Porazdelitve, ki jih oblikujemo na osnovi empiričnih podatkov, imenujemo stvarne ali empirične porazdelitve. V nasprotju s temi poznamo porazdelitve, ki jih tvorimo na osnovi teoretičnih predpostavk. Take porazdelitve so teoretične porazdelitve. Za te že vnaprej poznamo nekatere statistične parametre, kot so aritmetična sredina, modus, mediana in standardni odklon. Od teoretičnih porazdelitev bomo opredelili lastnosti normalne porazdelitve.
Normalno porazdelitev (Gaussovo porazdelitev) lahko na osnovi parametrov, ki smo jih spoznali v prejšnjih poglavjih, opredelimo z naslednjimi značilnostmi (Artenjak, 1997, 111):
• V razmiku:
- M – σσσσ do M + σσσσ se nahaja 68,3 % vseh vrednosti spremenljivke;
- M – 2σσσσ do M + 2σσσσ se nahaja 95,4 % vseh vrednosti spremenljivke;
- M – 3σσσσ do M + 3σσσσ se nahaja 99,7 % vseh vrednosti spremenljivke.
• M = Me = Mo
• KAMo, KAMe = 0
• KS = 1
• VR = yma x– ymin ≅≅≅≅ 6σσσσ
Grafični prikaz normalne porazdelitve:
Podobnost določene preučevane porazdelitve z normalno po prvi lastnosti ugotavljamo po naslednjem postopku (Artenjak,1997, 111):
• izračunamo aritmetično sredino in standardni odklon (M in σσσσ);
• določimo vrednosti: y = M1 −k × σ in y = M + k × σ2 (k označuje število standardnih odklonov);
• za določeni vrednosti izračunamo kvantilna ranga, torej P y in ( )1 P y( 2);
• izračunamo razliko med kvantilnima rangoma P=P y( 2)−P y( )1 in pomnožimo s 100, tako dobimo odstotek enot, ki imajo vrednosti v določenem razmiku;
• izračunani odstotek primerjamo s teoretično vrednostjo in sklepamo o podobnosti empirične z normalno porazdelitvijo.
Postopek izračuna opravimo za porazdelitev vrednosti prodaje za 80 prodajaln trgovskega podjetja Preskrba in preverimo, ali je porazdelitev podobna teoretični normalni porazdelitvi, torej izračunajmo ali ima 68,3 % prodajaln vrednost prodaje v razmiku M – σ do M + σ.
Tabela 7.4: Frekvenčna porazdelitev vrednosti prodaje za 80 prodajaln trgovskega podjetja Preskrba v letu 2007 s kumulativo
Vrednost prodaje v mio EUR
Št. prodajaln fj
Kumulativa frekvenc Fj
od 10 do pod 12 9 9
od 12 do pod 14 16 25
od 14 do pod 16 23 48
od 16 do pod 18 17 65
od 18 do pod 20 10 75
od 20 do pod 22 3 78
od 22 do pod 24 2 80
Skupaj 80
Slika 7.1: Normalna porazdelitev spremenljivke y
M = Me = Mo
Aritmetično sredino in standardni odklon imamo že izračunana: lastnosti ni podobna teoretični normalni porazdelitvi.
7.6 PRIMER ZA UTRJEVANJE
Izračunajmo vse parametre, ki smo jih spoznali v poglavjih o kvantilih, srednjih vrednostih ter merah variabilnosti, asimetrije in sploščenosti, za frekvenčno porazdelitev površin prodajnega prostora prodajaln. Izračunane parametre primerjajmo s parametri, ki smo jih izračunali za frekvenčno porazdelitev vrednosti prodaje teh prodajaln.
Tabela 7.5: Frekvenčna porazdelitev površine prodajnega prostora za 80 prodajaln Površina prodajnega
Izračunajmo najprej srednje vrednosti:
• aritmetično sredino (M):
2
• modus – najpogostejšo površino (Mo):
polovica enot pa večjo vrednost (Me):
Tabela 7.6: Frekvenčna porazdelitev površine prodajnega prostora za 80 prodajaln Površina v m2 fj yj fj yj yj−M fj (yj−M)2
• Izračunajmo varianco in standardni odklon:
2 2
( )
2 22 2
( )
2 22
1.332, 44 20 1.299,11 m
12 12 30,74 %, kar pomeni, da standardni odklon predstavlja 30,74 % aritmetične sredine. Če variabilnost te spremenljivke primerjamo z variabilnostjo spremenljivke vrednost prodaje, ugotovimo, da je variabilnost za spremenljivko vrednost prodaje manjša, saj standardni odklon predstavlja le 18,06 % aritmetične sredine.
