliki 2.2 (b) zgoraj je prikazana dvakrat veˇcja obremenitev, spodaj pa zopet odziv pri tej obremenitvi. Velja omeniti, da je zaˇcetna elastiˇcna deformacija pogojena z geometrijo vzorca in materialnimi parametri, kot sta modul elastiˇcnostiE ali striˇzni modul G. Opazimo, da se tudi po prenehanju obreme- nitve deformacija ne vrne na zaˇcetni poloˇzaj, ampak se s ˇcasom ˇse naprej zmanjˇsuje.

Meritve pri viskoelastiˇcnih materialih izvajamo znotraj doloˇcenega ˇcasovnega okna, na primer od t0 do t1, dogajanje po razbremenitvi materiala pa nas pri doloˇcevanje le- zenja ne zanima [4]. Striˇzno lezenje (uporablja se tudi izraz striˇzna voljnost) J(t) je zato definirano kot ˇcasovno odvisna striˇzna deformacijaγ(t), ki jo delimo s konstantno striˇzno napetostjo τ0

J(t) = γ(t)

τ₀ . (2.1)

5

Teoretiˇcne osnove in pregled literature

Da lahko govorimo o LTVE mora material izpolniti dva kriterija [4, 5]:

– obremenitev materiala, ki je lahko v obliki napetosti (lezenje) ali deformacije (rela- ksacija), mora biti proporcionalna odzivu materiala v obliki deformacije ali napetosti, – linearni princip superpozicije, ki pomeni, da je veˇc razliˇcnih manjˇsih obremenitev enako obremenitvi, ki je enaka vsoti manjˇsih obremenitev. Enako velja za odziv materiala.

Izpolnjevanje teh dveh kriterijev je nujno, ˇce ˇzelimo upoˇstevati vpliv temperature na ˇ

casovno odvisne mehanske lastnosti z uporabo ˇcasovno-temperaturne superpozicije.

2.1.4 Casovno-temperaturna superpozicija ˇ

Viˇsja temperatura pomeni viˇsjo kinetiˇcno energijo polimernih molekul oziroma verig.

Te postanejo bolj mobilne, zaradi ˇcesar se poveˇca med molekulski prostor. To pa po- meni pospeˇsitev reoloˇskih procesov kot sta na primer lezenje in relaksacija. Podobno velja za zniˇzanje temperature, kjer procesi potekajo poˇcasneje. To pomeni, da lahko s serijo krajˇsih eksperimentov v enakem ˇcasovnem oknu in pri razliˇcnih temperaturah, popiˇsemo vedenje polimera skozi daljˇse ˇcasovno obdobje. V seriji krajˇsih eksperi- mentov izberemo referenˇcno temperaturo. To je temperatura eksperimenta oziroma segment, ki ga v ˇcasovni skali ne zamikamo. Ostale segmente pa zamikamo tako, da tvorijo smiselno krivuljo, ki jo imenujemo sumarna krivulja. Celotni proces imenujemo ˇ

casovno-temperaturna superpozicija [6]. Zamikanje segmentov sicer lahko izvedemo roˇcno, vendar ker to ni najbolj zanesljiva metoda, je bil razvit CFS algoritem, ki bo opisan v nadaljevanju. Shematsko princip ˇcasovno-temperaturne superpozicije prika- zuje slika 2.3. Poudariti je treba, da segmente lahko zamikamo zgolj horizontalno, torej v ˇcasovni skali. Vertikalno zamikanje bi spremenilo dejanske vrednosti funkcije striˇzne voljnosti. Zaradi tega je ˇstevilo segmentov in izbira referenˇcne temperature odvisna od predhodnih izkuˇsenj sestavljanja sumarne krivulje in na koncu tudi od ˇcasovnega obdobja, znotraj katerega ˇzelimo doloˇciti vedenje materiala.

Tref

T1

T₂

T3

T₄ log(t) log(J)

časovno okno

T₁ > T₂ > T_ref > T₃ > T₄

Slika 2.3: Sestava sumarne krivulje iz segmentov v ˇcasovnem oknu.

6

Teoretiˇcne osnove in pregled literature

2.1.5 CFS algoritem

Ker roˇcno sestavljanje sumarne krivulje ni zanesljiv proces, je bil razvit algoritem CFS (closed form shifting) [7,8]. Ta na podlagi prekrivanja krivulj s pomoˇcjo povrˇsine doloˇci premaknitvene faktorjeat. To je razmerje med vrednostjo ˇcasa materialne funkcije pri poljubni temperaturi in referenˇcni temperaturi

a_t= J(T)

J(T_ref), (2.2)

oziroma, ker sumarno krivuljo pogosto predstavljamo v dvojni logaritemski skali

log(at) = log(J(T))−log(J(Tref)). (2.3)

Temperaturno razliko med poljubno temperaturo in referenˇcno temperaturo lahko poveˇzemo s premaknitvenimi faktorji preko WLF modela

log(a_t) =− C₁∆T

C₂+ ∆T, (2.4)

kjer sta C₁ in C₂ materialni konstanti. WLF model velja le v okolici temperature steklastega prehoda.

Delovanje CFS algoritma shematsko prikazuje slika 2.4. Algoritem uporablja trapezno metodo za doloˇcitev povrˇsine prekrivanja med krivuljo merjeno pri T1 in krivuljo mer- jeno pri T₂. Algoritem zgolj s premikanjem v ˇcasovni skali znotraj tolerance zadovolji enaˇcbo

Askupno =AT1 −AT2 = 0. (2.5)

log(t)

log(J)

T₂

T₁ A_T1 - prekritje pri T₁ A_T2 - prekritje pri T₂ A_s - skupno prekritje

Slika 2.4: Princip delovanja CFS algoritma.

7

Teoretiˇcne osnove in pregled literature

2.2 Robni problem in MKE

Mehanskih problemov, ki niso podvrˇzeni samo linearnemu vedenju oziroma odzivu, ne moremo obravnavati oziroma reˇsevati le z uporabo analitiˇcnih metod. Najveˇckrat je po- treben numeriˇcni pristop z iterativnim reˇsevanjem. Razlog je v nelinearnem obnaˇsanju materiala. Ena izmed najbolj pogostih numeriˇcnih metod je metoda konˇcnih elemen- tov (MKE). Metoda temelji na tem, da obravnavano obmoˇcje diskretiziramo na konˇcno ˇstevilo manjˇsih elementov, ki so z vidika geometrije dobro popisani. Z MKE na ta naˇcin reˇsujemo robni problem. Reˇsevanje robnega problema zahteva diferencialno enaˇcbo po obmoˇcju obravnavanega elementa in robne pogoje na robu elementa, kar je prikazano na sliki 2.5 [9].

