5. Kombinacije (neurejene izbire )
Ponovimo: Pri variacijah izbiramo iz mnoˇzice n elementov v r fazah;
5. Kombinacije (neurejene izbire )
Ponovimo: Pri variacijah izbiramo iz mnoˇzice n elementov v r fazah; pri tem se pri ponovnih izbirah:
• elementi lahko ponovijo - variacije s ponavljanjem
• ali pa ne - variacije. Tu oˇcitno velja: r ≤ n.
Vrstni red razvrstitve elementov v niz je pomemben.
5. Kombinacije (neurejene izbire )
Ponovimo: Pri variacijah izbiramo iz mnoˇzice n elementov v r fazah; pri tem se pri ponovnih izbirah:
• elementi lahko ponovijo - variacije s ponavljanjem
• ali pa ne - variacije. Tu oˇcitno velja: r ≤ n.
Vrstni red razvrstitve elementov v niz je pomemben.
Pri kombinacijah pa vrstni red ni pomemben.
Zgled 5.0 Na izpitu dijak izbira izmed 5 nalog. Na koliko naˇcinov lahko izbere 3 naloge?
Mc 2
Oˇcitno je moˇznosti, kako izbere, kar nekaj:
123, 132, 213, 231, 312, 321, 124, 142, 214, 241, 412, 421, 125, 152, 215, 251, 512, 521, 134, 143, 314, 341, 413, 431, 135, 153, 315, 351, 513, 531, 145, 154, 415, 415, 542, 541, 234, 324, 234, 243, 324, 342, 235, 325, 235, 253, 325, 352, 245, 254, 425, 452, 542, 524, 345, 354, 435, 453, 534, 534,
Stevilo izbir je 60, vendar je to ˇstevilo preveliko: izbira nalog 123 je na primerˇ enaka izbiri nalog 321, kar pomeni, da je moˇznosti v vsaki vrstici manj za faktor 6 = 3! (pravimo, da vsaka vrstica prispeva le eno kombinacijo).
Mc 2
Torej je vseh moˇznosti V63
3! = 5!
(5 − 3)! · 3! = 5!
2! · 3! = 10.
Definirajmo:
Kombinacije n elementov reda r oznaˇcimo kot Cnr in velja
Cnr = Vnr
r! = n!
(n − r)! · r!.
V naˇsem primeru dijak izbere 3 naloge od petih, torej je vseh kombinacij C53.
Torej je vseh moˇznosti V63
3! = 5!
(5 − 3)! · 3! = 5!
2! · 3! = 10.
Definirajmo:
Kombinacije n elementov reda r oznaˇcimo kot Cnr in velja
Cnr = Vnr
r! = n!
(n − r)! · r!.
V naˇsem primeru dijak izbere 3 naloge od petih, torej je vseh kombinacij C53.
Mc 2
Stevilo kombinacijˇ n elementov reda r oznaˇcimo z binomskim simbolom
n
r
= n!
(n − r)! · r!.
Stevilo kombinacijˇ n elementov reda r oznaˇcimo z binomskim simbolom
n
r
= n!
(n − r)! · r!.
Zgled 5.1 Na mednarodni matematiˇcni konferenci se zbere 10 matematikov.
Koliko medsebojnih rokovanj je moˇznih, ˇce se vsak udelˇzenec rokuje z vsakim?
Stevilo kombinacijˇ n elementov reda r oznaˇcimo z binomskim simbolom
n
r
= n!
(n − r)! · r!.
Zgled 5.1 Na mednarodni matematiˇcni konferenci se zbere 10 matematikov.
Koliko medsebojnih rokovanj je moˇznih, ˇce se vsak udelˇzenec rokuje z vsakim?
C102 = 10!
8!2! = 45.
Stevilo kombinacijˇ n elementov reda r oznaˇcimo z binomskim simbolom
n
r
= n!
(n − r)! · r!.
Zgled 5.1 Na mednarodni matematiˇcni konferenci se zbere 10 matematikov.
Koliko medsebojnih rokovanj je moˇznih, ˇce se vsak udelˇzenec rokuje z vsakim?
C102 = 10!
8!2! = 45.
Zgled 5.2 Poslovodja trgovine Franˇcek ˇzeli izbrati 7 delavcev za delo na petih blagajnah. Na koliko naˇcinov lahko to stori, ˇce so blagajne oznaˇcene . . .
