• Rezultati Niso Bili Najdeni

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA "

Copied!
185
0
0

Celotno besedilo

(1)

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA

Predmetno poučevanje

Dvopredmetni učitelj fizike in matematike

Tjaša Verčič Jovanovič

PRILAGODITVE PROCESA POU Č EVANJA ENA Č B ZA U Č ENCE Z DISKALKULIJO

Magistrsko delo

Ljubljana, 2021

(2)
(3)

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA

Predmetno poučevanje

Dvopredmetni učitelj fizike in matematike

Tjaša Verčič Jovanovič

PRILAGODITVE PROCESA POU Č EVANJA ENA Č B ZA U Č ENCE Z DISKALKULIJO

Adaptations to the Teaching of Equations for Primary Students with Dyscalculia

Magistrsko delo

MENTORICA: izr. prof. dr. Marija Kavkler

Ljubljana, 2021

(4)
(5)

ZAHVALA

Najprej se iskreno zahvaljujem mentorici izr. prof. dr. Mariji Kavkler, ki me je navdušila za raziskovanje tega področja poučevanja matematike, mi z dragocenimi nasveti pomagala pri pisanju magistrskega dela in me strokovno usmerjala.

Mami in oči, iz srca sem vama hvaležna, da sta mi omogočila, da sem se lahko stoodstotno posvetila študiju, da sta vedno verjela vame in mi stala ob strani.

Iskrena hvala tudi sestri, preostali družini in prijateljem, ki ste me med pisanjem magistrskega dela podpirali in mi pomagali.

Erik, tebi pa iskrena hvala, da me vedno prepričaš, da zmorem, kadar dvomim o sebi.

Posebej se zahvaljujem teti Saši, ki je magistrsko delo lektorirala.

(6)
(7)

POVZETEK

Matematika je eden temeljnih predmetov v osnovni šoli, žal pa tudi predmet, pri učenju katerega imajo učenci pogosto težave. Težave so lahko lažje, zmerne ali težje.

Nekateri učenci imajo težave le pri usvajanju določenih matematičnih znanj, drugi pa pri večini vsebin in težave, povezane z matematiko, jih spremljajo vse življenje.

Najpogosteje imajo učenci težave pri usvajanju abstraktnih pojmov, zato imajo veliko težav pri algebri. V magistrskem delu bomo podrobneje obravnavali značilnosti in potrebe učencev z diskalkulijo, ki jo uvrščamo med primanjkljaje na področju učenja matematike. Diskalkulija je vseživljenjska specifična učna težava, s katero se po ocenah strokovnjakov spopada približno 5 % ljudi. To pomeni, da je v razredu s 25 učenci v povprečju vsaj en učenec z diskalkulijo. Ker so učitelji tisti, ki z učenci preživijo veliko časa, pogosto prav oni prepoznajo učenčeve težave. Da bi učiteljem pomagali pri prepoznavanju učencev z diskalkulijo, smo v magistrskem delu raziskali značilnosti, po katerih te učence prepoznamo, prilagoditve učnega okolja ter različne načine poučevanja, ki lahko učencem z diskalkulijo učenje matematike bistveno olajšajo.

Osredotočili smo se na poučevanje linearnih enačb, ki je za učence z diskalkulijo v zadnjem vzgojno-izobraževalnem obdobju osnovne šole eno težjih področij učenja matematike, saj imajo ti učenci težave predvsem z usvajanjem konceptualnih in proceduralnih znanj. S pomočjo spletnega vprašalnika, ki smo ga posredovali učiteljem matematike, smo pridobili tudi informacije o tem, kako sami prilagajajo pouk za učence z diskalkulijo in na kakšen način poučujejo enačbe. Na osnovi prebrane literature in rezultatov vprašalnika smo oblikovali priročnik za učitelje matematike v osnovnih šolah.

V priročniku so zbrane informacije o načinih in prilagoditvah poučevanja učencev z diskalkulijo in nasveti ter gradiva za poučevanje linearnih enačb. Priročnik smo v evalvacijo poslali vzorcu učiteljev, na podlagi njihovih predlogov za izboljšanje priročnika smo priročnik tudi popravili oziroma dopolnili.

Ključne besede: Osnovna šola, matematika, primanjkljaji na področju učenja matematike, diskalkulija, enačbe

(8)
(9)

ABSTRACT

Mathematics is one of the basic subjects in primary school, but unfortunately also a subject that students often have problems with. Problems can be mild, moderate or severe. Some students only have difficulties acquiring certain mathematical skills, while others struggle with this problem their entire lives. Most often, students have difficulties mastering abstract concepts, so they have a lot of trouble with algebra. In the master's thesis, we discuss in more detail the characteristics and needs of students with dyscalculia, which is classified as severe specific learning difficulty. Dyscalculia is a lifelong problem that experts estimate affects about 5 % of the general population.

This means that in a class of 25 students, there is on average at least one student with dyscalculia. Because teachers are the ones who spend a lot of time with their students, it is often they who recognize the student's problems. In order to help teachers identify students with dyscalculia, the master's thesis explores the characteristics by which these students are identified, possible adaptations of the learning environment and different ways of teaching that can facilitate learning mathematics for students suffering from dyscalculia. We focused on teaching linear equations, which is one of the most difficult areas of mathematics for primary students with dyscalculia, as these students have problems mainly with the acquisition of conceptual and procedural knowledge.

With the help of an online questionnaire, which we provided to mathematics teachers, we also obtained information on how they adapt lessons for students with dyscalculia and how they teach equations. Based on the read literature and the results of the questionnaire, we created a manual for mathematics teachers in primary schools. It contains collected information on ways and adaptations of the teaching process for students with dyscalculia and tips and materials for teaching linear equations. The handbook was sent to a sample group of teachers for evaluation and to gather suggestions for possible improvements to the materials, which we then implemented.

Key words: School, mathematics, dyscalculia, severe specific learning difficulties, equations

(10)
(11)

Kazalo vsebine

1 Uvod ... 1

2 Teoretična izhodišča ... 2

2.1 Učenci s posebnimi vzgojno-izobraževalnimi potrebami ... 2

2.2 Učne težave ... 2

2.3 Težave pri učenju matematike ... 3

2.3.1 Petstopenjski model učne pomoči učencev z učnimi težavami ... 4

2.3.2 Splošne učne težave pri matematiki ... 5

2.3.3 Specifične učne težave pri matematiki ... 6

2.3.4 Klasifikacija specifičnih učnih težav pri matematiki ... 6

2.3.4.1 Specifične učne težave pri aritmetiki ... 7

2.3.4.2 Diskalkulija ... 7

2.3.4.2.1 Prepoznavanje učencev z diskalkulijo ... 7

2.3.4.2.2 Prilagoditve učnega okolja za učence z diskalkulijo ... 10

Fizično učno okolje ... 10

Didaktično učno okolje ... 11

Socialno učno okolje ... 11

Kurikularno učno okolje ... 12

2.3.4.2.3 Poučevanje učencev z diskalkulijo ... 12

2.3.4.2.4 Uporabni pristopi pri poučevanju učencev z diskalkulijo ... 18

Pristop od konkretnega, slikovnega do abstraktnega (pristop KSA) ... 18

Direktni pristop ... 20

2.4 Enačbe ... 22

2.4.1 Enačbe v učnem načrtu matematike ... 22

2.4.2 Rezultati slovenskih učencev pri matematiki v raziskavah ... 23

2.4.2.1 Uspešnost slovenskih učencev pri reševanju enačb... 25

2.4.3 Pogoji za uspešno reševanje enačb ... 26

2.4.3.1 Algebraično znanje ... 26

2.4.3.2 Potrebna matematična znanja za reševanje enačb ... 26

2.4.3.2.1 Priklic ... 27

2.4.3.2.2 Konceptualno znanje ... 27

2.4.3.2.3 Proceduralno znanje ... 27

2.4.3.2.4 Problemsko znanje ... 28

(12)

2.4.3.3 Pogoji za uspešno reševanje enačb ... 28

2.4.3.3.1 Pojem števila ... 28

2.4.3.3.2 Razumevanje osnovnih računskih operacij ... 29

2.4.3.3.3 Pomen enačaja ... 30

2.4.3.3.4 Pomen enačbe ... 31

2.4.3.4 Raziskave o pogojih za uspešno reševanj enačb ... 31

2.4.4 Načini prestavitve in reševanja linearnih enačb ... 34

2.4.4.1 Grafični načini ... 34

2.4.4.1.1 Model tehtnice ... 34

2.4.4.1.2 Algebrske ploščice ... 35

2.4.4.1.3 Metoda prekrivanja ... 38

2.4.4.2 Reševanje s premislekom ... 41

2.4.4.3 Diagram ... 41

2.4.4.4 Preglednica ... 42

2.4.4.5 Metoda pokrivanja ... 42

2.4.4.6 Raziskava o načinih predstavitev enačb ... 43

2.4.5 Primeri učnih ur obravnave enačb ... 45

2.4.6 Poučevanje enačb za učence z diskalkulijo ... 49

3 Empirični del ... 53

3.1 Opredelitev problema ... 53

3.2 Cilji raziskave... 53

3.3 Raziskovalna vprašanja ... 54

3.4 Metoda in raziskovalni pristop ... 54

3.4.1 Vzorec ... 54

3.5 Postopek zbiranja podatkov ... 54

3.6 Obdelava podatkov ... 55

3.7 Rezultati vprašalnika o poučevanju učencev z diskalkulijo ... 56

3.8 Predstavitev priročnika za poučevanje učencev z diskalkulijo ... 62

3.9 Evalvacijski vprašalnik ... 63

3.9.1 Rezultati evalvacijskega vprašalnika ... 63

3.10 Odgovori na raziskovalna vprašanja ... 74

4 Zaključne misli in sklepi ... 81

5 Literatura ... 83

6 Priloge ... 89

(13)

