SKOK V DALJAVO

i “1531-Strnad-Skok” — 2010/8/25 — 11:02 — page 1 — #1

i

i i

i i List za mlade matematike, fizike, astronome in raˇcunalnikarje

ISSN 0351-6652 Letnik30(2002/2003) Številka 6

Strani 332–337, XXIII

Janez Strnad:

SKOK V DALJAVO

Kljuˇcne besede: fizika, poševni met, zraˇcni upor.

Elektronska verzija: http://www.presek.si/30/1531-Strnad.pdf

c

2003 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije c

2010 DMFA – založništvo

Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo- ljeno.

SKOK V DALJAVO

Presek se je dotaknil nekaterih športnih panog, med njimi tudi skoka v višino in skoka ob palici (S. Pa hor, Skok v višin o in skok ob palici po fizikalno, Presek 5 (1977/78) 179). Skoka v daljavo pa še ni obr avnava l.

Zapoln imo to vrzel.

Pri skoku v daljavo tekmovalecmed zaletomdoseževeliko hitrost,se od rine in doskoči v jamo s peskom. Med skokom spre m inja lego delov telesa glede na druge dele. Gibanje težišča skakalc a lahko preprosto opišemo . Pri tem si moramo pomagati z enačbami. Čeprav je precej

računanja,nasrečoni zahtevno ;rešiti moramolenekaj kvadratnih enačb.

Med zaletomsetežiščeskakalca giblje pospešenov vodoravnismeri,dokler ne doseže končne hitrosti Vo. V preprost em modelu vzemimo ,da se po odskoku ne spremenivelikost te hitrosti,ampak samo njena smer. Pred odskokom se težišče giblje s hit ro stj o Vo v vodoravni sme r i, ob njem pa poševno navzgor pod kotom {J proti vodoravnici. Ob odskoku je vodoravnakompon entahit r osti Vocos{J in navpičnakomponentaVosin{J. Dalje opišemo gibanje težiščakotpoševni met. To je pomembna sestavina

različnih šp ort nih panog , ki smo jo srečali pri metih v lahki atletiki in pri metu na koš (Meti, Presek 13 (1985/86) 86; Koš! Koš!, Presek 18 (1990/91) 268).

Poševni met opišemov navpičniravnini. Os x postavimo na začetno

pot težišča v višini y* = 1 m nad tlemi v smer zaleta, os y pa nad

odskočiščem navpično navzgor . Gibanje težišča lahko potem razstavimo na enakomerno premo gibanje s hit r ostj o ^Vocos{J v vodoravni smeri in

navpični met navzgor zzačetno hitrostjo Vosin{J:

x

=

vat cos{J, y= Votsin{J - ~gt². (1)

Zadnji člen ustreza glob ini pri prostem padanju z velikostjo pospeška prostega padanja g, približno 10 m/s². Iz prve enačbe izračunamo čas

t

=

x/(vocos(J)in ga vstavimo v drugo. Dobimo enačbo par abole:

(2)

V zadnjemdeluskokaskakalecskrčikolena, da podaljšaskok. Zatotežišče

zade ne vodoravna tla pod črto y = O pri Y = -Yo (slika 1). Navadno vzamejo Yo

=

- 0.5 m. To vstav im o v enačbo (2) in dobimo kvadra tna

enačb o za dolžino skoka Xm ,kigadoloča koren spozitivnim znakom:

Xm

=

v6sin(Jcos(J/g

+

^{(vocas(J/g )VV6sin2(J}

+

^{2gyo· (3)}

y

2 (a.) .lJm

1 (IJ)

y' 2 4

XmO l'

(c)

Slika l.Tri parabo le, po kate rih bi se gibalo težišče skaka lca pri skok u v dalj avo s hitrostj o 10 mis : nedoseglj iva parabola pri kotu 45° (a),parabola pri kotu 26 ,6° (b) in parabola pri kotu 20° (c). V drugem primerudosežetežišče največj ovišinoYm =

= 1 m, vodor avna komponenta hitrosti meri 8,9 mis in skok traja 1 s. V tretj em primerudoseže težišče največj o višino Ym

=

0,56 m, vodoravna komponenta hitrosti meri 9,35misin skoktraja 0,8 spr i globiniYO=0,5m,a0,95 s pri glob in iYo =1,3m.

Vzemimo ,da bi skakalec ne skrčil kolen. Potem bi veljaloYo

=

O in bi po enačbi (3) bila dolžina skoka

Xmo

=

2v6sin(Jcas(J/g

=

v6sin 2(3/g. V tem primerubi bila višin askoka po drugi enačbi (1)

( 1 ) 1 2 . 2(J/

Ym

=

Y x

=

:iXmO

=

:ivo SlU g.

