8.2 OBRESTNOOBRESTNI RAČUN
8.2.3 Pogostejša kapitalizacija
b) Kakšne obresti moramo plačati banki, če želimo kredit, ki smo ga najeli pred 5 leti, poravnati že po 3 letih v znesku 2.320,15 DE, če je dogovorjena diskontna obrestna mera 4,32 %, obrestovanje pa anticipativno, kapitalizacija letna?
c) Kakšna je diskontna obrestna mera za najeti kredit v obdobju 3 let, če nam je banka na naš račun nakazala 9.250,00 DE, zanj pa smo plačali 1.325,17 DE obresti? Dogovorjeni način obrestovanja je anticipativen, kapitalizacija je letna.
8.2.3 Pogostejša kapitalizacija
Kot smo omenili že v uvodu poglavja v obrestnoobrestni račun, je lahko kapitalizacijsko obdobje m (obdobje med dvema zaporednimi pripisoma obresti) krajše od enega leta.
Spomnimo se, da je lahko kapitalizacija semestralna (m = 2), kvartalna (m = 4), dvomesečna (m = 6), mesečna (m = 12) ali dnevna (m = 356 za navadno leto, m = 366 za prestopno leto).
Poglejmo, kaj se dogaja z ostalimi osnovnimi količinami.
Preden se lotimo obravnave enačb, povejmo še, da je lahko obrestna mera pri pogostejši kapitalizaciji:
relativna ali proporcionalna konformna.
8.2.3.1 Relativna obrestna mera
Osnova razmišljanja o izračunu katerekoli osnovne količine pri pogostejši kapitalizaciji je prilagoditev obrestne mere pogostejši kapitalizaciji. Prilagojeno relativno obrestno mero bomo označili z r' za dekurzivni način obrestovanja in s π' za anticipativni način obrestovanja. Prilagojeno relativno obrestno mero dobimo tako, da letno obrestno mero delimo s številom kapitalizacijskih obdobij. Če to zapišemo matematično:
dekurzivno obrestovanje ' p p = m anticipativno obrestovanje
−
' 100
π = π
100 m
Ker v obrazcih za izračun količin uporabljamo faktorje obrestovanja (ki jih računamo na osem decimalnih mest natančno) prikažimo, kako zgleda njihov izračun za:
dekurzivno obrestovanje '
p m p
r = 1 + = 1 +
100 100 × m anticipativno obrestovanje
−
' 100
ρ = π
100 m
109 Izračunajte dnevno, mesečno, kvartalno in semestralno relativno obrestno mero, če veste, da je letna obrestna mera 10 %, obrestovanje dekurzivno.
Zapišite tudi dekurzivne obrestovalne faktorje.
Izračunane obrestne mere so prilagojene in označene z odstotki, medtem ko so obrestovalni faktorji neimenovana števila.
V banko smo vložili 25.000,00 DE. Banka obrestuje vloge po 4 % p.a. z relativno dekurzivno obrestno mero in z mesečno kapitalizacijo. Koliko denarja bomo imeli v banki čez 5 let? Koliko obresti so nam pripisali?
Analiza naloge:
Odgovor: Glavnica 25.000,00 DE je narasla na 30.524,91 DE in dala 5.524,91 DE obresti.
Poglejmo si, kakšne obresti bi nam pripisali, če bi bilo besedilo naloge enako, s tem da bi bila kapitalizacija celoletna.
Odgovor: Glavnica 25.000,00 DE je narasla na 30.416,32 DE in dala 5.416,32 DE obresti.
Iz navedenega primera lahko ugotovimo, da nam relativna obrestna mera pri pogostejši kapitalizaciji daje večje obresti kot relativna obrestna mera pri celoletni kapitalizaciji, kar je logično, saj se obresti pripisujejo h glavnici večkrat v kapitalizacijskem obdobju. Po osnovnem načelu obrestnoobrestnega računa bi morale biti obresti pri pogostejši kapitalizaciji enake celoletni (gre za sistemsko napako, ker deluje relativna obrestna mera po principu navadnega obrestnega računa). To napako lahko popravimo, če uporabljamo konformno obrestno mero.
