• Rezultati Niso Bili Najdeni

Matematika 1 8. vaja B. Jurˇciˇc Zlobec

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "Matematika 1 8. vaja B. Jurˇciˇc Zlobec"

Copied!
22
0
0

Celotno besedilo

(1)

Matematika 1

8. vaja

B. Jurˇciˇc Zlobec1

1Univerza v Ljubljani, Fakulteta za Elektrotehniko 1000 Ljubljana, Trˇzaˇska 25, Slovenija

Matematika FE, Ljubljana, Slovenija 3. januar 2013

(2)

Parametriˇcna oblika

x = x (t ), y = y (t ), t ∈ [t

1

, t

2

] ⊂ R .

1. Funkcijix =x(t)iny =y(t)sta zvezni in odvedljivi definirani na[t1,t2].

2. Smerni koeficient tangente dy

dx = y˙(t) x(t)˙ . 3. Ploˇsˇcina zankeS= 1

2 Z t2

t1

(x(t) ˙y(t)−y(t) ˙x(t))dt.

4. Dolˇzina lokas= Z t2

t1

q

x(t)˙ 2+ ˙y(t)2dt.

(3)

Eksplicitna oblika y = f (x ), x ∈ [x

1

, x

2

] ⊂ D

f

⊂ R .

I Kot poseben primer parametriˇcne oblikex =x,y =f(x).

I Smerni koeficient tangente dy

dx =f0(x).

I Ploˇsˇcina zanke, ki jo doloˇca krivulja in osx S=

Z x2

x1

f(x)dx.

I Dolˇzina lokas= Z x2

x1

q

1+f0(x)2dx.

(4)

Polarna oblika r = r (ϕ), ϕ ∈ [ϕ

1

, ϕ

2

] ⊂ R

.

I Kot poseben primer parametriˇcne oblike x =r(ϕ)cosϕ,y =r(ϕ)sinϕ.

I Smerni koeficient tangente dy

dx = r(ϕ)cosϕ+r0(ϕ)sinϕ

−r(ϕ)sinϕ+r0(ϕ)cosϕ.

I Ploˇsˇcina obmoˇcja, ki jo doloˇca krivulja in kotaϕ12je S= 1

2 Z ϕ2

ϕ1

r(ϕ)2dϕ.

I Dolˇzina loka med kotomaϕ1inϕ2je s=

Z ϕ2

ϕ1

q

r(ϕ)2+r0(ϕ)2dϕ.

(5)

Implicitna oblika f (x, y ) = 0.

I Smerni koeficient tangente. Odvajamo implicitno.

d

dxf(x,y(x)) =0in izrazimoy0(x).

I Primerx2+xy+yx2 =0,

I 2x+y +xy0+2yy0x +y2=0,

I y0=2x+y+y2 x+2xy

I Veˇcinoma bomo imeli opravka s primeri, ko z uvedbo polarnih koordinat, implicitno obliko prevedemo na polarno.

(6)

Graf srˇcnice (x

2

+ y

2

− x )

2

= (x

2

+ y

2

)

Vpeljemo polarne koordinate:r2=x2+y2, x =r cosϕin dobimor =1+cosϕ.

PolarPlot[1+Cos[t],{t,0,2Pi},PlotStyle->Thick]

0.5 1.0 1.5 2.0

-1.0 -0.5 0.5 1.0

(7)

Graf lemniskate (x

2

+ y

2

)

2

= (x

2

− y

2

)

Vpeljemo polarne koordinate in dobimo r =p

cos(2ϕ), −π4 ≤ϕ≤ π4,

PolarPlot[Sqrt[Cos[2t]],{t,-Pi/4,Pi/4}, PlotStyle->Thick]

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-0.2 -0.1 0.1 0.2

(8)

Graf cikloide x (t ) = t − sin t , y (t ) = 1 − cos t .

ParametricPlot[t-Sin[t],1-Cos[t],{t,0,2Pi}, PlotStyle->Thick]

1 2 3 4 5 6

0.5 1.0 1.5 2.0

(9)

Graf asteroide x (t ) = cos

t

, y (t ) = sin

3

t .

ParametricPlot[Cos[t]ˆ3,Sin[t]ˆ3,{t,0,2Pi}, PlotStyle->Thick]

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-1.0 -0.5 0.5 1.0

(10)

Nariˇsi graf krivulje y

2

= x (1 − x )

2

.

I Krivulja je sestavljena iz dveh delov.

I y =±√

x|1−x|,x >0.

Plot[Sqrt[x]*Abs[1-x],-Sqrt[x]*Abs[1-x],x,0,1.2];

(11)

Graf

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

-0.4 -0.2 0.2 0.4

(12)

Nariˇsi graf krivulje y

2

= x

2 − x (1 − x )

2

.

I Krivulja je sestavljena iz dveh delov.

I y =±q

x

2−x|1−x|,x >0.