Območje določeno z

diferencialno enačbo Robni pogoji

Slika 2.5: Shematski prikaz robnega problema.

Nelinearne probleme reˇsujemo z numeriˇcnim reˇsevanjem sistema tako diferencialnih kot algebrskih enaˇcb (DAE). V magistrskem delu ne bomo podrobno razlagali numerike, ampak se bomo osredotoˇcili na sam algoritem, ki nam pomaga reˇsiti robni problem.

Algoritem bo predstavljen na primeru obojestransko vpete palice iz viskoelastiˇcnega materiala, ki je shematsko prikazana na sliki 2.6. Palico obremenjujemo nekje na sre- dini s silo F, v podporah A in B pa se pojavita reakcijski sili. Kot ˇze omenjeno, se robni problem pri nelinearnih problemih ne reˇsuje po klasiˇcnih metodah. Poleg rob- nih pogojev so potrebni tudi zaˇcetni pogoji. Razlog je v tem, da je stanje v vsakem ˇ

casovnem trenutku odvisno od stanja v prejˇsnjem trenutku oziroma inkrementu. V primeru osno obremenjene palice se pojavi potreba, da palico obremenjujemo posto- poma in ne vse naenkrat, kot bi to lahko naredili pri elastiˇcnem vedenju. Zaradi tega se poleg krajevne diskretizacije pojavi tudi ˇcasovna diskretizacija. Problem reˇsujemo s tremi integracijskimi toˇckami, kar obmoˇcje palice razdeli na dva dela. Palici pripa- dajo ˇstiri vozliˇsˇca. V integracijskih toˇckah (po teoriji MKE) vrednotimo napetosti in deformacije, v vozliˇsˇcih pa vrednosti za sile in pomike [9, 10].

8

Teoretiˇcne osnove in pregled literature

A B

A F B

L ₁ L ₂

x

Polje I. Polje II.

Slika 2.6: Skica obojestransko togo vpete palice.

2.2.1 Algoritem reˇ sevanja

Ideja algoritma je, da ves ˇcas izpolnjuje ravnoteˇzno enaˇcbo 2.6 [10]:

F^int=F^ext, (2.6)

kar pomeni, da morajo biti notranje sile F^int enake zunanjim silam F^ext. Ker je robni problem tukaj nelinearen zaradi materiala, se enaˇcba 2.6 reˇsuje inkrementalno. To pomeni, da v doloˇcenem ˇcasovnem inkrementu zunanjo silo poveˇcamo za ∆F in pogle- damo, ˇce je ravnoteˇzje izpolnjeno. Inkremenetalno reˇsevanje je potrebno, ker je odziv materiala nelinearen in odvisen od zgodovine obremenjevanja. Poleg ravnoteˇzne enaˇcbe potrebujemo ˇse konstitutivno enaˇcbo (zveza med napetostmi in deformacijami - Ho- okov zakon za podroˇcje linearnosti) in kompatibilnostno enaˇcbo oziroma kinematiˇcno enaˇcbo (zveza med pomiki in deformacijami) [10]. Veˇc o konstitutivnem zakonu visko- elastiˇcnega materiala bo povedano v nadaljevanju.

V vsakem inkrementu poveˇcamo zunanjo obteˇzbo za ∆F:

∆F =Fmax(tn+1)−Fmax(tn), (2.7)

ki predstavlja razliko med inkrementom t_n+1 in t_n maksimalne zunanje obremenitve.

Enaˇcba 2.6 ni veˇc izpolnjena, zato je potrebno spremeniti ali napetosti (zahtevno) ali pa prostostne stopnje (npr. pomike - laˇzje) [10, 11]. Iˇsˇcemo torej:

∆u^k_n+1 =u^k_n+1−u^k_n, (2.8)

kjer smo zu oznaˇcili vozliˇsˇcni pomik vn+ 1 inkrementu prik-ti iteraciji. To pomeni, da spreminjamo prostostno stopnjo, vozliˇsˇcne vrednosti pomikov v vsakem inkrementu, da doseˇzemo veljavnost enaˇcbe 2.6 [10, 11].

Za nadaljnje potrebe podrobneje poglejmo, kaj sploh jeF^int. Vemo, da so notranje sile v palici enake notranji osni siliN. Notranja osna sila je definirana po enaˇcbi 2.9 [10, 11]

N =

∫︂

A

σ_xxdA. (2.9)

9

Teoretiˇcne osnove in pregled literature Iz enaˇcbe 2.9 sledi enaˇcba 2.10

N =N(σ). (2.10)

Iz reoloˇskega zakona, ki je opisan v poglavju 2.3, dobimo enaˇcbo 2.11

σ=σ(ε). (2.11)

Iz zveze med pomiki in deformacijami velja enaˇcba 2.12

ε=ε(u). (2.12)

Ce vse to zdruˇˇ zimo in vstavimo v enaˇcbo 2.10 dobimo enaˇcbo 2.13 [10, 11]

N =N(σ(ε(u))). (2.13)

S pomoˇcjo Newton-Raphsonovega algoritma lahko z razvojem v Taylorjevo vrsto (ˇclene viˇsjih redov zanemarimo) dobimo enaˇcbo 2.14 [10]

F_n+1^int (u^k+1) = F^int(u^k+1) +

(︃∂F^int(u)

∂u )︃k

(u^k+1−u^k) = F_n+1^ext. (2.14) Clenˇ u^k+1−u^koznaˇcimo zδu in predstavlja korekcijo znotraj inkrementa, da v vsakem inkrementu dobimo ˇzeljeni ∆upo enaˇcbi 2.8. ˇClen ^∂Fint_∂u^(u) lahko razvijemo s posrednim odvajanjem, kjer upoˇstevamo enaˇcbo 2.13. Rezultat je znan iz teorije MKE, in sicer enaˇcba 2.15 predstavlja togostno matriko elementa v vsakem inkrementu [10, 12]

