Kratek pregled elementarnih funkcij

DODATEK B

Kratek pregled elementarnih funkcij

V dodatku bomo na kratko pregledali elementarne funkcije in njihove lastnosti.

B.1. Polinom

Polinom stopnje nje funkcija oblike

p(x) =anxⁿ+an−1xⁿ⁻¹+. . .+a₁x+a0, kjeran 6=0,a_i∈_R.

Lastnosti:

• D_p=_R.

• animenujemovodilni koeficientpolinomap.

• Polinomax+bstopnje 1 jelinearna funkcija, polinomax²+bx+cstopnje 2 pakvadra- tna funkcija.

• Koxnarašˇca preko vseh meja, grep(x)→_{∞, ˇce je}an>0 inp(x)→ −_{∞, ˇce je}an<0.

Obnašanje polinomap, ko grex → −_∞je odvisno od stopnje polinoma. Polinomi lihe stopnje imajo za zalogo vrednostiR, medtem ko za polinome sode stopnje velja limx→−∞p(x) =limx→∞p(x).

• Vsak polinom lahko faktoriziramo na linearne in nerazcepne kvadratne faktorje s koeficienti vR. Zato ima vsak polinom stopnjenkveˇcjemunrealnih niˇcel. Doloˇcanje niˇcel polinomov je težek problem.

• Vsak polinom stopnjenlahko faktoriziramo nanlinearnih faktorjev s koeficienti vC.

• V niˇclah sode stopnje ima polinom lokalni ekstrem in ohrani predznak, v niˇclah lihe stopnje pa spremeni predznak.

PRIMERB.1.1. Nariši graf polinoma

p(x) =−x⁵+2x⁴+6x³−8x²−5x+6.

REŠITEV: Ce faktoriziramo polinomˇ

p(x) =−x⁵+2x⁴+6x³−8x²−5x+6=−(x−1)²(x+2)(x+1)(x−3), preprosto doloˇcimo niˇcle x₁=−2, x₂=−1, x_3,4=₁in x₅=₃in tako je graf polinoma enak

161

B.2. RACIONALNA FUNKCIJA 162

−2 −1 1 2 3

−5 5 10 15

x y

B.2. Racionalna funkcija

Racionalna funkcija

r(x) = ^p(x)

q(x) = ^anx

n+an−1xⁿ⁻¹+. . .+a0

bmx^m+bm−1x^m−1+. . .+b0

je kvocient dveh polinomov.

Ce predstavimo racionalno funkcijo v okrajšani obliki, kjer števec in imenovalec nimataˇ skupnih faktorjev, potem veljajo naslednje lastnosti.

• Niˇcle imenovalca racionalne funkcije imenujemopoliracionalne funkcije.

• Definicijsko obmoˇcje:D_r =_R\ {polir}

• Niˇcle racionalne funkcije so enake niˇclam števca.

• Ce je^ˇ n<m, potem je lim

x→∞r(x) =0 in lim

x→−∞r(x) =0.

• Ce je^ˇ n=m, potem je lim

x→∞r(x) = _b^an

m in lim

x→−∞r(x) = _b^an

m.

• Ce je^ˇ n>m, potem se racionalna funkcijarv neskonˇcnosti približuje polinomus, kjer jep(x) =s(x)q(x) +o(x)in je stopnja polinomaostrogo manjša od stopnje polinoma q.

PRIMERB.2.1. Narišimo graf racionalne funkcije r(x) = ^x_x³₂^+x₋₄² = _(x−2)(x+2)^x2(x+1)

REŠITEV: Funkcija r ima dvojno niˇclo v toˇcki0in enojno niˇclo v toˇcki−1, njena pola pa sta v toˇckah−2in2. Torej jeD_r =_R\{−2, 2}.

Ker je stopnja števca veˇcja od stopnje imenovalca, moramo za asimptotiˇcno obnašanje funkcije r v neskonˇcnosti izraˇcunati kvocient števca in imenovalca:

x³+x²

x²−4 =x+1+^4x+4 x²−4. Ker je lim

x→∞ 4x+4

x²−4 =0, se racionalna funkcija za zelo velike in zelo majhne x obnaša kot funkcija y = x+1.

