1. −−→
CD =~u, −−→
BF =~u−~v, −→
BA =−~v, −−→
BC =~u+~v, −−→
AD= 2(~u+~v).
2. ∠BAC = 30◦, ∠ABC = 60◦, ∠BCA= 90◦. 3. 78.463041◦ .
= 78◦27′47′′. 4. D(0,−1,3).
Ploščina trikotnika: 9.
Ploščina paralelograma: 18.
5. Označimo~u :=−→AB in~v =−−→AD. Tedaj je−→AB×−→AC =~u×(~u+~v) =~u×~v=−→AB×−−→AD.
6. 2 3 7. a3√
2 3
8. a) Eksplicitna: y = 5−3x, normalna: 3x+y = 5, b)
√10
2 , c) y = x+ 10 3 , d) T0 12,72
, e) T′(−1,3), f) Točka Q že leži na dani premici.
9. a) x= 2 + 2t, y = 3t, z = 4, b) q
22
13, c) T0 30
13,136,4 , d) x= 3−9t, y= 6t, z = 5−13t, e) T′ 2113,1213,3
. 10. a)x−2y+z+ 3 = 0, b)
√6
2 , c) x= 1 +t, y = 1−2t, z = 1 +t, d) T0 1 2,2,12
, e) T′(0,3,0).
4. Zaporedja
1. Zaporedje ni monotono, je pa od vključno drugega člena naprej padajoče.
infnan = minnan =a1 =−2, supnan= maxnan =a2 = 3.
Zaporedje ima eno samo stekališče in je konvergentno, limn→∞an= 1/2.
Členi se od limite razlikujejo za manj kot ε zan ≥127.
2. Zaporedje je naraščajoče.
infnan = minnan =a1 = 0, zaporedje je navzgor neomejeno ter nima stekališč in je divergentno.
3. Zaporedje ni monotono.
infnan = minnan =a1 =−1, supnan= maxnan =a2 = 1.
Stekališči: 1 in−1. Zaporedje je divergentno.
4. Zaporedje ni monotono.
infnan = 0, minimum ne obstaja, zaporedje je navzgor neomejeno.
Zaporedje ima edino stekališče 0, ni pa konvergentno.
5. Zaporedje je naraščajoče.
infnan = minnan =a1 = 3/2, supnan = 2, maksimum ne obstaja.
Zaporedje ima eno samo stekališče in je konvergentno, limn→∞an= 2.
Členi se od limite razlikujejo za manj kot ε zan ≥7.
6. 3/4.
7. 2.
8. 0.
9. ∞ (ne obstaja).
10. 3/5.
11. 1/2.
12. 2.
13. 0.
14. 1/e2. 15. e−3. 16. 0.
17. e3/2.
5. Funkcije
1. Df =R, Zf = [0,∞), funkcijaf nima inverza;
Zg =Dg−1 = [0,∞), g−1(x) = √x;
Zh =Dh−1 = (1,9], h−1(x) =−√
x (ustrezno zožena). Grafi:
x y
−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
−3
−2
−1 1 2 3 4 5
f(x)
g−1(x)
h−1(x)
2. Df =Zf−1 = [0,16], Zf =Df−1 = [0,2], f−1(x) = (4−x2)2 (ustrezno zožena).
Grafa:
x y
2 4 6 8 10 12 14 16
2 4 6 8 10 12 14 16
f(x) f−1(x)
3. Funkcija f je inverzna sama sebi, inverz ustrezne zožitve funkcije h pa je funkcija k(x) = 12 x+√
x2+ 4
. Grafi:
x f(x)
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−4
−3
−2
−1 1 2 3 4
x g(x)
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−4
−3
−2
−1 1 2 3 4
x h(x)
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−4
−3
−2
−1 1 2 3 4
x k(x)
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−4
−3
−2
−1 1 2 3 4
4.