Kazalo slik

Slika 1: Petstopenjski model pomoči in podpore ... 5

Slika 2: Delitev učnih težav pri matematiki ... 6

Slika 3 Primer enačbe s poimenovanimi deli enačbe ... 22

Slika 4 Naloga iz raziskave TIMSS 2015 ... 25

Slika 5 Predstavitev linearne enačbe z metodo tehtnice ... 34

Slika 6 Legenda algebrskih ploščic ... 35

Slika 7 Prvi korak reševanja enačbe s pomočjo algebrskih ploščic ... 36

Slika 8 Drugi korak reševanja enačbe s pomočjo algebrskih ploščic ... 36

Slika 9 Tretji korak reševanja enačbe s pomočjo algebrskih ploščic ... 37

Slika 10 Četrti korak reševanja enačbe s pomočjo algebrskih ploščic ... 37

Slika 11 Peti korak reševanja enačbe s pomočjo algebrskih ploščic ... 37

Slika 12 Predstavitev linearne enačbe z algebrskimi ploščicami na spletni strani Algebra4All ... 38

Slika 13 Prvi korak reprezentacije enačbe z metodo prekrivanja ... 39

Slika 14 Razdelitev dela pravokotnikov na neznanke, ki nastopajo na levi in desni strani enačbe ... 39

Slika 15 Enačba 2 + 10 = 4 + 2 predstavljena z modelom prekrivanja ... 39

Slika 16 Z rumeno osenčeni deli, ki se v vrsticah prekrivajo. ... 40

Slika 17 Odstranjeni deli, ki se v vrsticah prekrivajo ... 40

Slika 18 Reprezentacija enačbe z enako dolgima vzporednima daljicama. ... 41

Slika 19 Reševanje enačbe 3( + 5) + 3 = −6 s pomočjo diagrama ... 41

Slika 20 Reševanje enačbe 2 + 10 = 4 + 2 s preglednico ... 42

Slika 21 Primerjava rezultatov učencev (levo) in napovedi učiteljev (desno) ... 43

Slika 22 Primer enačbe predstavljene z diagramom ... 44

Slika 23 Primer enačbe predstavljene s sliko ... 44

Slika 24 Kartonček za oporo pri reševanju enačb ... 50

Slika 25 Izraz, ki ga je zapisala raziskovalka (zgoraj) in izraz, ki ga je prepisala Dylan (spodaj) ... 51

Slika 26 Postopek Dylaninega reševanja enačbe ... 51

Slika 27 Povzetek dostopanja do spletnega vprašalnika... 55

(14)

Kazalo preglednic

Preglednica 1 Frekvenčna porazdelitev odgovorov na vprašanje o težavah pri usvajanju enačb ... 56 Preglednica 2 Frekvenčna porazdelitev odgovorov na vprašanje o pripomočkih in učilih za poučevanje enačb ... 56 Preglednica 3 Frekvenčna porazdelitev odgovorov na vprašanje o prepoznavanju učencev z diskalkulijo ... 57 Preglednica 4 Frekvenčna porazdelitev odgovorov na vprašanje o pripravi

individualiziranega programa ... 58 Preglednica 5 Frekvenčna porazdelitev odgovorov na vprašanje o prilagoditvah učnega okolja ... 58 Preglednica 6 Frekvenčna porazdelitev odgovorov na vprašanje o prilagoditvah učnih listov ... 59 Preglednica 7 Frekvenčna porazdelitev odgovorov na vprašanje o prilagajanju preizkusov znanja ... 60 Preglednica 8 Frekvenčna porazdelitev odgovorov na vprašanje o prilagajanju poučevanja enačb ... 60 Preglednica 9 Mnenje učiteljev o poučevanju učencev z diskalkulijo ... 61 Preglednica 10 Frekvenčna porazdelitev odgovorov učiteljev matematike na

evalvacijski vprašalnik ... 63 Preglednica 11 Dodatni predlogi učiteljev za izboljšanje teoretičnih izhodišč... 64 Preglednica 12 Frekvenčna porazdelitev odgovorov učiteljev matematike na

evalvacijski vprašalnik ... 64 Preglednica 13 Dodatni predlogi učiteljev za izboljšanje aktivnosti za poučevanje enačaja. ... 65 Preglednica 14 Frekvenčna porazdelitev odgovorov učiteljev matematike na

evalvacijski vprašalnik ... 65 Preglednica 15 Dodatni predlogi učiteljev za izboljšanje povzetka snovi ... 66 Preglednica 16 Frekvenčna porazdelitev odgovorov učiteljev matematike na

evalvacijski vprašalnik ... 66 Preglednica 17 Frekvenčna porazdelitev odgovorov učiteljev matematike na

evalvacijski vprašalnik ... 67 Preglednica 18 Dodatni predlogi učiteljev za izboljšanje aktivnosti za poučevanje enačb ... 67 Preglednica 19 Frekvenčna porazdelitev odgovorov učiteljev matematike na

evalvacijski vprašalnik ... 68 Preglednica 20 Dodatni predlogi učiteljev za izboljšanje povzetka snovi ... 68 Preglednica 21 Frekvenčna porazdelitev odgovorov učiteljev matematike na

evalvacijski vprašalnik ... 69 Preglednica 22 Predlogi učiteljev za izboljšanje nalog za utrjevanje znanja ... 69 Preglednica 23 Frekvenčna porazdelitev odgovorov učiteljev matematike na

evalvacijski vprašalnik ... 70

(15)

Preglednica 24 Frekvenčna porazdelitev odgovorov učiteljev matematike na

evalvacijski vprašalnik ... 71

Preglednica 25 Dodatni predlogi za izboljšanje nalog za utrjevanje znanja ... 71

Preglednica 26 Vsebine, ki bi jih učitelji še želeli v priročniku ... 72

Preglednica 27 Mnenje učiteljev o predstavitvi obravnavanega problema ... 73

(16)

1 Uvod

Matematika je univerzalni jezik, s katerim se v življenju srečujemo na vsakem koraku.

Že vsakdanji problemi od nas zahtevajo poznavanje nekaterih matematičnih pojmov, logično sklepanje, razumevanje vzrokov in posledic in podobno. Usvajanje matematičnih spretnosti je dolgotrajen proces. Posamezen pojem ali spretnost lahko usvajamo več mesecev ali celo let (Vipavc in Kavkler, 2015).

Matematične učne težave so med pogostejšimi učnimi težavami, zato jim moramo posvetiti veliko pozornosti. Težave pri učenju matematike se kažejo na različne načine ter z različno intenzivnostjo. Pojavljajo se lahko kot lažje, zmerne ali težje. Nekateri učenci imajo težave le pri usvajanju določenih znanj, druge pa spremljajo vse življenje (Vipavc, 2015).

Nekateri učenci določene pojme doživljajo kot zelo abstraktne, kar je po mnenju strokovnjakov najpogostejši vzrok za učne težave pri matematiki ter doživljanje hudih stisk pri učenju matematike (Vipavc in Kavkler, 2015). Eno najbolj abstraktnih področij matematike je zagotovo algebra. Hkrati je tudi eno najpomebnejših področij, saj potrebuje posameznik znanje algebre pri študiju različnih naravoslovnih in tehničnih smeri, poleg tega pa imajo algebrski izrazi pomembno vlogo pri obdelavi podatkov, zato so pomembni tudi pri študiju humanističnih in družboslovnih smeri (Egodawatte, 2011). Po ugotovitvah Mednarodne raziskave trendov v znanju matematike in naravoslovja (TIMSS) je znanje algebre pri slovenskih osnovnošolcih šibko, iz analize Nacionalnega preverjanja znanja pa ugotovimo, da učenci z diskalkulijo najslabše rešujejo naloge z enačbami, zato potrebujejo pri učenju teh vsebin ustrezno pomoč in prilagoditve (Japelj Pavešić in Svetlik, 2016; Kverh Žgur, 2016).

Da bi učiteljem olajšali prepoznavanje učnih težav pri matematiki, predvsem diskalkulije, ter jim pomagali pri načrtovanju ustreznih prilagoditev, smo v okviru magistrskega dela izdelali tudi priročnik za učitelje matematike. V priročniku so predstavljene glavne značilnosti učencev z diskalkulijo, prilagoditve, ki jih ti učenci potrebujejo, ter načini, kako tem učencem olajšati usvajanje znanja za reševanje linearnih enačb.

(17)

2 Teoretična izhodišča

2.1 Učenci s posebnimi vzgojno-izobraževalnimi potrebami

V Zakonu o usmerjanju otrok s posebnimi potrebami (ZUOPP-1, 2011, čl. 2) so učenci s posebnimi potrebami opredeljeni kot učenci z motnjami v duševnem razvoju, slepi in slabovidni oziroma učenci z okvaro vidne funkcije, gluhi in naglušni učenci, učenci z govorno-jezikovnimi motnjami, gibalno ovirani učenci, dolgotrajno bolni učenci, učenci s primanjkljaji na posameznih področjih učenja (PPPU), učenci z avtističnimi motnjami, učenci s čustvenimi in vedenjskimi motnjami, ki potrebujejo prilagojeno izvajanje programov vzgoje in izobraževanja z dodatno strokovno pomočjo ali prilagojene programe vzgoje in izobraževanja oziroma posebne programe vzgoje in izobraževanja.

Učenci s posebnimi vzgojno-izobraževalnimi potrebami so v šolskem letu 2020/21 predstavljali 7,45 % celotne populacije osnovnošolskih učencev, slaba 2,5 % pa je učencev, ki obiskujejo osnovne šole s prilagojenim programom ali se izobražujejo v zavodih za vzgojo in izobraževanje otrok in mladostnikov s posebnimi potrebami. V skupini otrok s posebnimi potrebami je bilo v šolskem letu 2020/21 največ učencev s PPPU (41,3 %) (Ministrstvo za izobraževanje, znanost in šport, 2020).

