JanGruˇsovnik Topoloˇskaoptimizacijaokvirjabrezpilotnegazrakoplova

(1)

UNIVERZA V LJUBLJANI Fakulteta za strojniˇstvo

Topoloˇ ska optimizacija okvirja brezpilotnega zrakoplova

Zakljuˇ cna naloga Univerzitetnega ˇstudijskega programa I. stopnje Strojniˇstvo - Razvojno raziskovalni program

Jan Gruˇ sovnik

(2)

(3)

UNIVERZA V LJUBLJANI Fakulteta za strojniˇstvo

Topoloˇ ska optimizacija okvirja brezpilotnega zrakoplova

Zakljuˇ cna naloga Univerzitetnega ˇstudijskega programa I. stopnje Strojniˇstvo - Razvojno raziskovalni program

Jan Gruˇ sovnik

Mentor: izr. prof. dr. Gregor ˇ Cepon, univ. dipl. inˇ z.

(4)

(5)

(6)

Zahvala

Rad bi se zahvalil svojemu mentorju izr. prof. dr. Gregorju ˇCeponu za pomoˇc pri izbiri naloge in za stalno svetovanje tekom pisanja. Omogoˇcili ste mi razvoj in raziskovanje v panogi, kateri posveˇcam velik del svojega prostega ˇcasa. Iskreno se zahvaljujem tudi svoji druˇzini, punci Ini ter vsem kolegom, ki jih tukaj nisem imenoval, so mi pa stali ob strani in me podpirali tekom ˇstudija.

iv

(7)

(8)

Izvleˇ cek

UDK 519.61:629.014.9:539.4(043.2) Tek. ˇstev.: [UN I/1558]

Topoloˇ ska optimizacija okvirja brezpilotnega zrakoplova

Jan Gruˇsovnik

Kljuˇcne besede: topoloˇska optimizacija trdnostna analiza brezpilotni zrakoplov metoda konˇcnih elementov okvir

3D tiskanje

Delo obravnava topoloˇsko optimizacijo okvirja tekmovalnega brezpilotnega zrakoplova.

Predstavljen je enoosno obremenjen konstrukcijski element, ˇcigar fizikalni model predstavlja osnovo za izpeljavo vodilne enaˇcbe problema. Ta je nato prevedena v integralsko formulacijo, na podlagi katere je izpeljana enaˇcba konˇcnega elementa. Izdelana je zaˇcetna geometrija, znotraj katere je izvedena topoloˇska optimizacija preko metode SIMP. Optimirana geometrija je validirana z numeriˇcno trdnostno analizo. Rezultat dela je topoloˇsko optimiran in za 3D tisk pripravljen okvir dirkalnega letalnika, katerega masa je manjˇsa od mase komercialnih okvirjev na trgu.

vi

(9)

Abstract

UDC 519.61:629.014.9:539.4(043.2) No.: [UN I/1558]

Topology optimisation of a racing drone frame

Jan Gruˇsovnik

Key words: topology optimization structural analysis unmanned aerial vehicle finite element method frame

3D printing

The presented work deals with a topological optimization of a racing drone frame.

An uniaxially loaded structural element is presented, of which the physical model represents the basis for differential equation derivation. Equation is then translated into variational formulation, on the basis of which the finite element equation is derived. The initial geometry is made, within which the topological optimization is performed via SIMP method. The optimized geometry is validated with numerical static structural analysis. The result of the work is a topologically optimized and 3D printing ready racing drone frame, the mass of which is less than the mass of commercial frames on the market.

(10)

Kazalo

Kazalo slik . . . ix

Kazalo preglednic . . . x

Seznam uporabljenih simbolov . . . xi

Seznam uporabljenih okrajˇsav . . . xii

1 Uvod . . . 1

1.1 Ozadje problema . . . 1

1.2 Cilji naloge . . . 1

2 Teoretiˇcne osnove in pregled literature . . . 2

2.1 Metoda konˇcnih elementov . . . 2

2.1.1 Izpeljava vodilne enaˇcbe na primeru 1D konstrukcijskega elementa 2 2.1.2 Integralska variacijska formulacija . . . 7

2.1.3 Izpeljava 2-vozliˇsˇcnega konˇcnega elementa . . . 9

2.2 Topoloˇska optimizacija . . . 12

3 Metodologija raziskave . . . 15

3.1 Zasnova izhodiˇsˇcnega okvirja . . . 15

3.2 Topoloˇska optimizacija . . . 16

3.3 Trdnostna analiza . . . 19

4 Rezultati . . . 21

5 Diskusija . . . 23

6 Zakljuˇcki . . . 25

Literatura . . . 26

viii

(11)

Kazalo slik

Slika 2.1: Enoosno obremenjen konstrukcijski element. . . 3

Slika 2.2: Diferencialno majhen delˇcek konstrukcijskega elementa. . . 3

Slika 2.3: Statiˇcno ravnoteˇzje sil. . . 3

Slika 2.4: Sprememba dolˇzine diferencialnega delca zaradi deformacije. . . 4

Slika 2.5: Primer diskretizacije konstrukcijskega elementa. . . 9

Slika 2.6: Dvovozliˇsˇcni konˇcni element. . . 9

Slika 2.7: (a) Oblikovna funkcija ψˆ 0 in (b) oblikovna funkcija ψˆ 1 . . . 10

Slika 2.8: ISE topologija. . . 12

Slika 2.9: (a) Optimizacija s faktorjem p = 1 in (b) optimizacija s faktorjem p= 3 [6]. . . 13

Slika 3.1: Zaˇcetna geometrija okvirja. . . 15

Slika 3.2: Doloˇcitev izkljuˇcenih obmoˇcij (ang. non design space). . . 16

Slika 3.3: Sila zaradi potiska propelerjev. . . 17

Slika 3.4: Vpetje namenjeno elektronskim komponentam in bateriji. . . 17

Slika 3.5: Urejanje povrˇsin optimiranega modela. . . 18

Slika 3.6: Topoloˇsko optimirana geometrija okvirja drona. . . 18

Slika 3.7: Definiranje materialnih lastnosti v programu Ansys. . . 19

Slika 3.8: Zamreˇzena geometrija. . . 20

Slika 4.1: Primerjalne napetosti po Von Misesu. . . 21

Slika 4.2: Deformacija od zaˇcetne lege. . . 22

(12)

Kazalo preglednic

Preglednica 3.1: Mehanske lastnosti materiala PA12 + CF15 [7]. . . 19 Preglednica 3.2: Termiˇcne lastnosti materiala PA12 + CF15 [7]. . . 19

x

(13)

