Vektorji v ravnini in prostoru
5.1. Osnovni pojmi in lastnosti vektorjev
Ko slišimo besedo vektor, si verjetno marsikdo ob njej predstavlja neko "pušˇcico", torej usmerjeno daljico. To je grafiˇcni prikaz koliˇcine, ki ima poleg svoje dolžine tudi smer. Kot na primer hitrost, ki ima poleg velikosti tudi smer. ˇCe vidimo kamen, ki po zraku leti s hitrostjo 20 km/h, ne da bi se zavedali hitro ugotovimo, v katero smer leti (da vemo, ali se mu moramo umakniti ali ne). Pušˇcica na koncu daljice kaže v smer vektorja, dolžina daljice pa predsta-vlja dolžino vektorja. Vektorje bomo oznaˇcevali z malimi tiskanimi ˇcrkami, nad katere bomo narisali pušˇcico (~a,~b,~x,~v,. . . ).
Pri tem vse usmerjene daljice, ki kažejo v isto smer in ki imajo isto dolžino, predstavljajo isti vektor, neodvisno od tega, v kateri toˇcki jih zaˇcnemo risati.
~a
~a
~a ~a
~a
Ce bomo želeli izmed vseh možnih predstavitev vektorjaˇ ~aizbrati tistega, ki se zaˇcne v toˇcki A, konˇca pa v toˇckiB, bomo bomo pisali tudi~a=−→
AB. Pri tem bomo toˇckoAimenovali zaˇcetna toˇckavektorja−→
AB, toˇckoBpakonˇcna toˇckavektorja−→
AB.
A
B
~a
Vektorje koliˇcina, doloˇcena s svojo dolžino in smerjo.
5.1.1. Vektorji v koordinatnem sistemu. Ce želimo raˇcunati z vektorji, jih je smiselnoˇ predstaviti v karteziˇcnem koordinatnem sistemu. Za zaˇcetek si poglejmo, kako predstavimo vektorje v ravnini.
87
~a
~a
~a ~a
~a
x y
A(a1,a2)
Med vsemi usmerjenimi daljicami, ki predstavljajo isti vektor~a, izberimo tistega, ki ima zaˇcetno toˇcko v koordinatnem izhodišˇcu. Zaˇcetna toˇcka vektorja~aje torej(0, 0), konˇcna pa naj bo A(a1,a2). Koordinatia1ina2imenujemokomponentivektorja~ain pišemo
~a= a1
a2
.
Komponente vektorja pišemo v stolpec, da ta zapis razlikujemo od zapisa toˇckeA(a1,a2). Ker ima tako definiran vektor~adve realni komponenti, bomo uporabljali oznako~a∈R2.
Ce jeˇ A= (a1,a2)dana toˇcka v ravniniR2, potem vektor−→
OAz zaˇcetno toˇcko v koordina-tnem izhodišˇcu in konˇcno toˇckoAimenujemokrajevni vektortoˇckeAin ga zapišemo z oznako
~rA =−→
OA= a1
a2
.
x y
A(a1,a2)
~rA
a1
a2
Vektor, ki ima obe komponenti enaki 0, imenujemoniˇcelni vektorin ga oznaˇcimo z~0. Torej je
~0= 0
0
.
Podobno postopamo tudi v tridimenzionalnem prostoruR3.
x
y z
A(a1,a2,a3) a3
a1
a2
Ce ima konˇcna toˇckaˇ Avektorja~az zaˇcetkom v koordinatem izhodišˇcu koordinate(a1,a2,a3), potem koordinatea1,a2ina3predstavljajo komponente vektorja
~a=
a1 a2
a3
,
pri tem pa pišemo~a∈R3. Vektor−→
OAprav tako imenujemokrajevni vektortoˇckeAin ga zapišemo z oznako~rA=−→
OA.
Pri tem zopet z~0oznaˇcimo vektor, ki ima vse komponente enake 0, torej je
~0=
0 0 0
.
V prostoruR3 posebej izpostavimo še tri vektorje, ki jih bomo pogosto omenjali in upo-rabljali. To so vektorji
~i=
1 0 0
, ~j=
0 1 0
in ~k=
0 0 1
,
ki kažejo v smereh koordinatnih osi.
x
y z
~i ~j
~k
Seveda obstajajo tudi vektorji z veˇc kot tremi komponentami. Ker pa je naša geometrijska predstava najbolj vezana na prostorR3, bomo odslej veˇcinoma delali z vektorji vR3. Veˇcina operacij (pravzaprav prav vse razen vektorskega produkta) je prav tako definiranih vRn in zanje veljajo ista pravila kot za vektorje s tremi komponentami, le da dodamo ali odvzamemo željeno število komponent.
5.1.2. Seštevanje vektorjev. Da bomo lahko z vektorji tudi raˇcunali, moramo najprej de-finirati nekaj operacij z njimi. V tem razdelku si bomo ogledali, kako seštevamo vektorje, in v naslednjem, kako jih množimo z realnimi števili.
Najprej si oglejmo, kako seštejemo dva vektorja. Vsoto vektorjev~ain~boznaˇcimo z~a+~b in jo definiramo tako, da vektorja~ain~bseštejemo po komponentah.
Vsota vektorjev~a=
a1 a2 a3
in~b=
b1 b2 b3
je vektor~a+~b=
a1+b1 a2+b2 a3+b3
.
