Sestavljanjeˇsportneekipezuporabolinearnegaprogramiranja RokKozamernik

(1)

Univerza v Ljubljani

Fakulteta za raˇ cunalniˇ stvo in informatiko

Rok Kozamernik

Sestavljanje ˇ sportne ekipe z uporabo linearnega programiranja

DIPLOMSKO DELO

UNIVERZITETNI ˇSTUDIJSKI PROGRAM PRVE STOPNJE

RA ˇCUNALNIˇSTVO IN INFORMATIKA

Mentor : doc. dr. Luka F¨ urst

(2)

Izvorna koda diplomskega dela, njeni rezultati in v ta namen razvita program- ska oprema je ponujena pod licenco GNU General Public License, razliˇcica 3 (ali novejˇsa). To pomeni, da se lahko prosto distribuira in/ali predeluje pod njenimi pogoji. Podrobnosti licence so dostopne na spletni strani http://www.gnu.org/

licenses/.

Besedilo je oblikovano z urejevalnikom besedil L^ATEX.

(3)

Kandidat: Rok Kozamernik

Naslov: Sestavljanje ˇsportne ekipe z uporabo linearnega programiranja Vrsta naloge: Diplomska naloga na univerzitetnem programu prve stopnje Raˇcunalniˇstvo in informatika

Mentor: doc. dr. Luka F¨urst

Opis:

Razvijte metodo za sestavljanje ˇsportne ekipe z uporabo linearnega programiranja in jo preizkusite na realnih podatkih.

Title: Selecting a sports team using linear programming Description:

Develop a method for selecting a sports team using linear programming and

(4)

(5)

Zahvaljujem se profesorjem in asistentom, ki so mi tekom ˇstudija omogoˇcili kvalitetno izobraˇzevanje, me navdihovali ter pomagali pri izdelavi diplomske naloge. Zahvaljujem se tudi soˇsolcem, ki so mi med ˇstudijem stali ob strani ter mi v teˇzkih trenutkih nesebiˇcno priskoˇcili na pomoˇc. Najveˇcja zahvala gre druˇzini, ki me je stalno spodbujala in mi nudila vse potrebno, da sem lahko

(6)

(7)

Kazalo

Povzetek Abstract

1 Uvod 1

2 Pregled podroˇcja 3

3 Pojem dobre ekipe 5

4 Opis uporabljenih metod 9

4.1 Formulacija problema . . . 9

4.2 Predstavitev atributov . . . 12

4.3 Metode za izraˇcun koristnosti . . . 14

4.4 Omejitve . . . 18

5 Implementacija programa 23 5.1 Priprava podatkov . . . 23

5.2 Nastavitev omejitev . . . 25

5.3 Pridobitev reˇsitve . . . 25

6 Analiza rezultatov 29 6.1 Sestava ekipe iz samo enega igralca . . . 29

6.2 Sestava ekipe iz veˇc igralcev . . . 31

(8)

(9)

Seznam uporabljenih kratic

kratica angleˇsko slovensko

ILP integer linear programming celoˇstevilsko programiranje MIP mixed integer programming meˇsano celoˇstevilsko progra-

miranje

EPL English Premier League angleˇska prva nogometna liga UCL UEFA Champions league Liga prvakov pod okriljem

(10)

(11)

Slovar pojmov

pojem razlaga

Vratar Igralec, ki brani vrata (pogovorno tudi golman) Branilec Igralec v obrambi ekipe

Vezist Igralec sredine igriˇsˇca (med obrambo in napadom) Napadalec Igralec napadalne linije

(12)

(13)

Povzetek

Naslov: Sestavljanje ˇsportne ekipe z uporabo linearnega programiranja Avtor: Rok Kozamernik

Sestava optimalne ekipe ob upoˇstevanju podanih omejitev je zahteven problem celo za veˇsˇce in izurjene oˇci, zato njegova reˇsitev za ˇsportne institucije predstavlja veliko dodano vrednost. Pokazali bomo, da lahko razliˇcico problema z eno samo omejitvijo preslikamo na bolj znani problem nahrbtnika (angl. Knapsack problem), za katerega ˇze obstajajo metode reˇsevanja. Pred- stavili bomo metodo za ocenjevanje kakovosti ˇsportnika in celotne ekipe, uvedli pristop linearnega programiranja in predstavili lasten program v pro- gramskem okolju Python, ki iz podatkovne mnoˇzice veˇc deset tisoˇc igralcev sestavi optimalno ekipo. Zaznali bomo nekatere zakonitosti, ki jih beˇzni spremljevalec ˇsporta morda ne bi spoznal, med njimi npr. prenizko vrednotenje izkuˇsenih igralcev ali previsoko vrednotenje igralcev v EPL. Pridobljene rezultate bomo ocenili ter primerjali z obstojeˇcima, v svetu ˇsporta konku- renˇcnima ekipama. Ugotovili bomo, da so reˇsitve programa smiselne in da je kakovost sestavljene ekipe odvisna predvsem od ˇstevila in strogosti podanih omejitev (manj omejitev nam omogoˇca sestavo boljˇse ekipe in obratno).

Kljuˇcne besede: ˇsport, celoˇstevilsko programiranje, omejitve, problem na-

(14)

(15)

Abstract

Title: Selecting a sports team using linear programming Author: Rok Kozamernik

Since the problem of forming an optimal team subject to given constraints is demanding even for skilled and trained eyes, a solution to it represents a great added value to sports institutions. We show that the single-constraint version of the problem is equivalent to the better known knapsack problem, for which there are already methods to solve it. We present a method for assessing the quality of a single player and the entire team, introduce a linear programming approach, and present our own program written in the Python software environment that forms an optimal team from a data set of tens of thousands of players. We evaluate the obtained results and compare them with the existing teams competing in the world of sports. We find out that the results produced by the program make sense and that the quality of the composed team depends mainly on the number and severity of the given constraints (fewer constraints enable us to form a better team and vice versa). Furthermore, we discover a few rules that a casual sports fan might now know, among them, e. g., underestimation of experienced players or overestimation of players in the EPL.

Keywords: sports teams, integer linear programming, constraints, limita-

(16)

(17)

Poglavje 1 Uvod

V nogometu so bile zmage najpomembnejˇse ˇze od samih zaˇcetkov, s priho- dom sponzorjev, podjetij in tujega kapitala v lastniˇstvo klubov pa so postale neloˇcljivo povezane z denarjem. Finanˇcni vidiki klubov so danes pomemb- nejˇsi kot kadarkoli prej. Z moˇznostjo, da klubi pridobijo informacije o moˇznih okrepitvah, ki so finanˇcno dosegljive, in da iz mnoˇzice dosegljivih igralcev iz- berejo (za svoje potrebe) najboljˇse, lahko zmanjˇsajo verjetnost slabega in poveˇcajo verjetnost dobrega nakupa ter tako pripomorejo k zdravemu fi- nanˇcnemu stanju in tekmovalnim uspehom. Zdravo finanˇcno stanje je ˇse kako pomembno tudi zaradi dejstva, da so klubi pod budnim oˇcesom institu- cij, ki preverjajo in regulirajo njihovo zapravljanje [8], najsibo to za prestope igralcev ali njihove plaˇce. Temu pogovorno reˇcemo finanˇcni “fair play”, ki je tudi razlog, da izjemno bogati klubi ne pokupijo kar vseh najboljˇsih in poslediˇcno najdraˇzjih nogometaˇsev sveta naenkrat.

Z zavedanjem, da ˇzelimo reˇsiti problem maksimizacije ˇsportnega uspeha in minimizacije stroˇskov, izberemo metode, s katerimi se obiˇcajno lotimo takˇsne problemske domene. Tovrstne metode so ˇze v uporabi na veˇc razliˇcnih podroˇcjih (industrija, letalstvo, medicina), manj pa na podroˇcju ˇsporta, zato lahko prispevamo k zapolnitvi te vrzeli. Pojem maksimizacije nas pri tem vodi v izbiro metode za optimizacijo funkcije, s katero izbiramo nogometaˇse, kaj kmalu pa ugotovimo, da je naˇsa problemska domena v razliˇcici z eno

(18)

2 Rok Kozamernik samo omejitvijo enaka problemu nahrbtnika (angl. knapsack problem) [14], v razliˇcici s poljubno mnogo omejitvami pa gre za sploˇsnejˇsi problem linearne optimizacije. Na podlagi tega smo se odloˇcili za uporabo metod linearnega programiranja.

Cetudi nam s pomoˇˇ cjo raˇcunalniˇskih algoritmov ne uspe sestaviti naj- boljˇse moˇzne ekipe, se lahko temu cilju precej pribliˇzamo, kar bi radi v di- plomski nalogi tudi dosegli. Rezultati diplomske naloge bi koristili ˇsportnim organizacijam — klubom in njihovim ekipam, saj bi s tem poveˇcali moˇznosti za njihov uspeh, pri ˇcemer bi se ob sestavi ekipe vnaprej omejili na viˇsino sredstev, ki so jih klubi pripravljeni porabiti.

(19)

Poglavje 2

Pregled podroˇ cja

Sestavljanje najboljˇse moˇzne ekipe z izbiranjem najboljˇsih razpoloˇzljivih igralcev v ekipnih ˇsportih je ob razliˇcnih omejitvah, ki jih sreˇcamo, izredno teˇzka naloga. ˇZe samo dejstvo, da profesionalne ekipe v razliˇcnih ˇsportih za igralce zapravljajo po veˇc milijonov evrov, nam pove, da se letvica finanˇcnih zmoˇznosti v ˇzelji po uspehu stalno dviguje.

Podroˇcje sestavljanja optimalne ekipe je predmet raziskav, ki temeljijo na razliˇcnih motivih, od motiva za sestavo najboljˇse raziskovalne ekipe [13]

do najboljˇse ekipe v kriketu [10] ali najboljˇse koˇsarkarske ekipe [17], torej je spekter podroˇcij, kjer se sestavlja optimalna ekipa, velik. Motivi torej ne izvirajo zgolj iz ˇsportnega, ampak tudi iz znanstvenega in ˇse katerega podroˇcja.

