Mehanika kontinuov
Rudi Podgornik
August 2002
Teorija ima mnogo obrazov in ne vemo, katerega bi izbrali.
Eksperiment jih nima niˇc manj.
Montaigne,Essais, Knjiga III, Poglavje XIII.
Na osnovi zapiskov, komentarjev in sugestij ˇsledeˇcih ˇstudentov: Andrej Prˇsa Andrej Leban Blaˇz Kmetec Klemen ˇZagar Matjaˇz Liˇcer Boris Vodopivec Anita Praprotnik Robert Lesar David Erˇzen Anka Petroviˇc Mitja Urˇsiˇc Martin Horvat Andrej Miheliˇc Andrej Zorko Egon Pavlica Andrija Lebar Luka Gabrˇsˇcek.
Kazalo
1 Mehanika kontinuov 7
1.1 Hidrodinamski volumen . . . 7
1.2 Ohranitveni zakoni . . . 7
2 Elastomehanika 9 2.1 Kinematika deformacije . . . 9
2.1.1 Tenzor deformacije . . . 9
2.1.2 Fizikalen pomen komponent tenzorja deformacije . . . 11
2.1.3 Fotoelastiˇcni efekt . . . 12
2.1.4 Cauchy - Stokesova dekompozicija . . . 12
2.1.5 Invariante tenzorja deformacije . . . 13
2.2 Lagrangeova funkcija in enaˇcba gibanja . . . 14
2.3 Napetostni tenzor . . . 15
2.3.1 Geometrija sil . . . 15
2.3.2 Mohrov krog . . . 16
2.4 Ohranjevalni zakoni . . . 18
2.4.1 Zakon o ohranjevanju gibalne koliˇcine . . . 18
2.4.2 Zakon o ohranjevanju vrtilne koliˇcine in simetriˇcnost pik . . . 18
2.4.3 Zakon o ohranjevanju energije . . . 19
2.4.4 Ohranjevanje energije in nemehanski energijski tokovi . . . 20
2.5 Ekstremalni problem v elastomehaniki . . . 21
2.6 Hookeov zakon . . . 21
2.6.1 Elastiˇcna energija homogenega, izotropnega telesa . . . 21
2.6.2 Ut tensio, sic vis . . . 22
2.6.3 Izotropno telo pod izotropno obremenitvijo . . . 22
2.6.4 Young-Poissonovi snovni konstanti . . . 22
2.6.5 Prosta energija deformacije . . . 24
2.6.6 Hookeov zakon in simetrija elastiˇcnih teles . . . 25
2.6.7 Neizotropen eno-osni kristal . . . 25
2.7 Navierova enaˇcba . . . 26
2.7.1 Caucyjeva enaˇcba plus Hookeov zakon . . . 26
2.7.2 Ena ali dve elastiˇcni konstanti za izotropno telo . . . 27
2.7.3 Lastnosti reˇsitev Navierove enaˇcbe . . . 27
2.7.4 Navierova enaˇcba za nestisljivo elastiˇcno telo . . . 28
2.8 Izbrane reˇsitve Navierove enaˇcbe . . . 29
2.8.1 Nestisljiva krogla pod vplivom lastne gravitacije . . . 29
2.8.2 Gravitacijsko-rotacijski potencial vrteˇce se krogle . . . 30
2.8.3 Rotacijska deformacija planeta . . . 30
2.8.4 Rotacijski elipsoid in koordinatni sistem Zemlje . . . 32
2.8.5 Galerkinov nastavek . . . 32
2.8.6 Kelvinov problem . . . 33
2.8.7 Boussinesqov problem . . . 35
2.9 Valovanja elastiˇcnega telesa . . . 38
2.9.1 Helmholtzov teorem . . . 38
2.9.2 Valovna enaˇcba in njene reˇsitve . . . 38
2.9.3 Valovanja kot harmonski oscilatorji . . . 39
2.9.4 ˇStevilo stanj elastiˇcnega valovanja . . . 39
KAZALO KAZALO
2.10 Debyejev model trdnega telesa . . . 40
2.11 Landau – Peierlsov teorem . . . 41
2.12 Deformacije tankih ploˇsˇc . . . 44
2.12.1 Deformacijski tenzor za tanko ploˇsˇco . . . 44
2.12.2 Prosta energija tanke ploˇsˇce . . . 45
2.12.3 Tenzor ukrivljenosti povrˇsine . . . 46
2.12.4 Zakljuˇcene povrˇsine . . . 46
2.12.5 Tanka ploˇsˇca pod obremenitvijo toˇckaste zunanje sile . . . 47
2.13 Deformacije palic . . . 48
2.13.1 Torzija . . . 48
2.13.2 Ukrivljanje . . . 52
2.13.3 Kirchhoffova teorija deformacije palic . . . 54
2.14 Elastiˇcne nestabilnosti . . . 61
2.14.1 Eulerjeva nestabilnost . . . 61
2.14.2 Torzijska nestabilnost . . . 62
2.15 Whiteov teorem o zvijanju . . . 62
3 Hidrodinamika 65 3.1 Hidrostatika . . . 65
3.1.1 Osnovne enaˇcbe hidrostatike . . . 65
3.1.2 Teorija plimovanja . . . 65
3.1.3 Potreben pogoj obstoja statiˇcne reˇsitve . . . 67
3.2 Kinematika gibanja tekoˇcin . . . 68
3.2.1 Eulerjeve koordinate . . . 68
3.2.2 Eulerjeva identiteta . . . 68
3.2.3 Kontinuitetna enaˇca za maso tekoˇcine . . . 69