2.2 Učne težave

Skupina otrok z učnimi težavami je zelo raznolika. Nekateri imajo težave le pri enem ali dveh predmetih v šoli, drugi pa se s težavami spopadajo pri skoraj vseh predmetih.

Učne težave so lahko kratkotrajne – te lahko povzroči kratkotrajen, intenziven stres, prilagajanje na novo okolje in podobno –, dolgotrajne ali vseživljenjske (težje oblike specifičnih učnih težav) (Magajna idr., 2008).

Zaradi kompleksnosti in raznolikosti učnih težav definicija le-teh ni enoznačna. Lerner (1997, v Vipavc in Kavkler, 2015) učence z učnimi težavami opredeljuje kot skupino učencev z različnimi kognitivnimi, socialnimi, emocionalnimi in drugimi značilnostmi, ki imajo pri učenju pomembno večje težave kot večina učencev njihove starosti.

Bartoli (1990, v Magajna idr., 2011) pa učne težave opredeljuje z ekosistemsko definicijo težav v procesu učenja in navaja, da učne težave nastanejo takrat, ko v procesu učenja manjka eden ali več pomembnih elementov ekosistema, ki vplivajo na učenca. Dejavniki, ki oblikujejo ekosistem, ki vpliva na učinkovito učenje vsakega posameznika, so kompleksni biološki, socialni, družinski, kognitivni, jezikovni, kulturni, zgodovinski, ekonomski in politični. Uspešnost učenca je odvisna od vseh elementov ekosistema (učencev, šola, družina, kultura itd.), in ne le od učenca.

Učne težave delimo na splošne in specifične. Učenci s splošnimi učnimi težavami se največkrat spopadajo z oviranim izkazovanjem znanja in veščin pri več predmetih.

(18)

Težave lahko izvirajo iz okolja (npr. ekonomska in kulturna prikrajšanost, večjezičnost itd.), lahko so posledica nekaterih notranjih dejavnikov (npr. motnja pozornosti, hiperaktivnost, nižje intelektualne sposobnosti, pomanjkanje motivacije ipd.) ali neustreznih vzgojno-izobraževalnih interakcij (npr. strah pred neuspehom, pomanjkanje učnih navad) (Žakelj in Valenčič Zuljan, 2015). Pri učencih s specifičnimi učnimi težavami se zaradi znanih ali neznanih motenj ali razlik v delovanju osrednjega živčnega sistema kljub povprečnim ali nadpovprečnim intelektualnim sposobnostim pojavljajo izrazite težave pri branju, pisanju, pravopisu in/ali računanju. Primanjkljaji vplivajo na kognitivno predelovanje informacij, otežujejo usvajanje in avtomatizacijo šolskih veščin in vse življenje vplivajo na učenje in vedenje. Težave niso primarno pogojene z neustreznim poučevanjem ali drugimi dejavniki okolja, prav tako tudi niso pogojene z vidnimi, slušnimi ali motoričnimi okvarami, nevrološkimi motnjami in motnjami v duševnem razvoju ter vedenjskimi in čustvenimi težavami ali motnjami, lahko pa se pojavljajo skupaj z njimi (Magajna idr., 2015).

2.3 Težave pri učenju matematike

V poglavju je predstavljen petstopenjski model pomoči učencem z učnimi težavami, ki ga za preprečevanje učne neuspešnosti uresničujejo učitelji ter strokovni delavci na šoli. Opisane so tudi splošne in specifične učne težave pri matematiki. Predstavljena je klasifikacija specifičnih učnih težav pri matematiki, v nadaljevanju pa so bolj podrobno opisane značilnosti učencev z diskalkulijo, prilagoditve, ki jih ti učenci potrebujejo, ter učinkoviti pristopi pri poučevanju teh učencev.

Matematika je eden temeljnih predmetov v osnovni šoli, žal pa hkrati tudi predmet, ki učencem pogosto predstavlja težave. Številnim učencem se ne zdi zanimiva, do nje ne čutijo veselja in za učenje niso motivirani (Žakelj in Valenčič Zuljan, 2015). Po raziskavi TIMSS iz leta 2015 se v Sloveniji samo 5 % osmošolcev rado uči matematiko.

Ta delež je več kot štirikrat nižji od mednarodnega povprečja, ki znaša 22 %. To Slovenijo uvršča na zadnje mesto lestvice motiviranosti za učenje matematike med 39 sodelujočimi državami. To pomeni, da se v povprečju med osmošolci le 1 od 25 učencev rad uči matematiko. Nekoliko bolj kot motivirani pa so slovenski osmošolci pri matematiki samozavestni. V letu 2015 je bilo 12 % učencev prepoznanih kot samozavestnih, kar Slovenijo uvršča na 30. mesto (Japelj Pavešić in Svetlik, 2016).

Slovenski osmošolci so torej za matematiko slabo motivirani, sicer nekoliko bolj samozavestni, a še vedno čutijo do matematike stran in se pri učenju počutijo negotovi.

Ravno to učence pogosto pripelje do neuspehov.

Učne težave pri matematiki, ki so zelo razširjene, vendar manj poznane, imajo lahko za posameznika resne posledice, saj vplivajo tako na izobraževalne kot tudi na zaposlitvene zmožnosti posameznika (Kavkler, 2011a).

(19)

2.3.1 Petstopenjski model učne pomoči učencev z učnimi težavami

Ker se učne težave razprostirajo na kontinuumu od lažjih do težjih, mora biti temu prilagojena tudi pomoč učencu. Petstopenjski model odziv na obravnavo, opisan spodaj, zagotavlja zgodnje diagnosticiranje učnih težav ter učinkovito pomoč in podporo učencem. Model je preventivni, torej pomoč učencem organiziramo za preprečevanje kasnejše učne neuspešnosti, ne pa za popravljanje negativnih ocen (Vipavc in Kavkler, 2015). Petstopenjski model je prilagojen slovenski šolski praksi in aktualnim pogojem, zato učna pomoč, ki jo model predvideva, vključuje razpon od manj intenzivne oblike pa vse do bolj intenzivnih oblik pomoči (Kavkler, 2011a).

Stopnje petstopenjskega modela odziv na obravnavo so:

1. Prva stopnja – pomoč učitelja: Učitelj je oseba, ki z učencem preživi največ časa, zato je praviloma prvi, ki odkrije, da ima učenec učne težave. Pomembno je, da ni pozoren le na učenčeve primanjkljaje, pač pa skupaj z učencem in starši odkrije tudi učenčeva močna področja, saj se lahko z upoštevanjem le-teh zmanjša težave pri učenju matematike (Vipavc in Kavkler, 2015). Na prvi stopnji naj bi učitelj s pomočjo v okviru rednega pouka, pri dopolnilnem pouku, podaljšanjem bivanju in z izvajanjem dobre poučevalne prakse omogočil uspeh vsaj 80 % učencev. Dobra poučevalna praksa uresničuje individualizacijo in diferenciacijo učitelja (Magajna idr., 2011). Magajna in drugi (2008) kot značilnosti dobre poučevalne prakse dodajo še jasno strukturo učnega procesa, učiteljevo pozitivno in podporno naravnanost, jasna in razumljiva navodila, sprotno povratno informacijo učencu, spremljanje učenčevega napredka in podobno.

2. Druga stopnja pomoč šolske svetovalne službe: Če učenec kljub učiteljevi pomoči še vedno dosega občutno slabše rezultate kot vrstniki, se v pomoč vključi tudi šolska svetovalna služba. Ta upošteva učiteljeve ugotovitve ter s svojimi še bolj specialnimi znanji naredi še podrobnejšo oceno učenčevih primanjkljajev in močnih področij. Učitelju in staršem ustrezno strokovno svetuje, učencu pa občasno nudi pomoč pri učenju matematike (Magajna idr., 2011).

3. Tretja stopnja – individualna ali skupinska pomoč: Tretja stopnja učencu, ki ima izrazitejše težave pri matematiki, omogoča redno tedensko pomoč.

Individualno ali skupinsko pomoč izvajajo učitelj, specialni pedagog, socialni pedagog itd., ki delo z učencem podrobno načrtujejo in spremljajo učenčev napredek (Kavkler, 2011a; Vipavc in Kavkler, 2015).

4. Četrta stopnja – vključitev zunanje strokovne ustanove: V primeru, da se pomoč na prvih treh stopnjah modela izkaže za nezadostno, se v model pomoči vključijo tudi zunanje strokovne ustanove. Strokovni delavci iz zunanje ustanove pripravijo bolj kakovostno diagnostično oceno. Z nasveti pomagajo učitelju in

(20)

staršem, po potrebi pa organizirajo tudi bolj specifično strokovno pomoč za učenca (Vipavc in Kavkler, 2015).

5. Peta stopnja – usmeritev učenca: Če se kljub pomoči učencu na predhodnih štirih stopnjah modela učne težave pri matematiki še vedno nadaljujejo, šola staršem svetuje, naj začnejo postopek usmerjanja učenca s specifičnimi učnimi težavami. Učenec, ki ima izrazite specifične učne težave, mora biti usmerjen v izobraževalni program s prilagojenim izvajanjem in dodatno strokovno pomočjo. V tem programu je učenec deležen prav posebnih oblik dodatne strokovne pomoči ter prilagoditve, ustrezne glede na njegove posebne potrebe (Vipavc in Kavkler, 2015).

Slika 1

Petstopenjski model pomoči in podpore

Kavkler, M. (2011a). Obravnava učencev z učnimi težavami pri matematiki.

2.3.2 Splošne učne težave pri matematiki

Splošne učne težave pri matematiki se kažejo v nižjih dosežkih v primerjavi z vrstniki.