x f(x)
−2 −1 1 2 3 1
2 3 4 5
x g(x)
−2 −1 1 2 3 1
2 3 4 5
x h(x)
−2 −1 1 2 3 1
2 3 4
5 x
k(x)
−2 −1 1 2 3
−5
−4
−3
−2
−1
5. Df = (0,∞), Dg = (−2,∞), Zf =Zg=R. Grafa:
x f(x)
1 2 3 4
−4
−3
−2
−1 1
x g(x)
−2 −1 1 2
−4
−3
−2
−1 1
6. Df =Dg =R, Zf = [−1,1], Zg= [1,3]. Grafa:
x f(x)
π 2π
−π
−1 1
x g(x)
π 2π
−π
1 2 3
7. Df =Dg =R, Zf = [−1,1], Zg= [2,6]. Grafa:
x f(x)
π 2π
−π
−1 1
x g(x)
π 2π 3π 4π
−π
−2π
−3π
2 4 6
8. Df = R\ {±π/2,±3π/2,±5π/2, . . .}, Dg = R\ {0,±π,±2π,±3π, . . .}, Zf = Zg =R, Grafa:
x f(x)
π 2
π 3π
2
−π 2π 2
−π
−3π 2
−2π
−3
−2
−1 1 2 3
x g(x)
π 2
π 3π
2
−π 2π 2
−π
−3π 2
−2π
−3
−2
−1 1 2 3
9. Df = Dg = [−1,1], Dh = Dk = R, Zf = [−π/2, π/2], Zg = [0, π], Zh = (−π/2, π/2), Zk = (0, π). Grafi:
x f(x)
−1 1
π/2
−π/2 x
g(x)
−1 1
π/2 π
x h(x)
−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 π/2
−π/2
x k(x)
−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 π/2
π
10. x= π
6 + 2kπ , x= 5π
6 + 2kπ.
11. x=±x1+ 2kπ, kjer jex1 = arccos13 .
= 1.23096 .
= 70.5288◦ .
= 70◦31′44′′.
12. x=x1+kπ, kjer je x1 = arctg12 .
= 0.463648 .
= 26.5651◦ .
= 26◦33′54′′.
13. Df =Zf−1 = (−1,∞), Zf =Df−1 = (−∞,1), f−1(x) = −ln(e−ex). Grafa:
x y
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−4
−3
−2
−1 1 2 3 4
f(x) f−1(x)
14. [1,2).
15. a= 9, b= 6.
16. 1/6.
17. 0.
18. Ne obstaja.
19. 2/3.
6. Odvod
1. f′(x) = 12x3+ 2− 42 x43. 2. f′(x) = 4x
(x2+ 5)2. 3. f′(x) = x
(1−x2)3/2. 4. f′(x) =−ecosxsinx.
5. f′(x) = 2xln 2 (splošneje, (ax)′ =axlna).
6. f′(x) = (1−x2)e−x2/2. 7. f′(x) = 1
cos2x. 8. f′(x) =− 1
sin2x. 9. f′(x) = 1
x. 10. f′(x) = 1
√1−x2. 11. f′(x) =− 1
√1−x2. 12. f′(x) = 1
1 +x2. 13. f′(x) =− 1
1 +x2. 14. f′(x) = 1
2√
x−x2.
15. Tangenta: y= 5 + x−25
10 = x+ 25 10 . Normala: y= 5−10(x−25) = 255−10x.
√27 =f(27)≈5.2, točen rezultat: 5.196.
16. a= 1/4, b = 1.
17. minx∈[2/3,3]f(x) = f(2) = 4, maxx∈[2/3,3]f(x) =f(3) = 9.
18. Izrezati je potrebno kvadratke s stranico a/6.
19. Df =Zf =R. Ničli: −1, 2 (dvojna).
Funkcija narašča na (−∞,0] in [2,∞), pada pa na [0,2]. Pri x = 0 je lokalni maksimum, pri x= 2 pa lokalni minimum.
Funkcija je konveksna na [1,∞), konkavna na (−∞,1]in ima prevoj pri x= 1.
Graf:
x f(x)
−1 1 2 3
−1 1 2 3 4 5
20. Df = (−∞,0)∪(0,∞), Zf = R. Ničla: −√3 4 .
=−1.59. Pri x = 0 je pol druge stopnje. Asimptota: y=x.
Funkcija narašča na (−∞,0) in [2,∞), pada pa na (0,2]. Pri x = 2 je lokalni minimum.
Funkcija je konveksna povsod, kjer je definirana.
Graf:
x f(x)
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−4
−3
−2
−1 1 2 3 4
21. Df = R, Zf = (−∞,27e−3] .
= (−∞,1.34]. Ničla: x = 0 (trojna). Asimptota:
y= 0.
Funkcija narašča na (−∞,3]in pada na [3,∞). Pri x= 3 je globalni maksimum.
Funkcija je konveksna na [0,3−√
3] in [3 +√
3,∞), konkavna pa je na (−∞,0] in [3−√
3,3 +√
3]. Prevoji: 0, 3−√
3 in3 +√ 3.
Graf:
x f(x)
−1 1 2 3 4 5 6 7
−2
−1 1 2
22. Df = (−∞,0)∪(0,∞), Zf =
−∞,−1− π 2
i∪h 1 + π
2,∞ .
