FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
DIPLOMSKO DELO
PETRA KUTNAR
FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO ˇ Studijski program: Matematika in fizika
Analiza posnetkov trka biljardnih krogel
DIPLOMSKO DELO
Mentor:
dr. Bojan Golli Somentorica:
dr. Barbara Rovˇsek, asis.
Kandidatka:
Petra Kutnar
Ljubljana, junij 2012
FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
IZJAVA O AVTORSTVU DIPLOMSKEGA DELA
Podpisana Petra Kutnar, rojena 17. 5. 1988 v Ljubljani, ˇstudentka Pedagoˇske fa- kultete v Ljubljani, smer matematika in fizika, izjavljam, da je diplomsko delo z naslovom
Analiza posnetkov trka biljardnih krogel
pri mentorju dr. Bojanu Golli in somentorici dr. Barbari Rovˇsek, avtorsko delo.
Uporabljeni viri in literatura so v diplomskem delu korektno navedeni. Besedila niso prepisana brez navedbe avtorjev.
Petra Kutnar
Ljubljana, junij 2012
Zahvala gre tudi g. Goranu Iskri´cu za nakup in postavitev opreme.
Posebna zahvala gre mojim starˇsem in fantu za moralno pomoˇc in podporo med ˇstudijem.
V diplomskem delu analiziram posnetke trka biljardnih krogel s pomoˇcjo hitre ka- mere in iz njih izluˇsˇcim fizikalne parametre, ki opredeljujejo trke. Teoretiˇcno ob- delam znaˇcilne primere trkov dveh biljardnih krogel. Predstavim gibanje bele in rdeˇce krogle pri razliˇcnih trkih. Teoretiˇcno doloˇcim, kako se hitrost krogle spremi- nja po udarcu z biljardno palico in po trku z drugo kroglo. Pri praktiˇcnem delu prikaˇzem analizo posnetkov razliˇcnih trkov biljardnih krogel, obdelanih s prosto do- stopnim programom Tracker. Preverim ohranitev gibalne koliˇcine in kinetiˇcne ener- gije. Doloˇcim koeficient trenja med podlago in kroglo ter na podlagi tega preverim, ali se hitrosti spreminjajo v skladu s teoretiˇcno napovedjo.
Kljuˇcne besede:
trki biljardnih krogel, centralni trk, necentralni trk, drsenje, kotaljenje
Collisions of billiard balls have been recorded with the high - speed camera. Video clips of collisions have been analyzed and physical parameters which define the collisions have been determined from them. A theoretical description of two typical examples of billiard ball collisions is given. The motion of the white and the red ball before, at and after the collision have been examined. A change of velocity of the ball influenced by the impact of a billiard stick or a collision with another ball is determined theoretically. In the practical part of this thesis video clips of various collisions of billiard balls are analyzed using a free-ware program Tracker. The conservation of linear momentum and kinetic energy are examined. The coefficient of friction between the surface and the ball is determined. Experimental results of velocity changes are compared with theoretical prediction.
Key words: collisions of billiard balls, central collision, non-central collision, sli- pping, rolling
1 Uvod 1
2 Trki dveh teles 2
2.1 Trk . . . 2
2.1.1 Centralni trki . . . 2
2.1.2 Necentralni trki . . . 4
2.2 Premo gibanje teles pred in po trku . . . 7
2.2.1 Hokejski ploˇsˇcek na ledu . . . 7
2.2.2 Hokejski ploˇsˇcek na na podlagi kjer je trenje . . . 8
2.2.3 Biljardna krogla na ledu . . . 8
2.2.4 Biljardna krogla na podlagi kjer je trenje - na tkanini biljardne mize . . . 8
2.3 Primeri centralnih trkov . . . 18
2.3.1 Poˇcasni centralni trk . . . 18
2.3.2 Vmesni reˇzim . . . 19
2.3.3 Hitri centralni trk . . . 20
2.4 Doloˇcanje trenja podlage . . . 20
2.4.1 Trenje pri centralnih trkih . . . 21
2.4.2 Trenje pri necentralnih trkih . . . 21
3 Praktiˇcni del 22 3.1 Posnetek in obdelava centralnega trka biljardnih krogel . . . 22
3.1.1 Hitri centralni trk . . . 22
3.1.2 Poˇcasni centralni trk . . . 27
3.2 Posnetek in obdelava necentralnega trka biljardnih krogel . . . 31
3.2.1 Skupni kot po trku . . . 32
3.2.2 Ohranitev gibalne koliˇcine . . . 33
3.2.3 Ohranitev kinetiˇcne energije . . . 34 3.2.4 Odvisnost kota pri odboju bele krogle od vpadnega parametra 36
4 Zakljuˇcek 39
1 Prikaz a) centralnega in b) necentralnega trka. . . 2
2 Prikaz necentralnega trka. . . 4
3 Trenutek necentralnega trka. . . 5
4 Sunek sile na rdeˇco kroglo a) med necentralnim trkom in b) trenutek necentralnega trka podrobneje. . . 6
5 Hitrost v hokejskega ploˇsˇcka na ledu. . . 7
6 Hitrost v hokejskega ploˇsˇcka na prtu. . . 8
7 Sile na kroglo . . . 9
8 Graf hitrosti in kotne hitrosti . . . 10
9 Poloˇzaj toˇcke T v laboratorijskem sistemu in teˇziˇsˇcnem sistemu krogle. 11 10 Hitrost teˇziˇsˇca v in kotna hitrost ω biljardne krogle na prtu. . . 12
11 Drsenje bele krogle. . . 12
12 Gibanje bele krogle pri trku. . . 16
13 Hitrost pri kotaljenju in trku. . . 16
14 Prikaz kotaljenja bele krogle pred, med in po trku z rdeˇco kroglo. . . . 17
15 Gibanje bele krogle pri trku z rdeˇco kroglo. . . 18
16 Gibanje rdeˇce krogle pri trku z belo kroglo. . . 19
17 Sprememba hitrosti pri vmesnem reˇzimu. . . 19
18 Sprememba hitrosti rdeˇce krogle. . . 19
19 Sprememba hitrosti bele krogle. . . 20
20 Sprememba hitrosti rdeˇce krogle. . . 20
21 Slika krogel pri centralnem trku. . . 22
22 Obdelan posnetek hitrega centralnega trka. . . 23
23 Graf odvisnosti hitrosti a) bele krogle in b) rdeˇce krogle od ˇcasa pri hitrem centralnem trku. . . 23
24 Graf odvisnosti pospeˇska od ˇcasa za belo kroglo pri hitrem centralnem trku. . . 25
25 Graf odvisnosti pospeˇska od ˇcasa za rdeˇco kroglo pri hitrem centralnem trku. . . 26
26 Graf odvisnosti razdalje od ˇcasa za rdeˇco kroglo. . . 27
27 Obdelan posnetek poˇcasnega centralnega trka. . . 27
28 Graf odvisnosti hitrosti a) bele krogle in b) rdeˇce krogle od ˇcasa pri poˇcasnem centralnem trku. . . 28
29 Graf odvisnosti razdalje od ˇcasa za belo kroglo pri poˇcasnem central- nem trku. . . 30
30 Graf odvisnosti razdalje od ˇcasa za rdeˇco kroglo pri poˇcasnem central- nem trku. . . 31
31 Vrednosti kotov krogel pri odboju po necentralnem trku. . . 32
32 Ohranitev gibalne koliˇcine v y smeri pri necentralnem trku. . . 33
33 Ohranitev gibalne koliˇcine v x smeri pri necentralnem trku. . . 34
34 a) Graf odvisnosti hitrosti za 1) belo kroglo in 2) rdeˇco kroglo od ˇcasa pri necentralnem trku. . . 35
35 b) Graf odvisnosti hitrosti za 1) belo kroglo in 2) rdeˇco kroglo od ˇcasa pri necentralnem trku. . . 36
36 Slika posnetkov necentralnih trkov.. . . 37
37 Graf odvisnosti kota ϕ od vpadnega parametra b. . . 38
1 Uvod
Ena izmed zelo znanih druˇzabnih iger je biljard. Veˇcina uˇcencev to igro pozna, zato jo lahko izkoristimo, da na zgledih pojasnimo nekatere fizikalne teme iz meha- nike. Podroˇcja, ki jih pri tem obravnavamo, so trenje, proˇzni trki, ohranitev gibalne koliˇcine in kinetiˇcne energije, kotaljenje, premo gibanje in pospeˇsevanje teles. V tem diplomskem delu demonstriram, kako fizikalni zakoni napovejo gibanje krogel pri trku.
V svojem diplomskem delu ˇzelim kot ˇstudentka fizike in matematike pokazati fizi- kalno dogajanje pri pojavu trka dveh biljardnih krogel. Za izvedbo diplomskega dela sem uporabila prave biljardne krogle in pravo biljardno palico. Poskuse smo izvajali na debelejˇsi tkanini zelene barve. Poskuse smo posneli s hitro video kamero. Z njo lahko snemamo hitre fizikalne pojave in njih posnetke analiziramo. Na ta naˇcin sem tudi sama predstavila del igre biljarda. Hitra kamera na stotinko sekunde naredi eno sliko. Z zaporedjem teh slik lahko natanˇcno pogledamo, kako se posamezna krogla, ki je zelo hitra, giblje. S prosto dostopnim raˇcunalniˇskim programom Tracker lahko obdelamo in, kot sem omenila, analiziramo zaporedje posnetkov slik.
V drugem poglavju sem iz fizikalnih zakonov izpeljala izraze, ki povedo, kako se obema kroglama pred, med in po trku spreminjajo (ali ohranjajo) hitrost, smer, pospeˇsek in gibalna koliˇcina ter kinetiˇcna energija. Obdelala sem posebej centralne in necentralne trke. Ko v ˇsoli govorimo o trkih togih teles, povemo, da se pri ta- kih trkih gibalna koliˇcina in kinetiˇcna energija ohranjata. Pri analizi posnetkov dejanskih trkov sem ugotovila, da veljajo ohranitve za gibanje krogel samo tik pred in tik po trku. S posnetkov je razvidno, da krogla po prejemu sunka sile drsi in se po doloˇcenem ˇcasu zaˇcne kotaliti, zato ohranitev kinetiˇcne energije in gibalne koliˇcine ne velja za katerikoli ˇcas gibanja krogel. Podrobneje sem analizirala, kako se prvi krogli pred trkom med gibanjem po podlagi s trenjem spreminja hitrost.