Nastanejo zaradi (Kavkler, 2007):

• nerazumevanja pojmov, simbolov in problemov ter težav v prenosu znanja na nove situacije,

• slabega jezikovnega razumevanja in izražanja, ki vpliva na razumevanje matematičnih izrazov,

• slabšega matematičnega predznanja (štetje, risanje, računanje),

• manj spodbudnega učnega okolja,

• slabe pozornosti in koncentracije,

(21)

• nizke motiviranosti, strahu pred matematiko,

• slabših organizacijskih zmožnosti idr.

2.3.3 Specifične učne težave pri matematiki

Specifične učne težave pri matematiki se pojavljajo v lažjih, zmernih ali težkih oblikah.

Lažje specifične učne težave pri matematiki se kažejo v občasnem računanju s prsti, potrebi po materialnih oporah (npr. kartončki s formulami) in daljšem času za avtomatizacijo dejstev. Učenci v zmernimi specifičnimi učnimi težavami pri matematiki na večini področij dosegajo temeljna znanja, na posameznih matematičnih področjih pa dosegajo nižje rezultate od pričakovanih. Tem učencem kljub dobri poučevalni praksi težav pri matematiki ne uspe odpraviti, zato potrebujejo dodatno pomoč specialno-pedagoških delavcev. Pri učencih s težkimi specifičnimi učnimi težavami pri matematiki oziroma učencih s primanjkljaji na področju učenja matematike lahko zaznamo večje razlike v matematičnih znanjih v primerjavi z znanjem, ki bi ga pričakovali glede na njihovo starost, intelektualne spodobnosti, trud, dobro poučevalno prakso in pomoč staršev. Učenci s tovrstnimi težavami potrebujejo dolgotrajne, intenzivne in specifične oblike socialno-pedagoške pomoči (Vipavc in Kavkler, 2015).

2.3.4 Klasifikacija specifičnih učnih težav pri matematiki

V praksi najbolj uporabljeno klasifikacijo specifičnih učnih težav je opisal Geary (1994, v Vipavc, 2015), ki je specifične učne težave pri matematiki, ki se razprostirajo na kontinuumu od lažjih prek zmernih do težjih, razdelil na diskalkulijo in specifične učne težave pri aritmetiki.

Slika 2

Delitev učnih težav pri matematiki

Prirejeno po Kavkler, M. (2007). Specifične učne težave pri matematiki.

(22)

2.3.4.1 Specifične učne težave pri aritmetiki

Specifične učne težave pri aritmetiki so pogostejše kot diskalkulija. Učenci imajo težave predvsem z avtomatizacijo aritmetičnih dejstev in postopkov. Vzroki za nastanek teh težav pri matematiki so slabši semantični spomin, ki vpliva na priklic aritmetičnih dejstev, slabša avtomatizacija postopkov ter vizualno-prostorske težave, ki vplivajo na reševanje nalog pri aritmetiki in geometriji (Geary, 1994; Kavkler, 2011b).

Specifične učne težave pri aritmetiki delimo na tri skupine (Geary 1994, v Vipavc, 2015;

Kavkler, 2007):

a) težave s priklicem aritmetičnih dejstev iz dolgotrajnega spomina (poštevanka, seštevanje, odštevanje),

b) proceduralne težave (slabše obvladanje korakov reševanja besedilnih aritmetičnih nalog, slabše računanje itd.),

c) vidno-prostorske težave (slabša prostorska predstava, težave pri zapisu decimalnih števil, predstavljivosti in zapisih ulomkov, orientaciji v prostoru ipd.).

2.3.4.2 Diskalkulija

Diskalkulijo uvrščamo med primanjkljaje na področju učenja matematike, pri katerih se zaradi znanih ali neznanih motenj ali razlik v delovanju centralnega živčnega sistema kljub povprečnim ali nadpovprečnih intelektualnim sposobnostim pojavljajo izrazite težave pri matematiki. Hkrati se pojavljajo tudi motnje pozornosti, pomnjenja, mišljenja, koordinacije in podobno (Magajna idr., 2015). Sousa (2008, v Kalan, 2015) kot značilnosti diskalkulije navaja težave v dojemanju števil, številskih zvez, računskih postopkov ter ocenjevanju količin. Diskalkulija je lahko pridobljena ali razvojna.

Pridobljena diskalkulija je posledica možganske okvare (npr. po nesreči). Učenci s to vrsto diskalkulije imajo težave predvsem z dojemanjem števil in aritmetičnih operacij.

Prirojena ali dedna diskalkulija pa je posledica poškodb možganov ob rojstvu in je povezana z vsemi elementi matematičnega znanja (Vipavc, 2015).

Ocene strokovnjakov o razširjenosti diskalkulije so različne. Nekateri ocenjujejo, da se s to težavo spopada približno 5 % ljudi (Lewis in Lynn, 2018).

2.3.4.2.1 Prepoznavanje učencev z diskalkulijo

Pri ocenjevanju specifičnih učnih težav pri matematiki moramo biti pozorni, da (Ivačič idr., 2014):

• specifične učne težave pri matematiki razlikujemo od običajnih oblik šolske neuspešnosti,

• upoštevamo normalen razvoj otrokovih sposobnosti,

(23)

• upoštevamo, da je treba učence sistematično učiti matematične sposobnosti in spretnosti,

• vzroke učnih težav pri matematiki iščemo v delovanju otrokovih kognitivnih procesov, ki pomembno vplivajo na razumevanje in rabo deklarativnega, proceduralnega in konceptualnega znanja,

• upoštevamo, da kriteriji za klasifikacijo matematičnih učnih težav še niso dovolj raziskani.

Za prepoznavanje učenca s primanjkljaji na področju učenja matematike je treba ugotoviti prisotnost vseh naslednjih kriterijev (Magajna idr., 2015):

1. kriterij je dokazano neskladje med intelektualnimi sposobnostmi posameznika in dejansko uspešnostjo na področju matematike.

2. kriterij so obsežne, izrazite težave pri matematiki, ki vztrajajo dlje časa in otroku kljub trudu izrazito otežujejo napredovanje v procesu učenja.

3. kriterij zajema slabšo učinkovitost učenja zaradi pomanjkljivih kognitivnih in metakognitivnih strategij učenja in/ali motenega tempa učenja oziroma počasnejšega predelovanja informacij.

4. kriterij vključuje dokazano motenost enega ali več psiholoških procesov, kamor spadajo pozornost, spomin, percepcija, časovna in prostorska orientacija, organizacija informacij itd.

5. kriterij kot glavne povzročitelje primanjkljajev na področju učenja matematike izključuje senzorne okvare, motnje v duševnem razvoju, druge duševne in nevrološke motnje, čustvene in vedenjske motnje, kulturno in jezikovno različnost, psihosocialno neugodne okoliščine in neustrezno poučevanje, čeprav se lahko pojavljajo skupaj z njimi.

V Kriterijih za opredelitev vrste in stopnje primanjkljajev, ovir oziroma motenj otrok s posebnimi potrebami (2015) so primanjkljaji na področju učenja matematike opredeljeni kot primanjkljaji na naslednjih področjih:

1. Razvoj občutka za števila, kamor spada prepoznavanje pomena in razumevanja števil, razumevanje odnosov med števili, fleksibilna raba števil v osnovnih aritmetičnih operacijah, merjenje, ocenjevanje itd.

2. Razvoj avtomatizacije aritmetičnih dejstev oziroma deklarativnega znanja.

3. Razvoj sposobnosti hitrega in tekočega računanja oziroma proceduralnega znanja.

4. Razvoj točnosti matematičnega rezoniranja, kamor spadajo evalvacija matematičnega problema, izbira strategije za reševanje problema, logično sklepanje, opis rešitev in presoja smiselnosti rešitve.

(24)

Simptomi diskalkulije se kažejo že v predšolski dobi. Otroci imajo težave z razvrščanjem predmetov po barvi, obliki in velikosti, z ugotavljanjem vzorcev, usvajanjem pojmov večji/manjši, daljši/krajši, s primerjanjem količin ter povezovanjem količin s simbolom, slabšim pomnjenjem števil in podobno (Žakelj in Valenčič Zuljan, 2015).

V šolskem okolju se diskalkulija, kot navajajo nekateri domači in tuji avtorji, kaže kot (Vipavc, 2015):

a) Težave z branjem in razumevanjem, kar je opazno kot zamenjava podobnih števil pri branju (npr. 6 in 9), težave s prepoznavanjem in uporabo računskih znakov, težave pri branju večmestnih števil, zmeda smeri branja (npr. 12 prebere kot 21), težave z branjem diagramov in tabel in podobno.

b) Težave pri pisanju števil, kar se kaže v obrnjenem ali zamenjanem zapisu števil (npr. učenec števko zapiše vertikalno ali horizontalno zrcalno, učenec št.

