Izpit Matematika IV 27. avgust 2008

Izpit Matematika IV 27. avgust 2008

Reˇ sitve

1. naloga

f(t) = (1−t)(u₀(t)−u₁(t)) = (1−t)u₀(t) + (t−1)u₁(t) F(s) =¹_s − _s¹2

+_s¹2 − ¹_se^−s= ¹_s − _s¹2

1−e^−s

2. naloga

y=C1x+C3x³+C5x⁵+· · ·

C₁+ 3C₃x²+ 5C₅x⁴+· · ·= 1 + (C₁x+C₃x³+C₅x⁵+· · ·)² C₁+ 3C₃x²+ 5C₅x⁴+· · ·= 1 +C₁²x² + 2C₁C₃x⁴+· · · C1 = 1

3C₃ =C₁² → C₃ = ¹₃ 5C₅ = 2C₁C₃ → C₅ = ₁₅² y= x+¹₃x³+ ₁₅²x⁵+· · ·

3. naloga

Ker v diferencialni enaˇcbi nastopajo odvodi samo po spremenljivki x, jo lahko reˇsujemo z metodami za navadne diferencialne enaˇcbe za neznanko u(x) in so pridelane konstante odvisne od spremenljivke y.

u⁰⁰ −u = 0 je linearna dif. enaˇcba s konstantnimi koeficienti. Reˇsimo karakteristiˇcno enaˇcbo in na osnovi korenov zapiˇsemo reˇsitev.

r²−1 = 0 , r_1,2 =±1 u=C₁(y) coshx+C₂(y) sinhx x= 0 → C₁(y) = f(y) u_x =C₁(y) sinhx+C₂(y) coshx x= 0 → C₂(y) = g(y)

u(x, y) = f(y) coshx+g(y) sinhx

4. naloga

24y−(x²2y⁰)⁰ = 0 24y−2x2y⁰ −x²2y⁰⁰= 0 x²y⁰⁰+ 2xy⁰ −12y= 0

To je Eulerjevadif. enaˇcba in njene reˇsitve iˇsˇcemo v obliki potenc y =x^r x²r(r−1)x^r−2+ 2xrx^r−1−12x^r= 0

[r(r−1) + 2r−12]x^r = 0 r²+r−12 = 0

(r−3)(r+ 4) = 0 r₁ = 3 , r₂ =−4 y=Ax³+Bx⁻⁴

A+B = 1 , 8A+B/16 = 8 B = 0 , A= 1

y= x³

5. naloga

P =P(ZZZ) +P( ˇCCˇC) =ˇ ₁₀⁴ · ³₉ · ²₈ +₁₀⁶ · ⁵₉ · ⁴₈ = ¹₅