∂F^int(u)

∂u = ∂F^int

∂σ · ∂σ

∂ε · ∂ε

∂u, (2.15)

kjer ^∂F_∂σ^int predstavlja povrˇsino preseka palice, ^∂ε_∂u odvod oblikovnih funkcij in je enak 1

L

[︃ 1 −1

−1 1 ]︃

,

L je dolˇzina palice v obravnavanem polju in ^∂σ_∂ε predstavlja naklon napetosti s spremi- njajoˇco se deformacijo. Dokler se material nahaja v linearnem obmoˇcju, je ta odvod konstanten in je enak elastiˇcnemu moduluE. Po prehodu v nelinearnost pa to ne velja veˇc in odvod postane zahteven, saj je treba upoˇstevati pravi reoloˇski zakon, kjer pa je za stanje n+ 1 teˇzko vedeti, kaj se bo zgodilo. Togostno matriko je potrebno raˇcunati vedno sproti za vsak inkrement, saj se bo po prehodu materiala v nelinearno vede- nje elastiˇcni modul pokvaril oziroma linearni (npr. Hookov) zakon ne bo veˇc veljal.

Zapiˇsimo torej celotno enaˇcbo togostne matrike 2.16:

∂F^int(u)

∂u = A· ^∂σ_∂ε L ·

[︃ 1 −1

−1 1 ]︃

. (2.16)

Na koncu je izraˇcun korekcije δu definiran z enaˇcbo 2.17 δu= L

A·^∂σ_∂ε ·

[︃ 1 −1

−1 1 ]︃⁻¹

. (2.17)

Naj omenimo, da ˇclen ^∂σ_∂ε velja za k-to iteracijo in inkrement n+ 1 [10–12]. ˇCe torej povzamemo: z algoritmom iteriramo δu toliko ˇcasa, dokler ne dobimo ustreznega ∆u, da izpolnimo enaˇcbo 2.6. Poslediˇcno lahko za vsak inkrement izraˇcunamo deforma- cije in napetosti. Glavno teˇzavo za izraˇcun predstavlja ˇclen ^∂σ_∂ε, ko material ni veˇc v linearnem obmoˇcju.

10

Teoretiˇcne osnove in pregled literature

2.3 Reoloˇ ski modeli viskoelastiˇ cnosti

2.3.1 Termodinamsko ozadje

Viskoelastiˇcno vedenje v osnovi opisuje Maxwellov model, ki je prikazan na sliki 2.7.

Slika 2.7: Shematski prikaz Maxwellovega modela [11].

Model je sestavljen iz zaporedno povezane vzmeti, ki ima elastiˇcni modulE, in duˇsilke, ki ima koeficient viskoznosti µ. Duˇsilka predstavlja disipativni element (tretirana kot notranja spremenljivka, ki predstavlja nepovratne mikrostrukturne procese v materi- alu), ki ima viskozno deformacijo in bo v nadaljevanju oznaˇcena kot ε^v [11].

Najpreprostejˇsa oblika proste energijeW, ki da ˇzeljeno konstitutivno vedenje, ponazarja enaˇcba 2.18 [11]

W = 1

2E(ε−ε^v)². (2.18)

Z odvajanjem enaˇcbe 2.18 po spremenljivki ε dobimo enaˇcbo 2.19 σ= ∂W

∂ε =E(ε−ε^v). (2.19)

Ker je vedenje duˇsilke moˇcno odvisno od hitrosti obremenjevanja, lahko definiramo enaˇcbo 2.20, po kateri je hitrost viskozne deformacije

ε̇^v = 1

µσ^v. (2.20)

Pri tem je σ^v disipativna napetost, ki predstavlja razlog za nastanek viskozne defor- macije. Definirana je tudi kot negativni odvod proste energije po viskozni deformaciji v enaˇcbi 2.21

σ^v =−∂W

∂ε^v =E(ε−ε^v)≡σ. (2.21)

Enaˇcbo 2.20 lahko izrazimo tudi kot enaˇcbo 2.22 ε̇^v = 1

µσ^v = E

µ(ε−ε^v). (2.22)

Da bo material konsistenten iz termodinamskega vidika, mora zadovoljiti relaciji, ki sta posledici drugega zakona termodinamike. Drugi zakon termodinamike pravi, da mora 11

Teoretiˇcne osnove in pregled literature

biti entropija vedno pozitivna. V mehaniki kontinuuma je matematiˇcna formulacija zakona naslednja [11]

D=

N

∑︂

α=1

κ_αk̇

α ≥0, (2.23)

kjer D predstavlja disipativno neenakost, κ_α disipativno napetost (npr. σ^v) in k̇_α hitrost ireverzibilne deformacije (npr. ε̇^v). Druga posledica zakona pa je Colemanova relacija zapisana v

σ= ∂W

∂ε , κ_α ^def= ∂W

∂k_α, α= 1,2,...,N, (2.24)

kjer je σ napetost, ε deformacija in kα ireverzibilna deformacija. Za naˇs primer ima disipativna neenakost naslednjo obliko

D=σ^vε̇^v =σε̇^v = 1

µσ² ≥0. (2.25)

Colemanovo relacijo smo uporabili tudi v enaˇcbi 2.19.

Za model na sliki 2.7 lahko izpeljemo linearno diferencialno enaˇcbo [11]. Skozi celoten model bo tekla enaka napetost

σ=σ^e =σ^v, (2.26)

kjer je σ^e napetost v vzmeti, σ^v pa napetost v duˇsilki. Deformacija bo seˇstevek ela- stiˇcnega in viskoznega dela

ε=ε^e+ε^v. (2.27)

Deformacijo odvajamo po ˇcasu, da dobimo ˇse hitrostno enaˇcbo

ε̇ =ε̇^e+ε̇^v. (2.28)

Ob upoˇstevanju Hookovega zakona σ^e =Eε^e in Newtonovega zakona za tekoˇcine σ^v = µε̇^v dobimo naslednjo linearno diferencialno enaˇcbo

σ̇ + 1

t_∗σ=Eε̇, (2.29)

kjer je t∗ =µ/E naravni relaksacijski ˇcas. Enaˇcba je reˇsljiva, ko imamo znano ali σ(t) ali ε(t). Najpogosteje so to konstantne funkcije, torej znana konstantna napetost ali znana konstantna deformacija. V prvem primeru imamo ˇcisto lezenje, v drugem pa ˇ

cisto relaksacijo.

