Pri tem naj srediˇsˇce kroˇznice opiˇse kroˇznico s polmerom a >0

i i

“Razpet” — 2016/12/19 — 7:12 — page 121 — #1

i i

i i

i i

LOKSODROME NA KROˇZNEM TORUSU MARKO RAZPET

Pedagoˇska fakulteta Univerza v Ljubljani

Math. Subj. Class. (2010): 53A04, 53A05

V prispevku definiramo loksodrome na kroˇznem torusu in med njimi poiˇsˇcemo skle- njene. Pokaˇzemo, kdaj obstajata ortogonalni druˇzini sklenjenih loksodrom na kroˇznem torusu.

LOXODROMES ON A RING TORUS

In this contribution we define loxodromes on a ring torus and we find closed ones among them. We show when there exist orthogonal families of closed loxodromes on a ring torus.

Torus

Ce kroˇˇ znico s polmeromb >0 zavrtimo za kot 2π okoli premice v ravnini te kroˇznice, dobimo ploskev, ki ji reˇcemo torus. Pri tem naj srediˇsˇce kroˇznice opiˇse kroˇznico s polmerom a >0. Premica, okoli katere zavrtimo kroˇznico, jeos torusa. Kroˇznica s polmeroma, po kateri srediˇsˇce kroˇznice s polmerom b obkroˇzi srediˇsˇce torusa, je srediˇsˇcnica torusa. Njeno srediˇsˇce je srediˇsˇce torusa. Da bomo torus laˇzje ˇstudirali in v zvezi z njim tudi kaj izraˇcunali, postavimo pravokotni karteziˇcni koordinatni sistem Oxyz tako, da je sre- diˇsˇce torusa v koordinatnem izhodiˇsˇcu, os torusa pa je os z. Preostali dve koordinatni osi pa sta postavljeni tako, kot smo navajeni (slika 1).

Oblika torusa je ˇse najbolj odvisna od razmerja med a in b. Ce jeˇ a > b >0, ima torus okoli svojega srediˇsˇca luknjo. Takemu torusu pravimo kroˇzni torus, saj ima obliko odebeljene kroˇznice in je ˇse najbolj podoben avtomobilski zraˇcnici. ˇCe je a = b > 0, se ta luknja popolnoma zapre in takrat govorimo orogatem torusu. ˇCe namreˇc tak torus presekamo z ravnino skozi njegovo srediˇsˇce pravokotno na os, vidimo v vsaki polovici v sredini nekakˇsen roˇziˇcek vzdolˇz osi. ˇCe je 0 < a < b, torus seka sam sebe, okoli njegovega srediˇsˇca pa dobimo vretenu podoben del. Zato takemu torusu reˇcemo vretenasti torus. Ker bomo v prispevku obravnavali samo kroˇzne toruse, bomo prilastek kroˇzniizpuˇsˇcali.

Torus v koordinatnem sistemuOxyz, v katerem jeO srediˇsˇce torusa, os z pa os torusa, najenostavneje parametriziramo z

~

r(u, v) = ((a+bcosv) cosu,(a+bcosv) sinu, bsinv),

Obzornik mat. fiz.63(2016) 4 121