Babilon je postal v času vladanja (550–530 pne.) Kira Velikega (600–529 pne.) znanstveno središče, kjer sta se razvijali matematika in astronomija, izdelovali so zvezdne karte in sestavljali tabele. Leta 331 pne. je Babilon zavzel Aleksander Veliki (356–323 pne.), ki je tam po pohodu do Indije in nazaj tudi umrl. Že pred njegovo smrtjo je začel Babilon stagnirati.
Od Egipčanov in Babiloncev so se tudi Grki marsikaj naučili, na primer filozof, matematik in astronom Tales iz Mileta (624–546 pne.), Θαλῆς ὁ Μιλήσιος, eden od sedmerice modrih. Babilonski šestdesetiški številski sis-tem je preživel kljub propadu Babilona, zlasti v astronomiji. Kot vemo, so že Babilonci polni kot razdelili na 360 stopinj, stopinjo na 60 minut, minuto na 60 sekund. Tako razdelitev uporabljamo še danes. V grškem svetu pa sta jo v 2. stoletju pne. uvedla Hipsikles, ῾Υψικλῆς, matematik in astronom, ter Hiparh, ῞Ιππαρχος, matematik, astronom in geograf. Hiparh je izračunal tabelo tetiv, ki v krogu ustrezajo središčnim kotom od7◦30′ do180◦na vsake 7◦30′, kar je četrtina kota 30◦.
Tako kot stari Grki niso bili politično složni, si niso bili enotni niti v jeziku niti v pisavi. Tudi števila so zapisovali različno. Oglejmo si samo njihov alfabetični aleksandrijski način, kot kaže tabela 8.
Število so zapisali z nizanjem osnovnih številk z leve proti desni v pada-jočem vrstnem redu. Vsota vseh je bilo dano število, na primer 365 = τξεʹ. Za razločevanje števil od običajnih besed so uporabljali črtico (ʹ) za številom zgoraj do 999, od 1 000 naprej pa črtico (͵) pred številom spodaj. Najdemo pa tudi zapise števil z daljšo črto zgoraj, na primer σναza 251.
V tem sistemu lahko pišemo tisoče,χίλιοι, in deset tisoče,μύριοι. Največje
1 2 3 4 5 6 7 8 9
αʹ βʹ γʹ δʹ εʹ ϛʹ ζʹ ηʹ θʹ
10 20 30 40 50 60 70 80 90
ιʹ κʹ λʹ μʹ νʹ ξʹ οʹ πʹ ϙʹ
100 200 300 400 500 600 700 800 900
ρʹ σʹ τʹ υʹ ϕʹ χʹ ψʹ ωʹ ϡʹ
1 000 2 000 3 000 4 000 5 000 6 000 7 000 8 000 9 000
͵α ͵β ͵γ ͵δ ͵ε ͵ϛ ͵ζ ͵η ͵θ
10 000 20 000 30 000 40 000 50 000 60 000 70 000 80 000 90 000
͵ι ͵κ ͵λ ͵μ ͵ν ͵ξ ͵ο ͵π ͵ϙ
Tabela 8: Osnovne grške številke.
število, ki se ga da zapisati v tem sistemu, je 99 999: ͵ϙ͵θϡϙθʹ.
Okrogle deset in sto tisoče so Grki izražali v deset tisočih, mirijadah (M).
Presežke nad mirijadami so dopisali. Število 315 467 pišemo kot 315 467 = 31·10 000 + 5 467. Grk bi napisal število 315 467 v obliki λαM͵ευξζʹ.
Za šestdesetiški zapis je bil grškim astronomom pomemben šestdesetiški ulomek. Šestdesetina je šestdeseti del (ἑξηκοστὰ τμήμα, λεπτά, tenka, drobna, majhna, latinsko minuta) celote. To je prva (πρῶτα) delitev. Druga delitev je delitev šestdesetine celote na šestdesetine (δεύτερα ἑξηκοστά, druga, latinsko secunda). Lahko bi to počeli še s tretjo, četrto, … delitvijo. Zato še danes uporabljamo besedi minuta, sekunda.
Šestdesetiški številski sistem je veliko uporabljal Klavdij Ptolemaj (90–168), Κλαύδιος Πτολεμαῖος, aleksandrijski matematik, astronom, astrolog in ge-ograf. Napisal je veliko del, ki so bila še dolgo časa pomembna za islamsko in evropsko znanost. Njegovo najpomembnejše delo je Matematična razprava, Μαθηματικὴ σύνταξις, ki je postalo bolj znano kotVelika razprava,῾Η μεγάλη σύνταξις, in celo Največja razprava, ῾Η μεγίστη σύνταξις. Arabski prevod ima zato naslov
ù¢j.ÒË@
, iz grškega ženskega presežnika μεγίστη, največja, prevod iz arabščine v latinščino pa Almagest. Ptolemaju gre zasluga, da je za več kot tisoč let postavil geocentrični svetovni sistem.Almagest med drugim vsebuje tabele dolžin tetiv, ki ustrezajo v krogu s polmerom 60 enot (delov, τμήματα) izbranim središčnim lokom. Če ustreza loku središčni kot α, je tedaj tetiva AB dolga 120sinα/2.