Izbira metode, s katero bomo reˇsevali problem sestave optimalne ekipe z omejitvami, temelji na podrobnejˇsem vpogledu v naˇso problemsko domeno;

sestavljamo ekipo, torej izbiramo igralce, ki sestavljajo optimalno ekipo, vsak igralec pa je izbran glede na svoje lastnosti in vrednost. Vse igralˇceve lastnosti bomo predstavili v poglavju 4.2. Pri tem se lahko zgledujemo po razi- skovalnem delu P´erez-Toledana in sod. [17], ki nam poda odliˇcen vpogled v sestavo ekipe in predstavi naˇcin za vrednotenje igralcev, po zgledu katerega ocenjujemo igralce v naˇsi nalogi. Pri tem se ne omejimo na specifiˇcen eki-

(20)

4 Rok Kozamernik pni ˇsport, temveˇc predstavimo sploˇsno metodologijo, ki se lahko uporabi pri poljubnem ekipnem ˇsportu ali tudi na katerem drugem podroˇcju.

Pri reˇsevanju naˇsega problema je kljuˇcna ocena igralcev, ki sestavljajo ekipo. Primer uporabe ocene igralcev je t.i. PIR (Player Index Rating), ki se uporablja v koˇsarki [17] in predstavlja najbolj priznano mero ocene kakovosti koˇsarkarja. Za reˇsevanje naˇsega problema prav tako potrebujemo oceno igralca. Ta mora biti za potrebe algoritma ˇstevilske narave, zato se lahko zgledujemo po indeksu PIR. V poglavju 4.3 bomo predstavili metode, s katerimi bomo ocenili igralce iz naˇse podatkovne mnoˇzice, kar bo predpogoj za uporabo izbrane metode sestavljanja optimalne ekipe.

Problem, ki ga reˇsujemo v diplomskem delu, lahko definiramo takole:

• Maksimizirati ˇzelimo skupno kakovost ekipe.

• Pri tem imamo omejena finanˇcna sredstva, kar predstavlja glavno omejitev.

• Poleg finanˇcne omejitve lahko podamo poljubne druge omejitve, ki so zahtevane pri sestavi ekipe (glede na pravilnike tekmovanj itd.).

Za reˇsevanje opisanega problema bomo uporabili pristop s podroˇcja celo- ˇstevilskega linearnega programiranja (angl. Integer Linear Programming, ILP) [13], saj gre za linearni problem: omejitve, ki nastopajo v problemu, lahko predstavimo kot linearne neenaˇcbe, o ˇcemer bomo govorili v poglavju 5.2.

Izbrani pristop bomo podrobneje predstavili v poglavju 4, kjer bomo problem sestave optimalne ekipe opredelili tudi matematiˇcno.

(21)

Poglavje 3

Pojem dobre ekipe

Cilji v ekipnih ˇsportih so med ekipami razliˇcni. Veliko ekip tekmuje s ciljem osvojiti karseda veliko lovorik, nekatere ekipe pa skozi tekmovanja razvijajo mlade igralce, ki jih kasneje prodajo v veˇcje in bogatejˇse klube. Sploˇsno gledano tako ne obstaja naˇcin, kako bi lahko enoznaˇcno opredelili, katera ekipa je boljˇsa in katera slabˇsa; naˇs odgovor temelji na definiciji, kaj za nas dejansko predstavlja dobro ekipo, zato je problem neizbeˇzno pogojen s subjektivnimi cilji.

V diplomskem delu bomo predpostavili, da je naˇs cilj sestaviti ekipo, ki je najbolj konkurenˇcna v tekmovanjih, v katerih nastopa. To pomeni, da ˇzelimo sestaviti ekipo, ki lahko osvoji ˇcim veˇc lovorik, za to pa potrebuje najboljˇse moˇzne igralce. Glede na to, da ima vsak trener ekipe svojo taktiko, miselnost in slog igre, hitro ugotovimo, da lahko sestavi povsem drugaˇcno ekipo kot ostali trenerji, tudi ˇce bi vsi imeli na voljo poljubne igralce in neomejena finanˇcna sredstva. Za laˇzje razumevanje si oglejmo dva hipotetiˇcna trenerja.

Trener, ki v obrambi goji agresivno igro s pokrivanjem nasprotnika po celotnem igriˇsˇcu s hitrim zapiranjem prostora za morebitne podaje (nem.

“gegenpres” [9], slika 3.1), zahteva, da vedno, ko ima posest ˇzoge nasprotnik, njegovi igralci napadajo tistega, ki je pri ˇzogi. S tem mu onemogoˇcajo razvoj igre in ne dovolijo, da na enostaven naˇcin pride do nevarne priloˇznosti za gol.

(22)

6 Rok Kozamernik Pri tem je kljuˇcno, da igralci kolektivno sodelujejo pri izvajanju pritiska na nasprotnika na celotnem igriˇsˇcu, saj lahko ˇze ena napaka (zamujanje zapi- ranja ene potencialne linije podaje) povzroˇci prevzemanje obrambnih nalog soigralcev, zaradi ˇcesar:

• ima nasprotnik, ki je pri ˇzogi, veˇc prostora in poslediˇcno veˇc ˇcasa, da najde prostega soigralca in/ali ogrozi nasprotnikov gol;

• morajo obrambni igralci veˇc teˇci in se bolj truditi za zapiranje prostora nasprotniku, za kar porabijo veˇc energije in se bolj utrudijo, to pa vodi v hitrejˇsi padec koncentracije in ˇse slabˇse izvajanje obrambnih nalog (t.i. “domino efekt”);

• ostane prosta vsaj ena linija za podajo soigralcem, kar v doloˇcenem trenutku lahko predstavlja (morda kritiˇcno) ˇsibkost v obrambi.

Trener zato za uˇcinkovito in dobro izvedbo svoje taktike potrebuje igralce, ki so sposobni izvajati naloge, ki jih od njih zahteva. Lastnosti, ki jih trener pri takˇsnem igralcu postavlja v ospredje, so npr. agresivnost, visoka ekipna mentaliteta (t.j. da igralec ni egoistiˇcen, temveˇc vedno deluje za ekipno dobro), dobra kondicija (takˇsna obramba namreˇc zahteva veliko teka), visoka stopnja koncentracije, hitrost in ˇse kaj drugega.

Slika 3.1: Primer taktike gegenpress, Liverpool — Man. City [15]

Kontrast temu primeru bi predstavljal trener, ki v obrambi nasprotniku dovoljuje veliko prostora daleˇc od gola, v neposredni bliˇzini gola pa strne

(23)

Diplomska naloga 7 vrste in nasprotniku ne dovoljuje prehoda ˇzoge v obrambno tretjino. Takˇsna taktika ima priljubljeno ime “bunker” (it. catenaccio [1], slika 3.2). Tukaj lahko prevelika agresivnost doloˇcenega obrambnega igralca povzroˇci razpad obrambne linije, kar nasprotniku omogoˇci, da brez veˇcjih teˇzav izvede ne- varen napad. Igralci, ki ustrezajo takˇsnemu taktiˇcnemu slogu, imajo dobro koncentracijo, postavljanje v obrambi, niso nujno hitri, zelo pa pomaga, ˇce so visoki in skoˇcni; takˇsna taktika nasprotniku omogoˇca prosto igro daleˇc od gola in ne dovoljuje prehoda ˇzoge v bliˇzino gola. Tako ima nasprotnik v osnovi dve moˇznosti za dosego zadetka:

• strel od daleˇc, ki je tehniˇcno zelo zahteven, zato ne predstavlja velike nevarnosti za obrambo;

• predloˇzki pred gol, na katere ˇcakajo visoki nasprotnikovi napadalci.

Ce so v ekipi visoki obrambni igralci, je izvedba nevarnih napadov s pre-ˇ dloˇzki pri nasprotnikih zelo omejena, saj obramba vsak predloˇzek ubrani.

Slika 3.2: Primer taktike catenaccio, Watford — Liverpool [18]

Kot lahko vidimo, se vselej vraˇcamo na zaˇcetno ugotovitev: naˇsa osnova pri sestavi ekipe je vedno taktiˇcna usmerjenost trenerja in njegovih prefe- renc, kar se tiˇce igralcev. Ko uporabniku algoritma omogoˇcimo, da igralcem glede na igralni poloˇzaj sam doloˇci uteˇzi lastnosti, ki so zanj pomembne, in

(24)

8 Rok Kozamernik dobre ekipe, saj v tem primeru ekipo ocenjujemo glede na skupno koristnost, ki je predstavljena z vsoto koristnosti vseh igralcev v ekipi. Naj od te toˇcke naprej skupna koristnost ekipe predstavlja osnovo za ocenjevanje, kako dobra je ekipa. Pomembno je dodati, da se tudi naˇcin izraˇcuna koristnosti posa- meznega igralca lahko spremeni, je pa sprememba stvar empiriˇcnih analiz na podlagi primerjave sestavljenih ekip ter doseˇzkov ekip v bliˇznji preteklo- sti in/ali prihodnosti. Kljuˇcno je, da je skupna koristnost predstavljena kot ˇstevilska vrednost in da velja, da veˇcja skupna koristnost predstavlja boljˇso ekipo in obratno.

(25)

Poglavje 4

Opis uporabljenih metod

Naˇso ekipo ˇzelimo sestaviti iz igralcev na takˇsen naˇcin, da bo skupna koristnost karseda velika. Oˇcitno gre v tem primeru za maksimizacijski problem, saj ˇzelimo maksimizirati omenjeno koristnost.

4.1 Formulacija problema

Problem lahko matematiˇcno opredelimo na naslednji naˇcin:

• imamo seznamN igralcev (dvojiˇski indikator, ki pove, kateri igralec je izbran in kateri ne)

x₁, x₂, x₃, ..., x_n∈0,1

• z njihovimi vrednostmi (cenami)

y₁, y₂, y₃, ..., y_N ∈Z⁺

• in njihovo koristnostjo

z₁, z₂, z₃, ..., z_N ∈Z

• naˇs proraˇcun za ekipo pa znaˇsa

P RORACU Nˇ ∈Z⁺ .

(26)

10 Rok Kozamernik Maksimizirati ˇzelimo funkcijo, ki doloˇci skupno koristnost ekipe:

x₁z₁+x₂z₂+...+x_Nz_N =

N

X

i=1

x_iz_i

Pri tem moramo paziti, da ne preseˇzemo proraˇcuna:

N

X

i=1

x_iy_i ≤P RORACU Nˇ Kot vidimo, za reˇsitev problema opredelimo:

• seznam elementov (igralcev);

• seznam koristnosti elementov;

• seznam vrednosti elementov;

• seznam omejitev, ki jih moramo upoˇstevati.