Enako lahko premislim, kako se spreminjata hitrosti prve in druge krogle po trku.
Pokazala sem tudi, kako se lahko s pomoˇcjo meritev doloˇci koeficient trenja podlage.
V tretjem poglavju sem svoje teoretiˇcne ugotovitve podprla s prikazom dejanskega poteka posnetega trka s hitro kamero v praktiˇcnem delu. Posamezno vrsto trkov sem obdelala z veˇc programi, med njimi tudi z omenjenim programom Tracker.
Raˇcunalniˇski programi, ki sem jih uporabila, so Geogebra, Microsoft Office Excel in Slikar. Analiza posnetkov zahteva veliko natanˇcnosti, saj lahko v nasprotnem primeru dobimo velika odstopanja izmerjenih vrednosti od teoretiˇcne.
2 Trki dveh teles
Trk dveh teles je sestavljen iz gibanja teles pred in po trku, ter samega trka. Gibanje teles pred in po trku traja dalj ˇcasa in je odvisno od okolja, kjer se trk zgodi. Sam trk se zgodi v tako kratkem ˇcasu, da lahko vpliv okolice na telesi med trkom zanemarimo.
2.1 Trk
Vemo, da trk dveh togih teles traja zelo kratek ˇcas. V tako kratkem ˇcasu sile iz okolice, ki delujejo na obe telesi, nimajo uˇcinka. Po spremembi, ki se ob trku zgodijo, lahko trke razdelimo na proˇzne in neproˇzne. Pri obeh vrstah trkov se ohranja skupna gibalna koliˇcina teles. Torej je pri trku dveh teles skupna gibalna koliˇcina obeh teles pred trkom enaka skupni gibalni koliˇcini obeh teles po trku. Pri proˇznih trkih se ohranja tudi kinetiˇcna energija, pri neproˇznih pa se del kinetiˇcne energije telesa med trkom spreminja v notranjo energijo teles.
Krogli, katerih gibanje bomo v nadaljevanju opisovali, proˇzno trkata. Ti dve krogli sta razseˇzni in togi, trkata pa lahko na dva razliˇcna naˇcina. Trˇcita lahko centralno ali necentralno, saj nista toˇckasti.
2.1.1 Centralni trki
Opiˇsimocentralni trks primerom trka gibajoˇce se krogle v mirujoˇco. Primer takega trka je povsem sploˇsen, ker lahko vedno najdemo inercialni sistem, v katerem se pred trkom ena krogla giblje, druga pa miruje. Tak inercialni sistem je teˇziˇsˇcni sistem ene od krogel pred trkom. Hitrost, ki jo ima pred trkom gibajoˇca krogla, oznaˇcimo z~v10. Ce je ta hitrost vzporedna zveznici med teˇˇ ziˇsˇcema obeh krogel, je tak trk centralni.
V primeru, ko hitrost gibajoˇce krogle ni vzporedna zveznici med teˇziˇsˇcema obeh krogel, je trk, ˇce do njega pride, necentralen. Sliki 1 in 2 prikazujeta oba opisana trka.
Slika 1: Prikaz a) centralnega in b) necentralnega trka.
Pri naˇsih poskusih se bo pred trkom gibala bela krogla (ki smo jo sunili z biljardno palico), rdeˇca krogla bo mirovala. Pri centralnem trku deluje na obe krogli sunek sile, ki je vzporeden z zveznico med teˇziˇsˇcema obeh krogel. Ker je sunek sile enak spremembi gibalne koliˇcine, tudi spremembe gibalne koliˇcine potekajo v eni dimen- ziji. Kar smo zapisali velja, ˇce bela krogla pred trkom nima spina. ˇCe bi imela bela krogla pred trkom spin, potem bi imeli ˇse eno komponento sile, ki bi bila vzporedna s povrˇsino. ˇCe sunek sil na belo kroglo ni v eni dimenziji, potem tudi sprememba gibalne koliˇcine krogle ni v eni dimenziji.
Gibanje teles pred in po centralnem trku zato poteka v eni dimenziji. Tako lahko pridemo do enostavnih zvez med hitrostjo gibajoˇce krogle pred trkom in hitrostima obeh krogel po trku. Za ohranitev gibalne koliˇcine velja, da je gibalna koliˇcina gi- bajoˇce krogle pred trkom enaka skupni gibalni koliˇcini krogel po trku, ko se omejimo na trke krogel z enako maso
m~v10 =m~v1+m~v2, (1) kjer je~v1 hitrost prve krogle po trku in ~v2 hitrost druge krogle po trku in m masa vsake od krogel. Tako ohranjanje gibalne koliˇcine krogel opiˇse tudi fizik Gosar, P.
v reviji Presek [1]. Tudi za ohranitev kinetiˇcne energije zapiˇse tako kot zapiˇsemo naprej.
Za ohranitev kinetiˇcne energije velja, da je kinetiˇcna energija gibajoˇce krogle pred trkom enaka skupni kinetiˇcni energiji teles po trku
1
2mv102 = 1
2mv12+1
2mv22. (2)
Ker sta masi krogel enaki, se zvezi (1) in (2) poenostavita v
~
v10 =~v1+~v2, (3)
in
v102 =v12+v22. (4)
Ohranitev gibalne koliˇcine (3) lahko zapiˇsemo tudi drugaˇce. Enaˇcbo (3) skalarno pomnoˇzimo samo s sabo. Tako dobimo enaˇcbo
v102
=v12
+v22
+ 2~v1~v2, (5)
ki jo lahko primerjamo z enaˇcbo za ohranitev kinetiˇcne energije (4). S primerjavo pridemo do treh reˇsitev:
•
~v1⊥~v2 (6)
Zapisana relacija pomeni, da je vektor hitrosti prve krogle po trku pravokoten na vektor hitrosti druge krogle po trku. Ta reˇsitev za centralni trk ni pravilna, saj gre pri centralnem trku za gibanje v eni dimenziji. ˇZe prej smo opisali centralni trk in ga tudi prikazali.
•
~
v2 = 0 (7)
Tudi reˇsitev, pri kateri je hitrost druge krogle po trku enaka niˇc, ni pravilna.
Ce bi to drˇˇ zalo, potem se drugi krogli ne bi zgodilo niˇc, oziroma do trka po tej reˇsitvi ne pride, mi pa vemo da to ni res.
•
~
v1 = 0 (8)
Zadnja, tretja reˇsitev, pri kateri je hitrost prve krogle po trku enaka niˇc, je za centralne trke dveh krogel z enakima masama pravilna.
Z zapisom zgornje izpeljave smo priˇsli do ugotovitve, da se bela krogla, ki se na zaˇcetku giblje, po centralnem trku ustavi. Rdeˇca krogla, ki je na zaˇcetku mirovala, pa se po centralnem trku giblje z neko hitrostjo. Ta hitrost je enaka hitrosti bele, gibajoˇce krogle pred centralnim trkom, kar lahko zapiˇsemo v matematiˇcnem jeziku
v1 = 0∧~v1~v2 = 0 (9) v10 =v2.
Do podobnega razmisleka pride tudi fizik Gosar, P., v reviji Presek [1]. Zapiˇse, da je bil pri opazovanju trka gibajoˇce krogle z enako mirujoˇco, vsakdo preseneˇcen. Saj se krogla, ki udari ob mirujoˇco kroglo, ustavi, prvotno mirujoˇca krogla pa prevzame njeno hitrost in s tem tudi njeno kinetiˇcno energijo. Avtor nam poda primer takega trka s kroglami, ki visita na lahki vrvici.
2.1.2 Necentralni trki
Opiˇsimo razliko med centralnim in necentralnim trkom gibajoˇce krogle v mirujoˇco kroglo:
Tudinecentralne trkeopiˇsimo v sistemu, kjer ena krogla miruje, druga pa se giblje, dokler krogli ne trˇcita. Prej smo ˇze zapisali, da je trk necentralen, ˇce vektor hitrosti prve krogle ni vzporeden zveznici med teˇziˇsˇcema obeh krogel. Slika 2 prikazuje necentralni trk.
Slika 2: Prikaz necentralnega trka.
Denimo, da sedaj opazujemo necentralni trk krogel v koordinatnem sistemu z osema x in y. Prva krogla naj se pred trkom giblje v smeri x osi. Vektorju hitrosti prve krogle lahko nariˇsemo vzporednici skozi teˇziˇsˇci obeh krogel. Sedaj lahko vpeljemo nov parameter, ki ga bomo poimenovali vpadni parameter in ga bomo oznaˇcili z b. Vpadni parameter je razdalja med vzporednicami vektorju hitrosti prve krogle.
Med premim pribliˇzevanjem gibajoˇce krogle pred trkom se vpadni parameter ne spreminja. Slika 2 prikazuje necentralni trk in vpadni parameter b.
Necentralni trk krogel je moˇzen samo takrat, ko sta izpolnjena naslednja pogoja
b <2R∧b6= 0, (10)
kjer je R polmer telesa in b vpadni parameter. Ce jeˇ b enak niˇc, potem je trk centralni.
Povezava med hitrostjo obeh teles po trku s hitrostjo gibajoˇcega telesa pred trkom sedaj ni veˇc enostavna. Dobimo bolj komplicirano povezavo z vpadnim parametrom b in koti, ki nastopajo pri gibanju v dveh dimenzijah.
