Univerza v Ljubljani Pedagoška fakulteta
Oddelek za matematiko in računalništvo Katedra za algebro in analizo
Marko Razpet
IZ MATEMATIKOVE ROPOTARNICE
Študijsko gradivo
Matematične teme z didaktiko
Ljubljana, december 2014
Vsebina
Predgovor 3
1 Nekaj zgodovine 5
2 Kosinusni izrek 5
3 Stožnice 18
4 Parabola 19
5 Elipsa 20
6 Hiperbola 22
7 Cassinijevi ovali 34
8 Nekaj spominov 58
9 Pravilni petkotnik 60
10 Zlato razmerje 62
11 Nekaj grškega 64
12 Koti v pravilnem petkotniku 74
13 Konstruktibilnost 79
Za konec 91
Literatura in spletni viri 97
Predgovor
Videti je tako, kot da je avtor pričujočega gradiva pisal vse, kar mu je v nekem trenutku padlo na pamet, brez neke posebno stroge urejenosti. Tako in tako pa matematiki pravijo, da se da vsako množico, torej tudi množico vseh stavkov v tej knjigi, dobro urediti. V resnici premišljujemo in bivamo na tem planetu precej neurejeno, zato zgolj navidezna zmeda misli ne bi smela biti nikomur v sramoto in pohujšanje. Ko hodimo in se vozimo naokrog po svetu, premišljujemo zdaj o tem, zdaj o onem. Težko je svobodnemu človeku dolgo vztrajati samo pri eni misli, tako kot je odvratno početi kar naprej eno in isto stvar.
Ko smo sredi lepe pokrajine, zlasti prvič, nam misli kar same od sebe preskakujejo od ene téme na drugo. Beseda téma je grška: beseda θέμα izhaja izτίθημι, kar pomeni denem, postavim. Danes pomeni téma predvsem osnovni, osrednji predmet neke znanstvene obravnave ali umetniškega dela.
Imamo jo pa tudi v glasbi v pomenu zaokrožene skupina tonov, ki ima v stavku ali skladbi osrednjo vlogo. V šoli, kjer smo prebili veliko ur svojega življenja, prevladuje učna téma. V bizantinski državi od 7. do 9. stoletja je bila téma obrobna dežela z vojaško oblastjo.
Pogosto bomo namenoma razlagali besede grškega izvora. Evropa je zašla v hudo gospodarsko in finančno, verjetno tudi v moralno in duhovno krizo in moderna Grčija se je prva znašla v hudi godlji, malo po svoji, malo po tuji krivdi. Kljub temu ne smemo pozabiti, da se je ravno na grških tleh pred nekaj tisočletji začela evropska civilizacija. Tam najdemo prve evropske filo- zofe, naravoslovce, literarne ustvarjalce in umetnike. Tam so razvili glasovno pisavo, ki jo še danes uporabljajo, tam so prirejali prve olimpijske igre, po njihovih božanstvih, polbožanstvih in junakih se imenujejo nekatere zvezde in ozvezdja in še bi lahko naštevali. Dali so nam osnove politične kulture, takšne in drugačne. Iz naziva za staro grško mestno državico, πόλις, smo dobili besedo politika, iz δῆμος, ljudstvo, in iz κρατέω, imam moč in oblast,
vladam, pa besedo demokracija. Ne pozabimo, pri Grkih ne najdemo samo demokracije, ampak tudi tiranijo. Ta beseda pa izhaja iz besede τύραννος, neomejen vladar, samodržec, samosilnik, trinog.
Nekaj besed je v delu napisanih tudi z arabskimi pismenkami, nekaj v indijskem devanagari, nekaj v cirilici. To nam omogoča sodobna tehnologija.
Marsikoga izvor besed prav eno figo briga. Takemu ni pomoči. Njemu je beseda le beseda, s katero opleta, ko se mu zdi potrebno in se dela pametnega.
Če pa bodo pri branju avtorjeve sprotne skromne jezikovne razlage koga hudo motile, naj jih preprosto preskoči.