2.3.2 Cisto lezenje ˇ

Po definiciji ˇcisto lezenje dobimo takrat, ko material obremenimo s konstantno na- petostjo in opazujemo deformacijo. Predpostavimo, da v material nenadno vnesemo 12

Teoretiˇcne osnove in pregled literature vrednost napetostiσ0, ko je ˇcast=t0. Napetost nato drˇzimo konstanto na tej vredno- sti, medtem ko ˇcas teˇce. Iz tega sledi, daσ(t) lahko zapiˇsemo kot [11]

σ(t) =σ₀H(t). (2.30)

Pri tem jeH(t)) Heavisideova funkcija, definirana kot H(t) =

{︃ 0; t <0 1; t ≥0 .

Ker je ε^v(0) = 0, iz enaˇcbe 2.22 dobimo ε^v(t) = σ₀

E t

t_∗. (2.31)

Ce dobljeni izraz zdruˇˇ zimo z enaˇcbo, 2.21 dobimo

ε(t) = C(t)σ₀. (2.32)

Pri tem jeC(t) funkcija lezenja (creep function) za Maxwellov model, ki je definirana kot

C(t) = 1 E

(︃

1 + t t∗

)︃

. (2.33)

Funkcija lezenja za Maxwellov model je prikazana na sliki 2.8.

Slika 2.8: Funkcija lezenja za Maxwellov model [11].

Kot nasprotje lezenja, velja omeniti ˇse relaksacijo. Razlika je v tem, da smo pri lezenju predpisali konstantno napetost σ₀ in pustili, da ˇcas teˇce. Pri relaksaciji pa namesto napetosti predpiˇsemo konstanto deformacijoε₀ in pustimo, da ˇcas teˇce. Iz tega dobimo funkcijo relaksacijeR(t). Funkciji med seboj nista inverzni. Relaksacija sicer ni glavna tema magistrske naloge, zato je podrobneje ne bomo obravnavali. Omenimo tudi, da je oznaka C(t) sploˇsna za funkcijo lezenja. Odvisno od tipa obremenitve in napetostno- deformacijskega stanja pa funkcija dobi drugaˇcno oznako, predstavljeno v tabeli 2.1.

Enako velja za funkcijo relaksacije.

13

Teoretiˇcne osnove in pregled literature

2.3.3 Generaliziran Maxwellov model

Generaliziran Maxwellov model vsebuje N med seboj vzporedno povezanih Maxwello- vih modelov, prikazanih na sliki 2.9 [11].

Slika 2.9: Shematski prikaz generaliziranega Maxwellovega modela [11].

Zapis proste energije modela je podoben kot v poglavju 2.3.1, le da je potrebno upoˇstevati vse elemente

W = 1 2

N

∑︂

α=1

E_α(ε−ε^v)². (2.34)

Prosto energijo odvajamo po deformaciji, da dobimo napetost σ= ∂W

∂ε =

N

∑︂

α=1

σ_α, kjer σ_α ^def= E_α(ε−ε^v_α), (2.35) ki je lahko izraˇzena tudi kot

σ=εE_(∞)−

N

∑︂

α=1

E_αε^v_α, kjer E_(∞) =

N

∑︂

α=1

E_α. (2.36)

Clenˇ E(∞) predstavlja elastiˇcno togost modela pri neskonˇcni hitrosti obremenjevanja, v katerem duˇsilka ne bi povzroˇcila viskozne deformacije (ε^v_α = 0). Model lahko pred- stavlja trdno vedenje samo v primeru, ko ima neniˇcelno elastiˇcno togostE₍₀₎ pri niˇcelni hitrosti obremenjevanja. Seveda je to primer, ˇce duˇsilke ne bi bilo, torejµ_(N) =∞, kar nam da E₍₀₎ =E_(N) [11].

14

Teoretiˇcne osnove in pregled literature Hitrostne enaˇcbe za N notranjih spremenljivk ε^v_α so

ε̇ =^v_α 1

µ_ασ_α, α= 1,2,...,N. (2.37)

Ponovno moramo upoˇstevati relaciji, ki sta posledici drugega zakona termodinamike D≡

N

∑︂

α=1

σ_αε̇^v_α =

N

∑︂

α=1

1

µ_α(σ_α)². (2.38)

Ker so vsi µ_α > 0, je tudi D >0. ˇCe nadomestimo σ_α iz enaˇcb 2.35 in 2.37, dobimo hitrostno enaˇcbo v obliki

ε̇^v_α = 1 t∗α

(ε−ε^v_α), α= 1,2, ..., N, kjer je t_∗α = µ_α

E_α. (2.39)

S tem smo zapisali vse konstitutivne enaˇcbe, iz katerih lahko razvijemo enaˇcbe lezenja in relaksacije. S pomoˇcjo Laplace-Carsonove transformacije (matematiˇcna operacija) in zaˇcetnimi vrednostmiε^v_α(0) = 0 dobimo [11]

(ε^v_α)^∗ = 1

t∗αs+ 1ε^∗. (2.40)

To lahko zdruˇzimo z enaˇcbo 2.35₁, da dobimo (σ_α)^∗ = E_αt∗αs

t∗αs+ 1ε^∗. (2.41)

Dobljeno enaˇcbo zdruˇzimo ˇse z enaˇcbo 2.35₂ in dobimo (σ)^∗ = (R)^∗(ε^∗), kjer (R)^∗ =

N

∑︂

α=1

E_αt_∗αs

t∗αs+ 1. (2.42)

Zadnji izraz ima pomen v primeru E_α < ∞, α = 1,2, ..., N. Funkcija relaksacije R(t)je tako dobljena s pomoˇcjo Pronyjevih vrst, kjer smo upoˇstevali inverzno Laplace- Carsonovo transformacijo

R(t) =

N

∑︂

α=1

Eαe^−t∗αt . (2.43)

Velja, da je R(0) = E(∞), medtem ko R(∞) = 0, ˇce je t∗α <∞ za vse α. Sedaj lahko invertiramo (R)^∗ iz enaˇcbe 2.42, da dobimo (C)^∗

(ε)^∗ = (C)^∗(σ)^∗, (C)^∗ = 1 (R)^∗ =

(︄ _N

∑︂

α=1

E_α t∗αs t∗αs+ 1

)︄⁻¹

. (2.44)

Kot smo omenili, relaksacijske funkcije in funkcije lezenja niso inverzne v ˇcasovnem prostoru. To pa ne velja za transformirani prostor. Omenimo ˇse, da v literaturi zat∗α

najdemo tudi oznako τ_α.