• Izračunajmo še koeficient asimetrije in koeficient sploščenosti:
Koeficient asimetrije:
Porazdelitev prodajaln po površini prodajnega prostora je malo asimetrična v levo, saj sta izračunana koeficienta negativna. Asimetričnost porazdelitve je vidna tudi iz grafičnega prikaza s histogramom (slika 7.2).
Koeficient sploščenosti:
Izračunati moramo prvi in tretji kvartil ter prvi in deveti decil:
0, 25 0,5 80 0, 25 0,5 20, 5
1 2
Izračunani koeficient sploščenosti je manjši od ena, torej je porazdelitev bolj koničasta.
• Izračunajmo še delež prodajaln v razmiku M− σ do M + σ.in ga primerjajmo z deležem, ki velja za teoretično normalno porazdelitev:
1 117, 25 36, 04 81, 21 sklepamo, da ni podobna teoretični normalni porazdelitvi.
Na sliki 7.2 je histogram frekvenčne porazdelitve z oceno modusa, na sliki 7.3 pa kumulativa frekvenčne porazdelitve z oceno razmika M − σ do M + σ.
Na primeru 7.6 smo ponovili snov 6. in 7. poglavja ter dela 5. poglavja. Tako ste
ugotovili, kako pri statistični analizi izračunavamo različne statistične
parametre, da ugotovimo značilnosti preučevanega pojava. Gotovo pa ste se
prepričali tudi o praktični uporabi obravnavanih statističnih metod. Za boljšo
nazornost izračunane parametre dopolnimo še z grafičnimi prikazi. Reševanje nalog od 6.1 do 6.11 v Zbirki vaj iz statistike bo za utrjevanje znanja zelo koristno.
Slika 7.2: Frekvenčna porazdelitev površine prodajnega prostora za 80 prodajaln trgovskega podjetja Preskrba 0
Slika 7.3: Kumulativa frekvenčne porazdelitve površine prodajnega prostora za 80 prodajaln
0
8 ANALIZA ČASOVNIH VRST
Spreminjanje pojavov v času smo spremljali s kazalci dinamike (poglavje 3), kot so indeksi, koeficienti in stopnje rasti. V tem poglavju bomo analizo časovnih vrst dopolnili, saj z analizo spreminjanja lastnosti v preteklosti lahko napovedujemo njihov razvoj v prihodnosti. Spoznali bomo trend in sezonske indekse, predvsem pa njihov pomen pri napovedovanju gospodarskih in drugih pojavov, ki se spreminjajo v odvisnosti od časa.
Ekonomski in drugi pojavi se običajno spreminjajo s časom, tako se na primer družbeni proizvod na prebivalca iz leta v leto povečuje, povečuje se tudi poraba energije na prebivalca, kot rezultat boljše zdravstvene oskrbe prebivalstva, napredka medicine in boljših življenjskih pogojev pa se zmanjšuje umrljivost prebivalstva v razvitih državah. Spremembe so rezultat različnih dejavnikov, ki vplivajo na pojav, in so opazne, če za določen pojav zberemo in uredimo podatke za zaporedne časovne trenutke ali intervale. Tako dobimo časovno vrsto, ki prikazuje spremembe pojava v odvisnosti od časa, prikazuje torej dinamiko pojava.
Preučevanje te pa je zelo pomembno, saj nam poznavanje spreminjanja pojava v preteklosti omogoča napovedovanje razvoja v prihodnosti. To seveda ni povsem zanesljivo, saj so spremembe rezultat različnih dejavnikov v preteklosti in ni povsem gotovo, da bodo tudi v prihodnosti delovali isti dejavniki v enaki meri. Zato je napovedovanje pogosto tvegano, predvsem za bolj oddaljeno prihodnost.
Spreminjanje pojavov v času preučujemo z zelo različnimi metodami. Za enostavno analizo časovne vrste uporabljamo enostavne kazalce dinamike, kot so indeksi s stalno osnovo, verižni indeksi, koeficienti rasti, stopnje rasti in še povprečni koeficient rasti in povprečna stopnja rasti; vse smo že spoznali. Grobo predstavo o razvoju časovne vrste dobimo z njenim grafičnim prikazom, ta je največkrat linijski grafikon. Grafični prikaz v veliki meri vpliva na izbor nadaljnjih metod analize. Nekatere od teh, predvsem tiste, ki temelje na razčlenitvi časovne vrste na njene sestavine, bomo spoznali v tem poglavju.