Vaje 6: Vsota in presek vektorskih prostorov

Vaje 6: Vsota in presek vektorskih prostorov

Naloge na vajah:

1. Naj bosta U inV vektorska podprostora v R⁴ doloˇcena kot U ={(x1, x2, x3, x4)|x2+x3 +x4 = 0} ,

V ={(x₁, x₂, x₃, x₄)|x₁+x₂ = 0, x₃−2x₄ = 0} .

Doloˇci vektorske podprostore U, V, U ∩V in U +V. Doloˇci razseˇznost in zapiˇsi primere njihovih baz!

2. Naj boV =U⊕W in naj boZ tak vektorski podprostor, da jeU ≤Z ≤V. Dokaˇzi, da je potem Z =U ⊕(Z ∩W).

3. Naj boM_n(R) vektorski prostorn×nrealnih matrik. Dokaˇzi, da jeM_n(R) = U⊕V, kjer je U vektorski podprostor vseh simetriˇcnih matrik, V pa vektorski podprostor vseh poˇsevno simetriˇcnih matrik.

4. Naj boC(R) vektorski prostor zveznih realnih funkcij,U vektorski podprostor vseh sodih funkcij in V vektorski podprostor vseh lihih funkcij. Dokaˇzi, da je C(R) = U ⊕V.

5. Naj bosta V = {p∈R[X]|p(1) = 0} in U = {p∈R[X]|p(2) = 0} podprostora vektorskega prostora realnih polinomov R[X]. Doloˇci podprostora V ∩U inV +U ter vsakemu podprostoru U, V, V ∩U in V +U doloˇci bazo.

6. V vektorskem prostoru M₂(R) sta dana podprostora V ={X ∈M₂(R)|E₁₂X = 0},

U =L(E₁₁−E₂₁, E₁₁+E₂₂, E₂₁−E₂₂, E₁₁+E₂₁+E₂₂). Poiˇsˇci baze podprostorov U, V, V ∩U inV +U.

Samostojno reˇsi:

Primeri izpitnih nalog:

1. Naj bosta U = {p ∈ R3[X]|R1

−1p(x)dx = 0} in V = {p∈R3[X]|p⁰(1) = 0} vek- torska podprostora R³[X]. Doloˇci razseˇznost in zapiˇsi primere baz vektorskih pod- prostorov U, V, U∩V in U+V.

2. Za matriko A ∈ M₃(R) oznaˇcimo z A^S matriko, ki je prezrcaljena ˇcez stransko diagonalo. Naj bosta S inT podmnoˇzici M₃(R) oblike

S =

A∈M₃(R)|A=A^S in T =

A∈M₃(R)|A^T =A^S .

Dokaˇzi, da sta S in T podprostora vektorskega prostora M₃(R), doloˇci tudi baze prostorov S,T inS ∩ T. Koliko je dimenzija prostora S+T?

1

3. Dani sta matriki

A=

1 0 0 2

in B =

0 1

−1 0

.

Naj bo U mnoˇzica vseh matrik, ki komutirajo z matrikama A in B ter V mnoˇzica tistih matrik, ki komutirajo vsaj z eno od A inB.

(a) Dokaˇzi, da je U vektorski podprostor v M₂(R) in zapiˇsi njegovo bazo.

(b) Dokaˇzi, da jeV ni vektorski podprostor. Doloˇci najmanjˇsi vektorski podprostor v M₂(R), ki vsebuje V. Zapiˇsi tudi njegovo bazo!

Literatura

[1] M. Doboviˇsek, D. Kobal, B. Magajna: Naloge iz algebre I, DMFA, Ljubljana 1992.

[2] M. Kolar, B. Zgrabli´c: Veˇc kot nobena a manj kot tisoˇc in ena reˇsena naloga iz linearne algebre, Pitagora, Ljubljana 1996.

[3] B. Zgrabli´c: Algebrski drobiˇz, Pedagoˇska fakulteta, Ljubljana 2002.

2