V tem smislu je tudi napisano pričujoče delo. Možnost globokega premišl- jevanja o vsem mogočem je neke vrste zlata svoboda. Vsiljeno ali v najmilejši obliki priporočeno premišljevanje le o eni stvari s strani kogarkoli pa je že posebna vrsta suženjstva, v najmilejši obliki hlapčevstva.
Voll Verdienst, doch dichterisch,
wohnet der Mensch auf dieser Erde. Doch reiner ist nicht der Schatten der Nacht mit den Sternen, wenn ich so sagen könnte,
als der Mensch, der heißet ein Bild der Gottheit.
(F. Hölderlin, In lieblicher Bläue)
Res je! Poln zaslužnosti, a pesniško domuje človek na tej zemlji. Toda senca noči, posute z zvezdami, ni čistejša, če lahko tako rečem, od človeka, imenovanega podoba boštva. Tako je pesnikove misli prevedel Niko Grafe- nauer, naslov prevoda pa je V ljubki modrini. Človek, podoba boštva? O tem bi se dalo ure in ure na široko razpravljati. Glede na vse to, kaj se je z ljudmi in s svetom dogajalo, se dogaja in se žal bo dogajalo, bi marsikdo povedal, da ne.
Ljubljana, decembra 2014 Dr. Marko Razpet
1 Nekaj zgodovine
Prvi v zgodovini se je s trigonometrijo v 2. stoletju pne. resno ukvarjal Hiparh z Rodosa, kjer je umrl, ῞Ιππαρχος ὁ ῾Ρόδιος, ki je bil sicer doma v Nikeji, Νίκαια, danes İznik v Turčiji. To je v starodavni pokrajini, ki se je imenovala Bitinija, Βιθυνία. Izračunal je tablice tetivt, ki ustrezajo danemu obodnemu kotu α v krogu s polmerom r, to pomeni t = 2rsinα. Velik korak naprej je v trigonometriji naredil Menelaj iz Aleksandrije, Μενέλαιος ὁ Αλεξανδρεύς v svojem delu Σφαιρική, ki se je ohranilo v arabskem prevodu.
Trigonometrija je našla plodna tla v Indiji, kjer so vzeli samo polovično tetivo s =t/2, za polmer enoto in dobili današnji sinus: s= sinα.
Polovično tetivo so v sanskrtu imenovali ardha-jya, kar se je najprej poenostavilo v jya, nato pa v jiva ali jiba, v sanskrtu aD>yA, >yA, яFvA, яFbA. Arabci so jo prevedli v jiba,
I . k.
. Ker so nekateri to v arabščini, kjer ni zapisanih samoglasnikov, prebrali jaiba,I . Jk.
, kar pomeni žep, zaliv, po latinsko med drugim tudisinus, se je sčasoma udomačila ta beseda, ki jo poz- namo danes tudi v trigonometriji. Sicer ima beseda sinus v latinščini veliko pomenov: krivina, zavoj, oblina, oblok, lok, guba, zaliv, zatok, žep, mošnja, nedrje, prsi, naročje, objem, notranjost, moč, oblast.2 Kosinusni izrek
Kosinusni izrek nam je morda prav posebno ostal v spominu. Nekega lepega dne je vstopil v učilnico strogi profesor matematike. Vse je bilo na srečo v najlepšem redu. Reditelji so pravočasno poskrbeli, da je bila pobrisana tabla in pripravljeno geometrijsko orodje na dogovorjenem mestu: dva trikotnika, ravnilo in šestilo. Oba trikotnika sta bila pravokotna, prvi je imel oba ostra kota po 45◦, drugi pa se je odlikoval s kotoma 30◦ in 60◦. Pri načrtovanju smo si lahko pomagali z obema in z ravnilom, kar je zahtevalo ne le teo- retično znanje, ampak tudi precejšnjo mero fizične spretnosti. Nato je pro-
fesor na tablo načrtal trikotnik, ga označil, potegnil nekaj pomožnih črt in znameniti izrek elegantno dokazal, pri čemer je uporabil samo elementarno geometrijo. Razložil nam je, kdaj kosinusni izrek uporabljamo, kakšne so njegove posledice, pomanjkljivosti za računanje in podobno. Seveda nam ni razlagal, če so ga uporabljali tudi takrat, ko so potegnili kakšno državno mejo, navadno krivično. Ali je sploh katera pravična? Nemara bi jim bolj prav prišel sinusni izrek. Vse pa kaže, da jim je bila trigonometrija takrat deveta skrb in da so obvladali še najbolj igro Zemljo krasti, kakršno smo se šli tudi mi, še kot otroci. Ni treba posebej pojasnjevati, da smo reševali veliko nalog, pri katerih smo s pridom uporabili imenitni kosinusni izrek.