Funkcija je brez ničel in ima pol pri x = 0. Asimptoti: y = π, y = −π. Funkcija narašča na (−∞,−1] in [1,∞), pada pa na [−1,0) in (0,1]. Pri x =−1 je lokalni maksimum, pri x= 1 pa lokalni minimum.
Funkcija je konveksna na −∞,−p 1 +√
2
in na p 1 +√
2,∞
, konkavna pa na −p
1 +√ 2,0
in 0,p 1 +√
2 . Graf:
x f(x)
−8 −6 −4 −2 2 4 6 8
−6
−4
−2 2 4 6
23. 1/e.
24. 1/6.
25. 0.
26. 1.
27. 1
√e.
28. 0 (L’Hôpitalovega pravila ne moremo uporabiti).
29. 1/2(L’Hôpitalovega pravila ne moremo uporabiti).
7. Integral
21. 4/3.
Opomba: prva dva integrala lahko neposredno dobimo kot ploščino trikotnika.
27. l =
28. Če zavrtimo okoli osi x, ima dobljena vrtenina prostornino 243π/7, če zavrtimo okoli osi y, pa 243π/5.
8. Vsote in vrste
1. 3/10.
2. 5/12.
3. 1/2.
4. 1.
5. Vrsta divergira, ker lim
m→∞
6. Označimo anuiteto z a.
Če ni obresti, je a= 500e.
Pri letni obrestni meri 3% je a = 663,09e. Pri letni obrestni meri 10% je a= 1123,97e. 7. 9/2.
8. Vrsta divergira.
9. 2.
10. 0.11610.
11. Vrsta divergira.
12. 0.817.
Natančnejši rezultat: √ 26 .
= 5.09901951359.
15. f(x)≈ 1
Prvotna funkcija ni definirana v točki 0; v resnici je to Taylorjeva vrsta razširjene funkcije, za katero predpišemo f(0) := 1/2.
20. 1/3.
21. 1/6.
22. 1/2.
9. Krivulje v ravnini
1. Graf:
x y
2 4 6
−10
−8
−6
−4
−2 2 4 6 8 10
Krivulja ni sklenjena.
2. Graf:
x y
−2 2 2
4 6 8 10
Krivulja je sklenjena.
3. a=−√
3,b =√
3. Graf:
x y
1 2 3
−1 1
4. Tangenta: y= 4 + 3
2x, normala: y =−1 + 2x 3 . 5. Graf:
x y
−1 1
−1 1 2
6. Graf za 0≤π ≤2π:
x
Seveda lahko rezultat dobimo tudi iz Z t=√
10. Funkcije več spremenljivk
3. Tangentna ravnina: z = 25+ 1
60(x−8)− 1
125(y−25).
Od tod dobimo:
√3
5. Skica definicijskega območja:
x y
1 2 3
1 2 3
Oglišča: f(0,0) =f(3,0) =f(0,3) = 0.
Rob y= 0, 0< x < 3: f(x,0) = 0.
Rob x= 0, 0< y < 3: f(0, y) = 0.
Rob y = 3−x,0< x <3: f(x,3−x) =x(3−x)e−3, d
dxf(x,3−x) = (3−2x)e−3, f 32,32
= 94e−3 .
= 0.112.
Notranjost: ∂f
∂x = (1−x)y e−x−y, ∂f
∂y =x(1−y)e−x−y, f(1,1) =e−2 .
= 0.135.
Torej je min
D f = 0 in max
D f =e−2. 6. Skica definicijskega območja:
x y
1 1
Oglišči: f(0,0) = 0, f(1,1) =−1.
Rob y = x, 0 < x < 1: f(x, x) = −x2, d
dxf(x, x) = −2x, točka (0,0) ne pripada notranjosti tega roba (in smo jo že obravnavali pri ogliščih).
Rob y=x2, 0< x <1: f(x, x2) =x2−2x4, d
dxf(x, x2) = 2x−8x3 =
=x(1−2x)(1 + 2x), v notranjosti roba je le točka(1/2,1/4)in velja f(1/2,1/4) = 1/8.
Notranjost: ∂f
∂x = 2x, ∂f
∂y =−4y, točka (0,0) ni v notranjosti.
Torej je min
D f =f(1,1) =−1in max
D f =f(1/2,1/4) = 1/8.
7. Skica definicijskega območja:
Krožni lok razdelimo na dva odseka, y=p
16−(x+ 1)2 =√
Nobena točka T(23/2, y) ni v definicijskem območju funkcije.
Notranjost: ∂f
Torej je min
D f =f(3,0) = 13e−3/2 inmax
D f =f(−1,4) = f(−1,−4) = 21√ e.