110
Obrazcev za izpeljavo neznanih količin (začetne vrednosti glavnice, končne vrednosti glavnice, časa obrestovanja, obrestne mere) ne bomo izpeljevali, ker smo to počeli v prejšnjih dveh poglavjih in jih je potrebno samo prilagoditi pogostejši kapitalizaciji. Pregled možnih obrazcev je prikazan v tabeli 9.
Tabela 9: Osnovni obrazci pri pogostejši kapitalizaciji – relativna obrestna mera Označba količine Dekurzivno obrestovanje Anticipativno obrestovanje
Končna vrednost
Primerov za izračun ostalih osnovnih količin pri pogostejši kapitalizaciji in relativni obrestni meri ne bomo navajali.
8.2.3.2 Konformna obrestna mera
Konformna obrestna mera prinese v enem letu enake obresti kot letna obrestna mera pri celoletni kapitalizaciji. Izhajamo iz osnovne trditve ekvivalence (enakosti), ki pravi, da so obresti, ki jih prinese letna obrestna mera (p) pri dekurzivnem obrestovanju enake obrestni meri pri pogostejši kapitalizaciji (pk):
Izpeljimo obrazec za izračun konformne obrestne mere dekurzivnega obrestovanja:
obrestovanja, obrestne mere) potrebujemo obrestovalne faktorje, povejmo, da je obrestovalni faktor dekurzivnega konformnega obrestovanja
k m
r = 1 + p 1 0 0
111 Dekurzivni konformni faktor lahko zapišemo tudi v
( )
m r n = rn /m .Druga vrednost dekurzivnega obrestovalnega konformnega faktorja je zapisana kot potenca, ki ima za eksponent ulomek in je zato primernejša za hiter izračun s pomočjo kalkulatorja.
Opozoriti pa velja na dejstvo, da pomeni n število kapitalizacijskih obdobij in ne let.
Izračunajte dnevne, mesečne, kvartalne in semestralne konformne obrestovalne faktorje, če veste, da je letna obrestna mera 10 %, obrestovanje dekurzivno. Zapišite tudi konformne obrestne mere.
Analiza naloge:
p.a. = 10 %
p. d. = ? rd = 3 6 51 ,1 0 = 1 , 0 0 0 2 6 1 1 5 8 p. d. = 0,0261158 % p. m. = ? rm =1 21 ,1 0 = 1 , 0 0 7 9 7 4 1 4 p. m. = 0,797414 % p. q. = ? rq =4 1,1 0 = 1, 0 2 4 1 1 3 6 8 9 p. q. = 2,4113689 % p. s. = ? rs = 2 1,1 0 = 1, 0 4 8 8 0 8 8 4 8 p. s. = 4,8808848 %
Ustavimo se pri zapisu osnovnega obrazca za izračun končne vrednosti glavnice, če je obrestovanje dekurzivno, obrestna mera konformna, kapitalizacija pa pogostejša.
( )
m nn 0
G = G r ali Gn = G × r0 n / m
V banko smo vložili 25.000,00 DE. Banka obrestuje vloge po 4 % p.a. z dekurzivno konformno obrestno mero in dnevno kapitalizacijo. Koliko denarja bomo imeli v banki čez 230 dni? Koliko obresti so nam pripisali?
Analiza naloge:
Go = 25.000,00 DE m = 365
d = 230
p = 4 % p.a. G = G × rn 0 n/m = 25.000, 00 1, 04× 230/365 = 25.625, 56 DE Gn = ? o = Gn −G0 = 25.625,56 25.000, 00 = 625,56 DE−
Odgovor: Glavnica 25.000,00 DE je narasla na 25.625,56 DE in dala 625,56 DE obresti.
Obrazcev za izpeljavo neznanih količin (začetne vrednosti glavnice, končne vrednosti glavnice, časa obrestovanja, obrestne mere) ne bomo izpeljevali, ker smo to počeli v prejšnjih dveh poglavjih in jih je potrebno samo prilagoditi pogostejši kapitalizaciji ter konformni obrestni meri. Pregled možnih obrazcev prikazuje tabela 10.