Kot kaže, je kosinusni izrek prvi zapisal Evklid, Εὐκλείδης, v svojih Ele- mentih,Στοιχεῖα, čeprav ni poznal funkcije kosinus v današnji obliki. Upora- bil je pravokotno projekcijo ene stranice na drugo oziroma na njen podaljšek.
Ker še ni poznal negativnih števil, je moral izrek zapisati dvakrat: za primer projekcije na stranico in posebej za primer projekcije na njen podaljšek.
Izreka sta zapisana že v drugi knjigi v 12. in 13. trditvi. Seveda sta tudi dokazana. Perzijec Al-Kashi (1380–1429), v arabščini
ú
æ A¾Ë@
, je kosi-nusni izrek poznal v današnji obliki, čeprav mu niso tako rekli. Dolgo pa so uporabljali namesto kosinusni izrek izraz Al-Kashijev izrek.
Nekoliko nas je zaneslo. Povrnimo se spet v geometrijo. Že v osnovni šoli smo načrtovali trikotnike z danimi stranicami a, b in c. Spoznali smo, kdaj tak trikotnik sploh lahko načrtamo. Kote v trikotniku pa takrat še nismo znali izračunati razen v izjemnih primerih. Sedaj bomo znali rešiti tudi to nalogo. V ta namen izkoristimo pomembno orodje, to je ravno kosinusni izrek.
Kosinusni izrek v ravninski trigonometriji lahko dokažemo tako ali dru- gače, lahko že kar z uporabo Pitagorovega izreka, kakor smo naredili na gimnaziji (slika 1), lahko pa tudi z vektorji. Imejmo trikotnik ABC s strani- cami a, b inc ter z notranjimi kotiα, β in γ. Pravokotna projekcija stranice b na stranicocnaj box. Zato je pravokotna projekcija straniceana stranico
c enaka c−x. Višina trikotnika na stranico c pa naj bo v. Potem očitno
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
A B
C
b a
c
x c−x
v
α β
γ
.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................
Slika 1: Običajna izpeljava kosinusnega izreka.
veljata relaciji:
x=bcosα v2 =b2−x2 =a2−(c−x)2.
Če je αtopi kot, je projekcijaxnegativna, če jeβ topi kot, je projekcijac−x negativna, kar nas ne moti. Iz relacije b2−x2 =a2−(c−x)2 dobimo najprej b2 =a2−c2+ 2cx=a2−c2+ 2bccosα, od koder že imamo kosinusni izrek:
a2 =b2+c2−2bccosα.
S ciklično zamenjavo stranic in kotov dobimo še
b2 =a2+c2−2accosβ , c2 =a2+b2−2abcosγ.
Kosinusni izrek je imeniten, saj z njim lahko iz znanih stranic trikotnika izračunamo njegove kote. Žal pa za našo šolsko rabo ni bil ravno pripraven, ker si z logaritmi tu žal nismo mogli kaj prida pomagati. Za računanje na računalniku, o katerem smo lahko na gimnaziji le sanjali, pa je kar v redu.
Odgovoriti pa nam pomaga na vprašanje, če velja tudi obrat Pitagorovega izreka, ki pove: če v trikotniku s stranicamia,bincvelja relacijaa2+b2 =c2,
potem je cnajdaljša stranica in trikotnik je pravokoten. Če je namreč γ kot nasproti stranicecina2+b2 =c2, potem velja po kosinusnem izreku relacija:
c2−(a2+b2) = −2bccosγ = 0.
Iz relacije cosγ = 0 pa sledi γ = 90◦, kar seveda pomeni, da je trikotnik res pravokoten.