Iz teh podatkov lahko narišemo graf funkcije r:

B.3. EKSPONENTNA FUNKCIJA IN LOGARITEM 163

−6 −4 −2 2 4 6

−5 5

x y

B.3. Eksponentna funkcija in logaritem

Eksponentna funkcijaje funkcija oblike

f(x) =a^x, kjer jeapoljubno pozitivno realno število.

Eksponentna funkcija ima naslednje lastnosti:

• D_f =R,Z_f = (0,∞).

• Ce je^ˇ a>1, je eksponentna funkcija narašˇcajoˇca, ˇce je 0<a<1, je padajoˇca.

• Eksponentna funkcija je injektivna za vsaka6=1 ina⁰=1 za vsea.

• Najpogosteje uporabljamo osnovoe.

−4 −2 2 4

2 4 6 8

x

y

1 3

x

1 e

x

1 2

x

2^x e^x 3^x

Inverzna funkcija eksponentni funkcijia^x, kjera6=1, jelogaritemz osnovoa.

Logaritem z osnovo aje funkcija

g(x) =log_ax,

pria>0,a6=1, ki je inverzna eksponentni funkciji f(x) =a^x. Torej je log(e^x) =xine^logx=x.

B.4. KOTNE FUNKCIJE 164

• Po definiciji je

a^x=y natanko tedaj, ko je x =log_ay.

• D_log

a = (0,∞),Z_log

a =_R.

1 2 3 4 5

−4

−2 2 4

x

y log1

10(x) log1

e(x) log1

2(x) log₂(x) log_e(x) log₁₀(x)

• log_a1=0 za vsea>0,a6=1.

• Ce je^ˇ a>1, je log_anarašˇcajoˇca, ˇce je 0<a<1, pa je log_apadajoˇca funkcija.

• Najpogosteje uporabljamo osnovoa=e. Tako funkcijo imenujemonaravni logaritem in jo krajše oznaˇcimo tudi zlogxalilnx. ˇCeprav je vˇcasih z logxoznaˇcen logaritem pri osnovi 10 (log₁₀x), tu uporabljamo logxizkljuˇcno za naravni logaritem.

Zveze, ki jih najpogosteje potrebujemo:

• a^x+y=a^xa^y,

• log_a(xy) =log_ax+log_ay,

• log_a(x^α) =αlog_ax,

• log(e^x) =xine^logx=x.

B.4. Kotne funkcije

cosx sinx 1

x Funkciji kosinus cosx in sinus sinx sta definirani kot

prva oziroma druga koordinata toˇcke na enotski kro- žnici, ki oklepa z abscisno osjo kotx.

Pri tem merimo kotxvedno v radianih.

Obe funkciji sta definirani za vsex ∈_R(D_sin=D_cos=_{R), sta} omejeni (Z_sin=Z_cos= [−1, 1]) in periodiˇcni s periodo 2π.

Ker velja sin(x+ ^π₂) = cosx, imata njuna grafa enako obliko, le premaknjena sta za ^π₂:

−π -^π₂ ^π₂ π 3π

2 2π ^5π

2

−1 1

x

y sinx

cosx

B.4. KOTNE FUNKCIJE 165

Pri tem je sinus liha funkcija, kosinus pa soda funkcija.

Pogosto potrebujemo kvocient med sinusom in kosinusom:

Funkcijitangensinkotangensdefiniramo kot:

tanx= ^sinx

cosx, cotx= ^cosx sinx.

Tako tangens kot kotangens sta definirana povsod razen v svojih polih:

D_tan=R\ {^π

2 +kπ:k∈Z}inD_cot=R\ {kπ:k∈Z}. Sta neomejeniZ_tan=Z_cot=Rin periodiˇcni s periodoπ.