(4)

(5)

Skakalc iv daljavo so dobritekači na kratkeproge. Na velikihtekmo- va nj ih ni redko v skoku v daljavo zmagal isti tekmovalec kot v teku na 100 m. Za hitrost ob odrivu je smiselno vzeti 10 mis. Skakalec, ki bi mu pri od rivu to hitrost uspelo preusmeriti pod najugodnejšim kotom proti vodoravnici(Jo

=

45° ,bi pri skoku dosegel višinotežiščaYm

=

v6/(4g)=

=

2, 5m in dalj avo XmO

=

v6/g

=

10 m. Pritem niti ne bi _skrčil kolen.

Po izračunani dalj avi in še bolj po izračunani visim sklepamo, da uporabljen emu modelu ne gre zaupati. Pri skokubise namreč težiščedvi- gn iloody* = 1 m za 2,5m na3,5m nad tla. Skakalecne bi dosegel samo svetov nega rekorda pri skoku v daljavo, am pak tud i pri skoku v višino.

V resnici skakalec ne mor e tako usp ešn o sprem eniti kinetične energije v potencialno. Po izreku okinetični in potencialn ienergiji ~mv6sin²(30=

=

mgYm,izkaterega sledizveza(5) ,kot (3ne mor edoseči 45°. Spozn anj e, da ječlovekzmožensamo manjšidelkinetičneenergije priteku spreme nit i v poten cialn o,ne omej uje samo dosežkovpriskoku v višino,ampak tudi pri skokuv dalj avo. Skakalciv višino se razlikujejood skakalcev vdalj avo in tekačev na kratk e proge. Navadno so višj i in bolj koščeni. Pritečejo

razm erom a počasi s strani in se na vso moč odr inejo po kot om (3

=

60°.

Potem pa se previjejočez letev tako,da ostane težišče čimnižje.

Enačbo za dolžino skoka (3) predelamo in naj prej vstavimo vanjo v6

=

2gYm/sin²(3 iz (5), dase znebimo _začetne hitrosti . Natoupor abimo izr aza sin(3

=

J2gYm/ V6in cos (3

=

JI - 2gYm/ V6inse znebimokot a (3:

(6)

Prvi fakto rv (6) je ena kvodoravni komponenti hit rosti J V6 - 2gYm

=

JV6 - V6sin²(3

=

Vocos(3,

zara di dru geenačbe (1),ki da votsin(3-~gt2= - Yo,paj eoglat i oklepaj v (6) enak trajanj u skoka

to

=

Vosin(3/g

+

J V6sirr'(3/g2

+

2Yo/g

=

J2Ym/g

+

J2(Ym

+

Yo)/ g· Za višino, ki jo doseže težišče , vzem imoYm= 1 m. To ustreza višini skoka okoli 2 m, ka r je precej manj od svetov nega rekorda pri skoku v višino. Skokvdalj avo trajapot em pri bližn o1sinvodoravna kompon enta hit ro sti doseže nekaj _več kot 8,9 mis . _Enačba sin(3

=

J2gYm/vo da kot f3 = 26,6° , ki je precej manj ši od 45°. Navpična komp on ent a hitrosti meri 4,5 mi s. V tem primeru je po enačbi (6) daljava 8,9 m, kar je zelo blizu prizn an ega svetovnega rekorda 8,95 m za moške. Po posn etkih 8,06mdolgegaskoka,skaterimjeJesseOwen slet a1936dosegel olim pijs ki rekord , so ugotovili, daje kot (3 meril 25do 26°.

Vend ar so novejša merjenjapri skoku v daljavodala vodor avn okom- pon ent ohitrosti 9,35mi sinnavpičnokomponent o3,35mis. Tem austre- zata velikost hitrosti Vo

=

9,93 mi s in še manj ši kot (3

=

20°. Žalobtem

ni podatkov za dolžino skoka. Enačba (3) da za dolžino priYo

=

0,5 samo 7,6 m. Kako bi mogli skakalci skočiti več? Gibanje težiščasmo dobro zaje li z našim opisom, zat o je treba vzrok iskati v gibanju delov telesa glede na druge dele. To lahko povečav računu glob ino yo. Vendar bi bil pri kotu 20°skok dolg8,9m pri globiniskoraj yo

=

1,3 m, kar bipresegalo

začetnovišino težišča nad tlemi. Tu je še nekaj dela za strokovnjake za mehaniko človeškegatelesa. Ali je kot pri rekordnih skokih večji? Ali pri njih dosežejo skakalcivečjo hitrost? Morda pa zrak na skakalca ne deluje samo z zračnimuporom?

Najprej recimo kakšno o uporu. Po kvadratnem zakonu deluje zrak na skakalca z up orom v nasprotni smeri gibanja:

(7) Pri tem je p

=

1,23 kg/m³ gostota zraka v navadnih okoliščinah, ^Cu

=

0,9 izm erjeni koeficient upora in S

=

0,5 m² povprečni presek skakalčevega telesa pravokotno na smer hitrosti. Hit rost Voje odvisna tudi od up or a.

