Laboratorijske vaje Matematika 4

Laboratorijske vaje Matematika 4

2. Vaja Laplaceova transformacija

B. Jurˇciˇc Zlobec¹

1Univerza v Ljubljani, Fakulteta za Elektrotehniko 1000 Ljubljana, Trˇzaˇska 25, Slovenija

Matematika 4 FE, Ljubljana, 14. marec 2013

Lapalaceova transformacija

S pomoˇcjo integrala poiˇsˇci Laplaceovo transformacijo funkcije f(t) =t²

f[t_]=t^2;

Integrate[f[t] Exp[-s t],{t,0,Infinity}, Assumptions->{s>0}]

2/s^3

Poiˇsˇci Laplaceovo transformacijo funkcije f(t) s pomoˇcjo Mathematice

LaplaceTransform[f[t],t,s]}

InverseLaplaceTransform[%,s,t]

2/s^3 t^2

Laplaceova transformacija

Poiˇsˇci Laplaceovo transformacijo funkcij:

f(t) ={1,t,e^at,sin(at),cos(at)}

LaplaceTransform[{1, t, t^n, Exp[a t], Sin[ a t], Cos[a t]}, t, s]

FullSimplify[Gamma[n + 1], Assumptions ->

{n \[Element] Integers, n > 0}]

{1/s, 1/s^2, s^(-1 - n) Gamma[1 + n],

1/(-a + s), a/(a^2 + s^2), s/(a^2 + s^2)}

n!

Pravila prema transformacija

Laplaceova transformacija odvoda LaplaceTransform[D[f[t],t],t,s]

-f[0] + s LaplaceTransform[f[t], t, s]

Laplaceova transformacija integrala

LaplaceTransform[Integrate[f[u],{u,0,t}],t,s]

LaplaceTransform[f[t], t, s]/s

Laplaceova transformacija konvolucije (pregiba)

LaplaceTransform[Integrate[f[u]g[t-u],{u,0,t}],t,s]

LaplaceTransform[f[t], t, s] LaplaceTransform[g[t], t, s]

Pravila za inverzno (obratno) transformacijo

Inverzna transformacija odvoda

InverseLaplaceTransform[D[F[s], s], s, t]

-t InverseLaplaceTransform[F[s], s, t]

Inverzna transformacija integrala InverseLaplaceTransform[

Integrate[F[u],{u,s,Infinity}], s, t]

InverseLaplaceTransform[F[s], s, t]/t

Izraˇ cunaj inverzno Lapaceovo transformacijo funkcije F (s ) =

Z ukazomInverseLaplaceTransform

InverseLaplaceTransform[s/(s^2+1)^2,s,t]

S pomoˇcjo pravila o konvoluciji

f[t_]=InverseLaplaceTransform[1/(s^2+1),s,t]}

g[t_]=InverseLaplaceTransform[s/(s^2+1),s,t]

Integrate[f[u] g[t-u],{u,0,t}]

1/2 t Sin[t]

Doloˇ ci Laplaceovo transformacijo funkcije f (t − a).

f(t−a),a>0, inf(t) =

(t 0≤t≤1 2−t 1<t≤2.

f[t_]=Piecewise[{{t,0<=t<=1},{2-t,1<t<=2}},0];

LaplaceTransform[f[t-a],t,s,

Assumptions->{a>0}]//FullSimplify (E^(-(2 + a) s) (-1 + E^s)^2)/s^2

Reˇsi diferencialno enaˇ cbo

¨

x(t) + 2 ˙x(t) + 3x(t) = sin(t), x(0) = 0, ˙x(0) = 1 LaplaceTransform[x’’[t] + 2 x’[t] + 3 x[t] ==

Sin[t], t, s] /. x[0] -> 0 /. x’[0] -> 1 Solve[%, LaplaceTransform[x[t], t, s]]

InverseLaplaceTransform[%, s, t]

Reˇsi robni problem

¨

x(t) + 2 ˙x(t) + 3x(t) = sin(t), x(0) = 0, x(1) = 1

LaplaceTransform[x’’[t] + 2 x’[t] + 3 x[t]==Sin[t], t, s]/. x[0] -> 0 /. x’[0] -> a

Solve[%, LaplaceTransform[x[t], t, s]]

f = InverseLaplaceTransform[%, s, t]

Solve[(x[t] /. % /. t -> 1) == 1, a] // N f /. % /. t -> 2

Naloge:

Reˇsi diferencialno enaˇcbo

¨

x(t) + 2 ˙x(t)−3x(t) =e^−t,

pri zaˇcetnih pogojih x(0) = 0 in ˙x(0) = 1. Koliko jex(1)?

Rezultat: 0.921126

Reˇsi sistem diferencialnih enaˇcb

˙

x(t) =y(t)−z(t), ˙y(t) =x(t) +z(t) in ˙z(t) =y(t)−x(t), pri zaˇcetnih pogojih x(0) = 1, y(0) = 2 inz(0) = 3.

Koliko jex(1/2)?

Razultat: 0.794827

Poiˇsˇ ci funkcijo x(t ), ki reˇsi integralsko enaˇ cbo.

Koliko je x(1/2).

x(t) = 1 + 1/2 Z _t

0

sin(2(t−u))x(u)du.

InverseLaplaceTransform[

Solve[LaplaceTransform[

x[t] == 1 + 1/2 Integrate[Sin[2 (t - u)] x[u], {u,0,t}], t, s], LaplaceTransform[x[t], t, s]], s, t] /. t -> 0.5

Rezultat: 1.11738