Pot do reˇsitve doloˇca mnoˇzica linearnih neenaˇcb. Gre torej za celoˇstevilski linearni problem, ki je v primeru ene same omejitve (t.j. proraˇcuna) predstavljen na enak naˇcin kot bolj znani problem nahrbtnika [2]. Proraˇcun, ki ga imamo na voljo, namreˇc ustreza prostornini nahrbtnika, cene oz. vrednosti igralcev (t.j. vrednosti njihovih pogodb) ustrezajo prostorninam posameznih predmetov, koristnosti igralcev pa cenam predmetov. Pri problemu nahrbtnika maksimiziramo vsoto cen izbranih predmetov pri podani omejitvi skupne prostornine, pri problemu sestavljanja ekipe pa maksimiziramo skupno koristnost izbranih igralcev pri podani omejitvi proraˇcuna.

Oglejmo si primer. V tabeli 4.1 je podan seznam igralcev ter njihovih koristnosti in vrednosti pogodb. Naj omejitev proraˇcuna znaˇsa 13.

Cilj problema je maksimizacija koliˇcine

(27)

Diplomska naloga 11

Igralec 1 2 3 4 5

Koristnost 4 3 1 15 5 Vrednost pogodbe 3 3 9 5 2

Izbran 1 1 0 1 1

Tabela 4.1: Tabelariˇcni prikaz lastnosti igralcev.

Izbran(x₁)·Koristnost(x₁) +Izbran(x₂)·Koristnost(x₂)+

Izbran(x₃)·Koristnost(x₃) +Izbran(x₄)·Koristnost(x₄)+

Izbran(x₅)·Koristnost(x₅) Ob upoˇstevanju omejitve

Izbran(x₁)·P ogodba(x₁) +Izbran(x₂)·P ogodba(x₂)+

Izbran(x3)·P ogodba(x3) +Izbran(x4)·P ogodba(x4)

Izbran(x₅)·P ogodba(x₅)≤P RORACU Nˇ (4.1) Reˇsitev primera je ekipa, sestavljena iz igralcev 1, 2, 4 in 5. Skupna vrednost pogodb izbranih igralcev znaˇsa 13, kar je vrednost celotnega proraˇcuna, skupna koristnost pa znaˇsa 27. Nobena druga ekipa nima veˇcje skupne koristnosti in pri tem ne krˇsi omejitve proraˇcuna.

V tem primeru podamo samo eno omejitev, t.j. omejitev proraˇcuna. Kot bomo videli, se v realnosti praviloma sreˇcamo z veˇc omejitvami, takˇsnega problema pa ne moremo veˇc obravnavati kot problem nahrbtnika. Pristop z dinamiˇcnim programiranjem, s katerim reˇsujemo problem nahrbnika, bi torej zadoˇsˇcal le za problem sestavljanja ekipe z eno omejitvijo (omejitvijo proraˇcuna), pri veˇc omejitvah pa moramo poseˇci po sploˇsnejˇsih metodah

(28)

12 Rok Kozamernik

4.2 Predstavitev atributov

Igralˇceve atribute razdelimo v ˇstiri kategorije:

• fiziˇcni atributi

• mentalni atributi

• tehniˇcni atributi

• vratarski atributi

Fiziˇcni atributi predstavljajo fiziˇcne lastnosti igralcev. To so konˇcna hitrost, pospeˇsek (kako hitro igralec pospeˇsi do konˇcne hitrosti), fiziˇcna moˇc, kondicija in doseg v skoku (kako visoko lahko igralec z glavo udari ˇzogo).

Znanstveniki so s pomoˇcjo analiz in raziskav ugotovili, da so fiziˇcne lastnosti igralca na vrhuncu, ko je star pribliˇzno 25 let [6]. Med skupaj 28 atributi imamo le 5 fiziˇcnih atributov (najmanj med vsemi kategorijami).

Mentalni atributi predstavljajo psiholoˇske lastnosti igralcev, ki na prvi pogled zunanjemu opazovalcu niso najbolj oˇcitne. ˇCe pa si ogledamo igralˇcevo podrobno statistiko daljˇsega obdobja oziroma veˇc odigranih tekem, opazimo vzorce, ki definirajo tako njegov igralni slog kot tudi njegove mentalne sposobnosti. Med tovrstne sposobnosti sodijo delovna vnema (kako intenzivno igralec trenira, deluje v ekipi), prisebnost (odziv igralca na stresne situacije), zbranost, vizija (kako dobro opazi proste soigralce na igriˇsˇcu), agresivnost, postavljanje na igriˇsˇcu, gibanje brez ˇzoge (kako dobro izkoriˇsˇca prazne pro- store na igriˇsˇcu in se ponuja za podajo ali priloˇznost), odloˇcanje (kako dobro sprejema odloˇcitve med igro), ekipna naravnanost (v kolikˇsni meri deluje za ekipno dobro), pokrivanje igralcev (kako dobro sledi nasprotniku v obrambi) in vodstvene sposobnosti. Znaˇcilnost mentalnih atributov je, da se s starostjo igralca izboljˇsujejo. Igralec postaja vse bolj inteligenten in izkuˇsen, zato obstaja pozitivna korelacija med starostjo igralca in njegovimi mentalnimi atributi. Izmed 28 atributov jih v to kategorijo spada 11.

(29)

Diplomska naloga 13 Tehniˇcni atributi predstavljajo igralˇceve tehniˇcne sposobnosti. To so inovativnost z ˇzogo (kakˇsne trike lahko igralec z ˇzogo izvaja, lahko tudi raznovr- stnost trikov), predloˇzki (kako dobre in natanˇcne predloˇzke igralec namenja soigralcem), dribling (sposobnost preigravanja nasprotnika), zakljuˇcevanje pred golom, izvajanje prostih strelov, igra z glavo (kako dober je igralec pri udarjanju ˇzoge z glavo), streljanje od daleˇc, podajanje, tehnika (tehnika udarca ˇzoge, tehnika upravljanja ˇzoge), drseˇci ˇstarti (kako uspeˇsen je igralec pri izvedbi drseˇcih ˇstartov, s katerimi nasprotniku izbije ˇzogo iz nog), prvi dotik ˇzoge (sposobnost igralca, da ˇzogo nadzira takoj ob prejeti podaji) in izvajanje udarcev iz kota. Prav tako kot mentalni atributi so tudi tehniˇcni atributi v primerjavi s fiziˇcnimi bolj abstraktni, s starostjo igralca pa tudi ne slabijo, temveˇc se v veliki veˇcini primerov ˇse izboljˇsujejo. Takˇsnih atributov je v naˇsi podatkovni zbirki za vsakega igralca 12 (najveˇc med vsemi kategorijami atributov).

Zadnjo kategorijo sestavljajo vratarski atributi. To so atributi, specifiˇcni za igralno pozicijo vratarja, in se pri t.i. igralcih v polju ne pojavijo. Ti atributi so zraˇcni doseg (kako visoke ˇzoge lahko vratar z rokami prevzame in ujame), nadzor vratarjevega prostora (kako verjetno je, da vratar skoˇci na visoke ˇzoge v svojem kazenskem prostoru), komunikacija (z branilci in obrambno linijo svoje ekipe), igra ena na ena (kako dobro brani priloˇznost nasprotnika, ki se znajde sam pred vratarjem), refleksi (instinktivni odziv na branjenje nasprotnikovih strelov), izvajanje prostih udarcev (natanˇcnost dolgih podaj iz prostih udarcev), metanje ˇzoge (kako natanˇcno vrˇze ˇzogo) in teˇznja iztekanja iz gola (kako uspeˇsno se odloˇca za prestrezanje ˇzog izven svojega kazenskega prostora). Teh atributov je 8, poleg njih pa za vratarje veljajo tudi vsi fiziˇcni atributi ter nekaj tehniˇcnih in mentalnih. Nekateri tehniˇcni in mentalni atributi za vratarjevo igro niso kljuˇcni in jih za potrebe diplomske naloge lahko zanemarimo.

Atributi so pridobljeni iz raˇcunalniˇske igre Football Manager 2020 [19],

(30)

14 Rok Kozamernik zbranih 8 fiziˇcnih atributov, 14 mentalnih in tehniˇcnih atributov ter 11 vratarskih atributov, skupaj torej 47 atributov, vsak od njih pa zavzema ˇstevilsko vrednost na intervalu od 0 (zelo slabo) do 20 (odliˇcno). Za potrebe diplomske naloge je povsem dovolj, da se osredotoˇcimo le na nekaj kljuˇcnih atributov, seveda pa velja, da veˇc atributov kot upoˇstevamo, bolj natanˇcno lahko izraˇcunamo koristnost vsakega igralca, poslediˇcno pa lahko tudi bolj natanˇcno razlikujemo med seboj zelo podobne igralce.

4.3 Metode za izraˇ cun koristnosti

Marsikdo je s prijatelji najbrˇz ˇze razpravljal glede tega, kateri igralec je najboljˇsi. Zgodi se, da vsak na svoj naˇcin oceni, kako dober je kateri igralec, njegova ocena pa temelji na veˇc kriterijih. Nekdo bi morda rekel, da je igralec A najboljˇsi, ker prispeva najveˇc zadetkov za svojo ekipo, spet drugi bi rekel, da je igralec B boljˇsi, ker je v karieri osvojil veˇc lovorik itd. Nikakor ne moremo trditi, da se kdo od njih moti. Enako se zgodi, ˇce istega igralca predstavimo dvema trenerjema. Trenerju A se igralec morda zdi boljˇsi kot trenerju B, ker poseduje lastnosti, ki jih potrebuje njegova ekipa.

Ce odloˇˇ cevalcu omogoˇcimo, da z doloˇceno uteˇzjo oceni, kako pomemben mu je posamezen igralˇcev atribut, se izognemo problemu subjektivnosti. V tem primeru bo trener, ki goji hitro igro z veliko teka, v ospredje raje postavil hitrega igralca z veliko kondicije kot pa poˇcasnega igralca, ki je sicer morda boljˇsi v drugih prvinah, a te za trenerja niso tako pomembne.

Ce imamo za igralca podan seznam atributov (to so lahko bodisi kvan-ˇ tificirane vrednosti igralˇcevih lastnosti bodisi statistiˇcni podatki preteklih tekem) in njihovih vrednosti, lahko posameznim atributom dodelimo uteˇzi in s tem predstavimo, kako pomemben je doloˇcen atribut za nas. Naj navedemo primer:

• Podan je igralec,

(31)

Diplomska naloga 15

• ki ima atribute

A₁ = 30, A₂ = 70, A₃ = 64, A₄ = 90, A₅ = 37, A₆ = 58

• z uteˇzmi

U(A1) = 2, U(A2) = 3, U(A3) = 4, U(A4) = 3, U(A5) =−1, U(A6) = 0 .