Grafiˇcno si seštevanje vR2ponazorimo v koordinatnem sistemu.
x y
~a
~b
~a+~b
a1
a2 b1
b2
Tudi v splošnem, ne le vR2, vektorja~ain~bgrafiˇcno seštejemo tako, da vektor~b prema-knemo vzporedno, da se njegova zaˇcetna toˇcka ujema s konˇcno toˇcko vektorja~a. Nato vsoto
~a+~bnarišemo kot tisti vektor, ki poteka od zaˇcetne toˇcke vektorja~ado konˇcne toˇcke vektorja
~b.
~a
~b ~a+~b ~b Ce bi vektorjaˇ ~ain~bprestavili tako, da bi imela skupni
zaˇce-tni toˇcki, bi vsoto~a+~bzagledali kot tisto diagonalo v paralelo-gramu napetem na vektorja~ain~b, ki ima skupno zaˇcetno toˇcko z vektorjema~ain~b.
Ker za realna števila velja pravilo o zamenjavi ˇclenov a+ b = b+a ter pravilo o združevanju ˇclenov a+ (b+c) = (a+b) +c, lahko ti dve pravili uporabimo na vsaki komponenti vektorjev in zatorej veljata tudi za vektorje
~a+~b=~b+~a in
~a+~b+~c=~a+~b+~c .
Ce vektorjuˇ ~aprištejemo niˇcelni vektor, vsaki njegovi komponenti prištejemo število 0, zato se vektor~ane spremeni.
~a+~0=~a
5.1.3. Množenje vektorja s številom. Druga osnovna operacija je množenje vektorjev s števili. Tak produkt imenujemo kar veˇckratnik vektorja. Kot bomo videli, veˇckratnik vektorja kaže v isto ali nasprotno smer kot prvotni vektor.
Produkt vektorja~a=
Poljubni veˇckratnik niˇcelnega vektorja je niˇcelni vektor. Produkt neniˇcelnega vektorja s številom je vektor, ki ima za|α| 6=1 drugaˇcno dolžino.
~a
1 2~a
−~a Ce množimo neniˇcelni vektorˇ ~as pozitivnim številom, kaže produkt v isto smer kot vektor~a, torej predstavlja razteg (α>1) ali skrˇcitev (0<α<1) vektorja. ˇCe ga množimo z negativnim številom, pa kaže v nasprotno smer. ˇCe množimo vektor~a s številom 0, dobimo niˇcelni vektor~0.
Ce vektorˇ ~apomnožimo s številom−1, oznaˇcimo produkt (−1)~az −~a. To je vektor enake dolžine kot vektor~a, le da v primeru, ko je~a6=~0, kaže v nasprotno smer. ˇCe vektorja~ain
−~aseštejemo, za rezultat dobimo niˇcelni vektor
~a+ (−~a) =~0, Odslej nam bo simbol odštevanja pomenil prištevanje nasprotnega vektorja:
~a−~b=~a+ (−~b).
Prav tako je vektorjem vseeno, ali jih najprej množimo z enim realnim številomαin nato še z drugimβali pa raje kar z njunim produktomαβ. Velja namreˇc
α
Operaciji seštevanja in množenja vektorjev s številom povezujeta zakona distributivnosti.
Lahko se prepriˇcamo, da velja
(α+β)~a=α~a+β~a 49
in
α(~a+~b) =α~a+α~b.
50
5.1.4. Linearne kombinacije vektorjev. Z besedno zvezolinearna kombinacija vektorjev
~v1,~v2, . . . ,~vn oznaˇcujemo poljubno vsoto veˇckratnikov vektorjev~v1,~v2, . . . ,~vn, torej nam ta izraz združuje operaciji seštevanja vektorjev in množenja vektorja s številom. Vsak vektor v R3lahko zapišemo kot linearno kombinacijo vektorjev~i,~jin~k.
x
je vsota treh vektorjev
B V praksi pogosto potrebujemo vektorje, ki se zaˇcnejo v neki in konˇcajo v neki drugi toˇcki. Zato si oglejmo, kako doloˇcimo vektor−→
AB, ki se zaˇcne v toˇckiAin konˇca v toˇckiB.
Namesto, da se sprehodimo od A do B po bližnjici, torej po vektorju −→
AB, lahko odidemo tudi preko koordinatnega iz-hodišˇca. Torej najprej od toˇckeAv nasprotni smeri krajevnega vektorja~rA do koordinatnega izhodišˇca 0 ter nato v smeri kra-jevnega vektorja~rBdo toˇckeB. Velja
−→AB=−→ A0+−→
0B=−−→ 0A+−→
0B=−~rA+~rB,
torej vektor med dvema toˇckama izraˇcunamo tako, da od koordinat konˇcne toˇcke odštejemo koordinate zaˇcetne toˇcke.
−→AB=~rB−~rA.
PRIMER5.1.1. Letalo se nahaja v toˇcki(−1, 2, 3). V katero smer mora poleteti, da bo po najkrajši poti prišlo do toˇcke(3, 0,−1)?
Pokažimo, kako lahko preprosto izraˇcunamo razpolovišˇce daljice AB. ˇCe oznaˇcimo razpolovišˇce daljice AB s C, želimo izraˇcunati koordinate krajevnega vektorja~rC. Ker jeC razpo-lovišce AB, velja−→
AC = 12−→ koordi-nate razpolovišˇca daljice ABizraˇcunamo tako, da izraˇcunamo aritmetiˇcno sredino posameznih koordinat krajišˇc:
~rC= 1
2(~rA+~rB).