UPORABA DIFERENCIALNIH ENA ˇ CB PRI MEˇ SANJU

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOˇ SKA FAKULTETA

TINA ˇ SPRINGER

UPORABA DIFERENCIALNIH ENA ˇ CB PRI MEˇ SANJU

TEKO ˇ CIN

MAGISTRSKO DELO

Ljubljana, 2020

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOˇ SKA FAKULTETA

STUDIJSKI PROGRAM: PREDMETNO POU ˇˇ CEVANJE SMER: FIZIKA - MATEMATIKA

KANDIDATKA:

TINA ˇ SPRINGER

MENTOR:

izr. prof. dr. MARKO SLAPAR

UPORABA DIFERENCIALNIH ENA ˇ CB PRI MEˇ SANJU

TEKO ˇ CIN

MAGISTRSKO DELO

Ljubljana, 2020

Zahvala

Iskreno se zahvaljujem mentorju izr. prof. dr. Marku Slaparju za vse nasvete, pomoˇc in strokovno vodenje pri izdelavi magistrskega dela.

Najlepˇsa hvala tudi mojim starˇsem in sestri, ki so me tekom ˇstudija spodbujali in mi bili v oporo.

Posebna zahvala pa gre tudi mojemu moˇzu Roku, hˇcerki Pii in sinu Boru. Zaradi njiih sem imela ˇse veˇcjo motivacijo, da dokonˇcam ˇstudij.

Hvala tudi kolegom in kolegicam, s katerimi smo skupaj preˇziveli ˇstudentska leta.

Povzetek

V magistrskem delu bo najprej predstavljena osnovna teorija sistema linearnih dife- rencialnih enaˇcbe prvega reda. Bistveni del bo reˇsevanje ustreznega homogenega sis- tema, kjer bomo vpeljali pojem fundamentalne matrike, predstavili naˇcin reˇsevanja v primeru diagonalizabilnih sistemov in naˇcin reˇsevanja s pomoˇcjo eksponentne funk- cije matrike v primeru sploˇsnih sistemov. Vse to pa bomo v nadaljevanju uporabili pri primerih modeliranja koliˇcine topljenca, ko se raztopina pretaka v sistemih po- sod, povezanih s cevmi. Obravnavali bomo zvezdno, dvosmerno linearno, kroˇzno ter odprto stopniˇcasto razporeditev posod.

Kljuˇcne besede

linearna diferencialna enaˇcba, homogeni sistem, fundamentalna matrika, kroˇzne ma- trike, problem meˇsanja

Abstract

In this masters thesis, we first present the basic theory of systems of linear differential equations of first order. We mostly focus on solving the appropriate homogeneous system, introduce the fundamental matrix and show how to solve a diagonalizable system and how to solve a general system using the exponential function on matrices.

We apply the theory on the problem of modeling the concentration of a solvent in a solution that flows inside a system of tanks connected by pipes. We will look at star arrangements, linear arrangements and circular arrangements of tanks.

Key words

linear differential equation, homogeneous system, fundamental matrix, circulant ma- trix, mixing problem

Kazalo

Poglavje 1. Uvod . . . 1

Poglavje 2. Linearne diferencialne enaˇcbe . . . 2

2.1. Sistem linearnih diferencialnih enaˇcb . . . 2

2.2. Homogeni sistemi linearnih enaˇcb . . . 3

2.3. Reˇsevanje nehomogenega sistema . . . 6

2.4. Sistemi homogenih linearnih diferencialnih enaˇcb 1. reda s konstantnimi koeficienti . . . 8

Poglavje 3. Pretakanje raztopine v sistemih posod . . . 13

3.1. Analiza sploˇsnega problema za meˇsanje tekoˇcin . . . 15

3.2. Zvezdna razporeditev posod . . . 19

3.3. Dvosmerna linearna razporeditev posod . . . 26

3.4. Kroˇzna razporeditev posod . . . 33

3.5. Odprta stopniˇcasta razporeditev posod . . . 40

Literatura . . . 43

POGLAVJE 1

Uvod

Diferencialna enaˇcba je linearna, ˇce v njej neznana funkcija in njeni odvodi nasto- pajo linearno. V nasprotnem primeru je enaˇcba nelinearna. Za linearno diferencialno enaˇcbo je znaˇcilno, da njene reˇsitve tvorijo afini prostor ustreznega funkcijskega pro- stora, od koder sledi veliko bolj razvita teorija linearnih diferencialnih enaˇcb. Le te enaˇcbe so v modelih pogosto pribliˇzki nelinearnih enaˇcb, vendar veljajo le pod doloˇcenimi omejenimi pogoji.

V magistrskem delu bodo naprej predstavljeni sistemi linearnih diferencialnih enaˇcb prvega reda. Bistveni del bo reˇsevanje ustreznega homogenega sistema, kjer bomo vpeljali pojem fundamentalne matrike. Pokazali bomo, da se v primeru diagonaliza- bilnih sistemov, reˇsevanje prevede na iskanje lastnih vektorjev in lastnih vrednosti matrike, v sploˇsnem primeru pa bomo sisteme reˇsevali s pomoˇcjo eksponentne funk- cije matrike.

Vse to pa bomo v nadaljevanju uporabili pri modeliranju sprememb koncentra- cije topljenca v raztopini, ko se slanica pretaka v sistemu veˇc posod, ki so razliˇcno povezane s cevmi. Za razliˇcne konfiguracije, ki vkljuˇcujejo poljubno ˇstevilo posod, bomo dokazali, da je mogoˇce reˇsiti ustrezen linearni sistem diferencialnih enaˇcb ana- litiˇcno, ter za vsak primer posebej grafiˇcno predstavili spreminjanje koncentracije soli v posodah. Osredotoˇcili se bomo na zvezdno, dvosmerno linearno, kroˇzno ter odprto stopniˇcasto razporeditev posod. Pokazali bomo tudi, da se v sploˇsnih siste- mih posod, pod minimalmimi predpostavkami na sistem, koliˇcina topljenca s ˇcasoma enakomerno porazdeli med posodami.

Naˇs namen je bralcu na razumljiv in matematiˇcno korekten naˇcin prikazati upo- rabnost sistemov linearnih diferencialnih enaˇcb na podroˇcju raziskovanja problemov pri meˇsanju tekoˇcin v razliˇcnih situacijah.

POGLAVJE 2

Linearne diferencialne enaˇ cbe

Glavni viri tega poglavja so [2], [5], [7] in [9].

2.1. Sistem linearnih diferencialnih enaˇcb

Sistem navadnih linearnih diferencialnih enaˇcb zapiˇsemo kot

˙ x_k(t) =

n

X

j=1

a_kj(t)x_j(t) +f_k(t); k= 1,2, ..., n, v matriˇcni obliki pa kot

~x(t) =˙ A(t)~x(t) +f(t),~ kjer oznaˇcimo

A(t) =













a₁₁(t) a₁₂(t) · · · a_1n(t) a₂₁(t) a₂₂(t) · · · a_2n(t)

... ... . .. ... a_n1(t) a_n2(t) · · · a_nn(t)













, ~f(t) =











 f₁(t) f₂(t)

... f_n(t)











 .