Iz podanih uteˇzi atributov lahko sklepamo, da je za nas najbolj pomemben atributA₃ z uteˇzjo 4, sledijo pa mu atributi A₄, A₂, A₁, A₆, A₅.

Uteˇz atributaA₆ima vrednost 0, kar pomeni, da nam (kot ocenjevalcu) ta atribut ni pomemben, zato se njegova vrednost ne bo pozitivno ali negativno odraˇzala pri izraˇcunu koristnosti igralca. Uteˇz atributaA5 ima vrednost−1, kar nam pove, da ne ˇzelimo igralca, ki bi imel veliko vrednost tega atributa, saj se bo ta odraˇzala na manjˇsem izraˇcunu koristnosti igralca.

Igralˇcevo koristnost lahko enostavno izraˇcunamo:

koristnost =A₁·2 +A₂·3 +A₃·4 +A₄·3 +A₅·(−1) +A₆·0 = 759 Na ta naˇcin pridobimo koristnost igralca za naˇse potrebe. ˇCe spremenimo uteˇzi, spremenimo tudi koristnost igralca, kar je seveda naˇs cilj; vsak uporabnik algoritma naj si sam nastavi uteˇzi in s tem pridobi svojo oceno koristnosti igralca, na podlagi katere se bo algoritem odloˇcal pri izbiri igralcev.

Uporabljali bomo dva razliˇcna izraˇcuna koristnosti: osnovna in podrobna koristnost. Osnovna koristnost je enostavno vsota vrednosti atributov vsakega igralca. Z drugimi besedami: vsak atribut ima uteˇz 1. V naslednjem primeru (tabeli 4.2 in 4.3) vidimo izraˇcun osnovne koristnosti za igralca Ne- ymarja in Casemira. Za potrebe enostavnosti smo prikazali le ˇstiri atribute (program v praksi seveda upoˇsteva vseh 28 atributov za igralca na vsakem igralnem poloˇzaju in 27 atributov za vratarje). Lahko predpostavimo, da z

(32)

16 Rok Kozamernik Ime Igralni poloˇzaj Hitrost Moˇc Tehnika Drseˇci ˇstarti

Neymar Napadalec 16 10 20 2

Casemiro Vezist 13 17 13 14

Tabela 4.2: Prikaz ˇstirih izbranih atributov Neymarja in Casemira.

Atribut Uteˇz

Hitrost 1

Moˇc 1

Tehnika 1

Drseˇci ˇstarti 1

Tabela 4.3: Uteˇzi za izraˇcun enostavne koristnosti.

Neymar: 16·1 + 10·1 + 20·1 + 2·1 = 48 (4.2)

Casemiro: 13·1 + 17·1 + 13·1 + 14·1 = 57 (4.3) Ce vsakemu atributu dodelimo isto uteˇˇ z (t.j. atribute med seboj enako vrednotimo za vse igralne poloˇzaje), potem je najbolj koristen igralec tisti, ki ima najveˇcjo skupno vsoto atributov. Ob upoˇstevanju osnovne koristnosti je torej boljˇsi igralec Casemiro.

Pri izraˇcunu podrobne koristnosti vsakega od atributov igralca uteˇzimo s svojo pripadajoˇco uteˇzjo; kot vemo, je ta visoka, ˇce gre za ˇzeleni atribut, in nizka, ˇce gre za neˇzelenega. Naslednji primer (tabeli 4.4 in 4.5) prikazuje izraˇcun podrobne koristnosti za ista igralca, pri ˇcemer uporabimo drugaˇcne uteˇzi atributov (v tem primeru uporabimo takˇsne uteˇzi, ki poudarijo napadalne atribute igralca).

Neymar: 16·8 + 10·7 + 20·8 + 2·1 = 360 (4.4)

(33)

Diplomska naloga 17 Ime Igralni poloˇzaj Hitrost Moˇc Tehnika Drseˇci ˇstarti

Neymar Napadalec 16 10 20 2

Casemiro Vezist 13 17 13 14

Tabela 4.4: Prikaz ˇstirih izbranih atributov Neymarja in Casemira.

Atribut Uteˇz

Hitrost 8

Moˇc 7

Tehnika 8

Drseˇci ˇstarti 1

Tabela 4.5: Uteˇzi za napadalca.

Casemiro: 13·8 + 17·7 + 13·8 + 14·1 = 341 (4.5) Opazimo, da primerjava koristnosti istih igralcev prinese drugaˇcen rezultat. ˇCe dodelimo veˇcje uteˇzi napadalnim atributom, postane boljˇsi igralec Neymar. Iz atributov razberemo, da je Neymar tehniˇcno izjemno podkovan (atribut Tehnika ima vrednost 20, kar je najviˇsja moˇzna vrednost). Poleg tega je tudi hiter, ni pa dober v obrambni prvini drseˇcih ˇstartov. To je povsem logiˇcno, saj gre za napadalca, ti pa imajo le en osnovni cilj: dosega- nje zadetkov. Atribut Drseˇci ˇstarti ne predstavlja pomembnega atributa za napadalca, zato je njegova uteˇz nizka.

Kljub temu da na prvi pogled lahko trdimo, da je Casemiro bolj vsestranski igralec, je za potrebe trenerja, ki goji napadalnejˇsi slog igre, Neymar koristnejˇsi. Ob uporabi drugaˇcnih uteˇzi se rezultat lahko spremeni. Nasle- dnji primer prikazuje izraˇcun koristnosti z uporabo uteˇzi, ki dajejo prednost obrambnemu igralcu (tabela 4.6).

(34)

18 Rok Kozamernik Atribut Uteˇz

Hitrost 6

Moˇc 10

Tehnika 4

Drseˇci ˇstarti 9

Tabela 4.6: Uteˇzi za branilca.

Casemiro: 13·6 + 17·10 + 13·4 + 14·9 = 426 (4.7) Opazimo, da je Casemiro precej boljˇsi obrambni igralec kot Neymar. Ob upoˇstevanju dejstva, da je Casemiro igralec sredine igriˇsˇca (vezist), ti pa vedno izvajajo tudi obrambne naloge, je rezultat priˇcakovan.

V nalogi bomo za izraˇcun podrobne koristnosti igralca v polju in na golu uporabili uteˇzi atributov, ki so prikazane v tabelah 4.7 in 4.8.

4.4 Omejitve

Omejitve pri sestavi optimalne ekipe so razliˇcne narave. Nekatere omejitve temeljijo na denarju in poslovanju, druge obstajajo zaradi registracijskih pravil tekmovanj, v katerih doloˇcena ekipa nastopa, nekatere pa so povsem logiˇcne omejitve pri sestavi ekipe (npr. pri nogometu je v enajsterici na igriˇsˇcu vedno samo en vratar). Najbolj osnovna ter ˇze prikazana omejitev na osnovi denarja je proraˇcun, ki predstavlja izdatek, porabljen za plaˇce igralcev v obdobju celotne sezone. Ena od omejitev registracijskih pravil v sezoni 2021/2022 v 1. SNL (Prva slovenska nogometna liga) doloˇca, da se za posa- mezno tekmo prijavi 18 igralcev, od katerih najveˇc trije nimajo drˇzavljanstva drˇzave ˇclanice Evropske unije. Zanimiva omejitev je v veljavi pri ˇspanskem prvoligaˇsu Athletic Bilbao, klubu iz severnega ˇspanskega mesta Bilbao, ki leˇzi v Baskiji, pokrajini z dolgo konfliktno preteklostjo s ˇspansko vladavino.

Tam glavne omejitve ne predstavlja registracija igralcev, temveˇc usmerjenost

(35)

Diplomska naloga 19 Atribut Uteˇz (branilec) Uteˇz (vezist) Uteˇz (napadalec)

Konˇcna hitrost 6 5 8

Pospeˇsek 6 5 8

Fiziˇcna moˇc 10 8 7

Kondicija 8 10 5

Doseg v skoku 10 7 6

Delovna vnema 5 8 5

Prisebnost 5 8 8

Zbranost 10 10 7

Vizija 2 10 6

Inovativnost z ˇzogo 2 5 5

Agresivnost 10 7 3

Postavljanje na igriˇsˇcu 10 9 2

Gibanje brez ˇzoge 6 6 8

Odloˇcanje 8 8 7

Ekipna naravnanost 8 10 5

Pokrivanje igralcev 10 6 1

Vodstvene sposobnosti 0 0 0

Predloˇzki 0 3 2

Dribling 0 5 7

Zakljuˇcevanje pred golom 0 3 10

Izvajanje prostih strelov 0 0 3

Igra z glavo 10 5 6

Streljanje od daleˇc 0 10 6

Podajanje 0 10 5

Tehnika 3 7 7

Drseˇci ˇstarti 10 8 1

Prvi dotik ˇzoge 2 3 5

Izvajanje udarcev iz kota 0 0 0

(36)

20 Rok Kozamernik

Atribut Uteˇz (vratar)

Konˇcna hitrost 3

Pospeˇsek 4

Fiziˇcna moˇc 7

Kondicija 5

Doseg v skoku 10

Delovna vnema 4

Prisebnost 7

Zbranost 6

Vizija 5

Agresivnost 3

Postavljanje na igriˇsˇcu 10 Gibanje brez ˇzoge 2

Odloˇcanje 1

Ekipna naravnanost 1

Vodstvene sposobnosti 7 Izvajanje prostih strelov 5

Podajanje 7

Tehnika 10

Prvi dotik ˇzoge 10

Zraˇcni doseg 6

Nadzor vratarjevega prostora 10

Komunikacija 10

Igra ena na ena 10

Refleksi 10

Izvajanje prostih udarcev 5

Metanje ˇzoge 10

Teˇznja iztekanja iz gola 8 Tabela 4.8: Uteˇzi atributov vratarjev.

(37)

Diplomska naloga 21 kluba h kupovanju in podpisovanju pogodb le z igralci, ki imajo baskovske korenine.