Seznam uporabljenih simbolov

Oznaka Enota Pomen

L m dolˇzina

T K temperatura

E N/mm² modul elastiˇcnosti

n(x) N/m porazdeljena obremenitev

N N notranja osna sila

A(x) mm² preˇcni prerez

x, y, z koordinatne osi v kartezijevem koordinatnem sistemu

D, d diferencialna operatorja

u(x) funkcija vozliˇsˇcnih pomikov

a, c koeficienti

U globalni vozliˇsˇcni pomiki

F N rezultanta prispevkov obremenitev, sila

p faktor penalizacije

K globalna togostna matrika

C proˇznost

v mm³ volumen konˇcnega elementa

M kg globalna masa

Rp MPa natezna trdnost

KCU kJ/m² udarna ˇzilavost

α m/mK temperaturni razteznostni koeficient

ψ oblikovna funkcija

δ Kroneckerjev delta tenzor

σ napetostni tenzor

ϑ Poissonovo ˇstevilo

ε deformacijski tenzor

ρ kg/m³ gostota

Indeksi

min minimalni

c ciljna

i, j, k sploˇsno uporabljeni indeksi

tal taljenja

(14)

Seznam uporabljenih okrajˇ sav

Okrajˇsava Pomen

FPV prvoosebni pogled (ang. f irst person view) 3D trirazseˇzni prostor

ISE metoda topoloˇske optimizacije ISE (ang. Isotropic Solid and Empty) PDE parcialna diferencialna enaˇcba

MKE metoda konˇcnih elementov

SIMP topoloˇska metoda s faktorjem penalizacije (ang. Solid Isotropic M icrostructures with P enalization)

LiPo litij-polimer (ang. Lithium P olymer)

FDM tehnologija 3D printanja, nalaganje s spajanjem (ang. F used Deposition M odeling)

PA poliamid (ang. P olyamide)

CF ogljikova vlakna (ang. Carbon F iber)

BLDC brezkrtaˇcni elektromotor na enosmerno napetost (ang. Brushless Direct Current Electric M otor)

xii

(15)

1 Uvod

1.1 Ozadje problema

Tekmovanje z dirkalnimi brezpilotnimi zrakoplovi v prvoosebnem naˇcinu letenja (ang.

F P V drone racing) je relativno nov ˇsport, ki se pospeˇseno razvija od prvih dirk v Nemˇciji leta 2011. Piloti preko radijske povezave upravljajo lahke letalnike, katerih standardna velikost okvirjev omogoˇca uporabo propelerjev premera 5 inchev. Brez- pilotni zrakoplovi (v nadaljevanju droni) so opremljeni s kamerami, ki neposredno prenaˇsajo sliko na zaslone oˇcal, preko katerih piloti spremljajo dogajanje iz perspek- tive svojega drona. Cilj je v najkrajˇsem ˇcasu odpeljati doloˇceno ˇstevilo krogov po zastavljeni progi. Takˇsni droni dosegajo hitrosti preko 150 km/h v ozkih prostorih, kar zahteva od pilotov tako visok nivo motoriˇcnih sposobnosti, kot tudi dovrˇseno elektriˇcno in mehansko opremo na letalnikih.

1.2 Cilji naloge

Ker je stopnja manevrskih sposobnosti dirkanih dronov pogojena tudi z maso, se bomo v sklopu te zakljuˇcne naloge osredotoˇcili na zmanjˇsanje mase okvirja drona, pri ˇcemer pa bo moral ˇse vseeno zadostovati predpostavljenim obremenitvam.

Najprej bomo doloˇcili zaˇcetno geometrijo, ki bo predstavljala preseˇzek materiala, vse- bovala pa bo tudi kljuˇcne detajle, ki so pomembni za sestav vseh ostalih komponent drona. Na tej geometriji bomo kasneje doloˇcili robne pogoje, vrsto materiala in obremenitve. Predpostavili bomo, da na dron delujejo najveˇcje sile takrat, ko pospeˇsuje.

Optimirano geometrijo bomo nato uredili v programu z orodjem, ki omogoˇca nape- njanje povrˇsin ˇcez ˇze obstojeˇco geometrijo. Ker potrebujemo simetriˇcen okvir, bomo dobljen model zrcalili.

Na koncu bomo dobljeno geometrijo tudi preverili z numeriˇcno analizo. Glede na materialne lastnosti bo potrebno preveriti, ali optimiran okvir zdrˇzi obremenitve kljub zmanjˇsani masi in togosti. Za validiran okvir bomo nato tudi preuˇcili moˇznosti 3D tiska iz kompozitnega materiala.

(16)

2 Teoretiˇ cne osnove in pregled lite- rature

2.1 Metoda konˇ cnih elementov

Reˇsevanje kompleksnih problemov v naravi kot so statiˇcne in dinamiˇcne trdnostne analize, prenos toplote, dinamika fluidov, vibracije, elektromagnetizem, zajema reˇsevanje kompleksnih parcialnih diferencialnih enaˇcb (PDE), ki te probleme popisujejo iz ma- tematiˇcnega in fizikalnega vidika. Te PDE v veˇcini primerov niso analitiˇcno reˇsljive, zaradi ˇcesar se posluˇzujemo numeriˇcnim metodam, ki so bile razvite v ta namen. Cilj reˇsevanja PDE je priti do rezultatov, ki nam podajajo odzive sistemov na zunanje vplive kot so pomik, temperatura, hitrost, elektriˇcni potencial itd.

V nadaljevanju bomo na primeru osno obremenjenega konstrukcijskega elementa izpeljali vodilno diferencialno enaˇcbo, ki bo sluˇzila kot osnova za nadaljno analizo s pomoˇcjo metode konˇcnih elementov (MKE). MKE je matematiˇcna metoda, ki omogoˇca pretvorbo kompleksnih PDE v enostavnejˇse algebraiˇcne enaˇcbe. Pomembno je pove- dati, da je ta metoda aproksimativna, kar pomeni, da njena reˇsitev PDE ne izpolnjuje ekzaktno. V sploˇsnem temelji na diskretizaciji obravnavanega obmoˇcja na majhne in enostavnejˇse elemente, ki se povezujejo preko vozliˇsˇc. Fizikalno ozadje problema skupaj z zaˇcetnimi in robnimi pogoji se opiˇse v tako imenovani ˇsibki obliki integralske formulacije.