Pri proˇznih trkih se ohranjata kinetiˇcna energija in gibalna koliˇcina. Obe ohranitvi smo ˇze zapisali prej. Zapisali smo jih povsem na sploˇsno, tako da enaˇcbe veljajo za centralne in necentralne trke. Sedaj nas zanima, katera od zapisanih treh reˇsitev (6), (7) ali (8) dveh enaˇcb z dvema naznankama velja tudi za necentralni trk. Po necentralnem trku se gibljeta obe krogli. Se pravi, da nobena od reˇsitev, ki pravi, da je hitrost krogel po trku enaka niˇc, ni pravilna. Pravilna je reˇsitev, pri kateri sta vektorja hitrosti obeh krogel po trku pravokotna med seboj (8).
Za premislek zapisa omenjenih povezav si nariˇsemo naslednjo sliko 3.
Slika 3: Trenutek necentralnega trka.
Na sliki 3 sta oznaˇcena dva kota. Kot ϕ je kot, pod katerim se po necentralnem trku giblje bela krogla. Kotθ pa je kot, pod katerim se po necentralnem trku giblje rdeˇca krogla. Iz tretje reˇsitve, ki pravi~v1⊥~v2, lahko zapiˇsemo kakˇsna je relacija med kotomaϕin θ
ϕ+θ = 90◦. (11)
Poznamo njuno vsoto, radi pa bi poznali tudi vsakega posebej. ˇZelimo vrednost enega, vrednost drugega dobimo iz prejˇsnje zveze. Opazujmo rdeˇco kroglo po trku in poglejmo kaj ˇse lahko povemo o smeri njenega gibanja po trku. Obravnavamo take trke, za katere velja, da sunek sile, ki jo prejme mirujoˇca krogla, poteka v pravokotni smeri na povrˇsino v toˇcki trka. ˇCe je tako, se zaradi prejetega sunka sile, mirujoˇca krogla zaˇcne gibati v smeri zveznice med teˇziˇsˇci obeh krogel. Ker pa nam je relacija med kotoma, pod katerim se gibljeta obe krogli po trku, znana, vemo da se bela krogla po trku giblje pravokotno na smer gibanja rdeˇce krogle. S tem premislekom lahko na sliki 4 nariˇsemo sile na rdeˇco kroglo med necentralnim trkom.
Najprej smo narisali krogli s srediˇsˇcema in med njima zveznico, ki je dolga 2R. Tej zveznici smo narisali pravokotnico skozi srediˇsˇce prve krogle. Oznaˇcili smo kot ϕ, pod katerim se giblje prva krogla po trku in narisali vpadni parameter b. Potem smo narisali dva podobna trikotnika in oznaˇcili kot ϕ tudi v drugem trikotniku.
Sedaj lahko zapiˇsemo trigonometriˇcno funkcijo kosinus, ki jo za narisana trikotnika zapiˇsemo v naslednji enaˇcbi
cosϕ= b
2R, (12)
kjerϕoznaˇcuje smer gibanja prve krogle po trku,bje vpadni parameter inRpolmer krogel.
Slika 4: Sunek sile na rdeˇco kroglo a) med necentralnim trkom in b) trenutek necen- tralnega trka podrobneje.
V ˇclanku Ameriˇskega ˇcasopisa fizike [3] avtorji zapiˇsejo enak premislek. Zapiˇsejo, kako je kotθ odvisen od vpadnega parametra:
sinθ = b 2R, kar sovpada z naˇso izpeljavo.
Relacije med vpadnim parametrom in koti, ki nastopajo pri gibanju v dveh dimen- zijah, sedaj lahko zapiˇsemo na enem mestu. Kotθ lahko izrazimo s kotomϕ
θ= 90◦−ϕ, (13)
kot ϕpa lahko izrazimo z vpadnim parametrom b ϕ= arccos b
2R. (14)
Do sedaj smo omenili samo primer centralnega sunka bele krogle s palico. Po takem sunku bela krogla ali rdeˇca drsita. Kako pa moramo udariti npr. belo kroglo, ˇce ˇzelimo, da se ˇze od trenutka trka dalje kotali brez drsenja?
Odgovor na to vpraˇsanje sem dobila v reviji Presek [2]. Po obˇcutku vemo, da biljardno kroglo v tem primeru sunemo malo viˇsje od sredine krogle. Da lahko doloˇcimo toˇcno viˇsino takega udarca, moramo krogli ob sunku s palico podeliti gibalno in vrtilno koliˇcino v pravˇsnjem razmerju. Pred udarcem v kroglo, konico palice natremo s kredo, da ne drsi po krogli. Kroglo sunemo v viˇsini r nad njenim teˇziˇsˇcem. Krogla ima po trku gibalno koliˇcino, ki je enaka prejetemu sunku sile
G=F ·∆t.
Obenem ima vrtilno koliˇcino, ki je enaka sunku navora palice glede na vodoravno os skozi teˇziˇsˇce krogle
Γ =M·∆t=r·F ·∆t.
Ko drugo enaˇcbo delimo s prvo, vstavimo enaˇcbo za gibalno koliˇcino G=m·v
in enaˇcbo za vrtilno koliˇcino
Γ =J·ω = 2
5mR2·ω.
Ko upoˇstevamo, da se krogla po trku kotali, dobimo:
r = Γ
G = J·ω m·v =
2
5mR2·ω m·v = 2
5R.
S palico moramo torej suniti v kroglo na sedmih desetinah viˇsine 2R. Prenizek udarec povzroˇci, da krogla po trku drsi ali celo odskoˇci od mize. Nekateri igralci biljarda v posebnih primerih v igri namenoma uporabijo take neˇciste udarce.
Poleg tega tudi rob biljardne mize igra podobno vlogo kot palica. Krogla, ki se pri- kotali do roba, se mora tam odbiti in kotaliti nazaj na igralno povrˇsino. Tako so tudi robovi mize visoki pribliˇzno sedem desetin premera krogle nad igralno povrˇsino. ˇCe bi rob postavili viˇsje, bi krogle od odboju zdrsavale podnje, se zatikale in izgubljale kinetiˇcno energijo. Prenizek rob pa bi povzroˇcil, da bi krogle skakale z mize.
2.2 Premo gibanje teles pred in po trku
V tem poglavju bomo pojasnili gibanje krogel pred in po trku. Vsaka krogla, ki se giblje, se kotali. Ko se krogla kotali, se teˇziˇsˇce premo giblje, poleg tega pa se krogla vrti okoli svojega teˇziˇsˇca. Opis takega gibanja ni enostaven, zato bomo zaˇceli z razlago preprostejˇsih primerov in nato preˇsli do gibanja krogle. Za zaˇcetek si bomo pogledali primer premega gibanja teˇziˇsˇca, ki ga lahko opazujemo pri gibanju hokejskih ploˇsˇckov. Potem si bomo ogledali tudi gibanje krogel.
2.2.1 Hokejski ploˇsˇcek na ledu
Ko hokejski ploˇsˇcek na ledu prejme sunek sile, se zaˇcne njegovo teˇziˇsˇce premikati s konstantno hitrostjo, saj v smeri gibanja na ploˇsˇcek ne deluje nobena zunanja sila, ˇce ni sile trenja ali je zanemarljiva. Slika 5 prikazuje graf hitrosti hokejskega ploˇsˇcka po trku v odvisnosti od ˇcasa za gibanje teles, ˇce ni trenja.
Slika 5: Hitrost v hokejskega ploˇsˇcka na ledu.
2.2.2 Hokejski ploˇsˇcek na na podlagi kjer je trenje
Ko hokejski ploˇsˇcek prejme sunek sile, zaˇcne drseti po podlagi v smeri delovanja sunka sile. Ko se hokejski ploˇsˇcek po trku giblje po povrˇsini s trenjem, potem na ploˇsˇcek deluje sila trenja v nasprotni smeri gibanja. Sila trenja na ploˇsˇcek je konstantna, zato je konstanten tudi pojemek hitrosti ploˇsˇcka. Ploˇsˇcku se torej hitrost enakomerno zmanjˇsuje, dokler se ne ustavi. Slika 6 prikazuje graf hitrosti hokejskega ploˇsˇcka po trku, v odvisnosti od ˇcasa, v okolici s trenjem.
Slika 6: Hitrost v hokejskega ploˇsˇcka na prtu.
2.2.3 Biljardna krogla na ledu
Ko biljardna krogla na ledu prejme sunek sile, se zaˇcne njeno teˇziˇsˇce premo gibati.
Hitrost teˇziˇsˇca se ji ne spreminja, saj nanjo ne deluje nobena zunanja sila. V ideal- nem primeru, ko se krogla giblje po podlagi brez trenja, krogla drsi, njeno gibanje pa se ne spreminja. Graf hitrosti teˇziˇsˇca biljardne krogle na ledu je popolnoma enak kot graf hitrosti hokejskega ploˇsˇcka na ledu na sliki 5.
2.2.4 Biljardna krogla na podlagi kjer je trenje - na tkanini biljardne mize
Tako kot na ploˇsˇcek tudi na biljardno kroglo deluje sila trenja, ˇce se giblje po prtu.
Po sunku sile biljardna krogla najprej drsi kot ploˇsˇcek na prtu. To traja le hip. Tako gibanje, pri katerem se krogla ne kotali, bomo imenovali ˇcisto drsenje. Na kroglo med drsenjem deluje le sila trenja v nasprotni smeri gibanja. To nam nazorno prikaˇze slika 7, kjer so narisane sile, ki delujejo na kroglo med njenim gibanjem (drsenje + kotaljenje).
Slika 7 kaˇze, da pravokotno na smer gibanja krogle na kroglo delujeta dve sili. To sta teˇza Fg in pravokotna sila podlage F⊥. Ti dve sili sta med seboj po velikosti enaki, zato je njuna vsota enaka niˇc. Edina sila, ki na kroglo deluje v smeri gibanja, je sila trenja.
Enako ugotovijo tudi avtorji v ˇclanku [3], saj zapiˇsejo, da kotaljenje z drsenjem povzroˇci na kroglo silo trenja, ki kaˇze nasprotno od smeri gibanja krogle.