Vsako omejitev lahko predstavimo kot vektor, pri katerem je vsaka kom- ponenta dvojiˇska, ki pove, ali nekaj drˇzi ali ne (vrednost 1 pomeni, da drˇzi, vrednost 0 pa, da ne drˇzi). Zgoraj omenjeno omejitev registracije igralcev v 1. SNL bi s takim vektorjem prikazali na takˇsen naˇcin:

IM A EU DRZAV LJ AN ST V Oˇ =h

1 0 1 ... 0 i

(4.8) To pomeni, da ima igralec na 1. mestu vektorja drˇzavljanstvo drˇzave ˇclanice EU, igralec na 2. mestu pa ne. Sploˇsno bi to omejitev zapisali kot

IGRALCI =h

X₁ X₂ ... X_i ... X_N i

(4.9) IM A EU DRZAV LJ AN ST V Oˇ =h

EU₁ EU₂ ... EU_i ... EU_N i (4.10) pri ˇcemer velja:

EU_i =







0; Xi ∈/ EU 1; X_i ∈EU

(4.11) Ce vsako komponento vektorja izbranih igralcev pomnoˇˇ zimo z ustrezno komponento vektorja IMA EU DRˇZAVLJANSTVO, dobimo novi vektor z neniˇcelnimi vrednostmi na tistih mestih, kjer naˇsa omejitev registracije velja in s tem dobimo nov seznam izbranih igralcev, ki ustrezajo naˇsi omejitvi.

Takˇsna predstavitev nam bo koristila kasneje, kjer bomo predstavili imple- mentacijo algoritma.





Igralec izbran 1

1 1 0





·





∈EU 1 0 1 1





=





Igralec izbran 1

0 1 0





(4.12)

(38)

22 Rok Kozamernik

(39)

Poglavje 5

Implementacija programa

Mnoˇzica vnosnih podatkov algoritma je predstavljena z matriko imen igralcev, njihovih igralnih mest, izraˇcunanih koristnosti igralcev in vrednosti igralcev.

Program za sestavo optimalne ekipe smo napisali v viˇsjenivojskem pro- gramskem jeziku python. Tej odloˇcitvi je botrovalo dejstvo, da za jezik python obstaja knjiˇznica, v kateri so implementirani algoritmi celoˇstevilskega linearnega programiranja. Knjiˇznica se imenuje CVXPY [3]. ˇCe jo ˇzelimo uporabiti, moramo pripraviti podatke, definirati problem in nastaviti atribute.

Naˇs program sestoji iz treh osnovnih delov:

1. Priprava podatkov.

2. Nastavitev omejitev.

3. Pridobitev reˇsitve.

5.1 Priprava podatkov

Kot smo omenili, smo podatke pridobili iz raˇcunalniˇske simulacijske igre Fo- otball Manager 2020 [19]. Zajeli smo 92 063 nogometaˇsev v polju (branilcev, vezistov in napadalcev) in 9 922 nogometaˇsev na golu (vratarjev), skupaj

(40)

24 Rok Kozamernik torej 101 985 igralcev. Vsak nogometaˇs je ocenjen na podlagi 28, vsak vratar pa 27 atributov, poleg njih pa je za igralca podano ˇse ime, igralna pozicija (branilec, vezist, napadalec, vratar), starost, vrednost (v evrih) in narodnost.

Na podlagi uteˇzi doloˇcene igralne pozicije se izraˇcuna igralˇceva koristnost, ki se kasneje uporabi pri izraˇcunu skupne koristnosti celotne ekipe.

Konˇcni izgled podatkov je predstavljen s ˇstevilsko matriko, ki vsebuje 8 stolpcev in N vrstic (N predstavlja ˇstevilo nogometaˇsev):

• ID igralca;

• vrednost igralca;

• koristnost;

• ali je branilec (vrednost 0/1);

• ali je vezist (vrednost 0/1);

• ali je napadalec (vrednost 0/1);

• ali je vratar (vrednost 0/1);

• starost (v dopolnjenih letih).







ID vrednost koristnost branilec vezist napadalec vratar starost

1 106·10⁶ 2051 0 0 1 0 27

2 102·10⁶ 2117 0 1 0 0 27

... ... ... ... ... ... ... ...

N 500 673 1 0 0 0 22







Matriˇcna oblika predstavitve podatkov nam omogoˇca, da v kasnejˇsem koraku z mnoˇzenjem doloˇcenega stolpca in vektorja izbranih igralcev ugotovimo, ˇce je doloˇcena omejitev prekoraˇcena.

(41)

Diplomska naloga 25

5.2 Nastavitev omejitev

Vsako omejitev v matriko dodamo kot nov stolpec. Podatka, ki se ˇze uporabljata za potrebe omejitev, sta vrednost in koristnost (iz vrednosti izbranih igralcev izraˇcunamo celotno vrednost ekipe, ki ne sme presegati omejitve naˇsega proraˇcuna, hkrati pa ˇzelimo maksimizirati skupno koristnost ekipe, ki se izraˇcuna kot vsota koristnosti vsakega izbranega igralca), lahko pa se za omejitve uporabljajo tudi ostali podatki (z izjemo podatka ID, ki obstaja samo zaradi identifikacijskih razlogov).

Vsaka omejitev je zapisana v obliki linearne neenaˇcbe. Najbolj smiselna omejitev je omejitev proraˇcuna, ki se zapiˇse na sledeˇci naˇcin:

omejitev_proracuna = igralci[:, 1] @ selekcija <= PRORACUN

Tu spremenljivkiomejitev_proracunapriredimo vrednostTruealiFalse.

Najprej se izvede mnoˇzenje matrikeigralci[:, 1](ki predstavlja vrednosti igralcev) z vektorjemselekcija (vektor vseh igralcev, ki predstavlja, kateri igralci so izbrani: na svojem mestu imajo vrednost 1, ostali pa 0), kar nam vrne skupno vrednost izbranih igralcev (operator @ se uporabi za matriˇcno mnoˇzenje in mnoˇzenje matrike z vektorjem [4]), nato pa ˇse primerjava pridobljene skupne vrednosti izbranih igralcev s proraˇcunom.

5.3 Pridobitev reˇ sitve

Z uporabo knjiˇznice CVXPY [3, 7] pridobimo reˇsitev, ki predstavlja izbrano ekipo.

team = cp.Problem(cp.Maximize(TOTAL_UTILITY), CONSTRAINTS) team.solve(solver = cp.GLPK_MI)

Spremenljivke v kodi imajo sledeˇci pomen:

(42)

26 Rok Kozamernik

• TOTAL_UTILITY — skupna koristnost (vsota koristnosti izbranih igralcev)

• CONSTRAINTS— tabela predpripravljenih omejitev

• solver — reˇsevalec problema.

Poleg omenjenih spremenljivk je kljuˇcna spremenljivka selekcija. Ta predstavlja izbor igralcev za naˇso ekipo. V praksi jeselekcijavektor dolˇzine N (ˇstevilo igralcev), vsak element vektorja pa je vrednost 0 ali 1, kjer 0 pomeni, da igralec ni izbran v ekipo, 1 pa pomeni, da je izbran.

TOTAL_UTILITY je spremenljivka, ki jo ˇzelimo maksimizirati (v kodi ukaz Maximize) in v zaledju programa predstavlja tretji stolpec naˇse (prej opisane) ˇstevilske matrike,CONSTRAINTSpa je tabela omejitev, pri kateri vsak element predstavlja eno omejitev.

Reˇsevalec problema je rutina, ki dejansko najde reˇsitev problema, ki smo ga pred tem definirali. Knjiˇznica CVXPY vsebuje odprtokodne reˇsevalce ECOS, OSQP in SCS, po ˇzelji pa uporabnik lahko nastavi svoje reˇsevalce [5]. Nekateri reˇsevalci so prav tako odprtokodni, nekateri pa lastniˇski in za uporabo zahtevajo dovoljenje ali nakup licence. Vsak reˇsevalec je zmoˇzen reˇsiti razliˇcne vrste problemov, ne pa nujno vseh. Reˇsevalci ECOS, OSQP, SCS in GLPK npr. niso zmoˇzni reˇsiti meˇsanega celoˇstevilskega programiranja (angl. mixed-integer programming, MIP), zato je pomembno, da izberemo pravega. V naˇsi nalogi smo izbrali reˇsevalca GLPK MI.

Za reˇsevanje linearnih programov obstaja veˇc algoritmov [13], med njimi tudi takˇsni s polinomskimi ˇcasovnimi zahtevnostmi; med bolj znanimi je metoda simpleksov. V naˇsem primeru pa je v veljavi omejitev, da mora biti reˇsitev celoˇstevilske narave. Izmed igralcev, ki jih izberemo, vedno izberemo celotnega igralca; ni smiselno ali moˇzno izbrati le del doloˇcenega igralca. Zato naˇs problem reˇsujemo s celoˇstevilskimi linearnimi programi. Celoˇstevilsko linearno programiranje je NP-teˇzek problem, zato ne poznamo algoritmov,

(43)

Diplomska naloga 27 ki bi ga reˇsevali v polinomskem ˇcasu. ˇCe je P 6= NP, pa taki algoritmi niti ne obstajajo.

(44)

28 Rok Kozamernik

(45)

Poglavje 6

Analiza rezultatov

Program nam ob podanih vhodnih podatkih, ki predstavljajo seznam igralcev s pripadajoˇcimi vrednostmi atributov, kot rezultat vrne izbrane igralce, ki sestavljajo naˇso optimalno ekipo. Pri tem seveda upoˇstevamo mnoˇzico omejitev, najsibo omejitev veˇc ali pa samo ena. Poleg omejitev je za nas pomembna vrednost koristnosti, ki nam pove, kako dober je igralec za naˇse potrebe. Velja, da veˇcja vrednost koristnosti predstavlja (za naˇse potrebe) boljˇsega igralca in obratno. Naˇse reˇsitve analiziramo postopoma, zaˇcenˇsi z eno samo omejitvijo, ki ji nato dodajamo (smiselne) omejitve, potem pa preverimo ustreznost reˇsitve.

Naj razdelimo analizo reˇsitev na dve razliˇcni sestavi ekipe. To sta:

• sestava ekipe iz samo enega igralca

• sestava ekipe iz veˇc igralcev

6.1 Sestava ekipe iz samo enega igralca

V poglavju 4 smo zapisali, da vsakemu igralcu izraˇcunamo koristnost (osnovno ali podrobno), s pomoˇcjo katere ocenimo njegovo kakovost za naˇse potrebe.

V primeru sestave ekipe s samo enim igralcem, pri ˇcemer kot mero ocene igralca vzamemo osnovno koristnost, proraˇcuna pa ne omejimo, lahko sklepamo, da nam tak program kot reˇsitev vrne igralca, ki ima najveˇcjo vsoto

(46)

30 Rok Kozamernik svojih atributov, ne glede na igralno mesto in vrednost. Reˇsitev, ki nam jo program vrne, je igralec Luis Su´arez, njegova osnovna koristnost pa znaˇsa 415. Razloge, zakaj je program izbral prav tega igralca, ne pa npr. vsem bolj znanega Lionela Messija ali Cristiana Ronalda, lahko iˇsˇcemo v samih atributih.