15

Teoretiˇcne osnove in pregled literature

2.3.4 Implicitna Eulerjeva metoda

Laplace-Carsonova transformacija je uporabna metoda za doloˇcevanje funkcij lezenja in relaksacije. Za analitiˇcne funkcije so inverzne vrednosti transformacije tabelirane, v realnosti pa se pogosto zgodi, da inverza ni mogoˇce doloˇciti. Takrat se posluˇzujemo drugaˇcnih metod iskanja funkcij lezenja in relaksacije. Ena izmed teh metod je im- plicitna Eulerjeva metoda (backward Euler method), ki omogoˇca reˇsevanje navadnih diferencialnih enaˇcb prvega reda po korakih [11].

Metodo najprej uporabimo pri enaˇcbi 2.37 za generaliziran Maxwellov model

n+1ε^v_α =ⁿε^v_α+∆t µ_α

n+1σ_α^v, (2.45)

kjer n+1 oznaˇcuje naslednji korak, n trenutni korak in ∆t velikost koraka v obliki majhnega prirastka ˇcasa. Enaˇcbo zdruˇzimo z 2.35₂ in dobimo

n+1σ_α =ⁿσ_α^v +E_α^v∆ε, ⁰σ_α = 0. (2.46)

V enaˇcbi 2.46 veljajo naslednje zveze:

nσ_α^v = (︃

1 + ∆t t∗α

)︃−1

nσ_α∆t, E_α^v = (︃

1 + ∆t t∗α

)︃−1

E_α∆t (2.47)

Celotno napetost ⁿ⁺¹σ dobimo, ˇce upoˇstevamo 2.35₁

n+1σ =

N

∑︂

α=1

n+1σα =

N

∑︂

α=1

nσ_α^v + ∆ε

N

∑︂

α=1

E_α^v (2.48)

V primeru Maxwellovega modela s samo enim elementom pa s pomoˇcjo enaˇcb 2.46 in 2.48 dobimo

n+1σ = (︃

1 + ∆t t∗α

)︃−1

n+1σ^tr, (2.49)

kjer je ⁿ⁺¹σ^tr poskusna elastiˇcna napetost (elastic trial stress), ki je definirana kot

n+1σ^tr =ⁿσ+E∆ε. (2.50)

Na ta naˇcin ponavljamo korake, dokler ne pridemo do konˇcnega ˇcasa raˇcunanja.

2.4 Viskoelastiˇ cnost v programskem okolju Abaqus

Abaqusu pri definiciji linearnega viskoelastiˇcnega materiala v ˇcasovni domeni predpo- stavlja naslednje [13, 14]:

– deviatoriˇcno in volumetriˇcno vedenje materiala je neodvisno pri reˇsevanju veˇc osnih napetostnih stanj,

– disipativne izgube materiala so posledica viskoznega dela materiala (duˇsilka) in mo- rajo biti modelirane v ˇcasovni domeni,

16

Teoretiˇcne osnove in pregled literature – vedenje simulira preko generaliziranega Maxwellovega reoloˇskega modela.

Za modeliranje viskoelastiˇcnega materiala uporablja brez dimenzijske relaksacijske stri- ˇzne module v obliki Pronyjeve vrste

g_R = 1−

N

∑︂

i=1

g_i(1−e^−τit ), (2.51)

kjer so N ˇstevilo ˇclenov vrste, g relaksacijski striˇzni modul in τ relaksacijski ˇcas. V teoriji majhnih deformacij za linearno izotropen elastiˇcen material je izraz za striˇzno napetost enak

γ(t) = G₀ (︄

γ−

N

∑︂

i

γ_i )︄

, (2.52)

kjer je γ_i = g_i

τ_i

∫︂ t

0

e^−τisγ(t−s)ds. (2.53)

γ_i je interpretirana kot spremenljivke stanja in je odgovorna za relaksacijo napetosti.

Poleg tega pa je prisotna tudi deformacija lezenjaγ^cr, ki predstavlja razliko med celotno deformacijo in takojˇsno elastiˇcno deformacijo. Definirana je kot

γ^cr =

N

∑︂

i

γ_i. (2.54)

17

Teoretiˇcne osnove in pregled literature

18

3 Metodologija raziskave

V tem poglavju bomo predstavili izvedbo meritev za pridobitev materialnih podatkov, ki niso bili posredovani s strani podjetja. Pogledali bomo, kako lahko ocenimo vrednost statiˇcnega striˇznega modula G iz meritev dinamiˇcnih materialnih funkcij. Predstavili bomo potek meritve za doloˇcevanje materialne funkcije striˇzne voljnosti, iz katere bomo dobili parametre Pronyjeve vrste za popis viskoelastiˇcnega materialnega modela. Iz teh meritev bomo tudi analitiˇcno izraˇcunali vrednost statiˇcnega striˇznega modula za primerjavo z njegovo oceno. V nadaljevanju se bomo posvetili pripravi numeriˇcnega modela za MKE analizo. Najprej bomo pripravili numeriˇcni model, ki bo ponazoril meritev striˇzne voljnosti, ter na ta naˇcin validirali ustreznost modela. Nato pa bomo pripravili ˇse numeriˇcni model obravnavanega rotorja, kjer bomo uporabili podatke, pridobljene iz meritev podjetja Domel d. o. o.

3.1 Izbrani materiali

3.1.1 Polifenilen sulfid

Material, kateremu bomo posvetili najveˇc pozornosti je polifenilen sulfid ali krajˇse PPS.

Spada med visoko inˇzenirske delno-kristaliniˇcne termoplaste. Material je ˇse dodatno ojaˇcan s kratkimi steklenimi vlakni, predstavljajo pa 40% masnega deleˇza [15, 16].