31 zapiše kot 13), problemih pri prepisovanju števil, računov ter prerisovanju geometrijskih oblik, problemih s priklicem vidnih podob števil, računov in geometrijskih oblik, problemih s priklicem zapisa števila, računa ali matematičnih simbolov, težavah s podpisovanjem med pisnim računanjem, napačno smerjo reševanja računov in podobno.

c) Problemi z razumevanjem pojmov in simbolov, kamor spadajo težave z razumevanjem matematičnih simbolov (npr. učenec ne ve, kako naj uporabi minus), težave z razumevanjem pojmov masa, prostor, smer in čas, težave z razumevanjem besednih problemov, težave z razumevanjem odnosov med merskimi enotami in težave pri pretvarjanju merskih enot, težave pri razumevanju pojma decimalnih števil in postavljanju decimalne vejice, težave s prenosom matematičnega znanja v prakso in tako dalje.

d) Problemi s številskimi zaporedji in matematičnimi dejstvi, kjer prihaja do težav z urejanjem števil po velikosti, določanjem predhodnika in naslednika, štetjem nazaj, razumevanjem številskih zaporedij, zapomnitvijo preprostih aritmetičnih dejstev (učenci si že pri računanju do 10 pomagajo s prsti) in podobno.

e) Problemi s kompleksnim mišljenjem in fleksibilnostjo, kar lahko pri učencu opazimo kot težavo pri izbiri ustrezne strategije za reševanje naloge in načrtovanju reševanja naloge, težavo s prehajanjem od konkretnega k abstraktnemu mišljenju, težavo z ocenjevanjem in tako naprej.

f) Težave v vsakodnevnem življenju se pri ljudeh z diskalkulijo kažejo kot težave z odčitavanjem časa z analogne ure, težave z zapomnitvijo svoje telefonske številke, težave z ocenjevanjem časa (npr. kako dolgo traja ena ura, kaj lahko v eni uri naredi), kar povzroča tudi težave z načrtovanjem dejavnosti. Osebe z

(25)

diskalkulijo imajo težave pri rokovanju z denarjem, težave s koordinacijo, težave s priklicem datumov, naslovov, težave pri določanju leve in desne in podobno.

Poleg zgoraj naštetih težav, s katerimi se učenci z diskalkulijo srečujejo vse življenje, pa imajo tudi mnogo močnih področij. Uspešni so pri ustnem izražanju, branju in pisanju. So ustvarjalni, imajo dober spomin za besede, dobro razvite praktične sposobnosti, uspešni so v strateškem mišljenju in imajo dobro intuicijo (Ivačič idr., 2014).

2.3.4.2.2 Prilagoditve učnega okolja za učence z diskalkulijo

Definicije učnega okolja so zelo raznolike in številčne. Nekateri v učno okolje štejejo le fizično okolje učilnice, drugi pa tudi različne ravni odnosov, vodenje razreda ali celo ustreznost učnega načrta (Jereb, 2011).

Allodi (2010, v Jereb, 2011, str. 69) je učno okolje definiral kot »socialno, psihološko, fizično in pedagoško okolje, v katerem se učenje dogaja in ki vpliva na učenčeve učne dosežke in stališča do učenja«. Raziskovalci so ugotovili, da pozitivno razredno učno okolje izboljša učne dosežke učencev. Boljše rezultate so namreč dosegli učenci, ki so bili prisotni v razredih z veliko notranje povezanosti, ciljne naravnanosti, organiziranosti ter sproščenosti (Burden in Fraser, 1993, v Jereb, 2011).

V praksi se šolsko učno okolje najpogosteje deli na fizično, didaktično, socialno in kurikularno okolje (Jereb, 2011). Prilagoditve posameznega elementa učnega okolja za učence s težavami pri učenju matematike so opisane v nadaljevanju.

Fizično učno okolje

Med prilagoditve fizičnega okolja, ki jih potrebujejo učenci z diskalkulijo, spadajo predvsem svež zrak, pastelna barva sten in čista tabla. V učilnici naj bo čim manj motečih dražljajev, učitelj mora zagotoviti, da je v razredu čim manj hrupa. Priporočljivo je, da učenec z diskalkulijo sedi poleg učenca, ki mu je pripravljen pomagati. Zelo pomembna prilagoditev za učence z diskalkulijo pa so tudi plakati s koraki postopkov in opornimi informacijami, ki naj bodo obešeni na stenah učilnice. Ti učenci imajo namreč težave z zapomnitvijo postopkov, načrtovanjem reševanja naloge, s pretvarjanjem enot itd., zato so jim plakati velikokrat opora pri učenju (Vipavc in Kavkler, 2015). Pri pisanju nacionalnega preverjanja znanja imajo učenci s primanjkljaji na področju matematike možnost prilagoditve opreme v prostoru, kamor spadajo dodatna osvetlitev, možnost dviga mize, poseben stol, večja miza ipd. (Blagotinšek idr., 2020).

(26)

Didaktično učno okolje

V didaktično učno okolje spadajo predvsem prilagoditve učiteljevega načina poučevanja, ocenjevanja znanja ter domačih zadolžitev. Za učence z diskalkulijo je pomembno, da učitelj v skladu z njihovimi potrebami pouk ustrezno individualizira in diferencira. Omogočiti jim mora uporabo različnih učnih pripomočkov. Učencem z diskalkulijo pri učenju pomagajo konkretni materiali, kot so kocke, tabele, številski trakovi in podobno, v pomoč pa so jim tudi opore, na primer kartončki s poštevanko in formulami, koraki reševanja nalog itd. Učitelj mora ustrezno vizualno in vsebinsko prilagoditi tudi učne liste in preizkuse znanja. Prilagoditve morajo upoštevati učenčeva močna področja in njegove primanjkljaje, temeljiti pa morajo predvsem na prilagajanju načinov in oblik postavljanja vprašanj in posredovanja odgovorov. Vprašanja morajo biti konkretno zastavljena, zahtevnejša vprašanja ali navodila pa naj bodo razdeljena na več manjših delov.

Pri vizualnih prilagoditvah moramo vključiti več grafičnih in barvnih opor, povečan tisk, večji razmik med vrsticami, podčrtane ključne besede in podobno. Učenci z diskalkulijo si lahko pri računanju pomagajo z žepnim računalom, če se pri preizkusu ne preverja avtomatizacije dejstev in postopkov (Kavkler, 2008; Vipavc in Kavkler, 2015). V veliko pomoč je učencem z diskalkulijo tudi uporaba informacijsko-komunikacijskih tehnologij. Različni programi učencem omogočajo lažje spremljanje pouka, nudijo tudi sprotno preverjanje naučenega ter omogočajo različne metode dela in pregleda učne snovi (Jereb, 2011).

Pri pisanju nacionalnega preverjanja znanja imajo učenci z diskalkulijo na voljo nekaj prilagoditev. Preizkus ima lahko večjo pisavo, natisnjen je lahko na format A3. Če učenec želi, lahko preizkus piše na računalniku ali pa računalnik uporablja zgolj za branje. Uporablja lahko žepno računalo, prav tako tudi kartonček z opozorili, kartonček s koraki reševanja besedilnih nalog, list z matematičnimi obrazci brez navedbe, za kaj se uporabljajo, kartonček s poštevanko in kartonček s pretvorniki merskih enot (Blagotinšek idr., 2020).

Socialno učno okolje

Socialno učno okolje vključuje odnose med učitelji, med učitelji in svetovalnimi delavci, med učitelji in učenci, med učenci, med učitelji in starši itd. Učinkovito socialno okolje se kaže v medsebojnem spoštovanju močnih področij ter različnosti vsakega posameznika (Jereb, 2011).

Za socialno učno okolje v razredu skrbi predvsem učitelj, ki mora zagotavljati pozitivno in delovno vzdušje. Poudarek mora dati učenčevim močnim področjem, razumeti mora njihove težave in jim zagotoviti možnost uspeha, saj lahko s tem zviša motivacijo za reševanje nalog. Učenci s specifičnimi učnimi težavami potrebujejo razumevajočega

(27)

učitelja s pozitivnimi stališči, ki postavi jasne meje vedenja, hkrati pa skrbi za spodbudno razredno vzdušje in ozavešča vrstnike o posebnih potrebah učenca s specifičnimi učnimi težavami (Vipavc in Kavkler, 2015).

Kurikularno učno okolje

Kurikularno učno okolje vključuje kakovostno in ustrezno uresničevanje učnega načrta matematike. Vsebuje tudi razne didaktične predloge za obravnavo snovi ter letni delovni načrt učitelja, kamor zapiše prilagoditve, ki jih bo izvajal med poučevanjem (Jereb, 2011). Za učinkovito poučevanje matematike mora učitelj prilagoditi cilje, metode (jasna in razumljiva navodila, sistematičnost), vsebine (življenjske in zanimive naloge) ter vrednotenje dela učenca. Učencem s specifičnimi učnimi težavami moramo omogočiti več časa v okviru ocenjevanja znanja, preveriti moramo razumevanje navodil in jim v primeru nerazumevanja nuditi dodatno razlago ali drugačen način posredovanja informacij (Kavkler in Vipavc, 2015).

Pri pisanju nacionalnega preverjanja znanja imajo učenci s specifičnimi učnimi težavami pri matematiki možnost 25 % ali 50 % podaljšanja časa pisanja (Blagotinšek idr, 2020).

2.3.4.2.3 Poučevanje učencev z diskalkulijo

Učenci in tudi odrasli, ki se soočajo z diskalkulijo, vlagajo kar do desetkrat več truda, da dosežejo enako raven avtomatizacije kot vrstniki (Magajna idr., 2004). Učenci z diskalkulijo zato potrebujejo več vaj, več časa, drugačne pristope pri poučevanju, individualizirano delo ter več ponazoril. Lažje se učijo, če jim ponudimo ustrezne prilagoditve, kot so na primer (Bird, 2017):

• uporaba konkretnih pripomočkov pri usvajanju novih pojmov,

• poučevanje v majhnih korakih,

• pomoč pri učenju vizualizacije problemov ipd.

Učitelji lahko v veliki meri učencem olajšajo učenje z dobro poučevalno prakso. Dokaj učinkovite strategije, s katerimi lahko pomagajo učencem, so naslednje (www.dyscalculia.org, FAWCO, 2007, v Kavkler, 2011a):

• Na začetku vsake obravnave nove učne snovi je učencem z diskalkulijo v pomoč kratek povzetek že obravnavane vsebine, saj tako lažje sledijo pouku in nove informacije vključijo v obstoječe znanje.