Luis Su´arez, ki nam ga je program vrnil kot reˇsitev, je v tej podatkovni zbirki star 32 let. Gre torej za izkuˇsenejˇsega napadalca. Poleg tega je sredi leta 2019 (takrat so bili namreˇc pridobljeni podatki) bil ˇclan nogometnega kluba Barcelona, ki goji zelo tehniˇcni slog nogometa, za kar potrebuje igralce, ki so tehniˇcno zelo dobro podkovani. ˇCe pogledamo ˇse nekoliko dlje v pre- teklost, opazimo, da je bil v letih od 2011 do 2014 ˇclan nogometnega kluba Liverpool, ki tekmuje v najmoˇcnejˇsem angleˇskem nogometnem tekmovanju.

To tekmovanje slovi po zelo fiziˇcni igri in ob dejstvu, da je Luis visok 182 centimetrov in tehta 86 kilogramov, lahko trdimo, da gre za fiziˇcno precej spo- sobnega igralca. Zaradi igralˇceve starosti in dejstva, da mentalni in tehniˇcni atributi s starostjo in izkuˇsenostjo igralca rastejo, lahko utemeljeno sklepamo, da ima Luis Su´arez visoke vrednosti tovrstnih atributov. ˇCe upoˇstevamo ˇse dejstvo, da med atributi prevladujeta prav omenjeni vrsti, je Luis povsem smiselna izbira najbolj koristnega igralca.

Na podlagi ugotovitve, da program zaradi lastnosti atributov daje prednost starejˇsim nogometaˇsem, in dejstva, da naj bi igralci dosegli svoj vrhunec ˇse pred 30. letom, uvedemo omejitev starosti igralca do najveˇc 27 let. V tem primeru algoritem kot rezultat vrne igralca Roberta Firmina z osnovno koristnostjo 401. Gre za napadalca, ki v ˇcasu izdelave podatkovne zbirke (leta 2019), ˇsteje ravno mejnih 27 let. Podrobni pregled igralˇcevih lastnosti nam pove, da gre za napadalca, visokega 181 centimetrov in teˇzkega 76 kilogramov. Je zelo uravnoteˇzen igralec, saj le eden od njegovih atributov ne pre- sega vrednosti 10 (spomnimo: najmanjˇsa vrednost atributa je 0, najveˇcja pa 20). Njegovi mentalni in tehniˇcni atributi so zelo dobri (povpreˇcna vrednost 14.4), zelo podobni pa so tudi njegovi fiziˇcni atributi (povpreˇcna vrednost 14). Izbrani igralec je zato v tem primeru smiselna reˇsitev izbire optimal-

(47)

Diplomska naloga 31 nega igralca.

Na podlagi danega primera ugotovimo, da kadar izbiramo osnovno koristnost kot mero za primerjavo igralcev, daje program prednost bolj urav- noteˇzenim igralcem, t.j. igralcem, ki imajo dobre vrednosti atributov v vseh kategorijah. Igralci, ki so zelo specifiˇcni (imajo v doloˇcenih nogometnih prvinah izredno visoke vrednosti atributov, drugod pa ne) so v tem primeru diskriminirani. Del nogometnih ekip so tudi igralci, ki izvajajo specifiˇcne naloge, kot so npr. izvajanje udarcev iz kota, prostih strelov ali specifiˇcno samo obrambnih nalog, ˇceprav njihov igralni poloˇzaj v osnovi zahteva tudi izvajanje napadalnih nalog. To sta dva izmed razlogov, da uvedemo podrobno koristnost. Ob uporabi podrobne koristnosti priˇcakujemo, da bo program kot rezultat vrnil igralca, ki je ob podanih specifiˇcnih uteˇzeh atributov za nas najboljˇsi. Na tej toˇcki pa moramo biti pozorni, saj drugaˇcne vrednosti uteˇzi privedejo do drugaˇcnih maksimalnih vrednosti podrobne koristnosti.

Neka kombinacija uteˇzi atributov omogoˇca koristnost do najveˇc X, neka druga kombinacija pa do npr. X + 100. Tako lahko pride do situacije, ko ima doloˇceni napadalec vrednost koristnosti Y, doloˇceni vezist pa Y + 100.

Pojavi se vpraˇsanje, kateri igralec je dejansko za nas bolj uporaben, saj omenjena igralca ne igrata na isti igralni poziciji. Zaradi tega se omejimo na izbor najboljˇsega igralca na vsaki igralni poziciji: vratar, obrambni igralec, vezist in napadalec.

Z upoˇstevanjem zgoraj opisanih ugotovitev nam program vrne ˇstiri igralce

— vratarja, obrambnega igralca, vezista in napadalca. Ti igralci so navedeni v tabeli 6.1:

6.2 Sestava ekipe iz veˇ c igralcev

V tem delu naloge prviˇc sestavimo enajsterico nogometaˇsev, ki dejansko predstavlja ekipo, s katero je moˇzno tekmovati. Doslej smo namreˇc sestavljali ekipo le iz enega igralca.

(48)

32 Rok Kozamernik

Pozicija Ime Starost

(let)

Vrednost (milijon €)

Koristnost

Vratar Manuel Neuer 33 52 2621

Branilec Virgil Van Dijk 27 75 2232

Vezist Sergej Milinkovi´c Savi´c

24 64 2585

Napadalec Cristiano Ronaldo 34 36,5 2224

Tabela 6.1: Najboljˇsi igralec na vsaki igralni poziciji.

potrebujejo razliˇcne ekipe razliˇcno ˇstevilo igralcev na vsakem igralnem poloˇzaju.

Izjema je le vratar, saj vsaka ekipa ne glede na postavitev igra z enim vratarjem. Nogometna pravila tudi doloˇcajo, da mora biti na igriˇsˇcu v ekipi vedno en vratar. V primeru, da vratar ne more nadaljevati tekme, se ga zamenja z rezervnim vratarjem, ˇce pa rezervnega vratarja ni, se na njegovo mesto postavi igralec iz polja (obrambni igralec, vezist ali napadalec). Se- stava enajsterice brez ali z veˇc kot enim vratarjem tako ni mogoˇca.

Postavitev igralcev in sistem igre sta med seboj povezana. Sistem igre je plod trenerjevih zamisli in igralcev, ki jih ima na voljo. Nekateri trenerji igrajo napadalno in imajo zato v igri veˇc napadalcev, drugi pa obrambno in imajo v ekipi veˇc obrambnih igralcev. Ta primerjava je sicer zelo osnovna, vendar predstavlja dobro iztoˇcnico za nadaljnje ugotovitve, zato je smiselno, da trener izbere, koliko obrambnih igralcev, vezistov in napadalcev bo imel v ekipi. V veliki veˇcini primerov se uporabljata dve moˇznosti za ˇstevilo igralcev v obrambi. To sta obrambna linija s ˇstirimi obrambnimi igralci in linija s petimi obrambnimi igralci. Izbira dodatnega igralca v obrambi povzroˇci igralca manj v vezni liniji ali napadu in obratno. Program bomo testirali z razliˇcnim ˇstevilom igralcev na posameznih pozicijah in s tem pridobili razliˇcne reˇsitve.

(49)

Diplomska naloga 33

6.2.1 Postavitev 4-3-3

Ce izberemo postavitev 4-3-3, izberemo 4 branilce, 3 veziste in 3 napadalceˇ (ter seveda enega vratarja). Ta postavitev je zelo poznana in pogosta. S postavitvijo 4-3-3 v osnovi vsak del igriˇsˇca (obrambni, srednji in napadalni) zavzema pribliˇzno enako ˇstevilo igralcev. To omogoˇca hitro vkljuˇcitev vezistov v napad, v obrambi pa v obrambno linijo. S takˇsno postavitvijo nam brez omejitve proraˇcuna program vrne ekipo, prikazano v tabeli 6.2.

(let)

Koristnost

Branilec Giorgio Chiellini 34 6,75 2198

Branilec Francesco Acerbi 32 34 2138

Branilec Gerard Piqu´e 32 36 2119

24 64 2585

Vezist Blaise Matuidi 32 26 2578

Vezist Jordan Henderson 28 58 2574

Napadalec Lionel Messi 31 86 2222

Napadalec Luis Suarez 32 64 2205

x: 30.81 P

: 538,25 P

: 25696 Tabela 6.2: Optimalna ekipa v postavitvi 4-3-3.

Skupna vrednost igralcev znaˇsa 538,25 milijonov evrov, skupna koristnost

(50)

34 Rok Kozamernik

6.2.2 Postavitev 5-3-2

Izberimo ˇse postavitev 5-3-2. Tako kot v zgornjem primeru tudi tukaj prva ˇstevilka pove ˇstevilo branilcev, druga ˇstevilo vezistov, tretja pa ˇstevilo napadalcev. Lahko priˇcakujemo, da bo priˇslo do manjˇsih sprememb pri sestavi ekipe: v ekipi imamo dodatnega branilca in zato enega napadalca manj.

Lahko sklepamo, da bo ekipa enaka prejˇsnji z izjemo enega igralca. Sesta- vljena ekipa, prav tako brez omejitve proraˇcuna, je prikazana v tabeli 6.3.

(let)

Koristnost

Branilec Francesco Acerbi 32 34 2138

Branilec Gerard Piqu´e 32 36 2119

Branilec Sergio Ramos 33 28 2117

24 64 2585

Napadalec Lionel Messi 31 86 2222

x: 30,91 P

: 502,25 P

: 25608 Tabela 6.3: Optimalna ekipa v postavitvi 5-3-2.

Opazimo, da je namesto napadalca Luisa Su´areza sedaj v ekipi branilec Sergio Ramos.

(51)

Diplomska naloga 35

6.2.3 Omejitev starosti

Med igralci lahko opazimo doloˇcen vzorec, saj je veˇcina bolj izkuˇsenih in sta- rejˇsih; to je tudi smiselno, saj se mentalni in tehniˇcni atributi z izkuˇsenostjo igralca izboljˇsujejo, teh pa je med mnoˇzico vseh atributov veˇcina (23 od moˇznih 28 atributov). V program dodamo omejitev starosti igralcev, ki pravi, da naj bo vsak igralec star najveˇc 27 let. Program nam za izbrano postavitev 5-3-2vrne reˇsitev, prikazano v tabeli 6.4.