Pri tem so funkcije a_kj in f_k definirane (in obiˇcajno zvezne) na nekem intervalu Γ = [a, b]. Reˇsitev sistema je vsaka odvedljiva vektorska funkcija

~x(t) =











 x₁(t) x₂(t)

... x_n(t)











 ,

ki zadoˇsˇca zgornjemu sistemu. Vektorska funkcija ~x(t) reˇsi zaˇcetno nalogo pri zaˇcetnem pogoju x₁(t₀) = x⁰₁, x₂(t₀) = x⁰₂, . . . , x_n(t₀) = x⁰_n, ˇce reˇsi sistem dife- rencialnih enaˇcb v okolici toˇcke t₀ in hkrati zadosti zaˇcetnemu pogoju. Eksistenˇcni izrek navedimo brez dokaza. Dokaz lahko bralec najde v ([9]).

Izrek (Eksistenˇcni izrek). Naj bodo akj(t), k, j = 1, . . . , n in fk(t), k = 1, . . . , n zvezne funkcije na intervalu [a, b] in t₀ ∈ [a, b]. Sistem navadnih linearnih diferen- cialnih enaˇcb

˙ x_k(t) =

n

X

j=1

a_kj(t)x_j(t) +f_k(t); k = 1,2, ..., n,

je pri vsakem zaˇcetnem pogoju

x_k(t₀) = x⁰_k; k = 1,2, ..., n, enoliˇcno reˇsljiv in reˇsitev obstaja na celem intervalu [a, b].

V naslednjih nekaj razdelkih bomo pokazali, kako v primeru, ko matrika A v zgor- njem sistemu ni odvisna od t, reˇsevanje sistema prevedemo na povsem algebraiˇcen problem lastnih (in korenskih) vektorjev ter lastnih vrednosti matrike A.

2.2. Homogeni sistemi linearnih enaˇcb

V tem razdelku bomo pogledali, kaj lahko povemo o reˇsitvah homogenega sistema linearnih diferencialnih enaˇcb, to je sistema oblike

˙ x_k(t) =

n

X

j=1

a_kj(t)x_j(t); k= 1,2, ..., n, oziroma

~x(t) =˙ A(t)~x(t), (1)

kjer so koeficienti matrike A,a_kj, zvezne na intervalu [a, b].

Trditev. Reˇsitve homogenega sistema (1) tvorijo vektorski prostor.

Dokaz. Ce sta vektorski funkcijiˇ ~x(t) in~y(t) reˇsitvi sistema, potem pri poljubnih konstantah λ, µ∈R velja

A(λ~x+µ~y) =λA~x+µA~y,

zato je~z =λ~x+µ~y tudi reˇsitev sistema.

Predpostavimo sedaj, da so vektorske funkcije~x₁, ~x₂, ..., ~x_nreˇsitve sistema (1). Torej velja ˙~x_k=A~x_k za vsak k = 1,2, ..., n.Ce sestavimo te reˇsitve vˇ n×n matriko

X(t) = [~x₁(t), ~x₂(t),· · · , ~x_n(t)], je matrikaX matriˇcna reˇsitev matriˇcne enaˇcbe

X˙ =AX, saj velja

AX = [A~x₁, A~x₂,· · · , A~x_n] = [ ˙~x₁,~x˙₂,· · · ,~x˙_n] = ˙X.

Vektorske funkcije~x₁, ~x₂, ..., ~x_nso linearno odvisne, ˇce obstajajo konstanteλ₁, λ₂, . . . , λ_n, ne vse enake 0, da velja

λ₁~x₁+λ₂~x₂+. . . λ_n~x_n= 0.

Ce sistem vektorskih funkcij ni odvisen, reˇˇ cemo, da je neodvisen.

Trditev. Naj bodo vektorske funkcije ~x₁, ~x₂, ..., ~x_n reˇsitve sistema (1) in X = [~x1, ~x2, ..., ~xn]. Naslednje trditve so ekvivalentne:

(i) Matrika X(t) je singularna za vsak t∈[a, b].

(ii) Matrika X(t₀) je singularna za nek t₀ ∈[a, b].

(iii) Vektorske funkcije ~x₁, ~x₂, ..., ~x_n so linearno odvisne.

Dokaz. Implikaciji (i) =⇒(ii) in (iii) =⇒(i) sta oˇcitni. Pokaˇzimo torej (ii) =⇒ (iii). Naj bo matrikaX(t₀) singularna. Tedaj obstajajo konstante λ₁, λ₂. . . , λ_n, ne vse enake 0, da velja

n

X

k=1

λ_k~x_k(t₀) = 0.

Vzemimo vektorsko funkcijo

~ x=

n

X

k=1

λ_k~x_k.

Ker reˇsitve sistema ˙~x = A~x tvorijo vektorski prostor, je ~x reˇsitev sistema pri zaˇcetnem pogoju ~x(t₀) = 0. Iz Eksistenˇcnega izreka sledi, da velja

~ x(t) =

n

X

k=1

λk~xk(t) = 0

za vsak t, saj imamo enoliˇcno reˇsitev zaˇcetne naloge. Vektorske funkcije so torej

linearno odvisne.

Izrek. Vektorski prostor reˇsitev sistema (1) je n-razseˇzen.

Dokaz. Naj bo t0 poljubna toˇcka iz [a, b] in naj bo za vsak k = 1,2, . . . , n vektorska funkcije~x_k (tista) reˇsitev sistema (1), ki zadoˇsˇca zaˇcetnemu pogoju

~

x_k(t₀) =e_k,

kjer jee_kenotski vektor, ki ima nak-tem mestu 1. MatrikaX(t) = [~x₁(t), ~x₂(t), . . . , ~x_n(t)]

je nesingularna v toˇckit₀. Naj bo sedaj~xpoljubna reˇsitev sistema (1). Potem lahko najdemo konstante λ1, λ2, . . . , λn, da velja

~

x(t₀) = λ₁~x₁(t₀) +λ₂~x₂(t₀) +· · ·+λ_n~x_n(t₀).

Ker je vektorska funkcija

λ₁~x₁(t) +λ₂~x₂(t) +· · ·+λ_n~x_n(t)

reˇsitev sistema pri istem zaˇcetnem pogoju pri t0 kot ~x(t), je zaradi enoliˇcnosti

~x(t) =λ₁~x₁(t) +λ₂~x₂(t) +· · ·+λ_n~x_n(t)

za vsak t. Vsako reˇsitev torej lahko napiˇsemo kot linearno kombinacijo linearno

neodvisnih reˇsitev~x₁, ~x₂, ..., ~x_n.

Definicija. Fundamentalna matrika v toˇcki t0 je matriˇcna funkcija t → Ψ(t, t0), kjer je

Ψ(t, t0) = [~x1(t), ~x2(t)· · ·~xn(t)]

in kjer so~x_k reˇsitve sistema (1), ki zadoˇsˇcajo zaˇcetnim pogojem

~

x_k(t₀) = e_k; k = 1,2, ..., n,

kjer je e_k k-ti enotski vektor. Fundamentalna matrika je torej reˇsitev matriˇcne diferencialne enaˇcbe ˙X =AX, ki zadoˇsˇca zaˇcetnemu pogoju

X(t₀) = Ψ(t₀, t₀) = I.

Izrek. Vsako reˇsitev ~x sistema (1) lahko zapiˇsemo kot

~

x(t) = Ψ(t, t0)~x(t0).

Vsako reˇsitev matriˇcne diferencialne enaˇcbe X˙ =AX lahko zapiˇsemo kot X(t) = Ψ(t, t₀)X(t₀).

Dokaz. Sploˇsno reˇsitev sistema lahko zapiˇsemo kot

~

x(t) = Ψ(t, t₀)~c,

ker tvorijo stolpci matrike Ψ(t, t₀) bazo vektorskega prostora. Ker je

~

x(t₀) = Ψ(t₀, t₀)~c=~c, dobimo

~

x(t) = Ψ(t, t₀)~x(t₀).