2.1.1 Izpeljava vodilne enaˇ cbe na primeru 1D konstrukcij- skega elementa

Izpeljemo osnovno vodilno enaˇcbo na primeru statiˇcno, enoosno obremenjenega konstrukcijskega elementa. Izpeljava in obravnavan primer sta povzeta po predavanjih izr.

prof. dr. Moleta [1]. Ob tem predpostavimo, da je element dolˇzine L obremenjen toˇckovno s silama F_x^J in F_x^K ter z zvezno porazdeljeno obremenitvijo n(x), pri ˇcemer sta obe usmerjeni v smeri osi elementa. Glede na zaˇcetno stanje je element podvrˇzen tudi temperaturni obremenitvi ∆T(x), ki je posledica spremembe temperature glede na zaˇcetno temperaturo montaˇze, in se ta ne spreminja skozi spremenljiv prerez elementa A(x).

2

(17)

Teoretiˇcne osnove in pregled literature Ker popisujemo fizikalne lastnosti konstrukcijskega elementa, je potrebno doloˇciti tudi snovne karakteristike obravnavanega elementa. Predpostavimo linearno elastiˇcen konstrukcijski element, kar kasneje v izpeljavi omogoˇca uporabo Hookovega zakona. Gra- divu elementa doloˇcimo tudi Youngov modul elastiˇcnosti E in temperaturni razteznostni koeficient α.

Pomembna je usmerjenost delovanja mehanskih in temperaturnih obremenitev glede na izbrano smer koordinatne osi x. Pozitivne vrednosti usmerimo v smeri koordinate, kot prikazuje slika 2.1. Pri temperaturni razliki privzamemo pozitivno spremembo temperature, kar pomeni, da je temperatura po montaˇzi viˇsja kot pred montaˇzo.

n(x) F

_x^K

F

_x^J

L ΔT(x) x

A(x)

Slika 2.1: Enoosno obremenjen konstrukcijski element.

Iz konstrukcijskega elementa izreˇzemo diferencialno majhen delˇcek dolˇzine dx. Upo- rabimo teorijo majhnih pomikov in deformacij, zaradi ˇcesar lahko zanemarimo spremembo geometrije kot posledico deformacij.

dx x

Slika 2.2: Diferencialno majhen delˇcek konstrukcijskega elementa.

Upoˇstevamo statiˇcno ravnoteˇzje zunanjih in notranjih sil, zato je potrebno dodati notranjo osno siloN. Ker predpostavljamo, da je v obravnavanem elementu napetostno stanje natezno, je sila usmerjena ven iz izrezanega konstrukcijskega elementa, v na- sprotno smer koordinatne osi x. Na desnem krajiˇsˇcu imamo tako seˇstevek notranje osne sile in spremembne notranje osne sile kot posledica vzdolˇz nosilca porazdeljene obremenitve.

d x x

n(x) ΔT(x)

N N

+

d N

Slika 2.3: Statiˇcno ravnoteˇzje sil.

Upoˇstevamo, da je pozitivna smer v smeri koordinatne osi x in zapiˇsemo ravnoteˇzno enaˇcbo. Vzdolˇz nosilca porazdeljena obremenitev n(x) nam pove, kakˇsna sila deluje

(18)

Teoretiˇcne osnove in pregled literature

(N + dN)−N +n(x)dx= 0 (2.1)

Enaˇcbo (2.1) uredimo in ugotovimo, da je prirastek osne sile izkljuˇcno posledica porazdeljene obremenitve. Matematiˇcno gledano je v enaˇcbi (2.3), v primeru brez porazdeljene obremenitve, odvod prirastka notranje osne sile dN po koordinati x enak niˇc in je konstanta, kar rezultira tudi v konstantni notranji osni sili N.

dN =−n(x)dx (2.2)

dN

dx =−n(x) (2.3)

Upoˇstevati je potrebno tudi teorijo deformacijske konsistentnosti. Slika prikazuje de- formiran diferencialno majhen delec, ki je premaknjen za pomiku v smeri koordinatne osi x. Njegovo dolˇzino sedaj predstavlja seˇstevek zaˇcetne diferencialne dolˇzine dx in spremembe dolˇzine zaradi deformacije du.

d x

+

d u

x u

Slika 2.4: Sprememba dolˇzine diferencialnega delca zaradi deformacije.

Ker smo predpostavili linearno elastiˇcen material, lahko zapiˇsemo komponento deformacijskega tenzorja ε_ij v koordinatni osi x. Relativni raztezek oz. deformacijo ε_xx definiramo kot kvocient raztezka ∆l in zaˇcetne dolˇzine diferencialno majhnega delˇcka konstrukcijskega elementa L.

ε_xx = ∆l

L (2.4)

ε_xx = dx+ du−dx

dx (2.5)

Urejena enaˇcba (2.6) iz matematiˇcnega vidika predstavlja odvod pomikau po koordinatix, ki je enak relativni deformacijiε_xx izraˇzeni v procentih glede na zaˇcetno dolˇzino dx.

ε_xx = du

dx (2.6)

4

(19)

Teoretiˇcne osnove in pregled literature Pri tem je potrebno upoˇstevati, da se relativna deformacija pojavi kot posledica tako napetostnega stanja ε^σ_xx , kot tudi temperaturne obremenitve ε^∆T_xx .

ε_xx =ε^σ_xx+ε^∆T_xx (2.7)

Za osno obremenjen konstrukcijski element, pri ˇcemer njegovo gradivo izkazuje izotropne lastnosti, lahko zapiˇsemo deformacijski tenzorε_ij , ki je v tem primeru simetriˇcen.

ε_ij =

⎡

⎣

ε_xx 0 0 0 ε_yy 0 0 0 ε_zz

⎤

⎦ (2.8)

Ostali dve komponenti deformacijskega tenzorja (2.8) sta s komponento deformacijskega tenzorja v x smeri ε_ij povezani s sorazmernostnim faktorjem. Kot je iz enaˇcb (2.9) in (2.10) razvidno, predstavlja Poissonovo ˇstevilo ϑ v primeru nateznega napetostnega stanja absolutno vrednost razmerja med relativno deformacijo v preˇcni smeri (kontrakcijo) in relativno deformacijo v vzdolˇzni smeri (dilatacijo) [2]. Ker se preˇcni prerez konstrukcijskega elementa zmanjˇsa, je Poissonovo ˇstevilo predznaˇceno negativno.

ε_yy =−ϑε_xx (2.9)

ε_zz =−ϑε_xx (2.10)

Iz izpeljave Hookovega zakona za 3D izotropen in linearno elastiˇcen material lahko zapiˇsemo sledeˇco relacijo med napetostnim in deformacijskim tenzorjem:

σ_xx = E

(1 +ϑ)(1−2ϑ)((1−ϑ)ε_xx+ϑε_yy+ϑε_zz) (2.11) Ker poznamo povezavo Poissonovega koliˇcnika s komponentami deformacijskega ten- zorjaε_ij (2.11), zapiˇsemo znano enaˇcbo Hookovega zakona (2.12) za primer osno obremenjenega konstrukcijskega elementa.