Stevilo kombinacijˇ n elementov reda r oznaˇcimo z binomskim simbolom
n
r
= n!
(n − r)! · r!.
Zgled 5.1 Na mednarodni matematiˇcni konferenci se zbere 10 matematikov.
Koliko medsebojnih rokovanj je moˇznih, ˇce se vsak udelˇzenec rokuje z vsakim?
C102 = 10!
8!2! = 45.
Zgled 5.2 Poslovodja trgovine Franˇcek ˇzeli izbrati 7 delavcev za delo na petih blagajnah. Na koliko naˇcinov lahko to stori, ˇce so blagajne oznaˇcene . . .
Oˇcitno gre za izbire, v katerih je vrstni red pomemben: ni ista razporeditev delavcev, ˇce se npr.
Mc 2
dva na dveh blagajnah zamenjata.
dva na dveh blagajnah zamenjata. Zato imamo variacije
dva na dveh blagajnah zamenjata. Zato imamo variacije
V75 = 7!
(7 − 5)! = 2520.
Recimo, da jih izmed vseh 7 delavcev izbere 5 in jih povabi na piknik. Koliko ima zdaj moˇznosti?
dva na dveh blagajnah zamenjata. Zato imamo variacije
V75 = 7!
(7 − 5)! = 2520.
Recimo, da jih izmed vseh 7 delavcev izbere 5 in jih povabi na piknik. Koliko ima zdaj moˇznosti?
Tokrat gre za izbire, v katerih vrstni red ni pomemben. . .
dva na dveh blagajnah zamenjata. Zato imamo variacije
V75 = 7!
(7 − 5)! = 2520.
Recimo, da jih izmed vseh 7 delavcev izbere 5 in jih povabi na piknik. Koliko ima zdaj moˇznosti?
Tokrat gre za izbire, v katerih vrstni red ni pomemben. . . Vseh naˇcinov je
C75 = 7!
2! · 5! = 21.
dva na dveh blagajnah zamenjata. Zato imamo variacije
V75 = 7!
(7 − 5)! = 2520.
Recimo, da jih izmed vseh 7 delavcev izbere 5 in jih povabi na piknik. Koliko ima zdaj moˇznosti?
Tokrat gre za izbire, v katerih vrstni red ni pomemben. . . Vseh naˇcinov je
C75 = 7!
2! · 5! = 21.
Zgled 5.3 Moˇstvo sestavlja 7 fantov in 4 dekleta. Na koliko naˇcinov lahko sestavimo petˇclansko ekipo za odbojko,ˇce
1. ni omejitev pri spolu igralcev
dva na dveh blagajnah zamenjata. Zato imamo variacije
V75 = 7!
(7 − 5)! = 2520.
Recimo, da jih izmed vseh 7 delavcev izbere 5 in jih povabi na piknik. Koliko ima zdaj moˇznosti?
Tokrat gre za izbire, v katerih vrstni red ni pomemben. . . Vseh naˇcinov je
C75 = 7!
2! · 5! = 21.
Zgled 5.3 Moˇstvo sestavlja 7 fantov in 4 dekleta. Na koliko naˇcinov lahko sestavimo petˇclansko ekipo za odbojko,ˇce
1. ni omejitev pri spolu igralcev
Mc 2
Izberemo 5 igralcev izmed 11 igralcev. Vrstni red izbire ni pomemben, zato govorimo o kombinacijah:
Izberemo 5 igralcev izmed 11 igralcev. Vrstni red izbire ni pomemben, zato govorimo o kombinacijah:
C115 = 11 5
= 11!
6! · 5! = 462.
2. morata igrati natanko dve dekleti
Izberemo 5 igralcev izmed 11 igralcev. Vrstni red izbire ni pomemben, zato govorimo o kombinacijah:
C115 = 11 5
= 11!
6! · 5! = 462.
2. morata igrati natanko dve dekleti
Podobno kot prej izberemo 2 dekleti od petih, hkrati pa ˇse 3 fante od sedmih. Po pravilu produkta velja
Izberemo 5 igralcev izmed 11 igralcev. Vrstni red izbire ni pomemben, zato govorimo o kombinacijah:
C115 = 11 5
= 11!
6! · 5! = 462.
2. morata igrati natanko dve dekleti
Podobno kot prej izberemo 2 dekleti od petih, hkrati pa ˇse 3 fante od sedmih. Po pravilu produkta velja
C52 · C73 = 5!
3! · 2! · 7!