Osnovna monomerna enota je prikazana na sliki 3.1.

Slika 3.1: Monomerna enota polifenilen sulfida [15].

ˇSestkotnik na sliki 3.1 imenujemo benzen. V ogliˇsˇcih so razporejeni ogljikovi C atomi na katere se veˇzejo vodikovi H atomi. S krogom pa ponazorimo, da je vsaka druga kemijska vez med C atomi dvojna. Monomerne enote se med seboj povezujejo v daljˇse verige in tako tvorijo polimerne verige.

19

Metodologija raziskave

Ker material spada med delno-kristaliniˇcne termoplaste, izkazuje tako temperaturo steklastega prehoda, kot temperaturo taliˇsˇca. Zaradi deleˇza steklenih vlaken izkazuje dobre mehanske lastnosti in je malo podvrˇzen lezenju.

Veˇcino materialnih podatkov nam je priskrbelo podjetje Domel d. o. o.:

– modul elastiˇcnosti (za temperaturno obmoˇcje od 10°C do 200°C), – Poissonov koliˇcnik,

– koeficient temperaturnega raztezka (za temperaturno obmoˇcje od 10°C do 270°C), – gostota,

– temperatura steklastega prehoda, – koeficient trenja,

– velikost striˇzne napetosti za merjenje striˇzne voljnosti.

Sami pa smo v Laboratoriju za eksperimentalno mehaniko, Fakultete za strojniˇstvo, Univerze v Ljubljani:

– ocenili striˇzni modul iz dinamiˇcne mehanske analize (za temperaturno obmoˇcje od 55°C do 205°C),

– preverili temperaturo steklastega prehoda, ˇce ta sovpada z vrednostjo proizvajalca, – merili striˇzno voljnost na reometru.

3.1.2 Kovinski materiali

Predstavitvi kovinskih materialov ne bomo dajali posebne pozornosti, saj za samo nalogo niso tako pomembni. Omenimo le, da je materialne podatke priskrbelo podjetje Domel d. o. o.:

– modul elastiˇcnosti, – Poissonov koliˇcnik, – gostota,

– koeficient temperaturnega raztezka (v primeru NdFeB materiala so bili podatki na voljo za temperaturno obmoˇcje od 10°C do 200°C),

– krivuljo izotropnega utrjevanja, – koeficient trenja.

3.2 Vzorci

Vzorci za izvedbo meritev so bili izdelani pri zunanjih izvajalcih:

– brizganje vzorcev v podjetju Tecos – razrez vzorec v podjetju Krili d. o. o.

Vzorci pravokotnega prereza so bili brizgani na ploˇsˇco, tako da so bila vsa vlakna usmer- jena po dolˇzini vzorca. Po brizganju so bili nenadzorovano ohlajeni na sobno tempera- turo. Ker ohlajanje vzorcev ni bilo nadzorovano, je bilo vzorce potrebno popuˇsˇcati. To pomeni, da smo vzorce segreli na doloˇceno temperaturo, ki smo jo zadrˇzevali doloˇcen ˇ

cas, da smo v vzorcih dosegli stacionarno stanje, nato pa smo vzorce poˇcasi ohlajali 20

Metodologija raziskave v nadzorovanem okolju. Med procesom popuˇsˇcanja dovajamo duˇsik, da ustvarimo inertno atmosfero in prepreˇcimo oksidacijo vzorcev. Na ta naˇcin odpravimo zaostale napetosti, ki so se pojavile pri brizganju vzorcev, saj za meritve striˇzne voljnosti ne ˇzelimo dodatnih napetosti v vzorcih od tiste, ki jo predpiˇsemo. Pogoji popuˇsˇcanja so bili naslednji:

– temperatura popuˇsˇcanja 230°C – ˇcas popuˇsˇcanja 10 h

– ohlajanje 4°C h⁻¹

– prepihovanje z duˇsikom pred gretjem 30 min pri pretoku 2 l/min – prepihovanje z duˇsikom med gretjem pri pretoku 1,5 l/min

Shematski prikaz procesa popuˇsˇcanja nam prikazuje slika 3.2. Po konˇcanem popuˇsˇcanju je sledilo merjenje dimenzij vzorcev. Vzorec je bil pomerjen trikrat po dolˇzini, trikrat po ˇsirini in trikrat po debelini. Mesta merjenja so bila na enem koncu vzorca, sredini in na drugem koncu vzorca, kar nam shematsko prikazuje slika 3.3. Meritve dimenzij so bile nato povpreˇcne po enaˇcbah 3.1, 3.2 in 3.3

L= 1 3

3

∑︂

i=1

L_i, (3.1)

a= 1 3

3

∑︂

i=1

a_i, (3.2)

b= 1 3

3

∑︂

i=1

bi, (3.3)

kjer soL povpreˇcna dolˇzina vzorca, apovpreˇcna ˇsirina vzorca inb povpreˇcna debelina vzorca. Povpreˇcne vrednosti dimenzij posameznih vzorcev so prikazane v tabeli 3.1.

Dolˇzina vzorcev se pri vpetju v reometer nekoliko zmanjˇsa zaradi kovinskih drˇzal. Za vzorec PPS-GF40-1 je bila dolˇzina po vpetju enaka 40,26 mm, za vzorec PPS-GF40-2 pa 32,17 mm.

Preglednica 3.1: Povpreˇcne dimenzije vzorcev.

Vzorec L[mm] a [mm] b [mm]

PPS-GF40-1 46,11 10,16 1,93 PPS-GF40-2 46,08 10,11 1,92

21

Metodologija raziskave

23 230 T [°C]

t [h]

segrev anje

zadrževanje

ohlaja nje

10 h

Slika 3.2: Profil popuˇsˇcanja vzorcev.

Slika 3.3: Shematski prikaz mest merjenja dimenzij vzorca.

3.3 Dinamiˇ cna mehanska analiza

Pred zaˇcetkom merjenja striˇzne voljnosti smo opravili dinamiˇcno mehansko analizo (DMA) za doloˇcitev temperature steklastega prehoda T_g in temperaturne odvisnosti dinamiˇcnih striˇznih modulov. Kljub temu da proizvajalec materiala navaja vrednostT_g 90°C, smo to ˇzeleli dodatno preveriti, saj obratovalna temperatura rotorja prav tako znaˇsa 90°C.