σxx =Eεxx (2.12)

(20)

σ_xx = N

A(x) (2.13)

Iz enaˇcbe (2.12) izrazimo relativno deformacijo, pri ˇcemer upoˇstevamo, da je ta posledica napetostnega stanja.

ε^σ_xx = σ_xx

E (2.14)

Upoˇstevajoˇc temperaturne obremenitve zapiˇsemo tudi drugi ˇclen relativne deformacije, pri ˇcemer je linearni razteznostni koeficient materialaαlastnost materiala, sprememba temperature ∆T pa se izraˇcuna kot razlika temperature glede na zaˇcetno temperaturo montaˇze.

ε^∆T_xx =α∆T (2.15)

Uporabimo izraze (2.6), (2.6) in (2.6) ter zapiˇsemo:

du

dx = σ_xx

E +α∆T (2.16)

Natezno napetost zamenjamo z izrazom iz enaˇcbe (2.13).

du

dx = N

EA(x)+α∆T (2.17)

Enaˇcbo pomnoˇzimo z modulom elastiˇcnosti E in preˇcnim presekom A, odvajamo po koordinatix ter izrazimo ˇclen za notranjo osno silo N.

dN dx = d

dx(EA(x))− d

dx(EA(x)α∆T) (2.18)

Na levi strani enaˇcbe lahko prepoznamo odvod notranje osne sile po koordinati x, ki v primeru natezne obremenitve predstavlja vzdolˇz nosilca porazdeljeno obremenitev n(x).

d

dx(EAdu

dx) =−n(x) + d

dx(EA(x)α∆T) (2.19)

Dobljena enaˇcba (2.20) je vodilna diferencialna enaˇcba problema enoosno obremenjenega konstrukcijskega elementa. Edina neznanka v enaˇcbi, ki se pojavi kot primarna spremenljivka problema, je funkcija pomikau(x), pri ˇcemer je x∈[0,L].

6

(21)

2.1.2 Integralska variacijska formulacija

Vodilno diferencialno enaˇcbo enoosno obremenjenega konstrukcijskega elementa ˇzelimo izpolnjevati v vsaki toˇcki izbranega obmoˇcja. Pri pretvorbi vodilne enaˇcbe v integralsko variacijsko formulacijo si poenostavimo zapis z uporabo simbola za operator drugega reda D².

D² = d

dx(EA(x)( d

dx −α∆T)) (2.20)

S funkcijof(x) nadomestimo vzdolˇz nosilca porazdeljeno obremenitev (2.21) ter zapiˇsemo novo obliko vodilne enaˇcbe (2.22).

f(x) = −n(x) (2.21)

D²u(x)−f(x) = 0 (2.22)

Upeljemo novo poljubno funkcijo v(x), ki mora biti veˇckrat zvezno odvedljiva in z njo pomnoˇzimo obe strani vodilne enaˇcbe (2.22).

(D²u(x)−f(x))v(x) = 0 (2.23)

Izvedemo lahko integracijo po obmoˇcju, znotraj katerega je v vsaki toˇcki zajeta vodilna enaˇcba, kar privede do osnovne oblike integralske enaˇcbe (2.24) , v kateri nastopa vzdolˇz nosilca porazdeljena obremenitev kot funkcijaf(x), poljubna funkcijav(x) ter funkcija pomika vzdolˇz x osi u(x). Pri tem je za poljubno funkcijo potreben polinom vsaj takˇsnega reda, kot je operator nad primarno spremenljivko, v naˇsem primeru pomik u(x).

∫︂ L 0

(D²u(x)−f(x))v(x)dx= 0 (2.24)

Enaˇcbo (2.24) preuredimo:

∫︂ L 0

D²u(x)dx=

∫︂ L 0

f(x)v(x)dx (2.25)

(22)

∫︂ L 0

D¹u(x)dv(x)

dx dx= D¹u(x)v(x)|^L₀ −

∫︂ L 0

f(x)v(x)dx (2.26)

Izpeljali smo ˇsibko obliko integralske formulacije za enoosno obremenjen konstrukcijski element. Ta oblika predstavlja izhodˇsiˇce za MKE.

Brez simbolnih okrajˇsav lahko enaˇcbo (2.26) sedaj zapiˇsemo na sledeˇc naˇcin:

∫︂ L 0

EA(x)du dx

dv(x)

dx dx= (EA(x)(du

dx −α∆T))v(x)|^L₀ +

∫︂ L 0

n(x)v(x)dx+

∫︂ L 0

EA(x)α∆Tdv(x) dx dx

(2.27)

V zgoraj napisani enaˇcbi lahko desno od enaˇcaja prepoznamo zapis, ki predstavlja notranjo osno silo prix= 0 in x=L, torej so v enaˇcbi zajeti tudi robni pogoji.

V dobljeni ˇsibki obliki integralske formulacije (2.31) je ˇse vedno edina neznanka funkcija pomikau(x), ki jo je potrebno aproksimirati funkcijsko. Tako je funkcija pomika (2.28) enaka vsoti produktov koeficientov a_k in njim pripadajoˇcih znanih funkcij ψ_k(x). Pri tem so koeficientia_kneznane vrednosti primarne spremenljivkeu(x_i) v posamezni toˇcki xi.

u ˆ(x) =

n

∑︂

k=0

a_kψ_k(x) (2.28)

Pri tem mora mnoˇzica polinomskih funkcij ψk(x) izkazovati naslednjo lastnost.

ψ_k(x_i) =

{︄1; x_i =x_k

0; x_i ̸=x_k (2.29)

Ce je indeksˇ k pripadajoˇce funkcije enak indeksu i obravnavane toˇcke, je vrednost te funkcije enaka 1, v vseh ostalih primerih pa je njena vrednost enaka 0. Zaradi te lastnosti lahko njeno vrednost enaˇcimo s Kroneckerjevim delta tenzorjem δ_ik.

δ_ik =

⎡

⎣

1 0 0 0 1 0 0 0 1

⎤

⎦ (2.30)

Preden zaˇcnemo z izpeljavo enaˇcbe dvovozliˇsˇcnega konˇcnega elementa, je ˇse potrebno doloˇciti poljubno funkcijo v(x). Po Galerkinovem pristopu je ta enaka polinomski funkcijiψ_k(x) (2.29).