Izjava o reˇsitvi matriˇcne enaˇcbe se dokaˇze povsem analogno.

Poglejmo si ˇse naslednjo preprosto posledico zgornjega izreka, ki jo bomo potrebovali v nadaljevanju.

Posledica. Ce jeˇ X nesingularna reˇsitev matriˇcne diferencialne enaˇcbe X˙ =AX, potem velja

Ψ(t, t₀) =X(t)X⁻¹(t₀).

Ker veljaX(t) = Ψ(t, t₀)X(t₀), je seveda Ψ(t, t₀) = X(t)X⁻¹(t₀).

2.3. Reˇsevanje nehomogenega sistema

V tem razdelku bomo pokazali, kako lahko iz sploˇsne reˇsitve homogenega sistema dobimo reˇsitev nehomogenega sistema. Naj bo torej

~˙

x(t) = A(t)~x(t) +f~(t)

nehomogen sistem, pri ˇcemer predpostavimo, da so koeficienti matrike Ain kompo- nente vektorjaf~zvezne funkcije. Homogenemu sistemu

~˙

x(t) = A(t)~x(t) bomo rekli pripadajoˇc homogen sistem.

Trditev. Naj bo~x(t) =˙ A(t)~x(t) +f~(t) nehomogen sistem linearnih diferencialnih enaˇcb prvega reda. ˇCe je~xreˇsitev pripadajoˇcega homogenega sistema~x(t) =˙ A(t)~x(t) in je ~x_P neka reˇsitev nehomogenega sistema, je ~y = ~x+~x_P reˇsitev nehomogenega sistema~x(t) =˙ A(t)~x(t) +f~(t).

Dokaz.

~x˙ = ˙~x+ ˙~x_P =A~x+A~x_P +f~

=A(~x+~x_P) +f~=A~y+f .~

Trditev. Ce staˇ ~y₁ in ~y₂ dve reˇsitvi nehomogenega sistema ~x(t) =˙ A(t)~x(t) +f~, potem je ~x=~y₁−~y₂ reˇsitev pripadajoˇcega homogenega sistema ~x˙ =A~x.

Dokaz.

~x˙ = ˙~y1+ ˙~y2 =A~y1 +f~−(A~y2+f~)

=A(~y1−~y2) = A~x.

Obe zgornji trditvi nam dasta posledico:

Posledica. Ce poznamo neko (partikularno) reˇˇ sitevx_P nehomogenega sistema~x(t) =˙ A(t)~x(t) +f, potem je vsaka reˇ~ sitev~y nehomogenega sistema oblike~y=~x+~x_P, kjer je ~x neka reˇsitev homogenega sistema ~x(t) =˙ A(t)~x(t).

Dokaz. Naj bo ~x_p neka reˇsitev nehomogenega sistema, t₀ poljubna toˇcka in Ψ(t, t₀) fundamentalna matrika za homogen sistem ˙~x(t) = A(t)~x(t). Naj bo ~y po- ljubna reˇsitev nehomogenega sistema. Potem je

~

y₁ = Ψ(t, t₀)(~y(t₀)−~x_P(t₀)) +~x_P

reˇsitev nehomogenega sistema, za katero velja ~y₁(t₀) =~y(t₀). Zaradi enoliˇcnosti je

~y1(t) = ~y(t) za vsak t.

Sedaj poglejmo, kako lahko iz sploˇsne reˇsitve homogenega sistema poiˇsˇcemo neko (in s tem vsako) reˇsitev nehomogenega sistema. Naj bo ˙~x(t) =A(t)~x(t) +f~nehomogen sistem in X neka nesingularna reˇsitev homogenega matriˇcnega sistema ˙X = AX.

Reˇsitev nehomogenega sistema bomo poiskali s pomoˇcjo nastavka

~

y=X ~w,

kjer jew~ nekaC¹ vektorska funkcija. Vektorska funkcija~y bo reˇsitev nehomogenega sistema, ˇce bo veljalo

~y˙ = ˙X ~w+Xw~˙ =AX ~w+Xw˙ =AX ~w+f .~ Torej mora bitiw~ taka funkcija, da bo

Xw~˙ =f~ oziroma

~˙

w=X⁻¹f .~ Reˇsitev w~ dobimo preprosto z integracijo

~ w=

Z

X⁻¹f dt.~ Ce vzamemo doloˇˇ ceni integral

~ w=

Z t t0

X⁻¹(τ)f(τ~ )dτ, bo

~

x_P(t) =X ~w= Z t

t0

X(t)X⁻¹(τ)f(τ~ )dτ = Z t

t0

Ψ(t, τ)f dτ~

(tista) partikularna reˇsitev nehomogenega sistema, za katero velja zaˇcetni pogoj

~y(t₀) = 0.

Sploˇsno reˇsitev nehomogenega sistema ˙~x(t) = A(t)~x(t) +f~ torej lahko dobimo s pomoˇcjo formule

~

y(t) =X

~c+ Z t

t0

X⁻¹(τ)f~(τ)dτ

,

reˇsitev s podanim zaˇcetnim pogojem ~x(t₀) =~cpa najlaˇzje zapiˇsemo v obliki Ψ(t, t₀)~c+

Z t t0

Ψ(t, τ)f dτ.~

2.4. Sistemi homogenih linearnih diferencialnih enaˇcb 1. reda s konstantnimi koeficienti

Zelo teˇzko poiˇsˇcemo sploˇsno reˇsitev homogenega sistema in zato tudi ne moremo uspeˇsno reˇsiti sploˇsnih sistemov linearnih diferencialnih enaˇcb. V primeru, ko je ma- trikaAsistema konstantna in diagonalizabilna nad kompleksnimi ˇstevili, se reˇsevanje prevede na iskanje lastnih vrednosti in lastnih vektorjev matrikeA.

Naj bo torej

~˙

x(t) = A~x(t)

sistem enaˇcb, pri ˇcemer je A n×n realna matrika. Naj bo~v lastni vektor matrike A pri lastni vrednostiλ. Vidimo, da je~x(t) =e^λt~v reˇsitev enaˇcbe, saj velja

~˙

x(t) = λe^λt~v =e^λtA~v =A~x(t).

Ce ima matrikaˇ A n linearno neodvisnih realnih lastnih vektorjev ~v₁, ~v₂, . . . , ~v_n s pripadajoˇcimi (ne nujno razliˇcnimi si) realnimi lastnimi vrednostmi λ₁, λ₂, . . . , λ_n, bomo s tem dobili n linearno neodvisnih realnih reˇsitev ~xk =e^λk~vk, k= 1,2, . . . , n.

Da so te reˇsitve dejansko linearno neodvisne, vidimo s tem, da je matrika reˇsitev X = [~x₁, ~x₂, . . . , ~x_n] v toˇcki t= 0 enaka [~v₁, ~v₂, . . . , ~v_n].

Nastopita lahko dve teˇzavi. Lahko da vse lastne vrednosti matrike A niso realne, ˇceprav je matrika sama realna, ali pa, da ne moremo najti n linearno neodvisnih lastnih vektorjev, saj je lahko algebraiˇcna veˇckratnost neke lastne vrednosti veˇcja od geometriˇcne veˇckratnosti.