V resnici se pri dokazu obrata Pitagorovega izreka lahko izognemo ko- sinusnemu izreku. Denimo, da imamo trikotnik T s stranicami a, b, c in da zanje velja relacijaa2+b2 =c2. Iz nje vidimo, da jecnajdaljša stranica trikot- nika. Konstruiramo pravi kot, vzdolž enega kraka odmerimo od vrha kota stranico a, vzdolž drugega kraka pa prav tako od vrha kota stranico b. Kra- jišči daljic na krakih povežemo in dobimo pravokotni trikotnik s hipotenuzo.
Zanj seveda po Pitagorovem izreku tudi velja a2 +b2 = c2. Konstruirani trikotnik pa je zagotovo skladen z našim začetnim trikotnikom T, saj se z njim nedvomno ujema v vseh treh stranicah. Zato se pa oba trikotnika, po enem od izreku o skladnosti, ujemata tudi v vseh treh kotih, torej tudi v pravem. Začetni trikotnik T je zares pravokoten. Z vektorji, ki jih nekateri
........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... .
.. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .............
.........
................................................ ..........................................................................................................
.. .. .. .. .. .. .. .. ... ....
A B
C
~b ~a
~c
α β
γ
Slika 2: Vektorska izpeljava kosinusnega izreka.
starejši nepoučeni videti ne morejo, ker se jih morda nikoli učili niso, pa gre
izpeljava kosinusnega izreka tekoče kot po maslu. Naj bodo (slika 2)
~a=−−→
CB , ~b=−→
CA in ~c=−→
AB
z dolžinami a=|~a|, b=|~b| inc=|~c|. Ker je~c=~a−~b, imamo:
~c·~c= (~a−~b)·(~a−~b) =~a·~a+~b·~b−2~a·~b.
Ker je~a·~b=|~a||~b|cosγ, imamo takoj pred seboj kosinusni izrek:
c2 =a2+b2−2abcosγ.
Pri znanih stranicah trikotnika lahko izračunamo kot γ. Če zapišemo še dvakrat kosinusni izrek, in sicer v oblikah
a2 =b2+c2−2bccosα in b2 =a2+c2−2accosβ,
lahko izračunamo še kotaα inβ. Seveda je dovolj izračunati samo en kot od zadnjih dveh, saj velja enakost α+β+γ = 180◦.
Ena od izpeljav formule za ploščinop konveksnega štirikotnika uporablja kosinusni izrek in tisto formulo za trikotnik, ki pravi, da je njegova dvakratna ploščina enaka produktu dveh njegovih stranic in sinusa vmesnega kota.
Navadno formulo za ploščino konveksnega štirikotnika pripisujejo indijskemu matematiku in astronomu z imenom Brahmagupta (598–668), v sanskrtu b}hmgpt.
Oglejmo si torej poljuben konveksen štirikotnikABCDs stranicamia, b, c, d in mu izračunajmo ploščino p. Označimo diagonalo štirikotnika z e ter kota β in δ (slika 3).
Iz slike 3, na kateri smo štirikotnik razdelili z diagonalo e na trikotnika ABC in ACD, dobimo:
4p= 2(absinβ+dcsinδ). (1) Nato uporabimo za trikotnika ABC inACD kosinusni izrek
e2 =a2+b2−2abcosβ,
.....................
......
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..............................................................................
..................................................................................................................................................................................................
. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . ..
......................
...
........................
...
....
A
B C D
δ
β a
b c
d e
Slika 3: Splošna Brahmaguptova formula.
e2 =c2+d2−2cdcosδ.
Iz enačbe
a2+b2−2abcosβ =c2+d2−2cdcosδ dobimo:
a2+b2−c2−d2 = 2(abcosβ−cdcosδ). (2) Sedaj relaciji (1) in (2) kvadriramo in seštejemo:
16p2+ (a2+b2−c2−d2)2 = 4(absinβ+dcsinδ)2+ 4(abcosβ−cdcosδ)2. Izraz na desni strani poenostavimo tako, da uporabimo relaciji sin2β + cos2β = 1insin2δ+cos2δ = 1ter adicijski izrek za funkcijo kosinus. Dobimo
16p2+ (a2+b2−c2−d2)2 = 4a2b2+ 4c2d2−8abcdcos(β+δ).