Slika 6: Tetiva, lok in ustrezni središčni kot.
Z vpeljavo funkcije crd, ki središčnemu kotu α v krogu s polmerom 60 priredi tetivo AB, lahko zapišemo |AB| = crdα = 120sinα/2. Potem je crd(180◦−α) = 120cosα/2in enakost, analogna enakosti sin2α+cos2α= 1, se glasi:
crd2α+crd2(180◦−α) = 1202.
Enakost lahko vidimo tudi kot posledico Pitagorovega in Talesovega izreka (slika 7). Ime funkcije crd izhaja iz grške besede χορδή, črevo, struna iz črev. Tetiva je namreč videti kot struna, napeta na krožni lok. Funkcija crd je dolgo služila namesto sinusa, ki je prišel iz Indije. Sinus kota je v sodobni matematiki v enotskem krogu dolžina polovične tetive, ki ustreza polovičnemu središčnemu kotu cele tetive.
Tabelo tetiv, ki ustrezajo krožnim lokom od 1/2◦ do 180◦ na vsake pol stopinje, je Ptolemaju uspelo sestaviti zato, ker je obvladal tetive lokov 72◦,36◦,54◦,18◦,9◦ v pravilnem petkotniku. Seveda je obvladal tudi tetive lokov 30◦,60◦,45◦,15◦,75◦, s tem pa tudi 3◦,1◦ 30′,45′. Z interpolacijo je našel tetive lokov1◦ in30′. Veliko točnejšo vrednost tetive za1◦ je izračunal
Slika 7: Tetivi suplementarnih središčnih kotov.
šele Al Kaši (1380–1429), ki je uporabil povsem drugačen prijem kot Ptole-maj, namreč metodo zaporednih približkov, ki je taka kot tista za izračun kvadratnih korenov po babilonski metodi, samo zaporedne približke dobimo po drugačnem predpisu. Al Kaši je sin3◦ izrazil s sin1◦ in dobil za slednje kubično enačbo, ki jo je potem reševal z metodo zaporednih približkov, ki da rezultat s tako natančnostjo, kot jo želimo.
α crdα ∆crdα/∆α
πδ̸ ′ π μα γ O O μϛ κε
πε πα δ ιε O O μϛ ιδ
πε̸ ′ πα κζ κβ O O μϛ γ Tabela 9: Del tabele tetiv.
Posamezne seksagezimale v šestdesetiškem številskem sistemu je Ptolemaj napisal z grškimi številkami. Seksagezimalo, ki je enaka 0, je označil z O (od οὐδέν, nič), za razliko od o, ki lahko pomeni tudi število 70. Celega dela ni pisal v šestdesetiškem sistemu. Ptolemaj je poznal adicijske izreke za svoje kotne funkcije, ki jih je dobil z izrekom, ki se imenuje po njem: v konveksnem tetivnem štirikotniku je vsota produktov nasprotnih stranic enaka produktu
diagonal.
Za eno polovico je Ptolemaj uporabljal znak ̸ ′, ki spominja na ustrezni egipčanski znakM. Njegove tabele tetiv štejejo 360 vrstic. Tabele so razdel-jene na tri glavne stolpce. V prvem so loki, lahko bi danes rekli tudi središčni koti α na vsake pol stopinje (∆α = 1/2◦), v drugem ustrezne tetive crdα, izražene s celim delom in necelim delom s prvima dvema seksagezimalama, v tretjem pa količniki ∆crdα/∆α = (crd(α+ ∆α)−crdα)/∆α, ki služijo linearni interpolaciji za kote, ki jih ni v tabelah.
V glavi tabel v resnici piše namesto naših treh oznak po vrsti: περιϕερειῶν, εὐθειῶν in ἑξηκοστῶν. To so rodilniki množine samostalnikov περιϕερεία, obod, krog, lok, εὐθεῖα, ravna črta, tetiva, in ἑξηκοστά, šestdesetina.
Zanimivo je pogledati ujemanje Ptolemajevih tetiv v njegovih tabelah za nekatere loke.