Poglejmo, kako postopamo, ˇce neka lastna vrednostλ =µ+iω in s tem pripadajoˇci lastni vektor ~v = ~u+i ~w nista realna. Ena od moˇznosti je, da za reˇsitev vseeno vzamemo funkcijo~x(t) =e^λt~v, kjer je

e^λt =e^µt(cos(ωt) +isin(ωt)).

Taka reˇsitev potem seveda ni realna, vendar s primerno izbiro konstant, ki bodo v tem primeru lahko kompleksne, vseeno reˇsimo vsako zaˇcetno nalogo. Lahko pa preprosto za reˇsitvi vzamemo realni in imaginarni del kompleksne vektorske funkcije

~x(t) =e^λt~v (spomnimo se, da je tudi ¯λlastna vrednost z lastnim vektorjem~v). Tako dobimo dve realni reˇsitvi

~x₁ =e^µt(cos(ωt)~u−sin(ωt)w)~ in

~

x2 =e^µt(sin(ωt)~u+ cos(ωt)w)~ .

Ce torej predpostavimo, da ima matrikaˇ A n linearno neodvisnih lastnih vektorjev

~v₁, ~v₂, . . . , ~v_n, bomo s tem dobili n linearno neodvisnih reˇsitev homogenega sistema.

Preverimo samo, da so tudi v primeru, ˇce so nekatere lastne vrednosti iz C\R, te reˇsitve linearno neodvisne. Naj bodoλ₁, λ₁. . . , λ_k, λ_k pari kompleksnih lastnih vre- dnosti in ~v₁, ~v₁. . . , ~v_k, ~v_k pripadajoˇci lastni vektorji, ter λ_2k+1, . . . , λ_n preostale re- alne lastne vrednosti s pripadajoˇcimi realnimi lastnimi vektorji~v1, . . . , ~vk.Ce piˇsemoˇ λ_j =µ_j+iω_j in~v_j =~u_k+i ~w_j, so potem reˇsitve

~

x1 =e^µ1t(cos(ω1t)~u1−sin(ω1t)w~1)

~

x2 =e^µ1t(sin(ω1t)~u1+ cos(ω1t)w~1)

· · ·

~

x2k−1 =e^µkt(cos(ωkt)~uk−sin(ωkt)w~k)

~

x2k =e^µkt(sin(ωkt)~uk+ cos(ωkt)w~k)

· · ·

~

x2k+1 =e^λ2k+1~v2k+1

· · ·

~

xn =e^λn~vn.

Matrika reˇsitevX = [~x₁, . . . , ~x_n] je v toˇckit= 0 enaka [~u₁, ~w₁, . . . , ~u_k, ~w_k, ~v_2k+1, . . . , ~v_n].

Ker je matrika

[~v₁, ~v₁, . . . , ~v_k, ~v_k, ~v_2k+1, . . . , ~v_n] nesingularna, je tudi matrika

[~v1, ~w1, . . . , ~vk, ~wk, ~v2k+1, . . . , ~vn]

nesingularna, saj jo dobimo tako, da vsakemu drugemu stolpcu izmed prvih 2k stolpcev odˇstejemo prejˇsnji stolpec in nato delimo ustrezne stolpce z−2i. ˇCe nato vsakemu lihemu stolpcu izmed prvih 2k stolpcev odˇstejemo i-krat naslednji sodi stolpec, dobimo matriko

[~u₁, ~w₁, . . . , ~u_k, ~w_k, ~v_2k+1, . . . , ~v_n].

S tem je tudi ta matrika nesingularna, zato so zgornje reˇsitve linearno neodvi- sne.

Reˇsevanje sistema s pomoˇcjo eksponentne funkcije matrik

Ce jeˇ A n×n matrika (kompleksna ali realna), s pomoˇcjo obiˇcajne potenˇcne vrste za eksponentno funkcijo definiramo eksponent matrike kot

e^A=I+A+ 1

2!A²+ 1

3!A³+· · ·

Naj bodo a_i,j koeficienti matrike A in a^k_ij koeficienti matrike A^k. Ce oznaˇˇ cimo M = maxij|aij|, velja

maxi |a^(k)_ij | ≤n^k−1M^k. Zato za vsak fiksen par (i, j) vrsta

∞

X

k=0

1 k!a^(k)_ij

konvergira absolutno in je eksponent matrike dobro definiran za vsako matriko A.

ˇSe veˇc, potenˇcna vrsta

∞

X

k=0

1 k!a^(k)_ij t^k

konvergira za vsakt. Poslediˇcno za matriˇcno funkcijoe^At velja enakost e^At0

=

I +At+ 1

2!A²t²+ 1

3!A³t³+· · · 0

=A+A²t+ 1

2!A³t²+· · ·

=Ae^At.

Matrika X =e^At torej reˇsi matriˇcno enaˇcbo X˙ =AX.

Ker je e^At|_t=0 =I, so vse reˇsitve enaˇcbe

~˙ x=A~x oblike

~

x=e^At~c.

Preden nadaljujemo, poglejmo, da nam v primeru, ko je matrika diagonalizabilna, ta naˇcin da povsem enake reˇsitve, kot smo videli zgoraj. ˇCe ima matrika A n line- arno neodvisnih lastnih vektorjev~v₁, ~v₂, . . . , ~v_n s pripadajoˇcimi lastnimi vrednostmi λ₁, λ₂, . . . , λ_n, potem je

A=P DP⁻¹,

kjer jeP = [~v₁, ~v₂, . . . , ~v_n] matrika, v katero zloˇzimo lastne vektorje matrikeA,Dpa diagonalna matrika, ki ima po vrsti na diagonali elemente λ₁, λ₂, . . . , λ_n. Ker velja A^k=P D^kP⁻¹, je

e^AtP e^DtP⁻¹ =P













e^λ1t 0 · · · 0 0 e^λ2t · · · 0 ... ... . .. ... 0 0 · · · e^λnt











 P⁻¹.

Sploˇsna reˇsitev enaˇcbe ˙~x=A~x je torej

~

x=e^At~c=P e^Atd~=d₁e^λ1tv₁+d₂e^λ2tv₂+· · ·+d_ne^λntv_n.

Ce matrikaˇ A ni diagonalizabilna, matriko e^At najlaˇzje izraˇcunamo preko Jordanove kanoniˇcne forme matrike A.

Jordanova kletka je vsaka matrika oblike

J_k(λ) =













λ 1 0 · · · 0 0 λ 1 · · · 0 ... ... ... . .. ...

0 0 0 · · · λ











 .

Indeks k pomeni dimenzijo matrike. J_k(λ) je torej k ×k matrika z λ po diagonali in 1 povsod nad diagonalo. Vsi ostali elementi matrike so 0. Brez dokaza navedimo naslednji izrek (dokaz lahko bralec najde v [4]).

Izrek. Naj bo A n×n matrika. Potem obstaja obrnljiva n×n matrikaP, da velja

A =P













J_k1(λ₁) 0 · · · 0 0 Jk2(λ2) · · · 0 ... ... . .. ... 0 0 · · · Jk_l(λl)











 P⁻¹.

Vrednostiλ₁, λ₂, . . . , λ_lso (ne nujno razliˇcne) lastne vrednosti matrikeA, za velikosti Jordanovih kletk pa velja k1+k2+· · ·+kl =n.

Zgornjemu zapisu reˇcemo Jordanova kanoniˇcna forma matrike A. Pove nam, da je matrika A podobna zgornjemu trikotnemu bloku diagonalne matrike, ki ima po diagonali Jordanove kletke. ˇCe je matrika diagonalizabilna, so vse Jordanove kletke dimenzije 1 in je Jordanova kanoniˇcna forma diagonalna matrika, ˇce pa je algebraiˇcna veˇckratnost neke lastne vrednosti veˇcja od geometrijske veˇckratnosti, pa imamo nujno v formi Jordanove kletke viˇsjih dimenzij.