Ker na gibajoˇco kroglo deluje le sila trenja, lahko zapiˇsemo 2. Newtonov zakon za gibanje teˇziˇsˇca krogle:
a= Ft
m = kt·F⊥
m = kt·mg
m =kt·g =konst., (15) kjer je a pojemek hitrosti teˇziˇsˇca krogle, m masa krogle, kt koeficient trenja in g teˇznostni pospeˇsek. Pojemek teˇziˇsˇca krogle je konstanten, saj je konstantna sila
Slika 7: Sile na drseˇco kroglo v trenutku, ko se teˇziˇsˇce krogle giblje s hitrostjo~v in se krogla vrti okoli osi, ki poteka skozi njeno teˇziˇsˇce, s kotno hitrostjo ω.
trenjaFt, ki deluje na kroglo med gibanjem. Zaradi pojemka hitrosti teˇziˇsˇca krogle, se hitrost teˇziˇsˇca krogle enakomerno zmanjˇsuje
v(t) = v0−at, (16)
kjer je v0 hitrost teˇziˇsˇca krogle v trenutku, ko je t = 0, t pa je ˇcas, ki poteka od trenutka sunka sile dalje.
Obenem na razseˇzno in togo telo, kot je krogla, deluje tudi navor sile trenja Mt
M~t =~r×F~t, (17)
kjer je~r radij vektor od teˇziˇsˇca krogle do prijemaliˇsˇca sile.
Ob sliki 7 lahko premislimo, kakˇsni so drugi navori. Navor silem·g, ki ga oznaˇcimo Mg, je enak niˇc, ker je roˇcica teˇze glede na os, ki gre skozi teˇziˇsˇce krogle, enaka niˇc.
Navor sile podlage je enak niˇc, saj je sila podlage vzporedna svoji roˇcici, navor pa izraˇcunamo z vektorskim produktom.
Ker sta v naˇsem primeru radij vektor in sila trenja med seboj pravokotni je velikost navora sile trenja kar
Mt =R·Ft, (18)
kjer je R polmer krogle in velja R =|~r|. Navor trenja, ki smo ga zapisali, povzroˇci da se krogla priˇcne vrteti okoli osi, ki gre skozi njeno teˇziˇsˇce. Zato lahko zapiˇsemo 2. Newtonov zakon za vrtenje
α = Mt
J = R·Ft
J , (19)
kjer jeα kotni pospeˇsek ter J vztrajnostni moment krogle za vrtenje okoli osi skozi njeno teˇziˇsˇce,
J = 2 5mR2 in zato
α= 5RFt 2mR2 = 5
2 Ft mR = 5
2 gkt
R , (20)
ker je Ft=konst., zaradi ˇcesar je tudi Mt=konst. in tudiα =konst., torej
ω(t) = ω0+αt, (21)
kjer je ω kotna hitrost krogle in t ˇcas, ki teˇce od trenutka, ko na kroglo priˇcne delovati sila trenja (od trenutka, ko se krogla priˇcne gibati). Kotna hitrost ω0 je kotna hitrost ob ˇcasu t = 0. Ko belo kroglo sunemo centralno, je ω0 = 0. Ob trku krogla prejme samo sunek sile, sunek navora od palice pa je enak niˇc. Zato se takoj potem, ko kroglo sunemo s palico, krogla ne vrti.
Krogla po ˇcistem drsenju takoj preide v drsenje s kotaljenjem. Kotna hitrost krogle med takim gibanjem se s ˇcasom poveˇcuje, hitrost teˇziˇsˇca krogle pa zmanjˇsuje, dokler je sila trenja razliˇcna od niˇc. Kako kotna hitrost naraˇsˇca, lahko grafiˇcno prikaˇzemo z grafom odvisnosti hitrosti od ˇcasa v(t) in grafom produkta polmera krogle s kotno hitrostjo krogle od ˇcasa Rω(t), kar prikazuje slika 8.
Da je zmanjˇsevanje hitrosti teˇziˇsˇca krogle konstantno, smo zapisali ˇze z enaˇcbo hitro- sti krogle (16). Tudi poveˇcevanje kotne hitrosti krogle s polmerom Rje konstantno, saj
Rω =Rαt=R5 2
gkt R t = 5
2at. (22)
Spreminjanje hitrosti in kotne hitrosti krogle traja do trenutka t1, ko krogla drsi z vrtenjem.
Slika 8: Graf hitrosti v in kotne hitrosti ω krogle.
Ob ˇcasut1 krogla preide v ˇcisto kotaljenje. Hitrost teˇziˇsˇca krogle ob ˇcasu t1 postane enaka
v =Rω, (23)
kar je tudi pogoj za ˇcisto kotaljenje.
Tedaj, ko krogla drsi z vrtenjem, kotna hitrost kroglenipovezana s hitrostjo teˇziˇsˇca krogle. Zato je dobro vpeljati nove oznake. Naj bo ω0 kotna hitrost krogle med drsenjem. Kot je ˇze zapisano, je ta enaka niˇc. Hitrost teˇziˇsˇca med drsenjem tako oznaˇcimo z v0, ta je zaˇcetna hitrost. Med ˇcistim kotaljenjem pa oznaˇcimo kotno hitrost z ωk, ter pripadajoˇco oznako za hitrost teˇziˇsˇca krogle pri kotaljenju vk. Za stanje drsenja in kotaljenja oznaˇcimo kotno hitrost z ωin hitrost teˇziˇsˇca zv. Zadnji dve oznaki torej pomenita, da se krogla v obmoˇcju drsenja in kotaljenja vrti s kotno hitrostjoω in drsi s hitrostjo teˇziˇsˇca v.
Medtem, ko krogla opisuje gibanje drsenja z vrtenjem, poglejmo kako se toˇcka, ki je v stiˇciˇsˇcu podlage in povrˇsine krogle, giblje v teˇziˇsˇcnem sistemu krogle glede na laboratorijski sistem. Toˇcka T naj bo na krogli tam, kjer se ta dotika podlage.
Naslednja slika 9 prikazuje poloˇzaj toˇcke T. Poloˇzaj toˇcke T lahko zapiˇsemo vektorsko
~
rT =~r+r~T0, (24)
Slika 9: Poloˇzaj toˇcke T v laboratorijskem sistemu in teˇziˇsˇcnem sistemu krogle.
kjer je~rT vektor od srediˇsˇca laboratorijskega sistema do toˇckeT,~rvektor od srediˇsˇca laboratorijskega sistema do teˇziˇsˇca krogle inr~T0 vektor od srediˇsˇca teˇziˇsˇcnega sistema krogle do toˇcke T.
Hitrost izraˇcunamo z odvodom poti po ˇcasu, torej
~v = d~r dt,
zato lahko zapiˇsemo hitrost toˇcke T, kjer je krogla v stiku s podlago, s predpisom:
~vT = d~r
dt +d ~rT0
dt =~v+v~T0. Hitrost toˇcke T je v smeri osi xpo velikosti enaka
vT =v−ωR, (25)
kjer je hitrostvT relativna hitrost povrˇsine krogle glede na podlago.
Ce je hitrostˇ vT > 0, potem se toˇcka T na krogli giblje v smeri naprej. Sila trenja Ft kaˇze v smeri, ki nasprotuje relativnemu gibanju toˇcke T glede na podlago, torej kaˇze nazaj, zato se bo hitrost teˇziˇsˇca zmanjˇsevala. Ko toˇcka T obmiruje, potem je
v =ωR
ter vT = 0 in sila trenja na kroglo ne deluje veˇc, tako tudi ni navora trenja in ne kotnega pospeˇska ter pojemka krogle. Od takrat naprej se hitrostv in kotna htrost ωne spreminjata veˇc. Graf, ki prikazuje celotno opisano gibanje prikazuje naslednja slika 10, na kateri je prikazano kako se s ˇcasom spreminja hitrostv in kotna hitrost ω krogle.
Na sliki 11 so postopoma narisana stanja krogle, ki prehaja iz ˇcistega drsenja v ˇcisto kotaljenje. Zapisane so tudi vrednosti koliˇcin, ki nastopajo tudi pri prejˇsnji razlagi.
Gibanje krogle, pri katerem se krogla kotali brez drsenja, bomo poimenovali ˇcisto kotaljenje. Vpraˇsanja, ki si jih med takim gibanjem krogle lahko postavimo:
Slika 10: Hitrost teˇziˇsˇca v in kotna hitrost ω biljardne krogle na prtu.
Slika 11: Gibanje bele krogle na zaˇcetku gibanja, to je tik po trku.
• Kolikˇsni sta hitrost v in kotna hitrost ω, ko nastopi ˇcisto kotaljenje?
Ze iz predhodnih pojasnil, vemo kaj se zgodi ob trenutkuˇ t1. Po 2. Newtono- vem zakonu hitrost teˇziˇsˇca krogle v tem trenutku zapiˇsemo kot
v =v0−at1 =vk, (26)
kjer hitrost teˇziˇsˇca oznaˇcimo z vk, saj zapisana zveza velja za hitrost teˇziˇsˇca krogle med ˇcistim kotaljenjem, ki poteka od trenutka t1 dalje. Prav tako v sploˇsnem zapiˇsemo kotno hitrost krogle
ω=αt1 =ωk, (27)
kjer kotno hitrost krogle oznaˇcimo z ωk, saj zveza (27) velja za kotno hitrost krogle med ˇcistim kotaljenjem.
Med ˇcistim kotaljenjem velja tudi zveza med hitrostjo teˇziˇsˇca in kotno hitrostjo krogle
vk =Rωk, (28)
kar pomeni, da lahko z upoˇstevanjem enaˇcbe za kotno hitrost (22) zapiˇsemo
v0−at1 =Rαt1. (29)
Z upoˇstevanjem zveze
Rα= 5 2a spreminjanja kotne hitrosti (23), lahko izpeljemo
v0 −at1 = 5 2at1 v0 = 7
2at1, torej velja
at1 = 2
7v0. (30)
Zdaj lahko zapiˇsemo, s kolikˇsno hitrostjovk se giblje teˇziˇsˇce krogle od trenutka t1 naprej
vk= 7
2at1−at1 = 5
2at1 = 5 2 2
7v0 = 5
7v0, (31)
kjer dobimo razmerje med hitrostjo teˇziˇsˇca krogle takoj po zaˇcetku gibanja v0 pri drsenju in hitrostjo teˇziˇsˇca krogle pri ˇcistem kotaljenju vk. Do zapisanega rezultata smo priˇsli z uporabo 2. Newtonovega zakona.