(28)

• Učencem, ki si matematične pojme lažje predstavljajo na vizualni način, nudimo različne oblike vizualnih opor in jih spodbujamo, da si tudi sami pomagajo z vizualizacijo matematičnih problemov (npr. ustvarjanje miselnih slik postopkov, pojavov, razpredelnic, puščic za označbo smeri računanja, podčrtavanje pomembnih informacij in podobno). Za lažje usvajanje matematičnih pojmov potrebujejo učenci tudi konkretne materiale, ki jih lahko premikajo, saj jim te dejavnosti nudijo boljše predstave kot slikovni material.

• Na učnih listih in ostalih matematičnih gradivih ne sme biti preveč vizualno predstavljenih informacij, saj so lahko nepregledne. Hkrati moramo na učnih listih zagotoviti dovolj prostora za skice, pomožne račune in druge zapise učencev.

• Ko predstavljamo novo matematično vsebino, preverimo, ali je učenec sposoben napisati vse korake v matematičnem postopku ali mu moramo dati priložnost, da opiše, kaj dela, da bolje razume problem. Za vse dejavnosti moramo učencu dati več časa.

• Učencem pripravimo čim bolj različne primere matematičnih problemov. Ti problemi naj bodo povezani z življenjskimi situacijami.

• Obsežne matematične vsebine razdelimo na več manjših delov, ki jih obravnavamo v ustreznem zaporedju.

• Za ilustracijo lahko učencem ponudimo specifične primere rešitev, povezane z njihovimi izkušnjami.

• Učenci s specifičnimi učnimi težavami potrebujejo do desetkrat več časa za učenje kot njihovi vrstniki. V svoje učenje vlagajo več napora, zato se hitreje utrudijo.

Tempo v razredu je za njih pogosto prehiter, saj potrebujejo več časa za predelovanje informacij, vizualizacijo, zapomnitev snovi itd. Učitelji morajo biti zato pozorni, da ne govorijo prehitro.

• Učenci s specifičnimi učnimi težavami potrebujejo več časa za avtomatizacijo matematičnih dejstev. Potrebujejo več ponavljanj kot vrstniki, zato moramo biti pozorni na to, da so ta ponavljanja čim bolj zanimiva in učinkovita. Težave z avtomatizacijo dejstev lahko učencem olajšamo z uporabo tehničnih pripomočkov, kot sta žepno računalo, računalnik in podobno. Organiziramo lahko tudi delo v paru z vrstnikom ali svetovalnim delavcem, saj tak način učenja olajša usvajanje dejstev, postopkov in konceptualnega matematičnega znanja.

• Učenci s specifičnimi učnimi težavami so pri preverjanju matematičnega znanja uspešnejši, če delajo sami z odraslo osebo. Omogočiti jim moramo dovolj časa za dokončanje naloge in za preverjanje pravilnosti izračuna, da niso v stiski.

(29)

• Zelo pomembno je, da so odrasli in tudi vrstniki do učenca z učnimi težavami potrpežljivi. Matematika je zanj pogosto neprijetna izkušnja zaradi številnih preteklih neuspehov. Učenec potrebuje individualno pozornost in potrpežljivost.

Opaziti moramo trenutke, ko dela dobro, in ga nagraditi. Ključno je, da se učenec v razredu in ob vaši prisotnosti počuti varnega.

• Vsi učenci, še posebej tisti z učnimi težavami, imajo dobre in tudi slabe dneve.

Nihanje v delovni uspešnosti je le del problema, ki je neprijeten tudi za učenca.

• Pred vrstniki ne smemo nenehno kritizirati ali poudarjati učenčevih posebnih potreb. Učencem koristijo spodbude, zlasti kadar njihov uspeh opazimo in to v pozitivnem smislu izpostavimo pred vrstniki. Poiskati moramo priložnosti za pohvale, saj s tem razvijemo učenčev občutek lastne vrednosti in uspešnosti.

• Poskrbeti moramo, da informacije o učencu prehajajo med strokovnimi delavci, saj jih potrebujejo za uspešno delo z učencem.

Kavkler (2007) je zapisala tudi nekaj specifičnih strategij pomoči za učence s primanjkljaji na področju matematike:

• Številni učenci imajo veliko neformalnega znanja matematike, a imajo težave z usvajanjem formalnih procesov, matematičnih simbolov in jezika. Ker učitelji pri obravnavi snovi hitro začnejo uporabljati matematične simbole, matematični jezik ter slikovni material, imajo ti učenci težave. Potrebujejo razlago na življenjskih primerih in konkretne materiale, ki jim omogočajo boljšo reprezentacijo kot slikovno gradivo.

• Z uporabo konkretnih materialov učenci razvijejo boljše miselne reprezentacije, jih bolje razumejo in so bolj motivirani za učenje matematike. Učenje z materiali omogoča boljši razvoj pojmov, bolj uspešno ugotavljanje številskih odnosov, bolj uspešno reševanje besednih problemov itd. Za razvoj različnih pojmov so seveda potrebni različni materiali.

• Matematični jezik lahko povzroča težave tudi učencem z jezikovnimi primanjkljaji, ki so pri matematiki neuspešni. Učitelj lahko učencem pomaga z delitvijo navodil in snovi na več delov, saj tako učenci lažje sledijo pouku. Razumevanje učencev lahko učitelj preveri tako, da učence vpraša za razlago ali ponazoritev s konkretnimi primeri, kaj morajo narediti. Učence s takimi težavami je treba učiti notranjega govora, zato jih mora učitelj spodbujati, da po vsakem vprašanju premislijo, kaj so bili vprašani, glasno preberejo problem in odgovor, ki so ga napisali, ter se poslušajo in vprašajo, ali je smiselno, kar so povedali.

• Vizualno-prostorski aspekt težav pri matematiki ni tako pogost, a je zelo obremenjujoč vzrok učnih težav. Vpliva na slabše razumevanje pojmov, slabši

(30)

občutek za pomen števil, učenci imajo težave tudi pri slikovnih ponazoritvah matematičnih pojmov, pisanju, geometrijskem načrtovanju in podobno. Ti učenci potrebujejo več govorno podanih navodil, saj je govorno področje njihovo močno področje. Potrebujejo tudi več časa za pisanje pisnih preizkusov, prilagojeno geometrijsko orodje itd.

• Težave pri štetju v zaporedju so zelo pogoste težave, s katerimi se srečujejo učenci pri matematiki. Štetje v zaporedju je osnova za uspešno učenje mestnih vrednosti, poštevanke itd., zato je ključnega pomena, da učenci to področje matematike dobro usvojijo. Učence je treba učiti strategijo štetja v zaporedju od začetka šolanja naprej. Učenje jim olajšamo z izbiro ustreznih dejavnosti, ki so povezane z vsakdanjim življenjem otrok (npr. štetje prstov na rokah sošolcev 5, 10, 15 …, štetje stopnic pri stopanju na vsako drugo 2, 4, 6 …).

• Učenci, ki imajo težave s priklicem osnovnih aritmetičnih dejstev, potrebujejo predvsem različne interaktivne in intenzivne oblike treninga, kombinacijo različnih stilov učenja, veliko vaj v manjših časovnih obdobjih (npr. 10 minut na dan), malo število dejstev, ki jih urijo hkrati, trening zamenjave členov pri seštevanju in množenju, spremljanje lastnega napredka in podobno.

• V drugem in tretjem triletju osnovne šole se učenci pogosto spopadajo s slabšim predznanjem, slabo samopodobo in neprilagojenim načinom poučevanja. Težav nimajo le pri priklicu dejstev, težave se pojavljajo tudi zaradi številnih slabo usvojenih postopkov in slabše razvitih pojmovnih znanj. Pomembno je, da pri učencih ugotovimo tako močna področja kot tudi primanjkljaje, saj bo učenec, ki ima dobro konceptualno matematično znanje, a težave s proceduralnim znanjem, potreboval drugačne prilagoditve kot učenec, ki ima težave z usvajanjem konceptualnega znanja.

Razvoj metakognitivnih sposobnosti in spretnosti

Z izrazom »metakognicija« poimenujemo sposobnost opazovanja sebe, kako rešujemo nek problem, spremljanje in vrednotenje lastnega učenja oziroma dela in rezultatov ter sposobnost načrtovanja časa in učenja oziroma dela. Učenci z diskalkulijo imajo težave pri učenju tudi zaradi pomanjkljivih metakognitivnih strategij učenja, zato jim moramo pri usvajanju teh strategiji nuditi ustrezno pomoč. Upoštevati moramo posamezne značilnosti učenca in glede na to prilagajati in načrtovati različne strategije pomoči (Magajna idr., 2008; Hudoklin, 2011).

Hudoklin (2011) je podala nekaj nasvetov za učenje in spodbujanje metakognicije pri učencih:

• pri pouku oblikujemo vprašanja, ki spodbujajo metakognicijo, npr. »Kako si rešil ta problem? Bi problem lahko rešil še na kakšen drug način?«,

(31)

• vključevanje spremljanja napak v reševanje naloge (npr. učenci morajo preveriti svoje delo in pokazati, kako so to preverili),

• zastavljanje nalog, ki zahtevajo metakognicijo, npr. učence prosimo, da se sami ocenijo in svojo oceno pojasnijo,

• učence naučimo vprašanj, ki jih sami sebi postavljajo med reševanjem problema, npr. »Kaj je moj problem? Kakšen je moj cilj? Kakšen imam načrt reševanja? Ali sledim načrtu reševanja? Kako mi je šlo pri reševanju problema?« Vprašanja v razredu obesimo na vidno mesto. Če učenec pri reševanju problema naleti na težavo, ga spodbudimo, da gre skozi ta vprašanja.