8

(23)

2.1.3 Izpeljava 2-vozliˇ sˇ cnega konˇ cnega elementa

Konstrukcijski element dolˇzineLsedaj diskretiziramo, kar pomeni, da ga razdelimo na manjˇse elemente dolˇzineLe, imenovane konˇcni elementi. Vsakemu elementu je dodeljen lokalni koordinatni sistemx_e. Elementi so med seboj loˇceni z vozliˇsˇciv_j, ki predstavljajo meje med podobmoˇcji, definirana pa so v globalnem koordinatnem sistemu.

1 2 3 4

L L₁

x₁ x

2

x

Slika 2.5: Primer diskretizacije konstrukcijskega elementa.

V ˇsibki obliki integralske formulacije nastopa primarna spremenljivka kot neznana veliˇcina, aproksimirana na zgoraj (2.28) naveden naˇcin. Zaradi preglednosti uporabimo simbol za notranjo osno silo na robu obravnavanega obmoˇcja ter uporabimo operator prvega reda. Integralsko formulacijo na podobmoˇcju konˇcnega elementa lahko zapiˇsemo na sledeˇc naˇcin.

∫︂ Le

0

D¹uˆ(x)dv(x)

dx dx=N(x)v(x)|^L₀^e+

∫︂ Le

0

n(x)v(x)dx+

∫︂ Le

0

(2.31) Ker smo izbrali dvovozliˇsˇcni konˇcni element, je primarna spremenljivka aproksimirana s polinomom prvega reda.

uˆ (xe e) =c0+xc1 (2.32)

Zapiˇsemo lahko vrednosti aproksimacije v vozliˇsˇcih v1 in v2, ki sta enaki vozliˇsˇcnim pomikom, prikazanim na spodnji sliki.

x_e

U1 U

2

L_e

v1 v

2

(24)

uˆ (0) =e U1 (2.33)

uˆ (L_e _e) =U₂ (2.34)

Konstantic₀ inc₁ izrazimo in jih nadomestimo z vozliˇsˇcnimi pomiki v enaˇcbi (2.32).

uˆ (x_e _e) =U₁(1− x_e

L_e) +U₂(x_e

L_e) (2.35)

Pri tem sta vozliˇsˇcna pomika pomnoˇzena z oblikovnima funkcijama ψˆ

i(x_e), ki sta na sliki prikazani kot linearni aproksimaciji primarne spremenljivke.

x

e

1 L

e

0

(a)

x

e

1 L

e

0

(b) Slika 2.7: (a) Oblikovna funkcija ψˆ

0 in (b) oblikovna funkcija ψˆ

1 . Funkcija ψˆ

0(x_e) (2.28) ima vrednost 1 pri x_e = 0, funkcija ψˆ

1(x_e) pa prix_e = 1.

ψˆ

0(xe) = 1− x_e

L_e (2.36)

ψˆ

1(x_e) = x_e Le

(2.37) Aproksimativno funkcijo pomikov (2.35) zapiˇsemo kot vsoto funkcij (2.36) in (2.37), pomnoˇzenih s konstantamaa₀ ina₁.

Funkcijo uˆ (x_e _e) odvajamo in jo vstavimo v ˇsibko integralsko formulacijo.

∫︂ Le

0

EA(x)(U1

−1 L_e +U2

1

L_e)dv(x)

dx dx=N(L)v(L)−N(0)v(0)+

∫︂ Le

0

n(x)v(x)dx+

∫︂ Le

0

(2.38)

10

(25)

Teoretiˇcne osnove in pregled literature Poljubno funkcijov(x) enaˇcimo z oblikovnimi funkcijamiψ_k(x_i). Izraz vstavimo za oba primera oblikovnih funkcij, s ˇcimer dobimo dve enaˇcbi.

V primeru, ko jev(x) = ψ₀(x) zapiˇsemo enaˇcbo (2.38) na sledeˇc naˇcin.

∫︂ Le

0

EA(x)(U₁−1 L_e+U₂ 1

L_e)(−1

L_e)dx=−N₁+

∫︂ Le

0

n(x)(1− x L_e)dx+

∫︂ Le

0

EA(x)α∆T(−1 L_e)dx (2.39) ter za primer, ko jev(x) = ψ1(x) zapiˇsemo:

∫︂ Le

0

EA(x)(U1

−1 L_e+U2

1 L_e)( 1

L_e)dx=N2+

∫︂ Le

0

n(x)(x L_e)dx+

∫︂ Le

0

EA(x)α∆T( 1 L_e)dx

(2.40) Enaˇcbi (2.39) in (2.40) uredimo.

EA(x)

Le2 (U₁−U₂)

∫︂ Le

0

1dx=−N₁+

∫︂ Le

0

n(x)(1− x Le

)dx+

∫︂ Le

0

EA(x)α∆T(−1 Le

)dx (2.41)

EA(x)

Le2 (U₂−U₁)

∫︂ Le

0

1dx=N₂+

∫︂ Le

0

n(x)( x L_e)dx+

∫︂ Le

0

EA(x)α∆T( 1

L_e)dx (2.42) Predpostavimo konstantni modul elastiˇcnosti E in preˇcni presek A vzdolˇz osi xin oba izraza zapiˇsemo v matriˇcnem zapisu.

EA Le

[︃ 1 −1

−1 1 ]︃ {︃

U₁ U₂

}︃

=

{︃−N₁ N₂

}︃{︄∫︁Le

0 n(x)(1− _L^x

e)dx+∫︁Le

0 EAα∆T(⁻¹_L

e)dx

∫︁Le

0 n(x)(_L^x

e)dx+∫︁Le

0 EAα∆T(_L¹

e)dx }︄

(2.43) Prispevka zaradi vzdolˇz nosilca porazdeljenje obremenitve in temperaturne obremenitve lahko zapiˇsemo kot rezultanti F₁ inF₂.

∫︂ Le x ∫︂ Le −1

(26)

F₂ =

∫︂ Le

0

n(x)(x

L_e)dx+

∫︂ Le

0

EAα∆T( 1

L_e)dx (2.45)

Matriˇcni zapis za 2-vozliˇsˇcni konˇcni element lahko sedaj zapiˇsemo na sledeˇc naˇcin.

EA L_e

[︃ 1 −1

−1 1 ]︃ {︃

U1

U₂ }︃

=

{︃−N1

N₂ }︃ {︃

F1

F₂ }︃

(2.46) Zgornja enaˇcba predstavlja temelj analize konˇcnih elementov. Vsebuje togostno ma- triko ^EA_L

e

[︃ 1 −1

−1 1 ]︃

, ki je simetriˇcna preko diagonale. Vsota ekvivalentnih vozliˇsˇcnih sil, ki sta posledica vzdolˇz elementa porazdeljene obremenitve in temperaturne obremenitve je enaka rezultantamaF₁ in F₂.

