uveljavljenih matematikov, so bili zelo negativno nastrojeni in celo ˇzaljivi.
Marilyn vos Savant je kljub temu ˇse naprej vztrajala pri svojem odgovoru in kmalu je dobila potrditev pravilnosti svojih trditev, saj so jih potrdili rezul-tati mnogih simulacij problema, prav tako pa so bile podane tudi formalne matematiˇcne utemeljitve, ki so govorile v prid njenim trditvam.
Bralcu, ki bi o aferi L’affaire Parade in o problemu Monty Hall na sploˇsno rad izvedel veˇc, svetujem branje knjige [6].
1.3 Problem Monty Hall in njegove posploˇ sitve
Problem Monty Hall je bil snov za nastajanje mnogih strokovnih del iz naj-razliˇcnejˇsih podroˇcij. Poleg matematikov so zanimanje zanj pokazali tudi kognitivni znanstveniki in psihologi, ki jih je zanimalo, zakaj ga je ljudem tako teˇzko razumeti. Filozofi so ga uporabili neposredno za raziskovanje narave verjetnosti in tudi posredno za raziskovanje drugih, na videz nepove-zanih filozofskih vpraˇsanj, ekonomisti pa so preiskovali, kaj nam dognanja, ki nam jih nudi problem Monty Hall, povedo o ˇcloveˇskem odloˇcanju. Problem so raziskovali tudi mnogi drugi strokovnjaki z razliˇcnih podroˇcij.
V diplomskem delu se bom osredotoˇcil na matematiˇcni vidik problema in raziskal dodatne posploˇsitve prvotne razliˇcice. Za to bom potreboval nekaj teoretiˇcnih orodij iz teorije verjetnosti. Temu sta namenjeni poglavji 2 in 3.
V poglavju 4 opiˇsem osnovno razliˇcico problema in podam formalno reˇsitev.
Nato sledijo posploˇsitve problema in njihove reˇsitve ter primerjava med njimi.
V poglavju 5 je opisan program, s pomoˇcjo katerega smo simulirali osnovni problem Monty Hall in njegove posploˇsitve. Nato sledijo rezultati simulacij in njihova interpretacija.
4 POGLAVJE 1. UVOD
Poglavje 2
Uvod v teorijo verjetnosti
Problem Monty Hall je uganka s podroˇcja verjetnosti, zato bomo na zaˇcetku spoznali tri najpomembnejˇse pojme v teoriji verjetnosti. To so poskus, do-godek in verjetnost. Nato sledi pregled nekaterih pomembnejˇsih pravil in iz-rekov, ki nam bodo priˇsli prav pozneje, ko bomo obravnavali problem Monty Hall in njegove posploˇsitve.
Pri obravnavi se v razdelkih 2.1 in 2.3 naslonimo na knjigi [1] in [4], v razdelku 2.2 pa na knjigo [5].
2.1 Poskus, izidi, dogodki in verjetnost
Okoli nas je veliko pojavov, ki jih dojemamo kot nakljuˇcne in nepredvidljive.
Naˇs cilj je, da te pojave opiˇsemo z izidi nekega poskusa. V tem kontekstu obravnavamo pojemposkus zelo sploˇsno, in sicer kot nek proces, ki ga lahko opravimo pod natanko doloˇcenimi pogoji, pri tem pa so vnaprej znani vsi moˇzni izidi. Izidi so elementi prostora izidov, torej mnoˇzice, ki jo obiˇcajno oznaˇcimo z S, podmnoˇzice prostora izidov pa imenujemo dogodki. Dogodku doloˇcimo verjetnost, ki je ˇstevilo med 0 in 1 in izraˇza, kako gotovo je, da se bo ta dogodek dejansko zgodil.
5
6 POGLAVJE 2. UVOD V TEORIJO VERJETNOSTI
2.1.1 Prostor izidov in dogodki
Definicija: Prostor izidov je mnoˇzica, katere elementi opisujejo vse moˇzne izide poskusa, ki nas zanima.
ZGLED: Poglejmo si preprost poskus meta kovanca. ˇCe predvidimo, da ko-vanec ne bo nikoli obstal na stranskem robu, obstajata dva moˇzna izida tega poskusa: cifra in grb. To pomeni, da lahko za prostor izidov tega poskusa vzamemoS ={C, G}.
ZGLED: Imejmo poskus, pri katerem iz vreˇce, v kateri so rdeˇca, zelena in bela ˇzogica, zaporedoma izvleˇcemo vse tri ˇzogice. Prostor izidov za ta poskus je mnoˇzica vseh moˇznih zaporedij izvleˇcenih ˇzogic:
S ={RZB, RBZ, ZRB, ZBR, BRZ, BZR}.