112
Tabela 10: Osnovni obrazci pri pogostejši kapitalizaciji – konformna obrestna mera Označba količine Dekurzivno obrestovanje Anticipativno obrestovanje
Končna vrednost zasledili stanje na našem računu v višini 65.320,15 DE?
Analiza naloge:
Odgovor: V petih mesecih je naša vloga 63.381,18 DE narasla na 65.320,15 DE, če je bilo obrestovanje dekurzivno s konformno obrestno mero 7,5 % p.a.
Koliko časa (leta, meseci, dnevi) se je obrestovala vloga 17.223,65 DE, da je narasla na 25.000,00 DE, če je obrestovanje dekurzivno, konformna letna obrestna mera 8 %, kapitalizacija pa kvartalna?
Analiza naloge: Odgovor: Vloga 17.223,65 DE se je obrestovala 1 leto 7 mesecev in 10 dni, da je pri 8 % letni konformni obrestni meri narasla na 25.000,00 DE.
113 Po kakšni dekurzivni konformni letni obrestni meri se je obrestovala glavnica 33.120,00 DE, da je narasla v 5 letih na 55.750,00 DE pri semestralni
Odgovor: Glavnica 33.120,00 DE se je obrestovala 5 let po letni konformni obrestni meri 10,98 % pri dekurzivnem načinu obrestovanja.
V dosedanjih primerih smo se ukvarjali le z dekurzivnim obrestovanjem pri konformni obrestni meri in pogostejši kapitalizaciji. V nadaljevanju poglejmo še naloge anticipativnega načina obrestovanja s konformno obrestno mero in pogostejšo kapitalizacijo.
Banka nam je za najeti kredit na naš račun izplačala 25.000,00 DE. Banka obrestuje vloge po 4 % letni anticipativni konformni obrestni meri z dnevno kapitalizacijo. Na kakšen znesek se je glasil 230 dnevni kredit ob najemu?
Analiza naloge: dnevni kapitalizaciji je znašal 25.651,43 DE.
Za poravnavo dolga nam je dobavitelj izročil menico v vrednosti 333.250,00 DE, ki je vnovčljiva čez 90 dni. Ker denar potrebujemo takoj, smo se z banko dogovorili, da odkupi našo terjatev. Banka za take posle obračunava 12 % letne anticipativne obresti po konformni obresti meri. Koliko denarja nam bo izplačala banka, če ostalih bančnih stroškov, razen stroškov diskontiranja menice, ne upoštevamo?
114 anticipativnem načinu obrestovanja in konformni obrestni meri 12 %.
načinu obrestovanja pri najetem posojilu v višini 219.250,15 DE.
Za koliko časa (leta, dnevi) smo najeli kredit v višini 250.000,00 DE, če smo
115 obresti pri obrestni meri 15 % in anticipativnem načinu obrestovanja, je bil najet za 2 leti in 74 dni.
8.2.3 Rešite naslednje naloge.
a) Kakšen znesek smo vložili v banko pred 4 leti, če imamo danes na računu 5.222,15 DE? Dogovorjeni pogoji obrestovanja so bili: obrestna mera 5,75 %, kapitalizacija semestralna, obrestovanje dekurzivno, obrestna mera relativna?
b) Kakšni sta bili dogovorjeni obrestni meri, če smo vložili 1.750,00 DE in po 5 letih imeli na računu 2.129,17 DE, če je bilo obrestovanje dekurzivno in računano enkrat po relativni, drugič pa po konformni obrestni meri? V obeh primerih je bila kapitalizacija kvartalna.
c) Kakšna je diskontna obrestna mera za najeti kredit v obdobju 3 let, če nam je banka na naš račun nakazala 9.250,00 DE, zanj pa smo plačali 1.325,17 DE obresti? Dogovorjeni način obrestovanja je anticipativen, kapitalizacija je semestralna, obrestna mera konformna.
Izvedite tudi obrazec za izračun anticipativne obrestne mere.
d) Koliko časa (l, m, d) se je obrestovala glavnica 15.005,17 DE, da je narasla na 17.250,18 DE, če je relativna letna obrestna mera 7,55 %, kapitalizacija dnevna, anticipativno obrestovanje? Izvedite obrazec za izračun časa obrestovanja.