Ker je

e^At =P













e^Jk1(λ1)t 0 · · · 0 0 e^Jk2(λ2)t · · · 0 ... ... . .. ... 0 0 · · · e^Jkl(λl)t











 P⁻¹,

moramo za izraˇcun eksponenta matrike izraˇcunati eksponente Jordanovih kletk. Vi- dimo lahko, da velja

e^Jk(λ)t=



















e^λt te^{λt t}_2!²e^λt · · · _(k−1)!^tk−1 e^λt 0 e^λt te^λt · · · _(k−2)!^tk−2 e^λt 0 0 e^λt · · · _(k−3)!^tk−3 e^λt

... ... ... . .. ... 0 0 0 · · · e^λt

















 .

Sploˇsna reˇsitev sistema ˙~x=A~x je torej vselej kombinacija ˇclenov obliket^le^λt~v, kjer je λ neka lastna vrednost matrikeA.

POGLAVJE 3

Pretakanje raztopine v sistemih posod

Glavni vir tega poglavja je [8].

V tem poglavju bomo pokazali, kako lahko teorijo sistemov diferencialnih enaˇcb pr- vega reda uporabimo pri modeliranju sprememb koncentracije topljenca v raztopini, ko se tekoˇcina pretaka v sistemih med seboj razliˇcno povezanih posod. Predpo- stavili bomo, da imamo sistem konˇcno mnogo posod, vse z enakim volumnom V, povezanih med seboj s cevmi, tako da je skupni volumski pretok tekoˇcine v posodo enak skupnemu volumskemu pretoku tekoˇcine iz te posode. S tem zagotavljamo, da se volumen tekoˇcine (slanice) v posodi ne spremeni, lahko pa se spreminja koliˇcina topljenca v dani posodi. Obiˇcajno bomo predpostavili celo nekoliko veˇc, in sicer, da je volumski pretok tekoˇcine po vseh ceveh enak. Zato mora iz vsake posode iztekati voda po enakem ˇstevilu cevi, kot v njo priteka. Sistemi posod so lahko sklenjeni, kar pomeni, da so edine cevi, po katerih se pretaka tekoˇcina, cevi med dvema po- sodama, oziroma odprt, ˇce po nekaterih ceveh tekoˇcina v posode priteka iz okolja in se poslediˇcno po nekaterih ceveh v okolje izteka nazaj. V nadaljevanju bomo zaradi enostavnosti izraˇzanja za tekoˇcino vzeli kar slanico, torej vodo, v kateri je raztopljena doloˇcena koliˇcina soli.

Kot bomo videli, lahko take sisteme posod modeliramo z usmerjenimi grafi, koliˇcino soli v posamezni posodi pa dobimo kot reˇsitev sistema diferencialnih enaˇcb prvega reda s konstantnimi koeficienti.

Poglejmo si preprost primer, ki se obiˇcajno obravnava pri uvodu v diferencialne enaˇcbe.

Primer. V ˇcasu t = 0 posoda vsebuje V litrov slanice, v kateri je raztopljenih x0 gramov soli. Predpostavimo, da v posodo s hitrostjo f litrov na minuto vstopa slanica, ki v enem litru tekoˇcine vsebujeqg soli. V posodi se tekoˇcina dobro premeˇsa, nato pa se z enako hitrostjo, kot je vanjo vstopala, iz nje tudi izteka. Koliˇcino soli v posodi v ˇcasu t lahko modeliramo z diferencialno enaˇcbo

˙

x=f q−f x V .

Sploˇsna reˇsitev homogene enaˇcbe

˙

x=−f x V je

x(t) =Ce^−Vft,

za partikularno reˇsitev pa lahko vzamemo kar konstantno reˇsitev x_P =qV.

Tako je sploˇsna reˇsitev enaˇcbe enaka

x(t) = qV +Ce^−Vft,

in ˇce upoˇstevamo ˇse zaˇcetni pogoj x(0) =x₀, dobimo konˇcno reˇsitev x(t) =qV(1−e^−Vft) +x₀e^−Vft.

Koncentracija soli v posodi je zato enaka x(t)

V =q(1−e^−Vft) + x₀ V e^−Vft

in se v limiti priˇcakovano pribliˇzuje vrednosti q. Poglejmo si konkreten primer, ko je volumen posode 100 l, zaˇcetna koncentracija soli 30 %, slanica z gostoto 3,5 % pa priteka v posodo s hitrostjo 3 l/min.Koncentracija soli v posodi (v procentih) se potem spreminja s ˇcasom kot

Q(t) = 35 1−e^−3t/100

+ 300e^−3t/100.

0 50 100 150 200

0 50 100 150 200 250 300

Slika 1. Koncentracija soli v posodi. Modra barva predstavlja graf funkcije 35 1−e^−3t/100

+ 300e^−3t/100, oranˇzna pa koncentracijo soli v dotekajoˇci slanici.

3.1. Analiza sploˇsnega problema za meˇsanje tekoˇcin

V nadaljevanju magistrskega dela bomo obravnavali pretakanje slanice znotraj razliˇcnih postavitev n posod T₁, T₂, . . . , T_n, ki so med seboj povezane s cevmi. Predpostavili bomo, da veljajo naslednje predpostavke:

• Vse posode imajo ves ˇcas enak volumen V slanice, zato je koliˇcina slanice, ki priteka v doloˇceno posodo, enaka koliˇcini slanice, ki se iz posode izteka.

• Vsaka cev, ki povezuje par posod, naj ima enak volumski pretok f slanice.

S primerno izbiro ˇcasovnih enot lahko predpostavimo, da je f /V = 1.

• Za dve razliˇcni posodi T_i inT_j imamo lahko najveˇc eno cev, po kateri teˇce slanica iz posode T_i v posodo T_j, in najveˇc eno cev, po kateri teˇce slanica iz posode T_j v posodo T_i.

• Sistem posod je povezan, kar pomeni, da posod ni moˇzno razdeliti v dve neprazni mnoˇzici, tako da vsaka cev povezuje zgolj posode iz iste mnoˇzice.

Definicija. Matrika sistema postavitve posod je matrika A= [a_i,j]ⁿ_i,j=1, definirana z naslednjim predpisom:

• Za vsak i = 1,2, . . . , n vrednost −a_ii predstavlja ˇstevilo cevi, po katerih slanica odteka iz posode T_i.

• Za vsak par i, j = 1,2, . . . , n, i 6= j je vrednost elementa a_ij = 1, ˇce iz posode T_i slanica po cevi teˇce v posodo T_j.

Sistem posod bi lahko formalno predstavili z usmerjenimi grafi, ki so v naˇsem pri- meru uravnoteˇzeni. Matrika sistema v tem primeru ustreza Laplaceovi matriki grafa ([1],[6]). Ni nujno, da je matrikaAsimetriˇcna, saj ˇce obstaja cev, ki prenaˇsa slanico iz posode Ti do posode Tj, ˇse ne pomeni, da obstaja tudi cev, ki pretaka slanico v nasprotni smeri. Primer take postavitve je sistem na spodnji sliki.

Slika 2. Preprost enosmeren cikel ˇstirih posod.

Matrika sistema za to postavitev je

A=













−1 0 0 1

1 −1 0 0

0 1 −1 0

0 0 1 −1











 .