(let)

Koristnost Vratar Marc Andr´e ter

Stegen

27 57 2567

Branilec Fabinho 25 63 2108

Branilec Kalidou Koulibaly 27 64 2088

Branilec Marquinhos 25 52 2085

Branilec Milan Skriniar 24 60 2081

24 64 2585

Vezist Casemiro 27 61 2549

Vezist Paul Pogba 26 78 2539

Napadalec Roberto Firmino 27 84 2159

Napadalec Harry Kane 25 89 2124

x: 25,81 P

: 747 P

: 25117 Tabela 6.4: Optimalna ekipa v postavitvi 5-3-2 z omejitvijo starosti na najveˇc 27 let.

Opazimo, da je kljub manjˇsi skupni koristnosti ekipe v primerjavi s sesta- vljeno ekipo brez omejitve starosti v tabeli 6.3 skupna vrednost ekipe viˇsja za kar 48,7 odstotkov, kar zgolj potrjuje ugotovitev, da so mlajˇsi igralci pogosto

(52)

36 Rok Kozamernik

6.2.4 Omejitev nacionalnosti

Nekatere nogometne lige imajo v svojem pravilniku doloˇceno kvoto domaˇcih igralcev, kar v praksi pomeni, da mora za njihove klube na vsaki tekmi nastopati najmanj doloˇceno ˇstevilo domaˇcih igralcev. Za igralca pravimo, da je domaˇc, ˇce njegova narodnost sovpada z narodom prvenstva, v katerem nastopa. To je ena od pomembnih omejitev, ki jih moramo pri sestavi ekipe upoˇstevati; nesmiselno je namreˇc sestaviti ekipo preteˇzno iz igralcev, ki na tekmi ne morejo nastopati skupaj.

Za naˇs primer uporabimo omejitev slovenske nacionalnosti, saj nas zanima, kakˇsno ekipo lahko sestavimo le iz slovenskih igralcev, pri tem pa se ne omejimo s proraˇcunom. Uporabili bomo postavitev 4-3-3. Dobljeni rezultati so prikazani v tabeli 6.5.

(let)

Koristnost

Vratar Jan Oblak 26 58 2453

Branilec Miha Mevlja 28 2,3 1810

Branilec Miha Blaˇziˇc 26 0,95 1794

Branilec Aljaˇz Struna 28 3,2 1792

Branilec Boˇstjan Cesar 36 0,145 1774

Vezist Jasmin Kurti´c 30 7,5 2298

Vezist Kevin Kampl 28 22 2289

Vezist Rene Krhin 29 2 2238

Napadalec Josip Iliˇci´c 31 28,5 1967

Napadalec Andraˇz ˇSporar 25 18 1824

Napadalec Robert Beri´c 27 4,1 1801

x: 28,55 P

: 146,695 P

: 22040 Tabela 6.5: Optimalna ekipa v postavitvi 4-3-3 z omejitvijo slovenske nacionalnosti.

Izbrano ekipo lahko primerjamo z ekipo, ki je 7. junija 2019 predstavljala

(53)

Diplomska naloga 37 Slovenijo na tekmi proti Avstriji (slika 6.1).

Slika 6.1: Enajsterica Slovenije na tekmi proti Avstriji, [16]

Takrat so v prvi enajsterici tekmo zaˇceli Jan Oblak, Aljaˇz Struna, Josip Iliˇcić, Jasmin Kurtić in Andraˇz ˇSporar, na rezervni klopi pa sta bila ˇse Miha Blaˇziˇc in Robert Berić. Morda so nekateri igralci manjkali zaradi morebitnih poˇskodb ali napornega ritma tekem, nekateri (npr. Boˇstjan Cesar) pa so se reprezentanˇcno upokojili. Z upoˇstevanjem teh okoliˇsˇcin lahko trdimo, da je program uspeˇsno sestavil najboljˇso slovensko enajsterico.

6.2.5 Sprememba uteˇ zi

Sestavimo ekipo, ki daje prednost fiziˇcnim igralcem. Atributom, kot so fiziˇcna moˇc, konˇcna hitrost, pospeˇsek, kondicija in doseg z glavo, doloˇcimo najviˇsje moˇzne uteˇzi (vrednost 10), ostalim atributom pa najmanjˇse moˇzne uteˇzi (vrednost 1). Priˇcakujemo, da bodo v ekipi prevladovali hitri in moˇcni igralci.

Glede na to, da smo ostalim atributom uteˇz zmanjˇsali na 1 in ne na 0 (kar bi pomenilo, da takˇsnih atributov sploh ne upoˇstevamo), bomo predvidoma na vsaki igralni poziciji dobili igralce, ki imajo dobre tudi druge atribute.

(54)

38 Rok Kozamernik igralnih mestih dobili t.i. specifiˇcne igralce; igralce, ki so zelo dobro fiziˇcno pripravljeni, imajo pa zgolj minimalne mentalne in tehniˇcne sposobnosti. To je smiselno, ˇce nam je pomembna zgolj igralˇceva fiziˇcna pripravljenost. Za sestavo ekipe ponovno uporabimo postavitev 4-3-3. Reˇsitev brez omejitve proraˇcuna, ki nam jo program vrne, je prikazana v tabeli 6.6.

(let)

Koristnost Vratar Marc Andre Ter

Stegen

27 57 993

Branilec Sergio Ramos 33 28 1097

Branilec Kurt Zouma 28 38,5 1077

Branilec Kalidou Koulibaly 27 64 1067

24 64 1107

Vezist Gareth Bale 29 87 1106

Vezist Paul Pogba 26 78 1101

Napadalec Romelu Lukaku 26 65 1109

Napadalec Moussa Marega 28 16,5 1073

x: 28,09 P

: 609,5 P

: 11949 Tabela 6.6: Optimalna ekipa v postavitvi 4-3-3, kjer dajemo prednost fiziˇcnim igralcem.

Opazimo, da so vrednosti koristnosti manjˇse kot v prejˇsnjih primerih. Ker smo spremenili uteˇzi atributov, se je spremenila tudi maksimalna vrednost koristnosti, ki jo igralec lahko doseˇze. Pomembno je, da pri upoˇstevanju izraˇcuna koristnosti vsakega igralca na svojem igralnem poloˇzaju uporabimo enake vrednosti uteˇzi.

V ekipi opazimo nekatere igralce, ki so sestavljali tudi prejˇsnje ekipe.

(55)

Diplomska naloga 39 To so Virgil Van Dijk, danes poznan kot eden najboljˇsih branilcev na svetu (povpreˇcna vrednost fiziˇcnih atributov znaˇsa 16), Sergej Milinkovi´c Savi´c (zelo vsestranski vezist s povpreˇcno vrednostjo fiziˇcnih atributov prav tako 16), Paul Pogba, Cristiano Ronaldo, po ocenah strokovnjakov najbolje fiziˇcno pripravljen nogometaˇs na svetu, Romelu Lukaku, ki v viˇsino meri 191 centimetrov in tehta 94 kilogramov, njegova povpreˇcna vrednost fiziˇcnih atributov pa znaˇsa 16,8.

6.2.6 Omejitev proraˇ cuna

Do sedaj smo sestavljali ekipe ne glede na razpoloˇzljiva finanˇcna sredstva, saj smo ˇzeleli ugotoviti, kakˇsne so lahko najboljˇse referenˇcne ekipe, ki jih program sestavi. Omejitev proraˇcuna predstavlja eno od kljuˇcnih omejitev pri sestavi ekipe; zaradi omejenih prihodkov klubov je omejeno tudi njihovo zapravljanje. Da bi klubom omogoˇcili finanˇcno stabilnost, je UEFA (med- narodna evropska nogometna federacija) uvedla aparat, ki nadzira finanˇcno poslovanje klubov (predvsem njihovo zapravljanje). Pravimo mu finanˇcni fair play (FFP) in prepreˇcuje klubom, da v daljˇsem obdobju zapravijo veˇc, kot znaˇsajo njihovi prihodki.

Glede na to, da moramo iz sredstev, ki so nam na voljo, vedno sestaviti celotno ekipo, moramo biti pozorni, da zapolnimo vse igralne poloˇzaje.

Doloˇcimo, da je naˇs proraˇcun omejen na 100 milijonov evrov. V prejˇsnjih primerih smo sestavili ekipe, ki so po skupni vrednosti krepko presegale tre- nutno omejitev stotih milijonov evrov (538,24 M€, 502,25 M€, 747 M€, 146,695 M€). Zanima nas tudi, kako bo omenjena omejitev vplivala na izraˇcun skupne koristnosti ekipe. Za potrebe testa uporabimo postavitev 4-3-3. Koristnost v nadaljnjih primerih predstavlja podrobno koristnost, izraˇcunano z uteˇzmi, prikazanimi v tabelah 4.7 in 4.8. Rezultati so prikazani v tabeli 6.7.

Vidimo, da je vsak igralec starejˇsi od 30 let, povpreˇcna starost ekipe pa je 34,45 let. Kot smo omenili, daje program prednost starejˇsim igralcem,

(56)

40 Rok Kozamernik

(let)

Koristnost

Vratar Gianluigi Buffon 41 3,6 2490

Branilec Thiago Silva 34 5,5 2106

Branilec Vincent Kompany 33 8,75 2057

Branilec Pepe 36 2,7 2002

Vezist Marco Parolo 34 2,6 2481

Vezist Gabi 35 1 2409

Napadalec Mario Mandˇzuki´c 33 4,5 2008

Napadalec Andr´e Pierre Gi- gnac

33 2 1991

x: 34,45 P

: 99,9 P

: 24544 Tabela 6.7: Optimalna ekipa v postavitvi 4-3-3 z omejitvijo proraˇcuna na 100 milijonov evrov .

(57)

Diplomska naloga 41 skupnih koristnostih. V realnosti to ne pomeni nujno, da je igralec za naˇse potrebe najboljˇsi.

Nogometni observatorij CIES je v svojem meseˇcnem poroˇcilu februarja 2018 raziskoval ravno povpreˇcno starost ekip v najbolje rangiranih 31 evropskih nogometnih ligah in njihove uspehe. Optimalna povpreˇcna starost igralcev v ekipi nikakor ni zagotovilo za uspeh, je pa smiselno omeniti, da me- diana starosti zmagovalnih ekip v petih najmoˇcnejˇsih evropskih ligah med leti 2009 in 2017 znaˇsa 26,5 let [12]. Na podlagi tega lahko zakljuˇcimo, da je v ekipi pomembna prava kombinacija izkuˇsenj in mladosti. Zato poleg finanˇcne omejitve (100 M€) uvedemo ˇse omejitev starosti; naj bo najviˇsja dovoljena starost igralca 27 let. V tem primeru nam program sestavi ekipo, ki je prikazana v tabeli 6.8.