8. Brez težav preverimo, da zgornje enačbe ustrezajo obliki, za katero lahko uporabimo formulo. Torej je:
V = 9. Neenačbe moramo najprej spraviti v obliko, za katero lahko uporabimo formulo
(t. j. spodnja meja mora biti vedno manjša od zgornje). Začnemo z zadnjima neenačbama. Veljati mora y2 ≤ 1−x, torej mora biti x ≤ 1 in −√
1−x ≤ y ≤
√1−x. Če dane neenačbe zapišemo v ekvivalentni obliki:
0≤x≤1, −√
1−x≤y≤√
1−x , y2 ≤z ≤1−x , le-ta ustreza zahtevani obliki in lahko izračunamo:
V =
10. Zgornji dve neenačbi ustrezata pogojem za uporabo formule, potrebujemo pa še meji za ϕ. Ker za ϕ ni omejitve, postavimo kar 0≤ϕ≤2π. Sledi:
V = Z 2π
0
Z 2 1
r2(1 + cosϕ)rdrdϕ = Z 2π
0
(1 + cosϕ) dϕ· Z 2
1
r3dr = 15π 2 .
11. Diferencialne enačbe
naše enačbe je torej:y= 0 ali y=±eC+x+x3/3. (∗)
in definicijsko območje je vselej vsa realna os. Če vstavimo začetni pogoj, dobimo, da mora veljati negativni predznak in da je C = ln 2. Končna rešitev je torej y=−2ex+x3/3.
Če je edini člen, povezan z odvisno spremenljivko, oblike dz/z, se splača integrirati:
Z dz
z = ln z C,
navadno pa lahko tudi izpustimo absolutne vrednosti v ar-gumentih zunanjih logaritmov in tudi za C = 0 dobimo rešitev (obravnavati je potrebno vsak primer posebej).
V našem konkretnem primeru je torej ln y
C = x + x3
3 in y = C ex+x3/3, kar je ekvivalentno obliki (∗).
3. dy
7. Splošna rešitev: y=C1e2x+C2e−x. Partikularna rešitev: y= 13 e−x−e2x
. 8. Splošna rešitev: y=C1+C2e−2x.
Partikularna rešitev: y= 44−2e−2x. 9. Splošna rešitev: y= (C1+C2x)e−3x.
Partikularna rešitev: y= 42x e−3x.
10. Splošna rešitev: y=e−x C1cos(2x) +C2sin(2x) . Partikularna rešitev: y=e−x cos(2x) + 2 sin(2x) . 11. y=−12x2+12x− 34 +C1e2x+C2e−x.
12. y= 101 sinx+15cosx+C1ex+C2e3x. 13. y=e2x+ 19e−2x+ (C1+C2x)ex. 14. y=e3x−(1 +x)e2x.
15. y= 12x2+C1 +C2x e2x.
12. Osnove kombinatorike
1. 12 + 3 = 15.
2. Če mora obleči natanko eno srajco, natanko ene hlače in natanko en pulover, na 4·2·3 = 24načinov. Če ni nujno, da nosi pulover, pa na 5·2·3 = 30 načinov.
3. (4 + 3)·5 = 35.
4. Možnih vozovnic je 7·6 = 42, možnih cen pa 7·6/2 = 21.
5. Rezka 5! = 120, Tatjana pa 7!
2! 3! = 420.
6. 15 + 21−3 = 33.
7. 10·9·8 = 720.
8. 10·9·8 3! =
10 3
= 120.
13. Verjetnostni račun
4. Verjetnosti dobitkov lahko računamo na dva načina. Pri prvem načinu si predsta-vljamo, da so prekrižane številke fiksne, nakar gledamo vsa možna žrebanja (pogled igralca). Lahko pa si predstavljamo tudi, da so fiksne izžrebane številke, nakar gledamo vsa možna križanja (pogled Loterije). Dobimo:
P(sedmica) = 1
Pri Lotu prekrižamo 7 številk od 39. Izžreba se 7 številk in še ena dodatna. Kolikšna je verjetnost, da zadenemo:
a) sedmico?
c)
7 4
32 3
39
7
= 0. .0147, d)
7 6
32 1
39
7
= 4. .55·10−7.
6. 364 365 · 363
365 · · · 366−n
365 . Tabela prvih nekaj verjetnosti:
n P
11.
4 2
1 6
2 5 6
2
· 1 6
= 0. .0193.
12.
6 6
·0.46+ 6
5
·0.6·0.45 + 6
4
·0.62·0.44+ +
6 3
·0.63·0.43 3
3
·0.33+ 3
2
·0.7·0.32 .
= 0.239.