4! · 3! = 10 · 35 = 350.
3. ne smejo igrati veˇc kot 4 fanti
Izberemo 5 igralcev izmed 11 igralcev. Vrstni red izbire ni pomemben, zato govorimo o kombinacijah:
C115 = 11 5
= 11!
6! · 5! = 462.
2. morata igrati natanko dve dekleti
Podobno kot prej izberemo 2 dekleti od petih, hkrati pa ˇse 3 fante od sedmih. Po pravilu produkta velja
C52 · C73 = 5!
3! · 2! · 7!
4! · 3! = 10 · 35 = 350.
3. ne smejo igrati veˇc kot 4 fanti
Naloge se lotimo za spremembo malce drugaˇce: od vseh moˇznosti postavitve ekipe (glej 1) odˇstejmo tiste ˇstevilo tistih kombinacij, v katerih nastopajo le fanti (5 fantov, 0 deklet):
Izberemo 5 igralcev izmed 11 igralcev. Vrstni red izbire ni pomemben, zato govorimo o kombinacijah:
C115 = 11 5
= 11!
6! · 5! = 462.
2. morata igrati natanko dve dekleti
Podobno kot prej izberemo 2 dekleti od petih, hkrati pa ˇse 3 fante od sedmih. Po pravilu produkta velja
C52 · C73 = 5!
3! · 2! · 7!
4! · 3! = 10 · 35 = 350.
3. ne smejo igrati veˇc kot 4 fanti
Naloge se lotimo za spremembo malce drugaˇce: od vseh moˇznosti postavitve ekipe (glej 1) odˇstejmo tiste ˇstevilo tistih kombinacij, v katerih nastopajo le fanti (5 fantov, 0 deklet):
C115 − C75 · C50 = 462 − 7!
2!5!
5!
5!0! = 462 − 21 = 441.
Mc 2
Zgled 5.3 Iz vreˇcke, v kateri je 10 rdeˇcih, 5 modrih kroglic ter 3 zelene kroglice, izvleˇcemo nakljuˇcno 3 kroglice hkrati.
1. Koliko razliˇcnih izborov je moˇznih? . . . .
Zgled 5.3 Iz vreˇcke, v kateri je 10 rdeˇcih, 5 modrih kroglic ter 3 zelene kroglice, izvleˇcemo nakljuˇcno 3 kroglice hkrati.
1. Koliko razliˇcnih izborov je moˇznih? . . . .
Izberemo 3 izmed 18 kroglic: C183 = 15!·3!18! = 816.
Zgled 5.3 Iz vreˇcke, v kateri je 10 rdeˇcih, 5 modrih kroglic ter 3 zelene kroglice, izvleˇcemo nakljuˇcno 3 kroglice hkrati.
1. Koliko razliˇcnih izborov je moˇznih? . . . .
Izberemo 3 izmed 18 kroglic: C183 = 15!·3!18! = 816.
2. Koliko je izborov, v katerih so natanko dve rdeˇci kroglice in 1 modra? . . . .
Zgled 5.3 Iz vreˇcke, v kateri je 10 rdeˇcih, 5 modrih kroglic ter 3 zelene kroglice, izvleˇcemo nakljuˇcno 3 kroglice hkrati.
1. Koliko razliˇcnih izborov je moˇznih? . . . .
Izberemo 3 izmed 18 kroglic: C183 = 15!·3!18! = 816.
2. Koliko je izborov, v katerih so natanko dve rdeˇci kroglice in 1 modra? . . . . Izberemo 2 rdeˇci, hkrati pa ˇse 1 modro: C102 · C51 = 8!·2!10! · 5!1!5! = 45 · 5 = 225.
Zgled 5.3 Iz vreˇcke, v kateri je 10 rdeˇcih, 5 modrih kroglic ter 3 zelene kroglice, izvleˇcemo nakljuˇcno 3 kroglice hkrati.
1. Koliko razliˇcnih izborov je moˇznih? . . . .
Izberemo 3 izmed 18 kroglic: C183 = 15!·3!18! = 816.
2. Koliko je izborov, v katerih so natanko dve rdeˇci kroglice in 1 modra? . . . . Izberemo 2 rdeˇci, hkrati pa ˇse 1 modro: C102 · C51 = 8!·2!10! · 5!1!5! = 45 · 5 = 225.
3. Koliko je izborov, v katerih sta vsaj dve zeleni kroglici? . . . .