Matrika sistema ima celo ˇstevilske elemente, pri ˇcemer so vsi diagonalni elementi nujno negativni, nediagonalni elementi pa so bodisi 0 bodisi 1. Vsota elementov v vsaki vrstici matrikeA je enaka 0.

Ce zˇ x₁(t), x₂(t), . . . , x_n(t) oznaˇcimo koliˇcino soli v ˇcasu t v posameznih posodah T₁, T₂, . . . , T_n, se koliˇcina soli v posodi T_i spreminja glede na enakost

˙

x_i =−a_iix_i+

n

X

j=1

i6=j

a_ijx_i.

Sistem diferencialnih enaˇcb, ki nam modelira spreminjanje koliˇcine soli v posodah, je zato enak













˙ x₁

˙ x₂

...

˙ x_n













=













a₁₁ a₁₂ · · · a_1n a₂₁ a₂₂ · · · a_2n ... ... . .. ... a_n1 a_n2 · · · a_nn























 x₁ x₂ ... x_n











 .

V nadaljevanju si bomo pogledali, kaj lahko povemo o lastnih vrednostih in lastnih vektorjih matrik A, ki nastopajo v takih sistemih diferencialnih enaˇcb. Najprej si poglejmo naslednji izrek ([3], [5]).

Izrek. (Gerˇsgorinov izrek) Naj bo A= [a_ij]ⁿ_i,j=1 poljubna kompleksna matrika in λ lastna vrednost matrike A. Za vsak i= 1,2, . . . , n oznaˇcimo

ri =

n

X

j=1

i6=j

|aij|.

Potem obstaja tak i= 1,2, . . . , n, da velja

|λ−aii| ≤ri.

Dokaz. Predpostavimo, da je A~v = λv za nek ~v 6= 0. Naj bo v_i po absolutni vrednosti najveˇcja komponenta vektorja~v. Potem velja

n

X

j=1

a_ijv_j =λv_i ⇒

n

X

j=1

i6=j

v_ijx_j = (λ−v_ii)x_i.

Sledi

|λ−aii|=|

n

X

j=1

i6=j

a_ijv_j v_i | ≤

n

X

j=1

i6=j

|aij|=ri.

Izrek. Naj bo A matrika sistema postavitve posod. Potem velja:

• 0je enostavna lastna vrednost matrike Ain~v = (1,1, . . . ,1)je lastni vektor za lastno vrednost 0,

• ˇce je λ lastna vrednost matrike A, λ 6= 0, potem je Reλ <0.

Dokaz. Da je 0 lastna vrednost matrike A in~v = (1,1, . . . , n) lastni vektor za lastno vrednost 0,sledi iz dejstva, da je vsota elementov matrikeApo vseh vrsticah enaka 0.

Pokaˇzimo najprej, da je geometrijska veˇckratnost lastne vrednosti λ = 0 enaka 1.

Naj bo E ={(i, j); a_i,j = 1}. Potem velja enakost 2h~v, A~vi= 2

n

X

i,j=1

aijvivj =

n

X

i=1

aiiv_i²+ 2

n

X

i,j=1

i6=j

aijvivj+

n

X

j=1

ajjv²_j

= X

(i,j)∈E

v_i²−2 X

(i,j)∈E

aijvivj + X

(i,j)∈E

v²_j

= X

(i,j))∈E

(v_i²−2v_iv_j+v_j²) = X

(i,j))∈E

(v_i−v_j)².

Ce je torejˇ ~v(v₁, v₂, . . . , v_n)^T lastni vektor za lastno vrednost 0, velja 0 = h~v, A~vi= X

(i,j))∈E

(vi−vj)².

Torej je v_i = v_j, ˇce je le (i, j) ∈ E. Ker je po predpostavki sistem posod pove- zan, je potem v₁ = v₂ = · · · = v_n. Lastni prostor za lastno vrednost 0 je torej enodimenzionalen.

Pokaˇzimo sedaj, da je tudi algebraiˇcna veˇckratnost lastne vrednostiλ = 0 enaka 1.

Naj bo karakteristiˇcni polinom matrike A enak

det(A−λI) = (−1)ⁿλⁿ+an−1λⁿ⁻¹+· · ·+a1λ+a0

= (−1)ⁿ(λ−λ1)· · ·(λ−λn),

kjer soλ₁, λ₂, . . . , λ_nlastne vrednosti matrike A, in naj bo λ₁ enaka 0. Seveda velja a₀ = 0. Da bo algebraiˇcna veˇckratnost lastne vrednostiλ= 0,moramo pokazati, da je a₁ 6= 0. Velja

a₁ = (−1)ⁿ

n

X

k=1

Y

i6=k

(−λ_i) = λ₂...λ_n.

Ker je dimenzija niˇcelnega prostora matrike A enaka 1, obstaja par (i, j), da je matrika, ki jo dobimo s tem, da matriki A odstranimo i-to vrstico in j-ti stolpec, obrnljiva. Oznaˇcimo to matriko zA(0). Vrednost determinante

det(A−λI) = det









a₁₁−λ . . . a_1n ... . .. ... a_n1 . . . a_nn−λ









ostane nespremenjena, ˇce i-ti vstici priˇstejemo vse ostale vrstice in nato j-temu stolpcu priˇstejemo vse ostale stolpce. Ker je vsota stolpcev in vrstic enaka 0, dobimo

det(A−λI) = det



















a₁₁−λ . . . −λ . . . a_1n ... ... ... ... ...

−λ . . . −nλ . . . −λ ... ... ... ... ... a_n1 . . . −λ . . . a_nn −λ



















=λdet



















a11−λ . . . −λ . . . a1n

... ... ... ... ...

−1 . . . −n . . . −1 ... ... ... ... ... a_n1 . . . −λ . . . a_nn −λ

















 .

Vrednost koeficienta a₁ dobimo tako, da v zadnjo determinanto vstavimo λ = 0, torej

a₁ = det



















a₁₁ . . . 0 . . . a_1n ... ... ... ... ...

−1 . . . −n . . . −1 ... ... ... ... ... a_n1 . . . 0 . . . a_nn



















=−n(−1)^i+jdetA₀ 6= 0.

Pokaˇzimo ˇse, da so realni deli vseh ostalih lastnih vrednosti matrike A strogo ne- gativni. Naj bo λ lastna vrednost matrike A in λ 6= 0. Potem po Gerˇsgorinovem izreku obstaja tak indeks i, da je |λ−aii| ≤ ri. Ker je aii negativno celo ˇstevilo in so vsi nediagonalni elementi matrike A veˇcji ali enaki 0, je a_ii = −r_i. Zato je

Reλ <0.

Posledica. Ce imamo postavitevˇ n posod, ki zadoˇsˇca pogojem iz zaˇcetka tega raz- delka, za vsak i= 1,2, . . . , n velja

t→∞lim x_i(t) = x₁(0) +...+x_n(0)

n .

Dokaz. Koliˇcino soli modeliramo s sistemom linearnih enaˇcb ˙~x(t) = Ax(t), kjer je A matrika sistema postavitve posod. Ker je λ = 0 enostavna lastna vrednost in imajo vse ostale lastne vrednosti strogo negativne realne dele, se vsaka reˇsitev sistema pribliˇzuje veˇckratniku lastnega vektorja za lastno vrednost 0, torej stanju, ko je v vseh posodah enaka koliˇcina soli. Ker je koliˇcina soli v sistemu konstantna,

dobimo zgornjo limito.

