1. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 2 Univerzitetni ˇstudij
11. april 2014
1. [25T] Izraˇcunajte obseg in ploˇsˇcino trikotnika, ki ga napenjata vektorja~x= 2~a+~bin~y= 3~a−2~b, kjer je|~a|= 2,|~b|= 1, kot med vektorjema~a in~bpa je π3.
Reˇsitev:
Najprej izraˇcunamo dolˇzine vektorjev ~x, ~y in ~z = ~y −~x = ~a−3~b, ki predstavljajo stranice trikotnika. Upoˇstevamo, da je~a·~b=|~a| · |~b| ·cosϕ= 1.
|~x|=|2~a+~b| = q
(2~a+~b)·(2~a+~b) =q
4|~a|2+ 4~a·~b+|~b|2 =√ 21,
|~y|=|3~a−2~b| = q
(3~a−2~b)·(3~a−2~b) =q
9|~a|2−12~a·~b+ 4|~b|2 = 2√ 7,
|~z|=|~a−3~b| = q
(~a−3~b)·(~a−3~b) =q
|~a|2−6~a·~b+ 9|~b|2 =
√ 7.
Obseg trikotnika je
o=|~x|+|~y|+|~z|=
√ 7(3 +
√ 3).
Ploˇsˇcina trikotnika je
p = 1
2|~x×~y|= 1
2|(2~a+~b)×(3~a−2~b)|= 1
2|6~a×~a
| {z }
=0
+3~b×~a−4~a×~b−2~b×~b
| {z }
=0
|
= 7
2|~a×~b|= 7
2|~a| · |~b| ·sinϕ= 7√ 3 2 .
2. [25T] Dana je matrikaA=
1 0 2 0 1 0 2 0 1
.
a) Poiˇsˇcite vse matrike X, ki komutirajo z dano matrikoA.
b) Poiˇsˇcite vsaj eno ortogonalno matrikoX, ki komutira z matriko A.
Reˇsitev:
a) OznaˇcimoX =
a b c
d e f g h i
in izraˇcunamo
A·X =
1 0 2 0 1 0 2 0 1
·
a b c d e f g h i
=
a+ 2g b+ 2h c+ 2i
d e f
2a+g 2b+h 2c+i
,
X·A =
a b c d e f g h i
·
1 0 2 0 1 0 2 0 1
=
a+ 2c b 2a+c d+ 2f e 2d+f g+ 2i h 2g+i
.
Iz primerjave koeficientov sledijo zveze i = a, g = c in b = d = f = h = 0. Matrike, ki komutirajo z dano matrikoA so simetriˇcne matrike oblike
X=
a 0 c 0 e 0 c 0 a
.
1
b) Ker je matrika X simetriˇcna (XT =X), zadoˇsˇca preveriti enakost
X·XT =X2=
a 0 c 0 e 0 c 0 a
·
a 0 c 0 e 0 c 0 a
=
a2+c2 0 2ac
0 e2 0
2ac 0 a2+c2
=I.
Iz primerjave koeficientov sledi a2 +c2 = 1, 2ac = 0 in e2 = 1. Dobimo 8 reˇsitev: a = 0, c=±1,e=±1 in c= 0,a=±1,e=±1. Ena izmed teh reˇsitev je identiteta I.
1 0 0 0 1 0 0 0 1
,
1 0 0
0 −1 0
0 0 1
,
−1 0 0
0 1 0
0 0 −1
,
−1 0 0
0 −1 0
0 0 −1
,
0 0 1 0 1 0 1 0 0
,
0 0 1
0 −1 0
1 0 0
,
0 0 −1
0 1 0
−1 0 0
,
0 0 −1
0 −1 0
−1 0 0
.
3. [25T] Izraˇcunajte vrednost determinante
1 1 1 1
3 −1 i −1
3 −i 1 i
3 −1 −i −1 .
Reˇsitev:
1 1 1 1
3 −1 i −1
3 −i 1 i
3 −1 −i −1
=
1 1 1 1
0 −4 i−3 −4
0 −i−3 −2 i−3
0 −4 −i−3 −4
=
−4 i−3 −4
−i−3 −2 i−3
−4 −i−3 −4
=
−4 i−3 −4
−i−3 −2 i−3
0 −2i 0
= 2i·(−4i + 12−4i−12) = 16.
4. [25T] Dana je matrikaA=
1 2 2
3 4 1
−2 −4 −1
.
a) Izraˇcunajte lastne vrednosti matrikeA.
b) Poiˇsˇcite tisti lastni vektor matrike A, ki pripada lastni vrednosti, ki je najbliˇzje 0.
Reˇsitev:
a) Lastne vrednosti matrikeA so reˇsitve enaˇcbe
det (A−λI) =
1−λ 2 2
3 4−λ 1
−2 −4 −1−λ
= (1−λ)(4−λ)(−1−λ)−2−2λ
= −(λ+ 1)(λ2−5λ+ 6) =−(λ+ 1)(λ−2)(λ−3) = 0.
Dobimo tri lastne vrednostiλ1=−1,λ2 = 2 inλ3 = 3.
b) Lastni vektor izraˇcunamo za lastno vrednostλ1=−1, ki je najbliˇzja 0
A+I =
2 2 2
3 5 1
−2 −4 0
∼
1 1 1
0 4 −4
0 −2 2
∼
1 1 1 0 1 −1 0 0 0
⇒ x1=
−2 1 1
.
2