Ta pojav lahko obravnavamo ˇse na drug naˇcin. Do istega rezultata lahko pridemo z uporabo izrekov o gibalni in vrtilni koliˇcini. Ker sta oba naˇcina elementarna, bomo prikazali ˇse drugega. To je zanimivo tudi iz didaktiˇcnega vidika, saj oba premisleka pripeljeta do istega rezultata. Tudi pri raziskovanju zakonov o izvedenih poskusih, smo se sami ˇzeleli prepriˇcati, da je naˇs rezultat pravilen z veˇc premisleki.
Pri drugem premisleku si lahko pomagamo s sliko 10 odvisnosti kotne hitrosti krogle od ˇcasa. Na sliki je oznaˇcen ˇcas, pri katerem se drseˇci in kotaleˇci krogli spremeni hitrost in preide v ˇcisto kotaljenje. Ta ˇcas je oznaˇcen s t1. Navor, ki je konstanten, deluje na kroglo do ˇcasa t1, zato je sunek navora enak integralu
Z
M dt=Mt·t1.
Sunek navora je enak spremembi vrtilne koliˇcine, ta pa je enaka vrtilni koliˇcini v trenutku t1 (ker je bila ob t= 0 vrtilna koliˇcina enaka niˇc)
Mt·t1 =J·ωk. (32)
Izrek o gibalni koliˇcini, ki pravi, da je sunek sil enak spremembi gibalne koliˇcine, lahko zapiˇsemo z naslednjo enaˇcbo,
Z
Ftdt =Ft·∆t=|∆G|=m(v0−vk), (33) kjer je |∆G| absolutna sprememba gibalne koliˇcine krogle, vk hitrost teˇziˇsˇca krogle v ˇcasu t=t1 in m masa krogle.
Sunek navora (32) in sunek sil (33) lahko zapiˇsemo tudi kot
FtRt1 =J ωk (34)
in
Ftt1 =m(v0−vk). (35) Zapiˇsemo tudi enaˇcbo za kotaljenje, to je zveza med hitrostjo teˇziˇsˇca in kotno hitrostjo krogle (27)
Rωk =vk. Zvezo sunka navora (34) pomnoˇzimo zR, dobimo
FtR2t1 =J Rωk=J vk= 2
5mR2vk. Ko dobljeno zvezo delimo z R2, zapiˇsemo:
Ftt1 = 2
5mvk=mv0−mvk 7
5mvk =mv0
Pokrajˇsamo in dobimo razmerje med hitrostjo krogle med kotaljenjem in hi- trostjo krogle takoj po zaˇcerku gibanja
vk= 5
7v0. (36)
Z razpisovanjem enaˇcbe pri drugem premisleku, smo priˇsli do enostavnega raz- merja hitrosti krogle, ki je preˇsla iz drsenja v ˇcisto kotaljenje. Enako razmerje hitrosti smo dobili tudi pri prvem premisleku.
• Naslednje vpraˇsanje, ki si ga lahko postavimo je, kdaj nastopi ˇcisto kotaljenje (ˇcas t1) in kolikˇsna je razdalja x1, ki jo krogla naredi v ˇ
casu t1?
Ob ˇcasu t1 torej vemo, da velja enaˇcba za kotno hitrost krogle (24). Zvezo, ki jo razpiˇsemo iz enaˇcbe kotne hitrosti krogle, zapiˇsimo z znanimi podatki
α·t1 = 1
R ·(v0−at1),
kar smo storili ˇze pri zvezi (29). ˇZe pri razpisovanju te zveze smo priˇsli do ugotovitve, da
v0 = 7 2at1. Iz zapisanega lahko izrazimo ˇcas, ki ga iˇsˇcemo:
t1 = 2 7v01
a = 2 7
v0
ktg. (37)
Iz zapisane enaˇcbe sledi, da je ˇcas t1 daljˇsi, ˇce je hitrost v0 zelo velika. ˇCase, v katerih krogla pride do ˇcistega kotaljenja, bomo primerjali pri obdelavi po- snetkov, ki sledijo v praktiˇcnem delu diplomskega dela.
Za razdaljo, ki jo krogla naredi v ˇcasu t1, lahko zapiˇsemo enaˇcbo x1 =v0t1− 1
2at21 =v[0, t1]·t1, (38) kjer povpreˇcno vrednost hitrostiv izraˇcunamo kot
v = 1
2(v0+vk), (39)
pri ˇcemer smo upoˇstevali razmerje med hitrostjo pri drsenju in hitrostjo pri ˇ
cistem kotaljenju
v = 1
2 v0+5 7v0
!
= 6
7v0. (40)
Ko poznane koliˇcine vstavimo v enaˇcbo razdalje (38), pridemo do izpeljave x1 = 6
7v0t1 = 6 7v202
7 1
ktg = 12 49
v20
ktg, (41)
kjer razdaljo, ki jo opravi krogla pred ˇcistim kotaljenjem lahko izraˇcunamo z znanimi podatki ali z uporabo integrala.
• Ali je mogoˇc tudi primer vT <0?
Tudi tak primer je moˇzen. Ce jeˇ vT < 0, to pomeni da se toˇcka T giblje relativno glede na podlago nazaj (pri ˇcemer se krogla giblje naprej). Skrajni primer takega gibanja je, ˇce je hitrost teˇziˇsˇca krogle enaka niˇc in kotna hitrost krogle ni enaka niˇc. Takrat se bela krogla hkrati vrti z ω in miruje takoj po trku.
Ker se v naˇsem primeruvT <0 toˇckaT relativno giblje po podlagi, to pomeni, da krogla v tej toˇcki drsi. Torej na kroglo zaradi drsenja na kroglo v toˇcki T priˇcne delovati sila trenja. Ta sila je po smeri nasprotna smeri relativnega gibanja toˇcke T glede na podlago, ampak sedaj povzroˇci pospeˇsevanje krogle.
Sila trenja torej povzroˇci, da se teˇziˇsˇce krogle priˇcne pospeˇsevati, navor sile trenja pa hkrati zavira vrtenje krogle. To pomeni, da je bil prejˇsnja posle- dica sile trenja pojemek teˇziˇsˇca krogle, sedaj pa bo a pospeˇsek teˇziˇsˇca krogle.
Drugaˇcen je v tem primeru po smeri, vendar je po velikosti enak, torej a=ktg.
Kot smo ˇze napisali, se teˇziˇsˇce krogle zaˇcne pospeˇsevati, s tem se ji spreminja hitrost po enaˇcbi
v =v0+at, (42)
kjer je trenutek trka ob ˇcasu t= 0 inv0 hitrost v tem trenutku. Teˇziˇsˇce krogle se v tem trenutku ne premika, torej je hitrost v0 enaka niˇc.
Navor sile trenja
Mt =RFt
zaustavlja vrtenje, zato je α v tem primeru kotni pojemek, ki ima velikost enako kotnemu pojemku zapisanemu pri prejˇsnjem primeru, ko je bil vT >0
α= Mt J = 5
2 Ram mR2 = 5
2 a
R. (43)
Kotna hitrost se zaradi navora trenja zmanjˇsuje
ω=ω0−αt, (44)
kjer je ω0 kotna hitrost krogle tik po trku ob ˇcasu t= 0.
Kotna hitrost se torej med takim gibanjem s ˇcasom zmanjˇsuje, hitrost teˇziˇsˇca krogle pa naraˇsˇca, dokler je sila trenja razliˇcna od niˇc. Kako hitrost teˇziˇsˇca naraˇsˇca in kotna hitrost pada, lahko grafiˇcno ponazorimo z grafom odvisnosti hitrosti od ˇcasav(t) in grafom produkta polmera krogle s kotno hitrostjo krogle od ˇcasa Rω(t),kar prikazuje slika 12.
Slika 12: Gibanje bele krogle pri trku.
Poveˇcevanje hitrosti teˇziˇsˇca krogle je konstantno, kar smo zapisali ˇze pri enaˇcbi hitrosti teˇziˇsˇca krogle (42). Tudi zmanjˇsevanje kotne hitrosti krogle s polme- rom je konstantno, saj je kotni pojemek konstanten.
Spreminjanje hitrosti in kotne hitrosti krogle traja do trenutka t2, ko krogla drsi z vrtenjem. Ob ˇcasu t2 krogla preide v kotaljenje brez drsenja. Z ugoto- vitvami, ki smo jih ˇze zapisali, lahko nariˇsemo celoten potek hitrosti teˇziˇsˇca bele krogle pri trku z rdeˇco kroglo, kar prikazuje slika 13.
Slika 13: Sprememba hitrosti bele kroglev v ˇcistem kotaljenju pri trku z rdeˇco kroglo.
Slika 14: Prikaz kotaljenja bele krogle pred, med in po trku z rdeˇco kroglo.
Nariˇsemo lahko tudi dejanski potek gibanja krogel, narisan na sliki 14.
Ko imamo narisan graf odvisnosti hitrosti od ˇcasa za belo kroglo po trku z rdeˇco kroglo, se vpraˇsamo, kolikˇsna je hitrost bele krogle vk v trenutku t2, in od ˇcesa ter kako je odvisen ˇcast2.
Enaˇcbo, po kateri izraˇcunamo pospeˇsek bele krogle, poznamo ˇze od prej. Na grafu hitrosti bele krogle iz slike 12 smo zapisali kakˇsna je hitrost vk ob ˇcasu t2
vk =Rωk =at2. (45)
Kotno hitrost ob ˇcasu t2 zapiˇsemo s pomoˇcjo enaˇcbe kotne hitrosti (44)
ωk =ω0−αt2, (46)
kjer je ω0 = vR0 in zato
vk =R(v0
R −αt2). (47)
Ko upoˇstevamo ˇse zvezo Rα= 52a, izpeljemo vk =v0− 5
2at2, (48)
vk =v0− 5 2vk vk= 2
7v0.