2.2 Topoloˇ ska optimizacija

Uporaba topoloˇske optimizacije sega v leto 1976 v Gainesville, Florida, ko sta Prager in Rozvany prviˇc predstavila teorijo topoloˇske optimizacije [3]. V kasnejˇsih letih je bilo razvitih veliko metod, le nekaj pa jih je izkazovalo tudi uporabno vrednost. Tradicio- nalen naˇcin optimizacije struktur v strojniˇstvu in gradbeniˇstvu je takrat predstavljala metoda Isotropic Solid and Empty, krajˇse ISE. Omenjena metoda obmoˇcje problema diskretizira na obmoˇcne elemente, pri ˇcemer lahko ti zavzemajo izotropen material, ali pa ga ne. Slika 2.8 prikazuje diskretizacijo materiala z obmoˇcnimi elementi. Zapolnjeni prostori so definirani kot polni elementi zapolnjeni z izotropnim materialom in oznaˇceni z 1, prazni prostori pa kot prazni elementi oznaˇceni z 0 [4].

Na tak naˇcin je gostota ρ v obravnavanem obmoˇcju diskretno porazdeljena, saj je vsakemu elementu dodeljena gostota, ki jo predstavlja binarni zapis. Zapolnjenim elementom je dodeljena gostotaρ_e = 1, praznim elementom pa ρ_e = 0.

Slika 2.8: ISE topologija.

12

(27)

Teoretiˇcne osnove in pregled literature Omenjena metoda je bila zaradi velikega ˇstevila elementov numeriˇcno prezahtevna in potratna. V ˇzelji po hitrejˇsi in uˇcinkovitejˇsi optimizaciji so se skupaj z napredkom numeriˇcnih zmogljivosti raˇcunalnikov razvile naprednejˇse metode.

Najbolj razˇsirjena in uporabljena v industrijskih aplikacijah je postala metoda Solid Isotropic Material with Penalization, ali krajˇse SIMP. Metoda doloˇca optimalno poraz- delitev materiala v vnaprej doloˇcenem obmoˇcju, pri ˇcemer upoˇsteva napetostno stanje, robne pogoje, naprednejˇsi programi pa omogoˇcajo tudi prilagajanje glede na naˇcin proizvodnega procesa.

Ker metoda bazira na integralski formulaciji, omogoˇca preraˇcunavanje kontinualnih sistemov v vsaki toˇcki obravnavanega obmoˇcja. Vsakemu elementu je dodeljena relativna gostota, zaradi ˇcesar lahko dobimo porozne elemente s spremenljivimi gostotami, ki lahko zavzamejo vrednosti na intervalu od minimalne gostoteρ_e,min do 1 [5]. Spremen- ljiva gostota vsakega elementa tako vpliva tudi na spremenljiv Youngov modul vsakega elementa. Zveza je podana v spodnji enaˇcbi (2.47).

E(ρ_i) =ρ^p_iE (2.47)

Modul elastiˇcnosti i-tega elementa E(ρi) je enak zmnoˇzku modula elastiˇcnsoti izo- tropnega materiala in relativni gostoti i-tega elementa, potencirani s faktorjem penalizacije p. S faktorjem penalizacije se SIMP izogne predoloˇcenemu sistemu enaˇcb z izloˇcanjem elementov vmesnih gostot. Z veˇcanjem faktorja se zmanjˇsuje velikost obmoˇcij elementov z vmesnimi gostotami, kar omogoˇca stabilnejˇso analizo MKE. Z numeriˇcnimi eksperimenti je bilo ugotovljeno, da faktor penalizacije p = 3 uˇcinkovito vpliva na zmanjˇsanje ˇstevila poroznih elementov [6].

V raziskavi D. Ozkapici in U. Yaman [6] je bil prikazan vpliv penalizacije, ki nam omogoˇca laˇzjo izdelavo strukture s konvencionalnimi proizvodnimi postopki. Iz slike 2.9 je razviden uˇcinek faktorja penalizacije. Na levi strani je faktor nastavljen na vrednost p= 1, na desni pa p= 3, zaradi ˇcesar je izloˇcena veˇcina elementov s srednjo gostoto.

(a) (b)

Slika 2.9: (a) Optimizacija s faktorjemp= 1 in (b) optimizacija s faktorjemp= 3 [6].

(28)

Kρ=

n

∑︂

i=1

[ρmin+ (1−ρmin)ρ^p_i]Ki (2.48)

pri ˇcemer jeKi togostna matrika elementa, n pa ˇstevilo konˇcnih elementov v obravnavanem obmoˇcju.

Objektivna funkcija optimizacije iˇsˇce najveˇcjo togost, oziroma po drugi strani naj- manjˇso proˇznost C, podano v spodnji enaˇcbi (2.49).

minC(ρ) =

n

∑︂

i=1

(ρ_i)^p[u_i]^T[K_i][u_i] (2.49)

Pri vsaki iteraciji mora biti vsota zmnoˇzkov volumnov in gostot posameznih elementov manjˇsa ali enaka ciljni masi M_c.

n

∑︂

i=1

(v_i)^Tρ_i ≤M_c (2.50)

14

(29)

3 Metodologija raziskave

Zaˇcetna geometrija okvirja brezpilotnega zrakoplova je bila izdelana v 3D modelir- niku programskega paketa Solidworks. Ta program omogoˇca poleg konstruiranja tudi razliˇcne vrste analiz, kot tudi topoloˇsko optimizacijo s programskim dodatkom Pare- toWorks.

3.1 Zasnova izhodiˇ sˇ cnega okvirja

Pri geometriji smo upoˇstevali pravilni razmik med rokami, tako da lahko okvir podpira uporabo 5 colskih propelerjev, ki predstavljajo standardno velikost na tekmovanjih.

Na spodnji sliki 3.1 so vidna vpetja za motorje, ki omogoˇcajo uporabo modelarskih BLDC elektromotorjev velikosti 2207 (22 mm ˇsirok in 7 mm visok stator). Na sredini okvirja so 4 luknje, ki omogoˇcajo vpetje elektronskih komponent velikosti 30,5 ×30,5 mm.

Slika 3.1: Zaˇcetna geometrija okvirja.

(30)

Metodologija raziskave

3.2 Topoloˇ ska optimizacija

Ceprav ParetoWorks omogoˇˇ ca topoloˇsko optimizacijo, smo se odloˇcili za uporabo programskega paketa Altair Inspire, ki omogoˇca optimizacijo s pomoˇcjo orodja OptiStruct.