Učenje strategij pisnega izkazovanja znanja

Učitelji si pri pisnem ocenjevanju znanja učencev želijo, da bi na oceno vplivala le znanje učencev in težavnost preizkusa znanja. Vendar je dosežek učencev na preizkusu odvisen tudi od njihovega počutja in odziva na testno situacijo, zato je pomembno, da učenci poznajo ustrezne strategije pisnega izkazovanja znanja, ki vključujejo tudi strategije, ki jih učenec izvede pred preizkusom znanja (Stenlund idr., 2017). Številne raziskave so pokazale, da uporabljajo učenci s PPPU manj učinkovite strategije pisnega izkazovanja znanja kot vrstniki, zato jim moramo pri učenju teh strategij nuditi ustrezno pomoč (Hong idr., 2006; Kim in Goetz, 1993; McClain, 1983;

Rindler, 1980, v Stenlund idr., 2017).

Strategije pisnega izkazovanja znanja lahko razdelimo na tri sklope: strategije pred pisnim izkazovanjem znanja, strategije med pisnim izkazovanjem znanja ter strategije po pisnem izkazovanju znanja (Kavkler idr., 2010).

Pred pisnim preizkusom znanja naj učenec (Kavkler idr., 2010):

• večer pred pisnim preverjanjem prebere učno gradivo,

• večer pred preizkusom preveri, ali ima pripravljene vse pripomočke, ki jih bo pri preizkusu znanja potreboval,

• odide spat zgodaj in si zagotovi kakovosten in zadosten spanec,

• zjutraj pred pisnim preizkusom poje zdrav zajtrk,

• ponovno preveri, ali ima vse potrebne pripomočke za preizkus znanja,

• s seboj v šolo vzame kakšno sadje, ki mu bo v pomoč pri ohranjanju ustrezne ravni krvnega sladkorja.

(32)

Strategije, ki naj jih učenec upošteva med pisnim preizkusom znanja, so (Kavkler idr., 2010):

• na mizo naj razporedi vse pripomočke, ki jih bo med preizkusom znanja potreboval, in se udobno namesti,

• najprej naj preleti celoten preizkus znanja in se prepriča, da dobro razume vsa navodila,

• ob začetku pisanja preizkusa je pomembno, da ostane miren – pomaga si lahko z globokim dihanjem, s sprostitvijo ramen in podobno,

• med pisanjem preizkusa naj ne gleda drugih, saj lahko to zmoti njegov proces razmišljanja,

• pozoren naj bo na čas – dobro je, da oceni, koliko časa bo potreboval za posamezno nalogo,

• naloge v preizkusih znanja so največkrat razporejene od lažjih do težjih, zato naj učenec najprej reši naloge na začetku,

• vsako vprašanje oziroma nalogo naj dvakrat prebere in šele nato začne reševati,

• naj ne hiti z vprašanji, saj je bolj pomembno, da jih reši pravilno kot hitro,

• pri vsakem vprašanju oziroma nalogi naj napiše ključne točke, da bo v odgovor lažje zapisal vse pomembne podatke,

• odgovori naj le na vprašanja, na katera mora odgovoriti,

• ob koncu pisanja preizkusa naj skuša načrtovati 10 minut časa za pregled celotnega preizkusa (preveri naj, če je odgovoril na vsa vprašanja, pregleda, če je kje naredil napako, in podobno)

Strategije, ki naj jih učenec upošteva po izkazovanju znanja, so (Kavkler idr., 2010):

• s preizkusom znanja naj se ne ukvarja več, saj rezultatov ne more spremeniti,

• vzame naj si čas za počitek,

• osredotoči naj se na naslednji preizkus znanja.

Godec (2019) je z učenci s PPPU izvedla trening za izboljšanje strategij pisnega preizkusa znanja, hkrati pa tudi trening konceptualnega in proceduralnega znanja decimalnih števil. S pomočjo ček liste strategij pisnega izkazovanja znanja je pred treningom ocenila strategije učencev, na koncu pa je trening evalvirala in zapisala ugotovitve o tem, ali trening vpliva na uporabljene strategije pisnega izkazovanja znanja učencev s PPPU. Učencem je med treningom predstavila strategije med pisnim izkazovanjem, ki jih lahko predstavimo z besedo »PRIPOVED«. Vsaka črka v besedi predstavlja posamezno strategijo med pisnim izkazovanjem znanja, celotno strategijo pa je priporočljivo zapisati na plakat ali na manjše kartončke, ki učencem služijo za lažje pomnjenje strategij. Strategije, ki jih vključuje beseda »PRIPOVED«, so:

(33)

1. Pripravi se na uspeh: Na test zapiši svoje ime in priimek, naredi časovni načrt reševanja nalog, izgovori si nekaj spodbudnih besed.

2. Reševanje se začne: Začni reševati preizkus znanja.

3. Inšpekcija navodil: Preberi navodila, podčrtaj bistvene podatke, bodi pozoren na posebnosti v navodilih.

4. Premisli: Pri posamezni nalogi premisli, kaj si se učil/a med pripravljanjem na test, pri nalogi izbirnega tipa prečrtaj očitno nepravilne odgovore.

5. Odgovori ali opusti: Če naloge ne znaš rešiti, jo izpusti.

6. Vrni se nazaj: Ko končaš reševanje preizkusa znanja, se vrni na naloge, ki si jih pri 5. strategiji izpustil.

7. Eliminiraj: Na vprašanja, na katera ne znaš odgovoriti, poskusi odgovoriti z izločanjem (ne izberi odgovorov, ki vključujejo besedo NIKOLI ali VEDNO, izberi najdaljši, najpodrobnejši odgovor, izloči podobne odgovore)

8. Dokončaj in poglej: Ko končaš reševanje vseh nalog, preglej celoten preizkus znanj Godec (2019) je ugotovila, da so učenci po treningu napredovali pri uporabi strategij med pisnim izkazovanjem znanja. Vsi učenci so po treningu v nalogah na preizkusu podčrtali pomembne podatke, pred treningom pa te strategije ni nihče uporabil. Po izvedenem treningu so začeli načrtovati tudi čas reševanja posamezne naloge na preizkusu, nihče pa ni uporabil strategije načrtovanja vrstnega reda reševanja nalog in strategije izločanja očitno nepravilnih odgovorov pri vprašanjih izbirnega tipa. Z analizo doseženih rezultatov je potrdila, da so učenci s PPPU po koncu treninga na testu dosegli pomembno boljše rezultate kot pri prvem testiranju, kar pomeni, da je tako trening strategij pisnega izkazovanja znanja kot tudi trening konceptualnega in proceduralnega znanja ključen pri poučevanju učencev s PPPU.

2.3.4.2.4 Uporabni pristopi pri poučevanju učencev z diskalkulijo

Pristop od konkretnega, slikovnega do abstraktnega (pristop KSA)

Učencem z diskalkulijo lahko olajšamo učenje, če pri poučevanju uporabljamo raznolike modele, ki omogočajo predstavitev pojmov na različnih kognitivnih ravneh.

Učenci s primanjkljaji na področju matematike namreč doživljajo hude frustracije, če jim pojme predstavimo le abstraktno. Pristop KSA, ki učencem omogoči prehod od konkretnih do abstraktnih predstavitev, je učinkovit za vse učence (Kavkler, 2011a).

(34)

Pri tem pristopu je zelo pomembno zaporedje aktivnosti, ki jih izvajamo z učenci (Kavkler, 2011a):

• Najprej uporabimo konkretne materiale. Z njimi učencem pokažemo, da so problemi povezani z vsakdanjim življenjem.

• S konkretnih preidemo na slikovne materiale, ki pomagajo učencu vizualizirati operacije pri reševanju problema. Pomembno je, da učencem razložimo povezavo med slikovnim in konkretnim materialom.

• Na koncu sledi abstraktna predstavitev problema s simboli. Učenci bodo sposobni učinkovito uporabljati simbole, če bomo upoštevali zaporedje reprezentacij in naredili veliko vaj ponazarjanja matematičnih problemov.

Raziskava o uspešnosti pristopa KSA pri poučevanju enačb

Witzel, Mercer in Miller (2003) so ugotavljali uspešnost modela KSA pri poučevanju enačb učencev s specifičnimi učnimi težavami v primerjavi s tradicionalnimi oblikami poučevanja enačb, pri katerih učenci enačbe rešujejo zgolj na abstraktni ravni.

Poučevanje po modelu KSA poteka najprej na konkretni ravni, nato preide na reprezentativno in na koncu na abstraktno raven. V raziskavi so opazovali 68 učencev z učnimi težavami, starih med 11 in 12 let. Polovico učencev so vključili v eksperimentalno skupino, drugo polovico pa v kontrolno. Vsakemu učencu iz eksperimentalne skupine so določili par s podobnimi lastnostmi (starost, ocena pri matematiki, predznanje in podobno) iz kontrolne, na koncu pa primerjali njune rezultate. S tem so se raziskovalci izognili napačnim rezultatom raziskave, ki bi lahko bili posledica različne starosti, predznanja ali učnih težav učencev.

Učenci, vključeni v eksperimentalno skupino, so sodelovali pri učnih urah, pri katerih so se reševanja enačb učili po modelu KSA. Učenci kontrolne skupine pa so se reševanja enačb učili zgolj na abstraktni ravni. Učenci obeh skupin so pri urah najprej obravnavali poenostavljanje algebrskih izrazov, npr. izraz 3 + 6 + lahko poenostavimo v izraz 4 + 6. V naslednjih urah so obravnavali nasprotne operacije pri reševanju enačb, enačbe, v katerih ima neznanka negativno vrednost (npr. 15 − 3 = 21) ali se neznanka nahaja v imenovalcu ulomka (npr. = 2), na koncu pa še poenostavljanje in preoblikovanje enačb. Raziskovalci so po koncu učnih ur primerjali rezultate preizkusa znanja pred omenjenimi učnimi urami, preizkusa po opravljenih učnih urah ter vmesni napredek učencev eksperimentalne in kontrolne skupine. Obe skupini sta po opravljenih učnih urah pokazali velik napredek, vendar so učenci eksperimentalne skupine, ki so se reševanja enačb učili po modelu KSA, dosegli višje rezultate na preizkusu po učnih urah ter tudi boljši napredek.