Dobili smo razmerje med hitrostjo bele kotaleˇce krogle pred in po trku z rdeˇco mirujoˇco kroglo.
Ker nas zanima ˇse, kakˇsen je ˇcas t2, lahko uporabimo zapisano zvezo (45), kjer t2 = vak. ˇCas, ki ga iˇsˇcemo, naj bo odvisen od hitrosti bele krogle pred
trkom in koeficienta trenja, ki ga lahko doloˇcimo na naˇcin, pojasnjen v enem od naslednjih poglavij. Zato zapiˇsemo
t2 = 2 7
v0
a = 2 7
v0
gkt (49)
To enaˇcbo ˇcasa smo ˇze zapisali pri poglavju Kdaj nastopi ˇcisto kotaljenje.
Rezultata sta identiˇcna, saj gre v obeh primerih za enako gibanje.
Do enakih razmerij hitrosti pridejo tudi avtorji v ˇclanku [3]. Da bi zapisano izpe- ljavo lahko preverili z dejanskimi vrednostmi, predlagajo napravo, ki bi natanˇcno in konsistentno poslala belo kroglo proti rdeˇci. Belo kroglo bi tako spustili po klancu iz pleksi stekla. Na mikrometru bi vsakiˇc natanˇcno nastavili rdeˇco kroglo. To kroglo bi pridrˇzal ˇsibek jekleni jeziˇcek, ki stoji vedno na istem mestu, vendar ga odstranijo pred trkom. Uporabijo navadne biljardne krogle.
2.3 Primeri centralnih trkov
Pri naˇsih eksperimentih smo opazovali trke bele, gibajoˇce se krogle, z rdeˇco, mi- rujoˇco. Glede na to, kako se je pred trkom gibala bela krogla, lahko trke razvrstimo v dve skupini: v poˇcasne in hitre.
2.3.1 Poˇcasni centralni trk
Poglejmo primer, ko se bela krogla pred trkom kotalila brez drsenja. Tak primer smo obravnavali pri prejˇsnjem poglavju do tukaj. Graf hitrosti bele krogle v odvisnosti od ˇcasa in graf Rω(t) prikazuje slika 15.
Slika 15: Gibanje bele krogle pri trku z rdeˇco kroglo.
Prav tako lahko grafiˇcno prikaˇzemo gibanje rdeˇce krogle pri trku s kotaleˇco se belo kroglo, kar prikazuje slika 16.
Ker sta masi obeh krogel, ki trˇcita, enaki, in je sunek sile centralen, se bela krogla ob trku za trenutek ustavi. Bela krogla ima tik po trku tako kotno hitrost, kot jo je imela pred trkom, zato se ob trku vrti na mestu, torej njena obodna hitrost v toˇcki T glede na podlago ni enaka niˇc. To velja, ˇce so sile med kroglama centralne, to pomeni, da krogla ob sunku s palico ne prejme sunka navora. Beli krogli se po trku hitrost zaˇcne poveˇcevati, kar prikazuje graf na sliki 15. Rdeˇca krogla, katere graf hitrosti v odvisnosti od ˇcasa je narisan na sliki 16, ima po trku z belo kroglo hitrost bele krogle pred trkom, kar smo pojasnili ˇze pri poglavju 2.1.1 (Centralni trki).
Slika 16: Gibanje rdeˇce krogle pri trku z belo kroglo.
2.3.2 Vmesni reˇzim
V primeru, ko se bela krogla pred trkom v rdeˇco kotali in drsi, je raˇcunanje raz- merja hitrosti bele krogle pred in po trku oteˇzeno. Razmerja ne moremo teoretiˇcno izraˇcunati, saj ne vemo koliko se krogla vrti in koliko drsi. Iz meritev hitrosti v2 bi lahko sklepali na kotno hitrost ω pred trkom. Slika 17 kvalitativno prikazuje graf odvisnosti hitrosti teˇziˇsˇca drseˇce in kotaleˇce bele krogle od ˇcasa, pri trku z rdeˇco kroglo.
Slika 17: Sprememba hitrosti drseˇce in kotaleˇce se bele krogle pri trku z mirujoˇco kroglo.
Ko je bela krogla v drsenju in kotaljenju, teoretiˇcno ne moremo doloˇciti razmerja med kotno hitrostjo krogle in njeno hitrostjo teˇziˇsˇca. Poslediˇcno torej ne moremo doloˇciti razmerja med hitrostjo bele krogle pred trkom in hitrostjo bele krogle po trku z mirujoˇco kroglo.
Na sliki 18 je prikazan graf hitrosti v odvisnosti od ˇcasa, ki se ne razlikuje od prejˇsnjega grafa hitrosti za rdeˇco kroglo, pri trku z belo drseˇco in kotaleˇco kroglo.
Slika 18: Sprememba hitrosti rdeˇce krogle.
2.3.3 Hitri centralni trk
V primeru, ko je bela krogla zelo hitra in drsi proti rdeˇci krogli, po trku bela krogla obmiruje. Opisano gibanje grafiˇcno lahko prikaˇzemo na sliki 19, z grafom odvisnosti hitrosti bele krogle od ˇcasa.
Slika 19: Sprememba hitrosti bele krogle.
Bela krogla je pred trkom zelo hitra, zato je ˇcas do trka tt zelo majhen. Majhen je tudi sunek sile trenja
Fttt = ∆G in sunek navora
Mttt= ∆Γ.
Ker je sunek navora majhen, je majhna tudi kotna hitrost, oziroma
∆Γ = J ω
inω ∼0. Tako se po trku bela krogla ne giblje in ne vrti.
Graf hitrosti rdeˇce krogle v odvisnosti od ˇcasa prikazuje slika 20.
Slika 20: Sprememba hitrosti rdeˇce krogle.
2.4 Doloˇ canje trenja podlage
Velikost trenja podlage, kjer se dogajajo trki biljardnih krogel, lahko doloˇcimo iz analize gibanja krogel pri centralnem in necentralnem trku. Pogledali si bomo obe moˇznosti.
2.4.1 Trenje pri centralnih trkih
Koeficient trenja dobimo iz pospeˇskov bele krogle (a1) in rdeˇce krogle (a2), pospeˇske pa dobimo iz meritev.
Kako iz doloˇcenega pospeˇska krogle doloˇciti trenje? ˇZe pri zvezi (15) imamo zapisano razmerje med pospeˇskom in koeficientom trenja podlage
kt= a
g, (50)
kjer je vrednost teˇznostnega pospeˇska g = 9,81 ms2 . Z vrednostima a1 in a2 lahko doloˇcimo koeficient trenja na dva naˇcina.
2.4.2 Trenje pri necentralnih trkih
Trenje podlage pri necentralnih trkih doloˇcimo tako, da opazujemo samo gibajoˇco (belo) kroglo po trku (naˇsa odloˇcitev). Za doloˇcitev trenja podlage potrebujemo vrednosti pospeˇskov te krogle vx iny smeri:
• pospeˇsek bele krogle v x smeri - ax
• pospeˇsek bele krogle v y smeri - ay
Enaˇcba, s katero pridemo do pospeˇska bele krogle po trku, zapiˇsemo
a2 =ax2+ay2, (51)
kjer je a pospeˇsek bele krogle po trku. Za izraˇcun koeficienta trenja podlage nato uporabimo enaˇcbo koeficienta trenja (50).
3 Praktiˇ cni del
Pri praktiˇcnem delu diplomskega dela smo izvajali poskuse z biljardnimi kroglami in hitro kamero. Hitro kamero smo postavili nad mestom trka, tako da je posnela gibanje krogel pred, med in po trku. S programom Tracker sem obdelala vse po- snetke in meritve dobljene iz posnetkov primerjala s teoretiˇcnimi izraˇcuni, katerih izpeljave so zapisane v poglavju 2 (Trki dveh teles).
Tako kot smo mi postavili kamero, so jo postavili tudi avtorji v ˇclanku [4]. Tudi v tem ˇclanku je zapisano, kako se kroglam spremeni hitrost ob trku. Opazovali so sicer trk ob rob biljardne mize, vendar priˇsli do enakega razmerja hitrosti kot v tem diplomskem delu. Tudi grafi hitrosti v odvisnosti od ˇcasa so enaki kot sledijo v nadaljevanju, prav tako so enako podobna odstopanja teoretiˇcnih vrednosti od dejanskih, kljub temu, da so imeli boljˇso postavitev kamere in boljˇso vidljivost, osvetlitev.
3.1 Posnetek in obdelava centralnega trka biljardnih krogel
ˇZe pri poglavju 2.3. smo opisali, kakˇsne centralne trke poznamo. Da bomo lahko primerjali dejanske vrednosti s teoretiˇcnimi, si bomo pogledali le hitre in poˇcasne centralne trke.
3.1.1 Hitri centralni trk
Krogli, ki nastopata pri hitrem centralnem trku, ˇze poznamo. To sta bela in rdeˇca krogla, ki imata enak polmer in enako maso. Na sliki 21 je prikazana postavitev krogel in palice, s katero sunemo belo kroglo.
Slika 21: Slika krogel pri centralnem trku.
S pomoˇcjo programa Tracker smo obdelali posnetek, pri katerem je drseˇca krogla trˇcila v mirujoˇco rdeˇco. Obdelan posnetek trka prikazuje naslednja slika 22.
Kot je iz posnetka razvidno, je bilo potrebno doloˇciti koordinatni sistem z enotami ter dve sledilni toˇcki, to sta bili kar obe krogli. Ko doloˇcimo potrebne parametre, sam program Tracker izriˇse grafe poti v odvisnosti od ˇcasa. Poleg tega izriˇse tudi graf hitrosti v odvisnosti od ˇcasa, kar prikazuje slika 23.