α crdα ∆crdα/∆α
α α β ν O α β ν
ξ ξ O O O O νδ κα
ϙ πδ να ι O O μδ κ
ρκ ργ γε κγ O O λα ιη
λϛ λζ δ νε O O νθ μγ
Tabela 10: Tetive za nekatere loke.
Za lok 60◦, po Ptolemaju μοιρῶν ξ, je rezultat eksakten, saj je crd60◦ = 120sin30◦ = 60, torej je tetiva dolga ξ delov. To je seveda prav, saj je trikotnik SBA v tem primeru enakostraničen.
Za lok 1◦ je tetiva po njegovih tabelah dolga crd1◦ .
= 1; 2 50 = 1 + 2
60 + 50
3600 = 377 360.
To tetivo imamo lahko za stranico pravilnega 360-kotnika, ki je včrtan krogu s polmerom 60. Obseg tega pravilnega 360-kotnika je približno360·377/360 = 377. Razmerje tega obsega s premerom kroga je približek za število π =
3,141592653. . .:
π .
= 377
120 = 3; 8 30 = 3 + 8
60 + 30
3600 = 3.1416.
Za lok 90◦, po Ptolemaju μοιρῶν ϙ, je tetiva po njegovih tabelah dolga približno
84; 51 10 = 84 + 51
60 + 10
3600 = 30547 360 . Točna dolžina te tetive pa je crd90◦ = 120sin45◦ = 60√
2. Iz tega sledi Ptolemajev približek
√2 .
= 30547
21600 = 1; 24 51 10 = 1 + 24
60 + 51
3600 + 10
216000 = 1,4142129629.
Točneje je √ 2 .
= 1,414213562373.
Za lok120◦, po Ptolemajuμοιρῶν ρκ, je tetiva po njegovih tabelah dolga približno
103; 55 23 = 103 + 55
60+ 23
3600 = 374123 3600 . Točna dolžina te tetive pa je crd120◦ = 120sin60◦ = 60√
3. Iz tega sledi Ptolemajev približek
√3 .
= 374123
216000 = 1; 43 55 23 = 1 + 43
60+ 55
3600 + 23
216000 = 1,7320509259.
Točneje je √ 3 .
= 1,732050807568877. Ujemanje je kar dobro in zato ni čudno, če so bile Ptolemajeve tablice dovolj točne za kar nekaj stoletij.
Za vajo izračunajmo še crd36◦. Kot 36◦ med seboj oklepata diagonali v vsakem oglišču pravilnega petkotnika. Vemo pa, da je v pravilnem petkot-niku razmerje diagonaledin straniceaenaka znamenitemu zlatemu razmerju τ = (1 +√
5)/2. Iz enakokrakega trikotnikaABD na sliki 8 dobimo, če vza-memo d= 60, za stranico a=d/τ in zato je
crd36◦ =a = 60/τ = 30(√
5−1) .
= 37.08203932 = 37; 4 55 20.
Klavdij Ptolemaj ima v Almagestu pod lokom 36◦ (λϛ) napisano za tetivo v naših znakih37; 4 55, kar se ujema z našim rezultatom na dve seksagezimali.
Slika 8: Pravilni petkotnik.
Evklid,Εὐκλείδης, v svojih Elementih,Στοιχεῖα, ne uporablja izrazazlato razmerje, ampak skrajno in srednje razmerje, ἄκρος καὶ μέσος λόγος. V ob-dobju renesanse so temu razmerju rekli divina proportione, göttliche Propor-tion, božansko razmerje.
Slika 9: Uporaba Ptolemajevega izreka.
Izpeljimo še eno enakost v jeziku Ptolemajevih tetiv. V krogu s polmerom 60 enot narišemo središčni kot α in pripadajočo tetivo EC, kot kaže slika
9. Simetrala s te tetive seka krožnico v točkah A in B. Simetrala s seka premer kroga DE v njegovem središču S po kotomα/2. DaljicaDC je zato vzporedna simetralisin tetivni štirikotnikABCDje enakokrak trapez. Zanj velja Ptolemajev izrek:
|AB| · |DC|+|AD| · |BC|=|AC| · |BD|.
Ker je |AB|= 120, |DC|=crd(180◦−α), |AC|=|BD|=crd(180◦−α/2)) in |AD|=|BC|=crdα/2, velja:
120crd(180◦−α) +crd2α/2 =crd2(180◦−α/2).
Ker sta trikotnika DEB in DEC pravokotna, veljata še enakosti
crd2α/2 +crd2(180◦−α/2) = 1202,crd2α+crd2(180◦−α) = 1202, tako da imamo
120crd(180◦−α) +crd2α/2 = 1202−crd2α/2.