Plot[Sqrt[x/(2-x)]*Abs[1-x],-Sqrt[x/(2-x)]*Abs[1-x],x,0,2];

(13)

Graf

0.5 1.0 1.5 2.0

-1.0 -0.5 0.5 1.0

(14)

Izraˇcunaj ploˇsˇcino zanke y

2

= x (1 − x )

2

.

I S=2 Z 1

0

√x(1−x)dx →.

I 2 2

15x3/2(−5+3x)

1 0

.

I S= 4 15.

(15)

Izraˇcunaj ploˇsˇcino pod lokom cikloide x = t − sin t , y = 1 − cos t .

I S= Z

0

y(t) ˙x(t)dt,→

I

Z 0

(1−cost)2dt,→

I 3t

2 −2 sint+1

4sin(2t)

0

.

I S=3π.

(16)

Izraˇcunaj ploˇsˇcino srˇcnice r (ϕ) = 1 + cos ϕ.

I S= 1 2

Z 0

(1+cosϕ)2dϕ,→

I

Z 0

(1+2 cosϕ+cos2ϕ)dϕ,→

I 3t

2 +2 sint+1

4sin(2t)

0

.

I S=3π.

(17)

Izraˇcunaj ploˇsˇcino lemniskate (x

2

+ y

2

)

2

= x

2

− y

2

.

I Polarna oblikar(ϕ) =p

cos(2ϕ).

I 2 Z π/4

−π/4

cos(2ϕ)dϕ.

I S=2.

(18)

Izraˇcunaj ploˇsˇcino asteroide x

2/3

− y

2/3

= 1.

I Parametriˇcna oblikax(t) =cos3t,y(t) =sin3t.

I S= 1 2

Z 0

(x(t) ˙y(t)−y(t) ˙x(t))dt →

I 3 Z

0

sin2tcos2t dt → 3 4

Z 0

sin2(2t)dt → 3

8 Z

0

(1−cos(4x)dx

I S=3 t 8 − 1

32sin(4t)

0

,S= 3π 4 .

(19)

Izraˇcunaj dolˇzino enega loka cikloide

x (t ) = t − sin t , y (t ) = 1 − cos t , t ∈ [0, 2π].

I s= Z

0

q

2(t) + ˙y2(t)dt,→

I

Z 0

√2−2 costdt,→

I

Z 0

2|sin(t/2)|dt = 4 cos(t/2)

0 .

I s=8.

(20)

Izraˇcunaj dolˇzino krivulje r (ϕ) =

cos1ϕ

, ϕ ∈ [0,

π4

].

I x(ϕ) =r(ϕ)cosϕ=1,

I y(ϕ) =r(ϕ)sinϕ=tanϕ.

I S= Z π/4

0

(1+tan2ϕ)dϕ= tanϕ

π/4 0

→S=1.

(21)

Prostornina in povrˇsina vrtenine, parametriˇcna oblika.

Vrtenina je dobljena z vrtenjem krivuljey =f(x)okoli osix za x1≤x ≤x2.

I Prostornina

V =π Z x2

x1

f(x)2dx

I Povrˇsina

P =2π Z x2

x1

f(x) q

1+f0(x)2dx

(22)

Prostornina in povrˇsina vrtenine, parametriˇcna oblika.

Vrtenina je dobljena z vrtenjem krivuljex =x(t),y =y(t)okoli osix zat1≤t≤t2.

I Prostornina

V =π Z t2

t1

y(t)2x(t)˙ dt

I Povrˇsina

P =2π Z t2

t1

y(t) q

x˙(t)2+ ˙y(t)2dt

Reference

POVEZANI DOKUMENTI

Fakulteta za arhitekturo, Univerza v Ljubljani Faculty of Architecture, University of Ljubljana. Zoisova 12, SI-1000

Fakulteta za arhitekturo, Univerza v Ljubljani Faculty of Architecture, University of Ljubljana.. Zoisova 12, SI-1000

Univerza v Ljubljani, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Slovenija Jamova cesta 2, SI-1000 Ljubljana.. Tel.: +386 1 4768 560

1 Univerza v Ljubljani, Naravoslovnotehniška fakulteta, Oddelek za tekstilstvo, Snežniška 5, 1000 Ljubljana, Slovenija/University of Ljubljana, Faculty of Natural Sciences

1 Univerza v Ljubljani, Naravoslovnotehniška fakulteta, Oddelek za tekstilstvo, Snežniška 5, 1000 Ljubljana, Slovenija/University of Ljubljana, Faculty of Natural Sciences

1 Univerza v Ljubljani, Naravoslovnotehniška fakulteta, Oddelek za tekstilstvo, Snežniška 5, 1000 Ljubljana, Slovenija/University of Ljubljana, Faculty of Natural Sciences

1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za Elektrotehniko 1000 Ljubljana, Trˇ zaˇ ska 25, Slovenija. Matematika FE, Ljubljana,

1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za Elektrotehniko 1000 Ljubljana, Trˇ zaˇ ska 25, Slovenija.. Matematika FE, Ljubljana,