Z grafa hitrosti na sliki 23 lahko takoj odˇcitamo, v katerem trenutku se je zgodil trk. Trk se je v naˇsem primeru zgodil ob ˇcasu:
t= 0,16 s.
Slika 22: Obdelan posnetek hitrega centralnega trka.
Slika 23: Graf odvisnosti hitrosti a) bele krogle in b) rdeˇce krogle od ˇcasa pri hitrem centralnem trku.
Graf prikazuje, kako se bela krogla giblje pri trku z rdeˇco kroglo in kako se rdeˇca krogla giblje po trku z belo kroglo. Pred trkom se je bela krogla gibala enakomerno pojemajoˇce, ker jo je trenje ustavljalo. Bela krogla v tem delu gibanja pred trkom drsi. S kakˇsno hitrostjo bela krogla trˇci v rdeˇco, lahko preberemo z a) grafa hitrosti bele krogle:
Hitrost bele krogle pred trkom: v1 = 1,8 m/s.
Ker ima rdeˇca krogla enako maso kot bela krogla, se je bela krogla ustavila. Svoje poti ni nadaljevala naprej, saj pred trkom ni imela kotne hitrosti, oziroma se ni vrtela. Tak primer trka krogel smo opisali v poglavju 2.3.3..
Graf hitrosti b) na sliki 23 prikazuje kako se rdeˇca krogla giblje potem, ko vanjo trˇci hitra bela krogla. Pred trkom je rdeˇca krogla res mirovala. Z b) grafa hitrosti rdeˇce krogle lahko odˇcitamo hitrost rdeˇce krogle po trku:
v10 = 1,8 m/s.
Ko se je trk zgodil, se je torej rdeˇca krogla zaˇcela gibati s hitrostjo bele krogle pred trkom.
Ker je rdeˇca krogla po trku z belo drsela, se je njena hitrost manjˇsala, kot prikazuje del grafa po trku na sliki b) hitrosti rdeˇce krogle. Na tem delu grafa opazimo tudi obmoˇcje, kjer se hitrost rdeˇce krogle preneha spreminjati. Primer takega gibanja krogel smo opisali v poglavju 2.2.4 (Gibanje biljardne krogle na podlagi s trenjem).
Ker vemo, kako teoretiˇcno doloˇciti hitrost rdeˇce krogle med ˇcistim kotaljenjem s poznavanjem hitrosti rdeˇce krogle med ˇcistim drsenjem, lahko primerjamo teoretiˇcni izraˇcun z dejansko vrednostjo, ki jo lahko odˇcitamo iz grafa na sliki 23.
Konstantna hitrost, ki jo je imela rdeˇca krogla med kotaljenjem, z grafa b) na sliki 23:
v20 = 1,25 m/s.
Da doloˇcimo hitrost rdeˇce krogle med ˇcistim kotaljenjem, potrebujemo vrednost hitrosti rdeˇce krogle med ˇcistim drsenjem:
v1=1,8 m/s.
Razmerje hitrosti, ki smo ga teoretiˇcno doloˇcili pri enaˇcbi (31), je:
v1 v02,teorija
= 7 5.
Z upoˇstevanjem zapisanega lahko teoretiˇcno doloˇcimo hitrost krogle med ˇcistim ko- taljenjem:
v20,teorija= 1,29 m/s.
Teoretiˇcno in dejansko vrednost sedaj zapiˇsemo in doloˇcimo odstopanje. Odstopanje doloˇcim s pomoˇcjo obrazca doloˇcanja napake dveh vrednosti:
odstopanje= |v02−v20,teorija|
(v02+v2,teorija0 ), (52)
kjer izraˇcunano ˇstevilo pomnoˇzimo ˇse s 100 %.
Izraˇcune z napako napiˇsem v tabeli 1.
Odstopanje teoretiˇcne vrednosti od dejanske je zelo majhno in sicer 2 %.
V kolikˇsnem ˇcasu po trku pride rdeˇca krogla do kotaljenja brez drsenja, lahko pre- beremo z grafa b) na sliki 23:
t02= 0,27 s.
Tabela 1: Hitrost rdeˇce krogle med ˇcistim kotaljenjem v02 [ ms ] v02,teorija [ ms ] odstopanje [ %]
hitri centralni trk 1,25 1,29 2
Ko doloˇcimo koeficient trenja podlage kt, lahko takoj primerjamo dejansko in teo- retiˇcno vrednost ˇcasa t02, v katerem rdeˇca krogla preide iz drsenja v ˇcisto kotaljenje.
Zato najprej izraˇcunamo koeficient trenja podlage. Tako kot smo ˇze zapisali pri poglavju 2.4.1., lahko pri centralnih trkih doloˇcimo trenje na naslednji naˇcin:
kt= a g
Program Tracker nam izriˇse tudi grafe pospeˇskov. Slika 24 prikazuje graf odvisnosti pospeˇska bele krogle od ˇcasa. Slika 25 pa prikazuje graf odvisnosti pospeˇska rdeˇce krogle od ˇcasa.
Slika 24: Graf odvisnosti pospeˇska od ˇcasa za belo kroglo pri hitrem centralnem trku.
Doloˇcene vrednosti pospeˇskov krogel zapiˇsemo v tabeli 2.
Tabela 2: Koeficient trenja pri hitrem centralnem trku
krogla a [ms2] kt
bela 2,5 0,25
rdeˇca 2,4 0,24
povpreˇcni koeficient trenja 0,25
Sedaj lahko tudi teoretiˇcno doloˇcimo ˇcast02,teorija. Izraˇcunamo ga po enaˇcbi (37):
t02,teorija = 2 7· v1
gkt = 2
7· 1,8 s
9,81·0,25 = 0,21 s.
Slika 25: Graf odvisnosti pospeˇska od ˇcasa za rdeˇco kroglo pri hitrem centralnem trku.
Z grafa hitrosti za b) rdeˇco kroglo med hitrim centralnim trkom lahko odˇcitamo, da je ˇcas enak:
t02 = 0,26 s.
Podatke o ˇcasu t02 z odstopanjem zapiˇsemo v tabeli 3.
Tabela 3: ˇCas, ki ga potrebuje rdeˇca krogla, da pride v ˇcisto kotaljenje t02 [ s] t02,teorija [ s] odstopanje [ %]
hitri centralni trk 0,27 0,21 12
Odstopanje med dejanskim in teoretiˇcnim ˇcasom je kar veliko, 12 %. Napaka je veˇcja, saj smo tudi velikost koeficienta trenja pridobili z zgolj dvema podatkoma.
Izraˇcunamo lahko tudi pot, ki jo opravi rdeˇca krogla v ˇcasu t02, ki jo izraˇcunamo po enaˇcbi (41):
x02,teorija= 12
49· (v1)2 ktg = 12
49· (1,8)2m
9,81·0,25 = 0,32 m
S pomoˇcjo grafa odvisnosti razdalje rdeˇce krogle od ˇcasa, ki ga prikazuje slika 26, lahko doloˇcimo dejansko razdaljo, ki jo je opravila rdeˇca krogla v ˇcasu t02 = 0,21 s od trenutka trka:
x02 = 0,33 m
Podatke o razdalji x02 zapiˇsemo v tabeli 4.
Tabela 4: Razdalja, ki jo opravi rdeˇca krogla v ˇcasu t02 x02 [ m] x02,teorija [ m] odstopanje [ %]
hitri centralni trk 0,33 0,32 1
Slika 26: Graf odvisnosti razdalje od ˇcasa za rdeˇco kroglo.
Odstopanje je zelo majhno, 1 %. Napako smo pridobili pri doloˇcanju koeficienta trenja.
3.1.2 Poˇcasni centralni trk
Slika, ki prikazuje belo in rdeˇco kroglo pred poˇcasnim centralnim trkom je popol- noma enaka sliki krogel pred hitrim centralnim trkom (slika 21). Tako kot pri hitrem centralnem trku, tudi pri poˇcasnem centralnem trku obdelamo posnetek s progra- mom Tracker. Tak posnetek prikazuje slika 27.
Slika 27: Obdelan posnetek poˇcasnega centralnega trka.
Graf a) na sliki 28 prikazuje kako se bela krogla giblje pri poˇcasnem trku z rdeˇco kroglo in b) kako se giblje rdeˇca krogla pri poˇcasnem centralnem trku z belo kroglo.
Po sunku s palico je bela krogla drsela do nekega trenutka. ˇCas tega trenutka lahko odˇcitamo iz grafa a) na sliki 28:
t1 = 0,19 s.
Od trenutka t1 dalje se je bela krogla kotalila brez drsenja, dokler ni trˇcila v rdeˇco kroglo. Tudi trenutek trka lahko doloˇcimo iz grafa na sliki 28:
t2 = 0,29 s.
Tako gibanje krogle smo obrazloˇzili pri poglavju 2.2.4 (Gibanje biljardne krogle na podlagi s trenjem). Ker lahko teoretiˇcno izraˇcunamo vrednost hitrosti bele krogle med ˇcistim kotaljenjem, bomo doloˇcili odstopanje te vrednosti od dejanske. Dejan- sko vrednost hitrosti bele krogle pri kotaljenju brez drsenja preberemo iz grafa a) na sliki 28:
Slika 28: Graf odvisnosti hitrosti a) bele krogle in b) rdeˇce krogle od ˇcasa pri poˇcasnem centralnem trku.
v1 = 0,90 m/s.
Za izraˇcun teoretiˇcne vrednosti hitrosti bele krogle med kotaljenjem potrebujemo vrednost hitrosti bele krogle med drsenjem:
v0= 1,33 m/s .
Z razmerjem hitrosti, ki smo ga doloˇcili prej, izraˇcunamo, da je teoretiˇcna vrednost hitrosti bele krogle med ˇcistim kotaljenjem enaka:
v1,teorija= 0,95 m/s.
Teoretiˇcno in dejansko vrednost hitrosti bele krogle med ˇcistim kotaljenjem lahko primerjamo z obrazcem za doloˇcanja napake dveh vrednosti (54). Izraˇcune z napako
napiˇsem v tabeli 5.