V prvem koraku smo oznaˇcili obmoˇcja (ang. non design), ki ne smejo nastopati kot prostor za optimizacijo in zaradi specifiˇcne funkcije ne smejo biti spremenjena. Na sliki 3.2 so z oranˇzno barvo prikazana obmoˇcja loˇcena od volumna, ki bo topoloˇsko optimiran (ang. design space).

Slika 3.2: Doloˇcitev izkljuˇcenih obmoˇcij (ang. non design space).

V nadaljevanju smo definirali robne pogoje in obremenitve, katerim je podvrˇzen okvir.

Ob vpetju za elektronske komponente je tudi prostor, kjer je pritrjena baterija tipa LiPo (ang. Lithium P olymer). Na vsaki roki smo definirali silo, ki se pojavi kot posledica zaradi potiska propelerjev. Zaradi izjemne hitrosti in visokega razmerja med moˇcjo in teˇzo, smo predpostavili pospeˇsek, ki ga doseˇze tak tip drona. S pomoˇcjo 2. Newtonovega zakona smo izraˇcunali, da pri najveˇcjem pospeˇsevanju na vsako roko deluje silaF = 15N. Tako robni pogoji, kot tudi obremenitve so prikazane na spodnjih slikah 3.3 in 3.4.

16

(31)

Slika 3.3: Sila zaradi potiska propelerjev.

Slika 3.4: Vpetje namenjeno elektronskim komponentam in bateriji.

Cilj optimizacije je bil minimazirati proˇznost (ang. Compliance) oziroma poveˇcati togost (ang. stif f ness) pri zmanjˇsanju mase na 5% od zaˇcetne. Optimizacija se je konˇcala pri 42. iteraciji, ko je konvergenca reˇsitve dosegla vrednost 1,67·10⁻³.

Z uporabo orodja PolyNURBS, ki s pomoˇcjo matematiˇcnega modela generira krivulje in povrˇsine, smo po optimizaciji napeli povrˇsine preko dobljene geometrije.

(32)

Slika 3.5: Urejanje povrˇsin optimiranega modela.

Topoloˇska optimizacija je znana po tem, da nikoli ne poda popolnoma simetriˇcne geometrije, kljub simetriˇcni izbiri robnih pogojev in obremenitev. Polovico dobljene geometrije smo zato zrcalili v programu Solidworks ter tako dobili simetriˇcen in topoloˇsko optimiran okvir drona, prikazan na sliki 3.6.

Slika 3.6: Topoloˇsko optimirana geometrija okvirja drona.

18

(33)

3.3 Trdnostna analiza

Za namen validacije trdnosti optimizirane strukture smo uporabili programsko opremo Ansys. Program omogoˇca numeriˇcne simulacije po metodi konˇcnih elementov ali konˇcnih volumnov.

Pri kreiranju objekta je najprej potrebno doloˇciti materialne lastnosti gradiva. V la- boratoriju za dinamiko strojev in konstrukcij (Ladisk) je moˇzen 3D tisk kompozitnega materiala in sicer najlona, ojaˇcanega z ogljikovimi vlakni (PA12+CF15). Ta poliamidni polimer je predvsem uporabljen v aditivni proizvodnji zaradi odliˇcne obdelovalnosti.

Polimerni matrici je dodanih 15% ogljikovih vlaken, kar doprinese k temperaturni od- pornosti in trdnosti. Lastnosti materiala so navedene v spodnjih tabelah.

Preglednica 3.1: Mehanske lastnosti materiala PA12 + CF15 [7].

Metoda preizkusa Enote Vrednost

Modul elastiˇcnosti -E ISO 527 MPa 8000

Natezna trdnost - R_p ISO 527 MPa 125

Udarna ˇzilavost - Charpy- KCU ISO 179/1eU (23) kJ/m² 75 +-15

Gostota - ρ ISO 483 g/cm² 1.07

Preglednica 3.2: Termiˇcne lastnosti materiala PA12 + CF15 [7].

Metoda preizkusa Enote Vrednost Temperatura taljenja -T_tal ISO 3146 ^◦C 178

Vnetljivost UL 94 Razred HB

Lastnosti materiala, ki so pomembne za trdnostno analizo smo vnesli v program, pri ˇcemer smo predpostavili, da je Poissonovo ˇsteviloϑ= 0,3.

Slika 3.7: Definiranje materialnih lastnosti v programu Ansys.

(34)

Metodologija raziskave ˇstevilom elementov, kar jih program omogoˇca. Obmoˇcje, kjer je okvir pripet (ang.

fixed support) je na sliki 3.8 oznaˇceno z modro barvo. Vsaka roka je obremenjena s silo F = 15 N, njena smer je prikazana z rdeˇco puˇsˇcico.

Slika 3.8: Zamreˇzena geometrija.

20

(35)

4 Rezultati

Ker ˇzelimo ugotoviti kakˇsen je odziv geometrije na obremenitve ob podanih materialnih lastnostih in robnih pogojih, smo izvedli trdnostno analizo, ki nam podaja kot rezultat primerjalno napetost po Von Misesu. Kot je razvidno iz slike 4.1, se pojavi najveˇcja napetost na obmoˇcju, ki povezuje sprednje in zadnje roke okvirja. Napetost na tem mestu znaˇsa 7,17 MPa, kar je znotraj natezne napetosti materiala.

Slika 4.1: Primerjalne napetosti po Von Misesu.

Izvedli smo tudi analizo, pri kateri smo ugotovili deformacijo okvirja pod obremenitvijo.

Kot smo priˇcakovali, se najbolj ukloni tisti del rok, na katerem so pripeti elektromotorji.

Na sliki 4.2 je vidna tudi razlika med uklonom sprednjih in zadnjih rok zaradi drugaˇcne geometrije. Najveˇcja deformacija od zaˇcetne lege znaˇsa 0,4 mm.

(36)

Rezultati

Slika 4.2: Deformacija od zaˇcetne lege.

22

(37)

5 Diskusija

V prvem delu zakljuˇcne naloge smo izvedli topoloˇsko optimizacijo okvirja drona. Ta je pred optimizacijo imel obliko kvadra, doloˇcili pa smo tudi tiste dele geometrije, ki imajo funkcionalno vlogo pri letu samega brezpilotnika. Tako smo matematiˇcni metodi SIMP omogoˇcili velik del volumna (ang. design space), znotraj katerega je lahko izvedla topoloˇsko optimizacijo. Masa geometrije pred optimizacijo je znaˇsala 1579 g, po optimizaciji pa 36,8 g. Tako smo maso zmanjˇsali na 2,33 % prvotne mase.