(let)

Koristnost

Vratar Guido Herrera 27 2,9 2292

Branilec Joao Palhinha 23 4,3 1945

Branilec Alpaslan ¨Ozt¨urk 25 3,8 1939

Branilec Rani Khedira 25 4 1935

Branilec Dino Peri´c 24 3,4 1929

Vezist Geoffrey Kondo- gbia

26 25 2467

Vezist Thomas Delaney 27 24,5 2462

Vezist W´ılmar Barrios 25 10,75 2385

Napadalec Tom Rogi´c 26 11,75 1943

Napadalec Bruno Petkovi´c 24 8,25 1913

Napadalec Aderinsola Eseola 27 1,2 1891

x: 25,36 P

: 99,85 P

: 23101 Tabela 6.8: Optimalna ekipa v postavitvi 4-3-3 z omejitvijo proraˇcuna na

(58)

42 Rok Kozamernik Ta ekipa ima skupno koristnost manjˇso od ekipe, ki nima omejitve starosti. Za primerjavo pa je njena koristnost ˇse vedno viˇsja od skupne koristnosti slovenske reprezentance, ki pa je finanˇcno gledano draˇzja kar za 45,91 odstotkov (46,845 milijonov evrov). Beˇzni poznavalec nogometa verjetno marsika- terega igralca ne prepozna, saj ne gre za najveˇcje mojstre nogometne igre.

Kljub temu da imamo za sestavo ekipe na voljo kar 100 milijonov evrov, vidimo, da je to bistveno premalo za ekipo, ki bi ˇzelela dosegati vidnejˇse uspehe v mednarodnih evropskih tekmovanjih. Takˇsna ekipa se poimensko namreˇc ne more kosati niti s slabˇsimi ekipami elitnega angleˇskega nogometnega prvenstva. Vemo sicer, da se moˇci ekipe ne more meriti v moˇci posameznih igralcev, vendar je to bolj izjema kot pravilo. Veliko veˇcja korelacija obstaja med kakovostjo posameznih igralcev in tem, kako dobra je ekipa kot celota.

Zgodovina nas uˇci, da prihaja tudi do preseneˇcenj. V sezoni 2015/2016 je Leicester City v eni od najbolj razburljivih sezon v zgodovini EPL senza- cionalno osvojil naslov angleˇskih prvakov, kljub temu da so si sezono pred tem ˇsele v zadnjih krogih reˇsili koˇzo in ostali del elitne Premier League, ki je mnogim znana kot najkakovostnejˇse drˇzavno nogometno prvenstvo na svetu.

Na zaˇcetku zgodovinske sezone je bila stavniˇska kvota na to, da Leicester City osvoji prvenstvo kar 5000/1 (za vsak stavljen evro bi zmagovalec prejel 5 000 evrov).

6.2.7 Referenˇ cna ekipa — finale UCL 2018-2019

Naˇse sestavljene ekipe ˇzelimo primerjati z dejanskimi ekipami, ki so v is- tem letu beleˇzile rezultatske uspehe. Ker so naˇsi podatki z zaˇcetka sezone 2019/2020, je smiselno za referenˇcno ekipo vzeti finalista najelitnejˇsega klub- skega tekmovanja v Evropi in na svetu, UCL oziroma Lige prvakov, v sezoni 2018/2019 in za njiju izraˇcunati skupno koristnost. Zmagovalec Lige prvakov v sezoni 2018/2019 je bil angleˇski Liverpool, ki je z rezultatom 0:2 prema- gal londonskega konkurenta Tottenham Hotspur. Prvi enajsterici omenjenih klubov sta prikazani v tabelah 6.9 in 6.10.

Opazimo, da je imel Liverpool mlajˇso, vendar precej veˇc vredno in po

(59)

Diplomska naloga 43

(let)

Koristnost

Vratar Hugo Lloris 32 37 2234

Branilec Kieran Trippier 28 17,75 1828

Branilec Toby Alderweireld 30 42,5 1978

Branilec Jan Vertonghen 32 31 2002

Branilec Danny Rose 28 28 1935

Vezist Moussa Sissoko 29 39,5 2414

Vezist Harry Winks 23 34 2301

Vezist Christian Eriksen 27 60 2245

Napadalec Delle Alli 23 57 1981

Napadalec Son Heung-Min 26 61 1917

Napadalec Harry Kane 25 89 2124

x: 27,54 P

: 497,75 P

: 22959 Tabela 6.9: Prva enajsterica Tottenhama v finalu Lige prvakov, sezona

(60)

44 Rok Kozamernik

(let)

Koristnost

Vratar Alisson 26 64 2505

Branilec Trent Alexander- Arnold

20 61 1877

Branilec Joel Matip 27 38,5 2061

Branilec Andrew Robertson 25 54 2000

Vezist Fabinho 25 63 2509

Vezist Georgino Wijnal- dum

28 58 2435

Napadalec Mohamed Salah 26 92 2089

Napadalec Roberto Firmino 27 84 2159

Napadalec Sadio Mane 27 92 2112

x: 26 P

: 739,5 P

: 24554 Tabela 6.10: Prva enajsterica Liverpoola v finalu Lige prvakov, sezona 2018/19.

(61)

Diplomska naloga 45 skupni koristnosti boljˇso enajsterico. Rezultat v finalu to potrjuje, poleg tega pa je Liverpool v domaˇci EPL (Premier League) zgolj za toˇcko zgreˇsil naslov prvaka. Tottenham je sezono v domaˇcem prvenstvu konˇcal na ˇcetrtem mestu, s kar 26 toˇckami zaostanka za Liverpoolom, zato lahko trdimo, da je Liverpool v sezoni 2018/19 imel boljˇso ekipo kot Tottenham.

Ce ekipo Liverpoola iz tabele 6.10 primerjamo z optimalno ekipo iz ta-ˇ bele 6.2.1, ki smo jo sestavili brez omejitev, vidimo, da je Liverpoolova ekipa precej mlajˇsa (v povpreˇcju za kar 4,81 let) in precej draˇzja (za kar 201,25 milijona evrov). Razliko v ceni lahko utemeljimo z dejstvom, da so nogo- metaˇsi, ki igrajo v EPL, v sploˇsnem draˇzji od ostalih [11] oziroma je njihova vrednost kljub morda manjˇsi (vendar ˇse vedno odliˇcni) kakovosti napihnjena.

Lahko trdimo, da bi nogometaˇsa, ki je v Angliji ovrednoten na okroglih sto milijonov evrov, v ˇspanski ali nemˇski prvi ligi vrednotili na dobre tri ˇcetrtine

(62)

46 Rok Kozamernik

(63)

Poglavje 7 Zakljuˇ cek

Ob pregledu rezultatov programa, ki ob nekaj smiselnih in realistiˇcnih omejitvah iz sveta ˇsporta sestavi (glede na podatke) optimalne ekipe, lahko trdimo, da je uporaba linearnega celoˇstevilskega programiranja smiselna za reˇsevanje problema sestave optimalnih ekip. Sestavili smo program, ki oblikuje zadovo- ljive ekipe, ˇcetudi nismo uporabili vseh omejitev, ki se pojavljajo v realnem svetu.

Program, ki smo ga razvili, bi lahko uporabljali v ˇsportnih institucijah, kjer bi z njegovo pomoˇcjo bolje selekcionirali kupovanje in podpisovanje pogodb z igralci. Na ta naˇcin bi lahko pripomogli k boljˇsim ekipnim rezultatom, morda pa bi (v danaˇsnjem ˇcasu je to ˇse pomembneje) zmanjˇsali moˇznost zgreˇsenih nakupov in poslediˇcno omogoˇcili boljˇse naloˇzbe finanˇcnih sredstev.

To bi klubom pomagalo zagotoviti vzdrˇznejˇse finanˇcno stanje, ki posredno vodi tudi do boljˇsih ˇsportnih uspehov. Kot zanimivost omenimo, da smo v zadnjem primeru sestave ekipe (z omejitvijo proraˇcuna na 100 milijonov evrov — kar je za slovenske razmere nepredstavljiv znesek — in omejitvijo starosti igralcev na 27 let, tabela 6.8) oblikovali ekipo, ki poimensko spada v drugo najmoˇcnejˇse angleˇsko ligaˇsko tekmovanje. To nam veliko pove o ogromnih finanˇcnih sredstvih, ki se vlagajo v najboljˇsa evropska nogometna tekmovanja.

Kot eno od moˇznih izboljˇsav programa lahko navedemo uporabo stati-

(64)

48 Rok Kozamernik stiˇcnih podatkov igralcev iz pretekle sezone namesto vrednosti atributov. S takˇsnim pristopom bi lahko kakovost igralcev objektivneje ocenili. Algoritem za sestavo optimalne ekipe je neodvisen od vrste igralˇcevih podatkov (le da so ˇstevilske narave), zato bi bila takˇsna dodelava programa smiselna. Vemo namreˇc, da se danes v ˇsportu uporablja in hrani ogromno razliˇcnih metrik, s katerimi lahko zelo natanˇcno oriˇsemo igralˇceve lastnosti in kakovost. ˇCe pri tem upoˇstevamo ˇse statistiko in podatke ekipe, s katerimi lahko ugotovimo ˇsibkosti trenutne ekipe, potem lahko s ˇse veˇcjo mero natanˇcnosti izbiramo smiselne okrepitve.

Potrebno se je zavedati, da v ˇsportu lastnosti igralcev ne zagotavljajo uspeˇsnosti celotne ekipe, lahko pa k temu pripomorejo. Veliko je odvisno tudi od strokovnega ˇstaba (trenerjev, fizioterapevtov, psihologov, nutricionistov itd.), navsezadnje pa tudi od navijaˇcev, ki ekipi dajejo zagon in pogosto igralce potisnejo ˇcez prag stotih odstotkov svojih sposobnosti. Potem pa je tu ˇse faktor sreˇce ali nesreˇce, na katerega ne moremo vplivati (ta na dolgi rok ne bi smel predstavljati enega od odloˇcilnih dejavnikov). Teh dejavnikov v nalogi nismo upoˇstevali, saj je zelo teˇzko empiriˇcno dokazati njihov doprinos k uspehu ekipe, ˇcetudi verjamemo oz. vemo, da obstajajo.