Tabela 5: Hitrost bele krogle med ˇcistim kotaljenjem v1 [ ms ] v1,teorija [ ms ] odstopanje [ %]
poˇcasni centralni trk 0,90 0,95 3
Odstopanje teoretiˇcne vrednosti od dejanske je zelo majhno, 3 %.
Iz grafa odvisnosti hitrosti bele krogle od ˇcasa lahko opazimo del krivulje gibanja krogle, katero smo opisali pri poglavju 2.3.1. Hitrost bele krogle pred trkom z rdeˇco kroglo lahko odˇcitamo iz grafa a) na sliki 28:
v1 = 0,90 m/s.
To hitrost bele krogle potrebujemo, ˇce ˇzelimo izraˇcunati teoretiˇcno vrednost bele krogle po trku z rdeˇco kroglo pri poˇcasnem centralnem trku. Dejanska vrednost bele krogle po trku z rdeˇco je z grafa a) na sliki 28 enaka:
v2 = 0,23 m/s.
Z enaˇcbo (48) smo zapisali razmerje med hitrostjo bele krogle pred in po poˇcasnem trku z rdeˇco kroglo:
v2 v1 = 2
7.
S pomoˇcjo zapisanega razmerja lahko izraˇcunamo teoretiˇcno vrednost bele krogle po trku: v2,teorija = 0,26 m/s
Teoretiˇcno in dejansko vrednost ter napako zapiˇsemo v tabeli 6.
Tabela 6: Hitrost bele krogle pri trku z rdeˇco kroglo v2 [ ms ] v2,teorija [ ms ] odstopanje [ %]
poˇcasni centralni trk 0,23 0,26 6
Odstopanje teoretiˇcne vrednosti od dejanske je majhno, 6 %.
Doloˇcili smo ˇze ˇcast1, sedaj ga ˇzelimo primerjati s teoretiˇcno vrednostjo. ˇCas, ki ga ˇzelimo primerjati, izraˇcunamo po enaˇcbi (37). ˇCas, ki ga teoretiˇcno izraˇcunamo, je enak:
t1,teorija = 2 7· v0
gkt = 2
7· 1,33 m
9,81·0,25 = 0,15 s,
kjer smo koeficient trenjaktdoloˇcili s pomoˇcjo obdelave hitrega centralnega trka pri prejˇsnjem poglavju.
Podatke o ˇcasu t1 z odstopanjem zapiˇsemo v tabeli 7.
Tabela 7: ˇCas, ki ga potrebuje bela krogla, da pride v ˇcisto kotaljenje t1 [ s] t1,teorija [ s] odstopanje [ %]
poˇcasni centralni trk 0,19 0,15 12
Odstopanje med dejanskim in teoretiˇcnim ˇcasom je kar veliko, 12 %. Napaka je veˇcja, saj smo tudi velikost koeficienta trenja pridobili zgolj z dvema podatkoma.
Pri primeru, ki ga obdelujemo, lahko tudi doloˇcimo, kolikˇsno pot opravi bela krogla v ˇcasu t1, kar izraˇcunamo po enaˇcbi (41):
x1,teorija= 12
49· (v0)2 ktg = 12
49· (1,33)2m
9,81·0,25 = 0,18 m
S pomoˇcjo grafa odvisnosti razdalje za belo kroglo od ˇcasa, ki ga prikazuje slika 29, lahko doloˇcimo dejansko razdaljo, ki jo je bela krogla opravila v ˇcasu t1 :
x1 = 0,22 m
Slika 29: Graf odvisnosti razdalje od ˇcasa za belo kroglo pri poˇcasnem centralnem trku.
Podatke o razdalji x1 zapiˇsemo v tabeli 8.
Tabela 8: Razdalja, ki jo opravi bela krogla v ˇcasu t1 x1 [ m] x1,teorija [ m] odstopanje [ %]
poˇcasni centralni trk 0,22 0,18 10
Odstopanje ni tako majhno, 10 %.
Z grafa b) na sliki 28 lahko doloˇcimo trenutek t02, pri katerem se zaˇcne rdeˇca krogla kotaliti brez drsenja po trku:
t02 = 0,15 s
Sedaj ga ˇzelimo primerjati s teoretiˇcno vrednostjo. Izrˇcunamo ga po enaˇcbi (37):
t02,teorija = 2 7· v1
gkt = 2
7· 0,90 s
9,81·0,25 = 0,10 s, Podatke o ˇcasu t02 z odstopanjem zapiˇsemo v tabeli 9.
Odstopanje med dejanskim in teoretiˇcnim ˇcasom je kar veliko, 20 %. Napaka je veˇcja zaradi nenatanˇcnosti meritve (Slika 28, graf b)).
Tabela 9: ˇCas, ki ga potrebuje rdeˇca krogla, da pride v ˇcisto kotaljenje t02 [ s] t02,teorija [ s] odstopanje [ %]
poˇcasni centralni trk 0,15 0,10 20
Pot, ki jo opravi rdeˇca krogla v ˇcasu t02, lahko izraˇcunamo po enaˇcbi (41):
x02,teorija= 12
49· (v1)2 ktg = 12
49· (0,90)2m
9,81·0,25 = 0,08 m
S pomoˇcjo grafa odvisnosti razdalje rdeˇce krogle od ˇcasa, ki ga prikazuje slika 30, lahko doloˇcimo dejansko razdaljo, ki jo je opravila rdeˇca krogla v ˇcasu t02 :
x02 = 0,11 m
Slika 30: Graf odvisnosti razdalje od ˇcasa za rdeˇco kroglo pri poˇcasnem centralnem trku.
Podatke o razdalji x02 zapiˇsemo v tabeli 10.
Tabela 10: Razdalja, ki jo opravi rdeˇca krogla v ˇcasu t02 x02 [ m] x02,teorija [ m] odstopanje [ %]
poˇcasni centralni trk 0,11 0,08 16
Odstopanje je veliko, 16 %. Napako smo pridobili pri doloˇcanju koeficienta trenja.
3.2 Posnetek in obdelava necentralnega trka biljardnih kro- gel
Necentralnih trkov ne bomo obravnavali razdeljeno, ampak si bomo postopoma po- gledali znaˇcilno fizikalno dogajanje pri takem pojavu.
3.2.1 Skupni kot po trku
Pri poglavju 2.1.2 (Necentralni trki), smo prikazali definicijo necentralnega trka in kako poteka tak trk. Doloˇcili smo vpadni parameter in kote, pod katerimi se posamezna krogla giblje po trku. Kot pod katerim se bela krogla gbilje po trku smo oznaˇcili s ϕ. Kot pod katerim se rdeˇca krogla giblje po trku smo oznaˇcili z θ. Pri prej omenjenem poglavju smo zapisali tudi zvezo med kotoma:
ϕ+θ = 90◦.
Da preverimo pravilnost naˇse izpeljave, lahko pogledamo veˇc posnetkov necentralnih trkov, kar prikazuje naslednja slika 31.
Slika 31: Vrednosti kotov krogel pri odboju po necentralnem trku.
Vsoto kotov zapiˇsemo v tabelo 11.
Tabela 11: Vsota kotov ϕin θ
ϕ [◦] θ [◦] ϕ+θ [◦]
a) 40,8 46,9 87,7
b) 49,8 36,7 86,5
c) 36,2 52,0 88,2
d) 30,9 56,7 87,8
povpreˇcna vrednost vsote 87,6
S povpreˇcno vrednostjo vsote kotov in teoretiˇcno vrednostjo vsote kotov lahko izraˇcunamo napako:
napaka= |90◦−87,6◦|
(90◦ + 87,6◦)·100 % = 1 % Napaka je majhna, samo 1 %.
3.2.2 Ohranitev gibalne koliˇcine
Pri poglavju 2.1. (Trk) smo za centralne in necentralne trke izpeljali ohranitev gibalne koliˇcine. Ohranitev gibalne koliˇcine lahko zapiˇsemo:
~
v10 =~v1+~v2.
Gibalna koliˇcina se pri necentralnih trkih ohranja, ˇce je vsota ϕ+θ enaka 90◦. Pri prejˇsnjem poglavju smo pokazali, da je vsota kotov enako (ϕ+θ) = 90◦(1±0,01), torej lahko reˇcemo, da se gibalna koliˇcina pri necentralnih trkih ohranja, ˇce se seveda ohranja tudi kinetiˇcna energija.
Zelo nazorno lahko ohranitev gibalne koliˇcine prikaˇzemo tudi ob posnetku necen- tralnega trka, na katerem sta zapisani sledi gibanja obeh krogel pred trkom in malo po njem. Tak trk kaˇze slika 32. Posnetek ustreza trenutku t= 0,05 s. Gibanje bele krogle pred trkom je vzdolˇz osix. Pred trkom je gibalna koliˇcina sistema obeh krogel enaka gibalni koliˇcini bele krogle (rdeˇca miruje), ki ima lex- komponento. Pri trku se gibalna koliˇcina ohranja, zato je tudi po trku skupna gibalna koliˇcina obeh krogel samo v smeri osix. Po trku se gibljeta obe krogli tako, da imata vsaka zase tudi y - komponento gibalne koliˇcine. Ker pa se pri trku skupna gibalna koliˇcina ohranja, mora za velikostiy - komponent gibalnih koliˇcin obeh krogel veljati
−G1,y =G2,y.
Ker sta masi obeh krogel enaki, to pomeni, da se od x osi oddaljujeta z enakima hitrostima
−v1,y =v2,y.
Z oddaljevanjem sta obe priˇceli v trenutku trka, na posnetku pa sta, kot lahko opazimo, od x osi res enako oddaljeni. To potrjuje, kar smo zapisali prej, y - komponenti gibalnih koliˇcin obeh krogel sta po velikosti enaki, po predznaku pa razliˇcni, zato je njuna vsota 0.
Slika 32: Ohranitev gibalne koliˇcine v y smeri pri necentralnem trku.
Po drugi strani pa zax - komponente gibalnih koliˇcin velja G0 =G1,x+G2,x.