Ker smo tekom magistrske naloge opazili, da imamo pri materialu PPS prisotno anizo- tropijo, ki bo prikazana v poglavju 4, smo ˇzeleli oceniti vrednost statiˇcnega striˇznega modula G. V sploˇsnem se striˇzni modul doloˇci iz torzijskega testa, podobno, kot se natezni modul doloˇci iz nateznega testa. Vendar, ker smo imeli omejen ˇcas in vire, tor- 22

Metodologija raziskave zijskega testa nismo izvedli. V ta namen smo s pomoˇcjo DMA dobili oceno statiˇcnega striˇznega modula G v ˇsirˇsem temperaturnem obmoˇcju.

DMA se uporablja za doloˇcevanje razliˇcnih reoloˇskih lastnosti [17], v naˇsem primeru smo merili striˇzni shranitveni modul G^′, striˇzni modul izgub G^′′ in faktor izgub (ali faktor duˇsenja) tanδ. Vse veliˇcine so merjene v odvisnosti od temperature, zato je mogoˇca ˇse doloˇcitev temperature steklastega prehodaT_g. Ker gre za dinamiˇcno analizo, se meritev izvaja pri konstantni frekvenci in amplitudi, ki pa mora biti znotraj linearne viskoealstiˇcnosti. Amplituda je doloˇcena v obliki striˇzne deformacije γ.

Pogoji meritve so bili naslednji:

– temperaturno obmoˇcje od 55°C do 205°C – konstantna frekvencaf = 1 Hz

– konstantna striˇzna deformacija γ = 0,1 % – hitrost segrevanja 2°C/min

Za meritev smo uporabili rotacijski reometer MCR 702 proizvajalca Anton Paar, ki je prikazan na sliki 3.4.

Slika 3.4: Prikaz vpetja vzorca v reometerAnton Paar MCR 720 z oznaˇcenimi glavnimi komponentami.

Za potrebe meritev vzorec vpnemo v drˇzala temperaturne komore, ki segreva vzorec.

Pri konstantni frekvenci ga nato obremenjujemo s konstantno striˇzno deformacijo. V naˇsem primeru je bila amplituda izbrana tako, da je bilo v celotnem temperaturnem obmoˇcju vedenje materiala znotraj obmoˇcja linearnega viskoelastiˇcnega odziva. Meri- tev je trajala pribliˇzno 83 min. Rezultati, ki smo jih dobili, so bili v obliki:

– G^′ =G^′(T,γkonst.)

23

Metodologija raziskave – G^′′=G^′′(T,γkonst.) – tanδ = tanδ(T,γ_konst.)

Striˇzni shranitveni modul predstavlja elastiˇcni odziv materiala, striˇzni modul izgub pa viskozni odziv. Ker med njima nastopi ˇcasovni zamik, je faktor izgub definiran po enaˇcbi 3.4 [17, 18]:

tanδ= G^′′

G^′ (3.4)

skupni odziv materiala pa predstavlja kompleksni modul po enaˇcbi 3.5:

G^∗ =G^′+iG^′′ (3.5)

Kompleksni modul si lahko predstavljamo kot odboj ˇzogice od tal. Shranitveni modul predstavlja shranjeno kinetiˇcno energijo ˇzogice. Pri odboju ˇzogice od tal pa je modul izgub razlog (poleg upora zraka), da se ˇzogica ne odbije na zaˇcetno viˇsino, s katere smo jo spustili [17]. Zato ob predpostavkah, da je material znotraj linearne viskoela- stiˇcnosti in je modul izgub v primerjavi s shranitvenim modulom zanemarljivo majhen, lahko ocenimo, da je striˇzni shranitveni modul G^′ pribliˇzno enak statiˇcnemu striˇznemu modulu G [18].

Potrditev Tg, ˇce se ta ujema s proizvajalcem, je bila doloˇcena po [19]. Ko opazimo znaten padec vrednosti G^′, to narekuje na zaˇcetek temperature steklastega prehoda.

3.4 Meritev striˇ zne voljnosti

Enako kot DMA meritve je bila tudi meritev striˇzne voljnosti izvedena na rotacijskem reometru MCR 702 Anton Paar. Vzorec je bil vpet na enak naˇcin kot na sliki 3.4.

Pogoji meritve so bili naslednji:

– merjenje pri temperaturah 60°C, 65°C, 70°C, 75°C, 80°C, 85°C, 90°C, 100°C, 110°C, 120°C, 130°C, 140°C, 150°C, 160°C, 170°C, 175°C, 180°C, 190°C in 200°C, – velikost striˇzne napetosti je znaˇsalaτ = 2 MPa.

Reometru smo predpisali dimenzije prereza vzorca in ˇzeleno striˇzno napetost. Naprava potem sama preraˇcuna torzijski moment, ki ustreza dani geometriji in striˇzni napetosti po enaˇcbi 3.6 [20]:

τ = 3M 8ab²

[︄

1 + 0,6095 (︃b

a )︃

+ 0,8865 (︃b

a )︃2

−1,8023 (︃b

a )︃3

+ 0,9100 (︃b

a )︃4]︄

(3.6) kjer je M torzijski moment obremenjevanja, a ˇsirina prereza vzorca in b debelina prereza vzorca.

V prvi fazi meritve izvedemo temperiranje vzorca. Postopek traja 2 h. S tem doseˇzemo, da je temperatura po celotnem vzorcu konstantna in enakomerno porazdeljena. V drugi fazi se izvede obremenitev. Reometer hipno obremeni vzorec v ˇcasu 0,1 s s torzijskim momentom. Vzorec je obremenjen s konstantnim momentom ves ˇcas meritve, ki traja 24

Metodologija raziskave 1 h. Pred novim segrevanjem razbremenimo vzorec nato sledi segrevanje in temperi- ranje pri novi temperaturi in zopet hipna obremenitev. Postopek se ponavlja, dokler ne doseˇzemo konˇcne temperature 200°C. Meritev segmenta pri eni temperaturi tako traja 3 h. Shematski prikaz poteka meritve lahko vidimo na sliki 3.5.