-^π₂ ^π₂ π 3π

−1 2

1 x

y tanx

cotx

Med kotnimi funkcijami veljajo številne zveze. Nekaj jih je posledica periodiˇcnosti, sodosti ali lihosti ter osnovnih definicij, kot na primer:

sin(x+2π) =sinx cos(x+2π) =cosx tan(x+π) =tanx cot(x+π) =cotx sin(−x) =−sinx cos(−x) =cosx tan(−x) =−tanx cot(x) =−cotx sin²x+_cos²x =₁

1+tan²x= _cos¹_2x 1+cot²x= ¹

sin²x

sin(^π₂ +x) =cosx sin(π+x) =−sinx cos(^π₂ +x) =−sinx cos(π+x) =−cosx tan(^π₂ +x) =−cotx

Še nekatere druge zveze, ki jih uporabljamo v geometriji ali pa pri teoretiˇcnem raˇcunanju s kotnimi funkcijami, npr. pri integraciji, so:

sin(x+y) =sinxcosy+cosxsiny sin(x−y) =sinxcosy−cosxsiny cos(x+y) =cosxcosy−sinxsiny cos(x−y) =cosxcosy+sinxsiny tan(x+y) = _1−tan^tanx+tan_xtan^y_y tan(x−y) = _1+tan^tanx−tan_xtan^y_y

B.5. LO ˇCNE FUNKCIJE 166

sin(2x) =2 sinxcosx sin²x= ^{1−cos 2x}₂ cos(2x) =_cos²x−sin²x cos²x= ^{1+cos 2x}₂ tan(2x) = _1−tan^{2 tanx}_2x tanx= ^{1−cos 2x}_{sin 2x}

sinx+siny=2 sin^x+y₂ cos^x−y₂ sinxsiny= ¹₂(cos(x−y)−cos(x+y)) cosx+cosy=2 cos^x+y₂ cos^x−y₂ cosxcosy= ¹₂(cos(x−y) +cos(x+y)) cosx−cosy=−2 sin^x+y₂ sin^x−y₂ sinxcosy= ¹₂(sin(x−y) +sin(x+y))

B.5. Loˇcne funkcije

Kotne funkcije niso injektivne, zato ne obstajajo njihove inverzne funkcije, ˇce jih opazu- jemo na njihovem celem definicijskem obmoˇcju. ˇCe pa se omejimo na zoženo obmoˇcje, kjer je posamezna kotna funkcija injektivna, lahko definiramo njen inverz.

-^π₂ ^π₂ π

−1 1

x y

Ker je funkcija sin :

−^π₂,^π₂

→Rinjektivna, lahko definiramo inverzno funkcijo na tem zoženem intervalu.

Funkcijaarkus sinusje inverzna funkcija funkcije sinus na intervalu

−^π₂,^π₂

. Torej je y=arcsinx natanko tedaj, ko je siny=x

za vsex∈[−1, 1],y∈−^π₂,^π₂ .

-^π₂ ^π₂

−1

1 sinx

arcsinx

x y

Podobno definiramo inverzno funkcijo funkcije kosinus, ˇce omejimo definicijsko obmoˇcje funkcije cosxna interval[_0,π]_.

Funkcijaarkus kosinusje inverzna funkcija funkcije kosinus na intervalu[0,π]. Torej je

y=arccosx natanko tedaj, ko je cosy=x za vsex∈[−1, 1],y∈[0,π].

B.5. LO ˇCNE FUNKCIJE 167

-^π₂ 1 ^π₂ π

1

π2

π

cosx arccosx

x y

Tudi za zoženi injektivni funkciji tangens tan : −^π₂,^π₂

→_Rin kotangens cot : (0,π)→ Rlahko definiramo njima inverzni funkcijiarkus tangensinarkus kotangens, kjer je

D_arctan=D_arccot=R, Z_arctan= (−^π 2,π

2) in Z_arccot= (0,π).

−π -^π₂ ^π₂ π -^π₂

π 2

tanx

arctanx x y