Uporabimo še relacijo 2 cos2(β+δ)/2 = 1 + cos(β+δ):
16p2+ (a2+b2−c2−d2)2 = 4a2b2 + 4c2d2+ 8abcd−16abcdcos2(β+δ)/2.
Izrazimo
16p2 = 4(ab+cd)2−(a2+b2−c2−d2)2−16abcdcos2(β+δ)/2.
Razstavimo razliko prvih dveh členov na desni strani:
16p2 = (2ab+2cd−a2−b2+c2+d2)(2ab+2cd+a2+b2−c2−d2)−16abcdcos2(β+δ)/2.
Zapišemo s kvadrati:
16p2 = [(c+d)2−(a−b)2)][(a+b)2−(c−d)2]−16abcdcos2(β+δ)/2.
Spet razstavimo:
16p2 = (c+d+a−b)(c+d−a+b)(a+b+c−d)(a+b−c+d)−16abcdcos2(β+δ)/2.
Z vpeljavo polovičnega obsega s = (a+ b+ c+d)/2 štirikotnika ABCD najprej izrazimo
s−a = b+c+d−a
2 , s−b= c+d+a−b
2 ,
s−c= d+a+b−c
2 , s−d= a+b+c−d
2 ,
potem pa lahko zapišemo
16p2 = 2(s−a)·2(s−b)·2(s−c)·2(s−d)−16abcdcos2(β+δ)/2.
Po krajšanju in korenjenju je pred nami splošna Brahmaguptova formula:
p=p
(s−a)(s−b)(s−c)(s−d)−abcdcos2(β+δ)/2, s= a+b+c+d
2 .
Ker je v štirikotniku vsota notranjih kotov enaka 2π, lahko zamenjamoβ+δ z 2π−(α+γ) in dobimo analogen izraz zap:
p=p
(s−a)(s−b)(s−c)(s−d)−abcdcos2(α+γ)/2, s= a+b+c+d
2 .
V primeru tetivnega štirikotnika je (α+γ)/2 = (β+δ)/2 =π/2 in dobimo znano formulo za ploščino tetivnega štirikotnika.
p=p
(s−a)(s−b)(s−c)(s−d), s= a+b+c+d
2 .
.....................
......
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..............................................................................
.................................................................................................................................................................................................... .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . .. . . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... ....
....
......
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
......
......
..................
........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
.. . .. . .. . .. . ..
......................
...
........................
...
....
A
B C D
δ
π−δ a
b c
d e
Slika 4: Brahmaguptova formula za tetivni štirikotnik.
Formula nas spominja na Heronovo formulo za ploščino trikotnika z zna- nimi stranicami. K Heronovi in Brahmaguptovi formuli za tetivni štirikotnik se bomo še vrnili. Znano formulo so poimenovali po Heronu iz Aleksandrije,
῞Ηρων ὁ ᾿Αλεξανδρεύς.
Pri danih stranicaha, b, c, dima štirikotnik največjo ploščino, ko jecos2(α+
γ)/2 = 0, torej ko je α+γ =β+δ =π. To pa se zgodi, natanko tedaj, ko je štirikotnik tetiven, kar je posledica izreka o obodnem kotu.
Pri izpeljavi Brahmaguptove formule smo uporabili formulo za kosinus polovičnega kota. Navadno jo navajamo skupaj s formulo za sinus polovičnega kota. To sta relaciji
2 cos2α/2 = 1 + cosα, 2 sin2α/2 = 1−cosα. (3) Indijci, pa tudi drugi, ki so jim sledili, so vpeljali tudi kotno funkcijo versus z relacijo versα= 1−cosα. Tore je versα= 2 sin2α/2.
Navadno pravimo, da sta relaciji (3) posledici adicijskih izrekov za funkciji sinus in kosinus. Sta zelo uporabni pri integraciji potenc obeh funkcij. Lahko pa formuli brez težav izpeljemo geometrijsko s pomočjo slike 5. To pomeni, da se adicijskemu izreku pri izpeljavi Brahmaguptove formule lahko izognemo.