Kljub zmanjˇsani masi pa je za namen prenaˇsanja obremenitev ob pospeˇsevanju okvir ˇse vedno predimenzioniran. Z zmanjˇsanjem mase na tako nizek nivo smo dosegli obliko okvirja, ki je bistveno laˇzji od ostalih, komercialno uporabljenih na trgu. Potrebno je poudariti, da smo v procesu optimizacije predpostavili le eno napetostno stanje, ki se pojavi med najveˇcjim pospeˇsevanjem drona. Zaradi nepredvidljivih okoliˇsˇcin in narave letenja s tekmovalnimi droni, ta obremenitev ne predstavlja najveˇcje nevarnosti za okvir in ostale komponente. Padci pri velikih hitrostih se na tekmovanjih stalno dogajajo, vendar je pri profesionalni uporabi takˇsnih dirkalnikov potrebno na prvo mesto postaviti maso in z njo povezane manevrske sposobnosti dirkalnika. Najveˇcja napetost, ki se pojavi med letom znaˇsa 7,17 MPa, kar je pod mejo natezne trdnosti materiala, ki znaˇsa 125 MPa.

Pri uporabi optimizacijskih programov, je geometrijo moˇzno optimirati veˇckrat zapore- doma. Kljub temu smo okvir pustili predimenzioniran iz dveh razlogov. Zaradi zgoraj navedenih nepredvidljivih okoliˇsˇcin in napetostnih stanj v primeru trka, je vseeno smi- selno optimizacijo zakljuˇciti kljub velikemu varnostnemu faktorju. Dodatno omejitev pri tanjˇsanju geometrije pa bi nam predstavljale omejitve tehnologije 3D tiska. Okvir bi lahko natisnili na podlagi FDM tehnologije, ki izdelek tiska v slojih in s pomoˇcjo podpornih elementov, ˇce so le ti potrebni. Zaradi izvedljivosti pri 3D tisku takˇsne geometrije, smo geometrijo optimirali do te meje, da je najtanjˇsi del geometrije ˇsirok 3 mm. Dodatno optimiranje in poslediˇcno tanjˇsanje modela bi lahko kasneje predsta- vljalo teˇzave pri tiskanju.

Kar zadeva trdnost okvirja smo na koncu potrdili, da je skladen s prepodstavljenimi zahtevami. Najveˇcja odstopanja od pravih vrednosti so lahko posledica naslednjih predpostavk. Kot smo videli v sami izpeljavi enaˇcbe konˇcnega elementa, je predpo- stavljena izotropna lastnost gradiva. Tudi topoloˇska optimizacija poda kot rezultat geometrijo, ki izkazuje izotropne lastnosti, ter kot posledica penalizacijskega faktorja

(38)

Diskusija predstavljal naˇcin izdelave okvirja. 3D printana struktura bi bila narejena v slojih, kar povzroˇca anizotropnost v vseh koordinatnih oseh.

24

(39)

6 Zakljuˇ cki

Z uporabo SIMP metode smo razvili enega izmed najlaˇzjih okvirjev brezpilotnega zrakoplova v svoji kategoriji. V sklopu te zakljuˇcne naloge smo:

1. Izpeljali smo diferencialno enaˇcbo za osno obremenjen konstrukcijski element 2. Na podlagi vodilne enaˇcbe smo izpeljali enaˇcbo konˇcnega elementa

3. Pregledali smo matematiˇcno ozadje metode SIMP

4. Izvedli smo topoloˇsko optimizacijo okvirja brezpilotnega zrakoplova 5. Izvedli smo numeriˇcno trdnostno analizo

6. Preuˇcili smo moˇznost 3D tiska optimirane geometrije

Rezultat je topoloˇsko optimirana konstrukcija okvirja letalnika, ki smo jo razvili v programskem paketu Altair Inspire s pomoˇcjo orodja OptiStruct, njegovo trdnost pa kasneje simulirali v programu Ansys. Zaradi minimalne teˇze je takˇsen okvir laˇzji od ostalih, komericalno uporabljenih okvirjev, ki so izdelani iz ogljikovih vlaken.

Predlogi za nadaljnje delo

V nadaljevanju bi bilo potrebno posvetiti pozornost vibracijskemu odzivanju sestavlje- nega sistema. Potrebno bi bilo identificirati povpreˇcno frekvenco vzbujanja strukture zaradi ekscentriˇcnosti propelerjev in topoloˇsko optimirati viˇsino lastne frekvence.

(40)

Literatura

[1] izr. prof. dr. Nikolaj Mole, Predavanje Integralska variacijska formulacija, 2020, [ogled: 14. 7. 2021]. dostopno na: https://e-ucilnica.fs.uni-lj.si/pluginfile.php/

41671/mod resource/content/1/2020 11 02-5-pred-MNM.pdf

[2] F. U. Laboratorijsko delo 9-te skupine, Elastiˇcne lastnosti ˇzelatine, 2004, [ogled:

13. 7. 2021]. dostopno na: http://projlab.fmf.uni-lj.si/arhiv/2003 04/Naloge/

izdelki/zelatine/teorija.html

[3] G. Rozvany, Aims, scope, methods, history and unified terminology of computer- aided topology optimization in structural mechanics. Springer-Verlag, 2001, [ogled: 6. 3. 2021]. dostopno na: https://link.springer.com/content/pdf/10.1007/

s001580050174.pdf

[4] V. V. T. Konstantinos Daniel Tsavdaridis, James J. Kingman, Application of structural topology optimisation to perforated steel beams. ScienceDirect, 2015, [ogled: 28. 7. 2021]. dostopno na: https://www.sciencedirect.com/science/article/

pii/S0045794915001418

[5] D. Systems, SIMP Method for Topology Optimization, 2019, [ogled: 15.

7. 2021]. dostopno na: https://help.solidworks.com/2019/English/SolidWorks/

cworks/c simp method topology.htm

[6] U. Y. Damla Ozkapici, Tiling of Microstructures Accor- ding to the Density Values of SIMP Topology Optimiza- tion. ResearchGate, 2020, [ogled: 25. 7. 2021]. dostopno na:

https://www.researchgate.net/publication/347073224 Tiling of Microstructures According to the Density Values of SIMP Topology Optimization

[7] Fiberlogy, Technical data sheet PA12+CF15. Fiberlab S.A., Brzezie 387, 32-014, Poland: Fiberlogy, 2018, [ogled: 9. 4. 2021]. dostopno na:

https://cdn-3d.niceshops.com/upload/file/TDS PA12 CF15.pdf

26

(41)