Zaradi termiˇcnega raztezanja se dimenzija vzorca med segrevanjem spreminja. Da kompenziramo raztezanje, je zgornja ˇceljust, na katero je vpet vzorec, prosto gibljiva v vzdolˇzni smeri vzorca. ˇCeljust ves ˇcas meri notranjo osno silo vzorca in z vertikal- nim pomikom ˇceljusti zagotavlja, da je njena vrednost ˇcim bliˇzje 0 N. Na ta naˇcin se izognemo vnosu dodatnih termiˇcnih napetosti zaradi vpetja in raztezanja vzorca. Med samo obremenitvijo reometer meri zasuk vzorca v odvisnosti od ˇcasa, tega pa nato ob uporabi Hookovega zakona preraˇcuna v ustrezno striˇzno deformacijo. Na koncu striˇzno deformacijo v vsaki toˇcki ˇcasa delimo s konstantno vrednostjo striˇzne nape- tosti in dobimo podatek o striˇzni voljnosti. Tako dobljene segmente smo s pomoˇcjo programa CFS, razvitega na Centru za eksperimentalno mehaniko [7, 8], zdruˇzili v su- marno krivuljo pri referenˇcni temperaturi 90°C. Nadalje smo s pomoˇcjo programa Interconversion z Emri-Tschoegl metodo [21] in sumarno krivuljo dobili parametre Pronyjeve vrste. Ker namen magistrske naloge ni podrobnejˇsa obravnava metode za pridobivanje parametrov, ampak analizirati industrijski izdelek, se podrobneje v samo metodo ne bomo spuˇsˇcali, ampak bomo privzeli, da je bil to dan materialni podatek, pridobljen iz meritev opisanih v tem poglavju.

obremenitev, merjenje zasuka

obremenitev, merjenje zasuka

obremenitev, merjenje zasuka

60 70

65 200 T [°C]

temperiranje

temperiranje

temperiranje

3 h t [h]

F [N]

merjenje osne sile 0 in pomik glave

Slika 3.5: Profil meritve striˇzne voljnosti.

3.4.1 Analitiˇ cni preraˇ cun striˇ znega modula

Iz dobljenih meritev zasuka vzorca v ˇcasu smo ˇzeleli analitiˇcno izraˇcunati, kakˇsna je vrednost statiˇcnega striˇznega modula, ter jo primerjati z oceno iz DMA meritve. Pred- postavili smo, da prva meritev pri merjenju striˇzne voljnosti predstavlja takojˇsen, ela- 25

Metodologija raziskave

stiˇcen odziv materiala, torej odziv, kjer dimenzija ˇcasa ˇse nima vpliva. Uporabili smo enaˇcbo 3.7 [20]:

φ= M L

KG (3.7)

kjer je φ zasuk vzorca, M torzijski moment obremenjevanja, L dolˇzina vzorca, G statiˇcni striˇzni modul in K lastnost prereza, definirana po enaˇcbi 3.8 [20]:

K =ab³ [︃16

3 −3.36b a

(︃

1− b⁴ 12a⁴

)︃]︃

. (3.8)

Iz enaˇcbe 3.7 smo izraziliG in tako dobili vrednost statiˇcnega striˇznega modula.

3.5 Numeriˇ cna simulacija

Priprava numeriˇcnega modela zahteva veˇc korakov. V naˇsi nalogi smo sledili korakom, ki so prikazani na sliki 3.6.

Slika 3.6: Glavni koraki pri analizi MKE.

V naˇsem primeru smo za pripravo numeriˇcnega modela uporabili programsko okolje Hyper Mesh (HM) podjetjaAltair. Za reˇsevanje problema je bil uporabljen program- ski paket Abaqus podjetja Dassault Syst´emes. Za analizo rezultatov pa sta bila upo- rabljena programska okolja Hyper View in Hyper Graph2D, prav tako podjetja Altair.

Modeliranje geometrijskega modela vzorca pa je bilo izvedeno v okolju Solid Works podjetja Dassault Syst´emes.

3.5.1 Simulacija eksperimenta

3.5.1.1 Geometrija

Po uvozu geometrije iz Solid Worksa v Hyper Mesh smo morali nastaviti profil. Ker smo numeriˇcni model reˇsevali vAbaqusu, je bil to tudi izbrani profil, prikazan na sliki 3.7.

26

Metodologija raziskave

Slika 3.7: Izbira ustreznega profila v HM.

Dodatne poenostavitve pri geometriji niso bile potrebne, saj smo imeli preprosto ge- ometrijo: vzorec pravokotnega prereza in viˇsine. Ker nam reometer da podatek o termiˇcnem raztezanju vzorca po dolˇzini s tem, ko vertikalno premika zgornjo glavo in vzdrˇzuje normalno osno silo v vzorcu enako 0 N, je bila dolˇzina vzorca za modeliranje enaka 40,29 mm. Takˇsno modeliranje nam je omogoˇcilo, da vzorca med samo simula- cijo ni potrebno segrevati in mu predpisati koeficienta termiˇcnega raztezka. S tem se izognemo vnosu dodatnih termiˇcnih napetosti v vzorec med samo simulacijo.

3.5.1.2 Material

Modelu smo definirali naslednje lastnosti za material PPS:

– gostoto,

– podatka izotropne elastiˇcnosti modul elastiˇcnosti in Poissonov koliˇcnik, – viskoelastiˇcne podatke v obliki parametrov Pronyjeve vrste.

Modul elastiˇcnosti je bil definiran na dva naˇcina. V prvem naˇcinu smo uporabili vre- dnost proizvajalca materiala, ki znaˇsa 12 954 MPa pri 90°C. V drugem naˇcinu pa smo uporabili vrednost, ki je bila enaka vrednosti statiˇcnega striˇznega modula pri 90°C iz DMA meritve, pri ˇcemer smo uporabili zvezo 3.9 [22, 23]:

E = 2G(1 +ν) (3.9)

kjer jeE modul elastiˇcnosti,G statiˇcni striˇzni modul inν Poissonov koliˇcnik. Dobljena vrednost je bila enaka 7630 MPa. Enaˇcba 3.9 sicer velja za izotropne materiale. Pri njeni uporabi smo se tega zavedali, vendar je bil to naˇcin, da dobimo vrednost E iz DMA meritve.

27