Analizirali so tudi najpogostejše napake, ki so jih učenci naredili pri reševanju enačb na končnem preizkusu znanja. Največ težav so imeli z enačbami z negativnimi vrednostmi. Veliko učencev je kot rezultat enačbe −2 = −14 zapisalo = −7, manj tovrstnih napak pa so naredili učenci eksperimentalne skupine. Pogosta napaka je bila

(35)

tudi napačna uporaba nasprotnih operacij, npr. pri enačbi 5 = 2 + 6 je veliko učencev prištelo namesto odštelo 2 in tako dobilo enačbo 7 = 6. Tretja pogosta napaka, ki so jo učenci naredili, pa je bila združevanje neznank in števil. Enačbo 3 − 4 = 8 so tako preoblikovali v enačbo −1 = 8. Tudi pri slednjih dveh tipih napak so manj napak naredili učenci eksperimentalne skupine v primerjavi z učenci kontrolne skupine, kar kaže na uspešnost modela KSA za poučevanje enačb. Pomembno je torej, da učencem najprej nudimo konkretne predmete, s katerimi si abstraktne pojme lažje predstavljajo, šele nato preidemo na slikovne pripomočke in na koncu na abstraktno raven.

Direktni pristop

Direktno poučevanje je poučevanje, pri katerem ima pomembno in osrednjo vlogo učitelj. Osredotoča se na neposredno, sistematično in načrtno poučevanje s pogostim spremljanjem napredka, preverjanjem in ocenjevanjem. Učitelj mora direktno poučevanje načrtovati tako, da je dobro strukturirano, da poteka v primernem tempu ter učencem omogoča doživljanje uspeha (Mitchell, 2008, v Košir, 2011).

Ta pristop velja za učinkovit pristop, ki omogoča uspešnejše matematično učenje vseh učencev, še posebej pa je učinkovit za poučevanje učencev z učnimi težavami pri matematiki (Kavkler, 2011a).

Pomembni elementi direktnega poučevanja, ki so nam v pomoč pri poučevanju učencev s primanjkljaji na področju matematike, so:

1. Direktna razlaga:

Pri direktni razlagi učitelj jasno in nedvoumno predstavi snov. Učencem pojasni, kaj se bodo naučili in kako bodo naučeno znanje lahko uporabili. Za učinkovitost direktne razlage je zelo pomembna uporaba jasnega in jedrnatega jezika, vpletenost učencev v učno uro in primerno število predstavljenih zgledov. Pomembno je torej, da uporabljamo konsistentno in nedvoumno izrazoslovje, ki ga prilagodimo potrebam učencem. Z vpletanjem učencev v razlago dosežemo, da so učenci bolj motivirani. Pri poučevanju zahtevnejših vsebin je pomembno, da učencem podamo dovolj zgledov, saj so jim v veliko pomoč pri razumevanju teh vsebin (Doabler in Fien, 2013, v Arko, 2017).

2. Zastavljanje vprašanj:

Moore in Hansen (2012, v Arko, 2017) poudarjata štiri ključne stvari za uspešno zastavljanje vprašanj. Ustvariti moramo pozitivno vzdušje, v katerem imajo učenci občutek, da je komunikacija dovoljena, ter jih vseskozi spodbujati k sodelovanju.

Zastavljena vprašanja morajo biti čim bolj jasna, učencem pa moramo dati dovolj časa

(36)

za razmislek. V učno uro moramo vključevati vse učence, a morajo biti vprašanja za učence, katerih znanje je šibkejše, nekoliko lažja. Zadnja točka, ki jo avtorja poudarita, pa je, da zastavljamo le eno vprašanje naenkrat, saj lahko več zaporednih vprašanj učence zmede.

3. Vodena vaja:

Pri vodeni vaji je pomembno, da začnemo z enostavnimi primeri. Ko ugotovimo, da so učenci le-te usvojili, lahko preidemo na nekoliko težje primere. Uporabljati moramo tudi različne reprezentacije in ponoviti snov preteklih ur, če se ta navezuje tudi na novo učno snov (Doabler in Fien, 2013, v Arko, 2017).

4. Povratna informacija:

S takojšnjo povratno informacijo učenčev odgovor potrdimo ali popravimo, s tem pa zagotovimo, da pri učencih ne prihaja do nerazumevanja snovi. Zelo pomemben je učiteljev odziv na učenčev odgovor. Ob napačnem odgovoru učenca na pozitiven način popravimo, ob pravilnem odgovoru pa učencu pokažemo, da napreduje, in ga spodbudimo za nadaljnje delo (Arko, 2017).

Z raziskovanjem uspešnosti tega pristopa pri poučevanju učencev z učnimi težavami so se ukvarjali številni raziskovalci, ki so potrdili, da je ta pristop v primerjavi s tradicionalnimi oblikami poučevanja bolj učinkovit. Učitelj lažje nadzoruje napredek učencev, učenci pa v splošnem pri matematiki dosegajo višje rezultate (Kinder idr., 2005; Mackenzie, 2004; Edward, 2004; Din, 1998; Seman, 1996; Sawalha, 2004, v Al- Makahleh, 2011).

Kratek povzetek poglavja Težave pri učenju matematike

Učne težave pri matematiki delimo na splošne in specifične. Specifične učne težave delimo na diskalkulijo in specifične aritmetične težave. Diskalkulijo uvrščamo med primanjkljaje na področju učenja matematike, zato učencem z diskalkulijo po Zakonu o usmerjanju otrok s posebnimi potrebami (2011, čl. 7) pripada dodatna strokovna pomoč ter prilagoditve procesa poučevanja. Učencem z diskalkulijo so v veliko pomoč prilagoditve, ki jih med poučevanjem izvajajo učitelji. Učencem lahko pri učenju pomagajo predvsem z različnimi pripomočki in oporami. Ker imajo učenci z diskalkulijo težave z usvajanjem abstraktnih pojmov, je pri poučevanju teh učencev učinkovit pristop KSA (od konkretnega, slikovnega do abstraktnega), pomagamo pa jim lahko tudi z učenjem metakognicije ter z učenjem strategij pisnega izkazovanja znanja, saj je tudi pomanjkanje znanja na teh področjih pogosto vzrok za slabši uspeh na preizkusih znanja.

(37)

2.4 Enačbe

V tem poglavju so zapisane značilnosti matematičnih enačb, predvsem pa je poudarek na linearnih enačbah, ki so vključene v učni načrt slovenskega osnovnošolskega programa. V nadaljevanju so predstavljeni rezultati slovenskih osnovnošolcev iz reševanja enačb na nacionalnem preverjanju znanja in raziskave TIMSS. Opisani so pogoji in potrebna znanja za reševanje enačb ter različni načini predstavitev in reševanja enačb. Navedenih je nekaj konkretnih primerov poučevanja enačb, na koncu poglavja pa so predstavljene informacije o poučevanju enačb učencev z diskalkulijo.

Enačba je zapis enakosti dveh matematičnih izrazov, ki ju imenujemo leva in desna stran enačbe. Med njima stoji znak enačaj (=). Spremenljivke, ki v enačbi nastopajo, imenujemo neznanke. Neznanke lahko označimo s poljubno črko abecede (»Enačba«, 2021). V algebri poznamo več vrst enačb. Glede na število neznank, ki v enačbi nastopajo, ločimo enačbe z eno neznanko, enačbe z dvema neznankama itd. Glede na stopnjo neznank, ki v enačbi nastopajo, pa ločimo enačbe 1. stopnje oziroma linearne enačbe, enačbe 2. stopnje oziroma kvadratne enačbe itd. (Gorše Pihler idr., 2014). V učnem načrtu za slovenske osnovne šole najdemo le obravnavo linearnih enačb z eno neznanko, zato se bomo tudi v magistrskem delu ukvarjali le s to vrsto enačb. Na sliki 3 je prikazan primer linearne enačbe z eno neznanko z označenimi deli enačbe.

Slika 3

Primer enačbe s poimenovanimi deli enačbe

2.4.1 Enačbe v učnem načrtu matematike

Z enačbami se učenci srečajo že v prvem vzgojno-izobraževalnem obdobju, v drugem in tretjem razredu. Pojma neznanka še ne poznajo. V drugem razredu računajo le manjkajoče število v izrazih in v množici naravnih števil do 20. Pomemben cilj v učnem načrtu za drugi razred, ki je pogoj za kasnejše uspešno reševanje linearnih enačb, je, da učenci v konkretni matematični situaciji uporabijo seštevanje in odštevanje kot nasprotni operaciji. V tretjem razredu računanje

Reference

POVEZANI DOKUMENTI

Univerza v Ljubljani, PEDAGOŠKA FAKULTETA, Kardeljeva ploščad 16, Ljubljana.

Ljubljana, Univerza v Ljubljani, Pedagoška fakulteta, Biotehnična fakulteta, Program biologija in kemija,

Univerza v Ljubljani, PEDAGOŠKA FAKULTETA, Kardeljeva ploščad 16, Ljubljana..

Univerza v Ljubljani, PEDAGOŠKA FAKULTETA, Kardeljeva ploščad 16, Ljubljana..

Univerza v Ljubljani – Pedagoška fakulteta Neža Hribar, diplomsko delo..

Univerza v Ljubljani, PEDAGOŠKA FAKULTETA, Kardeljeva ploščad 16, Ljubljana..

Univerza v Ljubljani – Pedagoška fakulteta Irena Šurla; Diplomsko delo.. toksin CDT in levkotoksin- virulenčna faktorja, ki

Univerza v Ljubljani, PEDAGOŠKA FAKULTETA, Kardeljeva ploščad 16, Ljubljana..