Obiˇcajno nas ne zanimajo le posamezni izidi, temveˇc nas zanima, kdaj se na primer zgodi vsaj en izmed izidov danega nabora.
Definicija: Dogodek je vsaka podmnoˇzica prostora izidov. ˇCe je izid neke konkretne izvedbe poskusa element mnoˇzice A, pravimo, da se je zgodil do-godekA.
Ce se dogodekˇ A zgodi v vsaki ponovitvi poskusa, ga imenujemo gotov dogodek (ˇce je torej A= S), ˇce se ne zgodi v nobeni ponovitvi poskusa, ga imenujemonemogoˇc dogodek (ˇce je torej A=∅), ko pa se v doloˇcenih pono-vitvah poskusa zgodi, v doloˇcenih pa ne, ga imenujemo sluˇcajen dogodek.
Nad dogodki lahko izvajamo obiˇcajne operacije, ki jih lahko izvajamo nad mnoˇzicami.
ZGLED: V zgoraj omenjenem poskusu z ˇzogicami bi nas lahko zanimali vsi izidi, pri katerih je bila prva izvleˇcena bela ˇzogica. To pomeni, da bi nas
2.1. POSKUS, IZIDI, DOGODKI IN VERJETNOST 7
zanimalo, ˇce se je zgodil dogodekL={BRZ, BZR}.
ZGLED: ˇCe je R = {ZBR, BZR} dogodek, ki ustreza vsem izidom, ko je bila rdeˇca ˇzogica izvleˇcena zadnja, potem je presek dogodkov LinR enak L∩R = {BZR} in se zgodi, ˇce se zgodi tako dogodek L kot tudi dogodek R (prva je izvleˇcena bela, zadnja pa rdeˇca ˇzogica). Dogodek, ki predstavlja njuno unijo, jeL∪R={BRZ, BZR, ZBR}in se zgodi, ˇce se zgodi vsaj eden od dogodkov L in R (bodisi je prva izvleˇcena bela ˇzogica bodisi je zadnja izvleˇcena rdeˇca ˇzogica ali pa se zgodi oboje).
Poleg unije in preseka dveh dogodkov je pogosta operacija nad dogodki tudi komplement. Dogodek Ac={s∈S :s /∈A} je komplement dogodka A in se zgodi natanko tedaj, ko se dogodek A ne zgodi. Imenujemo ga tudi nasprotni dogodek dogodku A in ga oznaˇcujemo z ¯A. Komplement prostora izidov S je prazna mnoˇzica (Sc = ∅) in predstavlja nemogoˇc dogodek. Do-godkaAinB sta disjunktna, ˇce je njun presek nemogoˇc dogodek (A∩B =∅).
2.1.2 Verjetnost
Zelimo si izraziti, kakˇsna je gotovost, da se bo zgodil nek dogodek. To sto-ˇ rimo tako, da vsakemu dogodku priredimo neko ˇstevilo med 0 in 1, pri ˇcemer tistik, ki so bolj verjetni priredimo veˇcjo verjetnost, tistik, ki so manj verje-tni, pa manjˇso. Ob tem se je potrebno drˇzati doloˇcenih pravil.
Definicija: Verjetnostna funkcija (tudi verjetnost) P na prostoru izidov S je funkcija, ki vsakemu dogodku A⊆S doloˇci realno ˇstevilo P(A)∈[0,1]
tako, da velja
i) P(S) = 1 in
ii) za vsako ˇstevno neskonˇcno druˇzino {An:n∈N} paroma disjunktnih dogodkov velja P(S∞
n=1An) = P∞
n=1P(An).
8 POGLAVJE 2. UVOD V TEORIJO VERJETNOSTI
Steviloˇ P(A) imenujemo verjetnost, da se zgodi dogodek A. ˇCe je i izid nekega poskusa, potem navadno namesto P({i}) piˇsemo kar P(i), dogodku i pa reˇcemo elementarni dogodek. Zaradi aditivnosti verjetnostne funkcije velja, da je verjetnost dogodka kar vsota verjetnosti elementarnih dogodkov, ki dogodek sestavljajo.
ZGLED: Za zgled vzemimo poskus meta poˇstenega kovanca. To pomeni, da je verjetnost, da pade cifra ali grb, enaka. Prostor izidov je S ={C, G}.
V tem poskusu so mogoˇci ˇstirje dogodki, in sicer∅,{C},{G}inS. Verjetno-sti za te dogodke so P(∅) = 0, P({C}) = 1/2, P({G}) = 1/2 in P(S) = 1. S tem smo definirali verjetnost na prostoru izidovS.
Glede na to, da je verjetnost aditivna funkcija, lahko iz dejstva, da velja A∪Ac =S, izpeljemo tudi verjetnost nasprotnega dogodka oz. komplementa:
P( ¯A) = 1−P(A).