3.2. Zvezdna razporeditev posod

O zvezdni razporeditvi posod govorimo, ko imamo eno srediˇsˇcno posodo T₁, ki je s parom cevi povezana z ostalimin−1 posodami T₁, T₂, . . . , T_n. Po eni izmed cevi iz para tekoˇcina doteka v srediˇsˇcno posodo, po drugi pa iz nje odteka. Predpostavimo, da imajo vse posode enak volumen V in da so pretoki na ˇcasovno enoto po vseh ceveh enaki f. Tako se volumen tekoˇcin v posodah ne spreminja.

Slika 3. Zvezdna razporeditev posod.

Ce zˇ x₁(t), x₂(t), . . . , x_n(t) oznaˇcimo koliˇcino soli v posodi v danem trenutkut, potem spreminjanje teh koliˇcin lahko modeliramo s sistemom diferencialnih enaˇcb

x⁰₁(t) =−(n−1)fx1(t)

V +

n

X

i=2

fxi(t) V , x⁰_i(t) = fx₁(t)

V −fx_i(t)

V , 2≤i≤n.

S primerno spremembo enot lahko predpostavimo, da je f = V. Zato bomo kar predpostavili, da imamo opravka s sistemom enaˇcb

x⁰₁(t) = −(n−1)x₁(t) +

n

X

i=2

x_i(t), x⁰_i(t) = x₁(t)−x_i(t), 2≤i≤n oziroma

~x(t) =˙ A~x, kjer je matrika A enaka

A=



















−(n−1) 1 1 . . . 1

1 −1 0 . . . 0

1 0 −1 . . . 0

... ... ... . .. ...

1 0 0 . . . −1

















 .

Da sistem reˇsimo, moramo poiskati lastne vrednosti in lastne vektorje matrike A.

Karakteristiˇcni polinom matrikeA je enak

det(A−λI) =

−(n−1)−λ 1 1 . . . 1

1 −1−λ 0 . . . 0

1 0 −1−λ . . . 0

... ... ... . .. ...

1 0 0 . . . −1−λ

.

Ce determinanto razvijemo po prvi vrstici, dobimoˇ

det(A−λI) = (−(n−1)−λ)(−1−λ)ⁿ⁻¹−(n−1)

1 0 . . . 0

1 −1−λ . . . 0 ... ... . .. ...

1 0 . . . −1−λ

= (−(n−1)−λ)(−1−λ)ⁿ⁻¹−(n−1)(−1−λ)ⁿ⁻²

= (−1−λ)ⁿ⁻²λ(n+λ).

Matrika A ima torej tri lastne vrednosti: −1, 0 in −n. Ker je vsota elementov po vrsticah matrikeAenaka, za lastni vektor pri lastni vrednostiλ₁ = 0 lahko vzamemo kar vektor~v1 = (1, ...,1)^T.

Za drugo lastno vrednostλ2 =−n dobimo naslednji sistem













1 1 . . . 1

1 −1 +n . . . 0 ... ... . .. ...

1 0 . . . −1 +n























 v₁ v₂ ... v_n













=











 0 0 ... 0











 .

Za lastni vektor lahko v tem primeru vzamemo vektor~v = (1−n,1, ...,1)^T. Za lastno vrednost λ₃ =−1 dobimo sistem













−n+ 2 1 . . . 1 1 0 . . . 0 ... ... . .. ...

1 0 . . . 0























 v₁ v₂ ... v_n













=











 0 0 ... 0











 .

Veljati mora torej v₁ = 0 in v₂ +· · ·+v_n = 0. Tako lahko dobimo n−2 linearno neodvisnih realnih lastnih vektorjev~v3, ..., ~vn, kjer je~vk= (0,1,0, . . . ,−1,0, . . . ,0)^T in je−1 ravno na k-tem mestu.

Za matrikoA smo torej naˇslin realnih lastnih vektorjev, zato lahko sploˇsno reˇsitev enaˇcbe zapiˇsemo v obliki

~x=c₁~v₁+c₂e^−nt~v₂+e^−t

n

X

k=2

c_k~v_k.

Reˇsitev se ne glede na zaˇcetna stanja v neskonˇcnosti pribliˇzuje stanju, v katerem imajo vse posode enako koliˇcino snovi.

Primer. Poglejmo si konkretni primer, ko imamo tri posode (n= 3) postavljene v zvezdni obliki.

Slika 4. Zvezdna postavitev treh posod.

Matrika sistema je v tem primeru A=







−2 1 1

1 −1 0

1 0 −1





.

Lastne vrednosti dobimo kot niˇcle karakteristiˇcnega polinoma det(A−λI) =

−2−λ 1 1

1 −1−λ 0

1 0 −1−λ

=−(1 +λ)((2 +λ)(1 +λ)−1) + (1 +λ)

=−(1 +λ)λ(λ+ 3) = 0.

Matrika A ima torej tri lastne vrednosti λ₁ = 0,λ₂ =−3 in λ₃ =−1. Izraˇcunajmo sedaj ˇse lastne vektorje. Zaλ₁ = 0 dobimo sistem







−2 1 1

1 −1 0

1 0 −1











 v₁ v₂ v₃





=





 0 0 0







in za lastni vektor lahko vzamemo kar vektor~v₁ = (1,1,1)^T. Pri λ₂ =−3 dobimo







1 1 1 1 2 0 1 0 2











 v₁ v₂ v3





=





 0 0 0





.

Ce prvo vrstico odˇstejemo od obeh ostalih vrstic, dobimo ekvivalenten sistemˇ







1 1 1

0 1 −1

0 −1 1











 v₁ v₂ v₃





=





 0 0 0





,

kar pomeni, da mora veljati v₂ = v₃ = 0 in v₁ +v₂ +v₃ = 0. Zato lahko za lastni vektor vzamemo~v₂ = (−2,1,1)^T. Za λ₃ =−1 dobimo sistem







−1 1 1

1 0 0

1 0 0











 v₁ v₂ v3





=





 0 0 0





,

kar pomeni, da mora veljativ₁ = 0 inv₃ =−v₂. Zato lahko za lastni vektor vzamemo

~v₂ = (0,1,−1)^T. Sploˇsna reˇsitev sistema je potem





 x1

x₂ x₃





=a





 1 1 1





+be^−3t







−2 1 1





+ce^−t





 0 1

−1





=







a−2be^−3t a+be^−3t+ce^−t a+be^−3t−ce^−t





. Ce upoˇstevamo zaˇˇ cetne koncentracije soli v posodah,x₁(0) =x₀,x₂(0) =y₀,x₃(0) = z₀, za koeficiente a, b, c dobimo

a = x₀+y₀+z₀

3 , b= y₀+z₀−2x₀

6 , c= y₀−z₀ 2 .

Poglejmo si konkreten primer, ko je v zaˇcetku vsa sol le v posodahT₂ inT₃, in sicer x₀ = 0, y₀ = 5 in z₀ = 1. Reˇsitev sistema je potem

x₁(t) = 2−2e^−3t x₂(t) = 2 +e^−3t+ 2e^−t x₃(t) = 2 +e^−3t−2e^−t.

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

0 1 2 3 4 5

Slika 5. Primer koncentracije soli pri zvezdni postavitvi treh posod.

Na zgornji sliki je z modro obarvan graf koliˇcine soli v sredinski posodi, z oranˇzno graf koliˇcine soli v drugi posodi in z zeleno graf koliˇcine soli v tretji posodi. Kot lahko vidimo, so parametri izbrani tako, da se v tretji posodi koliˇcina soli najprej rahlo zmanjˇsuje, potem pa zopet naraˇsˇca.