Mendalahko dobro treniran skakalec za kratek čas razvije največjo moč

P

=

3 kW, kar je vsekakor zelo velik podatek. To moč tik pred skokom potrebuje za vzdrževanje teka skončno hitrostjo in premagovanje up ora : (8) Prvi člen na desni strani podaja močsile Km, ki vzdržuje tek s končno

hitrostjo skakalca z maso m

=

75 kg. Sorazmernostni koeficient K

=

= 3,63 W /(kg· mis) so ugotoviliz merjenji. Drugi členje močup ora. Ni se težko prepričati, da enačboreši hitrost Vo

=

10 mis, ki smo jo navedli.

Zračni upor (7) meri v tem primeru F_u

=

28 N. Zaradi njega se zmanjša končnahitrost od 11 mis na 10 mis. Če se hitrost relativno spremeni za b..vo/Vo, se daljava spremeni za

Va b..vo b..xm

=

xm ---:2C:---"---

Vo - 2gYm Vo

Zmanjšanje hitrosti za 2%skrajšaskok za 25 cm in zvečanje hit rosti za 2 %ga za toliko podaljša.

Polegtega se zaradizračnegaupora skakalecmed skokom v vodoravni smeri giblje enakomerno pojemajoče. Velikost pojemka je a

=

Fu/m

=

=

28 N/(75 kg)

=

0,37 m/s². Veni sekundise pot, to je dolžina skoka, zaradi pojemka skrajša za b..x_m

=

~at2

=

0,18 m.

Na upor in na dolžino skoka vpliva tudi gostota zraka. Pri manj ši gostot i je upor ma nj ši in končna hit rost večj a, če se druge okoliščine ne spreme nijo. Poleg tega se zaradi zmanjšanega upora skok manj skrajš a . Vglavnem mestu Mehike na višini 2265m je tla k za

i

^nižji kot ob morju.

Za tolikosomanj ši tudigostota,upor inpoj emek. Po enačbi (8) sezarad i tega hit rost povečaza 2%in skok podaljšaza 25 cm . Za 25%se zmanjša tudi pojemekin zatose skok podalj šaše za

i

^{·18 cm}

⁼

^{4,5 cm . Vceloti je}

skok za 30cm daljšikot skok ob mor ski glad ini,če se drugeokoliščine ne spremenijo . Po tem premi sleku 8,90 mdolgemu skoku Bob aBea mona na olimp iadi leta 1968 v glav nem mestu Mehike ustreza ob morju približno 8,6m dolg skok. V tem pogledujebil boljš iod Beamonovega skoka 8,8m dolgi skok Carla Lewisa let a 1983 ob morski glad ini, ki ga seveda niso vodili kot svetovni rekord. Z izp op olnjeno enačbo (7) bi lahko zaje li še vpliv vetra na dolžino skoka. Zrak bi ut egnil delova ti na skakalca,ko po odrivu z zgorn j im delom telesa zani ha, še s prečno silo ali dinamičnim

vzgonom v smer i nav zgor . To bi pod alj šalo časskoka in povečalodolžino.

To možnost bi morali upoštevati, če pri rekordnih skokih kot ni večji kot 20°in hit rostnevečjakot 10 mis. S preprostimmodelomnimogočezajeti podro bnostipriskoku v dalj avo. Jasnopa post an e,da se rekordniskoki

posrečijo le v ugodnih okoliščinah skakalcem, kiso naj b olje prip ravlj eni in kiim a j o tudi nekaj sreče.

Tudi pred skoraj tritisoč leti so tekmovali v skoku v daljavo,vendar

drugače kot danes. Na antični h olimpiadah so v pet erob oju ska kali v daljavo z mest a. Pri tem so vsaj od olimpiade let a 708 pr. n. št. dalj e up orablj ali ročaje, (h)alteres. Nekaj ročajev se je ohranilo do dan ašnjih dni(slika2naIII.straniovitka). Vsakod dvehročajevizkamna alisvinca je tehtalod dva do devet kilogramov. Pred skokom so tekm ovalc izibali roke z ročaji sem in tja . Tik pred odskokom so stegnili roke na zaj in jih obods kok u pren esli naprej in nav zgor. S tem sodosegli,da jebilo težišče

više in bolj spre daj,kot bi bilo brezročaj ev . Obdoskoku so poti snili roke zročaji nazaj in navzd ol,da sobilenoge čimdljepred težiščem. S temso

povečali dolžino skoka. Morda so ročaj e uvedl i tudi zato, da so ska kalci laželovili ravnotežjeob doskoku. Pravila so namrečzahtevala,da senoge nadoločen način dotaknejo tal,čeprav ne vemo,na kak šen .

AlbertoMinet tiin LucaArd ig6 zuniver zev Man chestru st asposku si in z računalniško simulacijo raziskala vpliv ročajev in o tem poročala v reviji Nature lan skega novembra. Ugot ovila sta, da se je zaradi ročajev

z maso dvak ra t po trikilograme podalj šal trimetrskiskok vsaj za 17cm.