Iz tega sledi enakost:
crd2α/2 = 60(120−√1202−crd2α).
Dobljeni rezultat izkoristimo za izračun crd18◦. Najprej je crd218◦ = 60(120−√1202−crd236◦) = 60
(
120−√1202−302(√
5−1)2
)
. Po poenostavitvi dobimo stranico pravilnega dvajsetkotnika, ki je včrtan krogu s polmerom 60:
crd18◦ =
vu uu t60
120−
√
120−30
√
10 +√ 5
.
V šestdesetiškem številkem sistemu je to crd18◦ .
= 18; 46 19 41 =ιη;μϛ ιθ μα.
V Almagestu imamo rezultat zapisan na dve seksagezimali, ki se z našima prvima dvema lepo ujemata.
Babilonski način zapisovanja števil so še precej časa uporabljali, sčasoma pa je prevladal desetiški številski sistem in indijsko-arabske števke. Omenimo še Al Kašija, ki je izračunal število 2π po arhimedski metodi na oba načina.
V šestdesetiškem sistemu je dobil na 9 seksagezimalk 2π .
= 6; 16 59 28 1 34 51 46 14 50.
Preračunano v decimalni sistem dobimo:
2π .
= 6,28318530717958648.
Dandanes poznamo število π na milijarde decimalk. Napišimo število2π na malo več seksagezimalk in decimalk, kot jih je v Al Kašijevem približku:
2π .
= 6; 16 59 28 1 34 51 46 14 49 55 12 35 26 8 58 14 20 7, 2π .
= 6,283185307179586476925286766559005768394.
Vidimo, da je 16 decimalk v al Kashijevem približku točnih. V številu točnih decimalk je Al Kašija po dolgotrajnem računanju, po arhimedski metodi, prehitel šele leta 1596 Ludolph van Ceulen (1540–1610), po katerem pogosto imenujejo število π kar Ludolfovo število.
Al Kaši je izračunal tudi tabelo sinusov kotov za vsako kotno stopinjo na 4 seksagezimalna mesta natančno. Trigonometrične tablice vsake vrste so v glavnem uporabljali astronomi. V islamskem svetu so vsakovrstne zbirke tabel in navodil za astronomijo imenovali zidž, perzijsko
i.K P
. V Evropise za zidž dolgo niso zanimali, potrebe geografije, geodezije in astronomije pa so zahtevale čedalje bolj natančne tabele, boljše od Ptolemajevih. Prvi Evropejec, ki je storil korak naprej, je bil Georg von Peuerbach (1423–1461), profesor astronomije na dunajski univerzi. Sestavil je tabele sinusov, ki jih je še izboljšal Johannes Müller (1436–1476), znan tudi kot Regiomontanus. Bil je vsestranski nemški matematik, astronom, astrolog, prevajalec, izdelovalec inštrumentov in škof. Izračunal je sinuse kotov za vsako kotno minuto in napisal pet knjig o trigonometriji in njeni uporabi pri razreševanju trikot-nikov, ravninskih in sfernih.
Za konec
Obravnave babilonskega zapisa števil sicer nismo tako načrtno in lepo razdelili, kot piše o rešilni ladji v zgodbi o vesoljnem potopu v Epu o Gilgamešu:
Napravil sem načrt in ga zarisal:
šest stropov sem vrisal vanjo, na sedem nadstropij sem jo razdelil.
Upajmo pa, da smo kljub vsemu dovolj lepo pokazali, zakaj pri tem gre.
Nekoliko smo se sprehodili skozi zgodovino matematike in vsaj bežno spoz-nali, da so ljudje pred štiri tisoč leti znali šteti, zapisovati števila in z njimi računati ter da še danes vsaj deloma uporabljamo šestdesetiški številski sis-tem. Za bolj natančen študij zgodovine matematike pa so na voljo bogata literarna dela. Pokazali smo tudi, da lahko ob računalniku sami napišemo kakšno besedilo iz zgodovine matematike. Za ilustracijo smo oblikovali ma-gični kvadrat, kakršnega je upodobil Albrecht Dürer (1471–1528) iz Nürn-berga na svoji znameniti grafiki Melencolia I. Dürer je bil slikar, grafik, matematik in teoretik. V magični kvadrat smo za vajo pustavili babilonske
𒃻 𒌋𒐊 𒌋𒃻 𒁹
𒐎 𒐋 𒐌 𒌋𒈫
𒐊 𒌋 𒌋𒁹 𒐍
𒌋𒐋 𒐈 𒈫 𒌋𒐈
Slika 10: Dürerjev magični kvadrat.
klinopisne številke. Če jih seštejete po vrsticah, stolpcih in obeh diagonalah, dobite vselej 34,