Primer. Poglejmo si ˇse primer, ko imamo ˇstiri posode (n= 4) postavljene v zvezdni obliki.

Slika 6. Zvezdna postavitev ˇstirih posod.

Matrika sistema je sedaj

A=













−3 1 1 1

1 −1 0 0

1 0 −1 0

1 0 0 −1











 .

Matrika ima zopet tri lastne vrednosti, λ₁ = 0, λ₂ = −4 in λ₃ = −1. Lastni vektor za lastno vrednost λ₁ = 0 je ~v₁ = (1,1,1,1)^T, za λ₂ = −4 lahko vzamemo

~v2 = (−3,1,1,1)^T, za lastno vrednostλ3 =−1 pa ima geometrijsko (in algebraiˇcno) veˇckratnost 2, in za lastna vektorja lahko vzamemo ~v₃ = (0,1,−1,0)^T ter ~v₄ =

(0,1,0,−1)^T. Sploˇsna reˇsitev je v tem primeru











 x₁ x₂ x₃ x₄













=a











 1 1 1 1













+be^−4t













−3 1 1 1













+ce^−t











 0 1

−1 0













+de^−t











 0 1 0

−1













=













a−3be^−3t a+be^−4t+ce^−t+de^−t

a+be^−4t−ce^−t a+be^−4t−de^−t











 .

Ce upoˇstevamo zaˇˇ cetni pogoj ~x(0) = (x0, y0, z0, w0)^T, bodo koeficienti a, b, c in d enaki

a= x0+y0+z0+w0

4 ,

b= y₀+z₀+w₀−3x₀

12 ,

c= y₀+w₀ −2z₀

3 ,

d= y₀+z₀−2w₀

3 .

Poglejmo si konkreten primer, ko je zaˇcetni pogoj enak ~x(0) = (0,9,2,1)^T. Reˇsitev sistema je

x₁(t) = 3−3e^−4t x₂(t) = 3 +e^−4t+ 5e^−t x₃(t) = 2 +e^−3t−2e^−t x₃(t) = 2 +e^−3t−3e^−t.

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 0

2 4 6 8

Slika 7. Primer koncentracije soli pri zvezdni postavitvi ˇstirih posod.

Na zgornji sliki je z modro obarvan graf koliˇcine soli v sredinski posodi, z oranˇzno graf koliˇcine soli v drugi posodi, z zeleno graf koliˇcine soli v tretji posodi in z rdeˇco graf koliˇcine soli v ˇcetrti posodi. Parametri so zopet izbrani tako, da v tretji in ˇcetrti posodi koliˇcina soli najprej rahlo upada, potem pa zopet naraˇsˇca. V limiti se vse ˇstiri vrednosti pribliˇzujejo isti vrednosti.

3.3. Dvosmerna linearna razporeditev posod

V tem razdelku si bomo pogledali dvosmerno linearno razporeditev posod, ko je n posod postavljenih linearno in so med seboj povezane s parom cevi, le da prva in zadnja med seboj nista povezani.

Slika 8. Dvosmerna linearna ureditev posod.

Podobno kot pri zvezdni ureditvi bomo tudi tu predpostavili, da je volumski pre- tok skozi vse cevi enak f in da imajo vse posode enak volumen V. Zopet lahko s primerno izbiro enot predpostavimo, da je f = V. Oznaˇcimo koliˇcino soli v poso- dah z x1, x2, . . . , xn in modeliramo spreminjanje koliˇcine soli v posodah s sistemom

~x˙ =Ax, pri ˇcemer je matrika A n×n matrika

A=





























−1 1 0 . . . 0 0 0

1 −2 1 . . . 0 0 0

0 1 −2 . . . 0 0 0

... ... ... . .. ... ... ...

0 0 0 . . . −2 1 0

0 0 0 . . . 1 −2 1

0 0 0 . . . 0 1 −1



























 .

Ta matrika je primer tridiagonalne matrike. Ker je le-ta simetriˇcna, ima same realne lastne vrednosti in je tudi diagonalizabilna nad realnimi ˇstevili, zato lahko najdemo n neodvisnih lastnih vektorjev. Ker je unija Gerˇsgorinovih krogov enaka zaprtemu krogu s srediˇsˇcem v−2 in radijem 2, so vse lastne vrednosti na intervalu [−4,0].

Karakteristiˇcni polinom matrike A bomo dobili tako, da bomo det(A−λI) razvili po prvem stolpcu.

det(A−λI) =

−1−λ 1 0 . . . 0 0

1 −2−λ 1 . . . 0 0

0 1 −2−λ . . . 0 0

... ... ... . .. ... ...

0 0 0 . . . −2−λ 1

0 0 0 . . . 1 −1−λ

=(−1−λ)

−2−λ 1 . . . 0 0

1 −2−λ . . . 0 0

... ... . .. ... ...

0 0 . . . −2−λ 1

0 0 . . . 1 −1−λ

−

1 0 . . . 0 0

1 −2−λ . . . 0 0

... ... . .. ... ...

0 0 . . . −2−λ 1

0 0 . . . 1 −1−λ

.

Ce oznaˇˇ cimo zD_nkarakteristiˇcni polinom matrikeA_n, smo dobili rekurzivno zvezo det(A−λI) =Dn= (−1−λ)Dn−1−Dn−2,

kjer je D_k karakteristiˇcni polinom v λ k×k matrike























−2−λ 1 0 . . . 0 0

1 −2−λ 1 . . . 0 0

0 1 −2−λ . . . 0 0

... ... ... . .. ... ...

0 0 0 . . . −2−λ 1

0 0 0 . . . 1 −1−λ





















 .

Ce determinanto te matrike zopet razvijemo po prvem stolpcu, dobimo analognoˇ rekurzivno relacijo

D_k = (−2−λ)Dk−1−Dk−2,

ki velja za vsak k ≥ 2. Gre za linearno rekurzivno relacijo drugega reda. Zaˇcetni vrednosti sta D₁ =−1−λ inD₀ = 1. Reˇsitvi karakteristiˇcne enaˇcbe

x²+ (2 +λ)x+ 1 = 0 sta

x_1,2 = −λ−2 2 ±i

p−λ(λ+ 4)

2 .

Pri tem zapisu smo upoˇstevali, da se lastne vrednosti nahajajo na intervalu [−4,0], zato nas tudi vrednosti spremenljivkeλzanimajo le na tem intervalu. Namestoλ+2 piˇsemou in dobimo

x_1,2 = −u 2 ±i

√4−u²

2 =e^±iγ, kjer je γ ∈[0, π], cosγ =−u/2 in sinγ =

√4−u² 2 .

Ce jeˇ λ ∈(−4,0), torej γ 6= 0, π, je D_k je linearna kombinacija ˇclenov x^k₁ =e^ikγ in x^k₂ =e^−ikγ, torej

D_k =Ae^ikγ+Be^−ikγ

za primernaA in B. Ker je D_k realen, slediB = ¯A, zato lahko zapiˇsemo D_k =αcos(kγ) +βsin(kγ)

za primerni realni konstanti α, β. ˇCe upoˇstevamo zaˇcetne pogoje D0 = 1 in D1 =

−1−λ= 1−u= 1 + 2 cosγ, dobimo vrednosti zaα= 1 inβ = (1 + cosγ)/sinγ = cot(γ/2). Torej lahko zapiˇsemo

D_k = cos(kγ) + cot(γ/2) sin(kγ)