3.2.4 Reynoldsov transportni teorem . . . 69
3.2.5 Tokovnice in vrtinˇcnice . . . 70
3.3 Navier - Stokesova enaˇcba . . . 70
3.3.1 Newtonske tekoˇcine . . . 70
3.3.2 Difuzija vrtinˇcnosti . . . 71
3.3.3 Tlak kot funkcija hitrosti . . . 72
3.3.4 Vrtinˇcna plast . . . 72
3.3.5 Enstrofija . . . 73
3.3.6 Kontinuitetne enaˇcbe za idealne tekoˇcine . . . 74
3.4 Hidrodinamika idealnih tekoˇcin . . . 76
3.4.1 Eulerjeva enaˇcba . . . 76
3.4.2 Kelvinov teorem o ohranjevanju cirkulacije . . . 76
3.4.3 Helmholtzov teorem o vrtinˇcnosti . . . 77
3.4.4 Biot - Savartov zakon za vrtinˇcno nit . . . 78
3.4.5 Kelvinov vrtinˇcni model atoma . . . 79
3.5 Potencialni tok nestisljive tekoˇcine . . . 80
3.5.1 Prvi integral Eulerjeve enaˇcbe za potencialni tok . . . 80
3.5.2 Primeri potencialnega toka . . . 81
3.5.3 Obtekanje krogle . . . 82
3.5.4 D’Alembertov paradoks . . . 83
3.5.5 Reˇsitev d’Alembertovega paradoksa . . . 84
3.6 Dvodimenzionalen tok idealne tekoˇcine . . . 84
3.6.1 Dvodimenzionalen potencialni tok . . . 84
3.6.2 Kompleksni potencial . . . 85
3.6.3 Tokovnice v dveh dimenzijah . . . 85
3.6.4 Pretok tekoˇcine skozi krivuljo . . . 85
3.6.5 Vrtinci v dveh dimenzijah . . . 86
3.6.6 Sistem dvodimenzionalnih vrtincev je Hamiltonski sistem . . . 87
3.6.7 von K´arm´anova vrtinˇcna cesta . . . 87
3.7 Teorija kril . . . 89
3.7.1 Tok okrog valja s cirkulacijo . . . 89
3.7.2 Teorem Kutta-ˇZukovski . . . 90
3.7.3 Krilo ˇZukovskega . . . 91
KAZALO KAZALO
3.8 Neidealna tekoˇcina . . . 93
3.8.1 Poisseuillov tok . . . 94
3.8.2 Stokesov pribliˇzek in Reynoldsovo ˇstevilo . . . 94
3.8.3 Stacionarni poˇcasen dvodimenzionalen tok nestisljive tekoˇcine . . . 95
3.8.4 Stacionarno poˇcasno obtekanje krogle . . . 95
3.9 Stokesov paradoks . . . 100
3.10 Hidrodinamske nestabilnosti . . . 100
3.10.1 Taylorjeva nestabilnost . . . 101
3.10.2 Ben´ardova nestabilnost . . . 101
3.10.3 Von K´arm´anova nestabilnost . . . 101
3.10.4 Kelvin–Helmholzova nestabilnost . . . 102
3.10.5 Rayleighova nestabilnost . . . 102
3.10.6 Faradayeva nestabilnost . . . 102
3.11 Turbulenca . . . 102
3.11.1 Reynoldsovo ˇstevilo . . . 103
3.11.2 Interpretacija Navier-Stokesove enaˇcbe . . . 104
3.11.3 Fizikalne koliˇcine na razliˇcnih skalah . . . 106
3.11.4 Teorija Kolmogorova (K-41) . . . 106
KAZALO KAZALO
Poglavje 1
Mehanika kontinuov
Pri obravnavi toˇckastih teles je bila v srediˇsˇcu pozornosti lega telesa v odvisnosti od ˇcasar(t). Ko smo obrav- navali toga telesa, katerih dimenzije niso bile zanemarljive, smo poleg lege teˇziˇsˇcar(t) v prostoru potrebovali ˇse orientacijo telesa v prostoruφ(t), medtem ko so bile relativne razdalje med razliˇnimi deli telesa nespremenjene ri(t)−rk(t) = 0. Indeksiinj se nanaˇsata na dve razliˇcni toˇcki v telesu. Sedaj bomo nadoknadili zamujeno in se posvetili prav spremembi medsebojne relativne razdalje delov telesa (deformacijam) pod vplivom napetosti, katerim je izpostavljeno telo. Delo si bomo olajˇsali tako, da bomo privzeli mirujoˇce teˇziˇsˇce ˙r(t) = 0 in stalno orientacijo telesa. ˙φ(t) = 0. ˇCasovno odvisne pa bodo lege med posazmeznimi deli telesa, ki jih bomo opisali zvektorjem deformacije.
1.1 Hidrodinamski volumen
Pri mehaniki kontinuov se ne ukvarjamo z mikrostrukturo telesa (atomi, molekulami . . . ), bolj nas zanima makroskopska slika. Mikroskopsko so telesa seveda sestavljena iz diskretnih enot mase, upamo pa, da se pri dovolj velikih skalah ta diskretnost zabriˇse in da se pribliˇzamo zveznemu opisu. Tako npr. vpeljemo gostoto snovi kot povpreˇcno gostotoρ= mV =ρ(r), kjer povpreˇcimo maso po dovolj velikem volumnu, da je povpreˇcje gladko ( da ne vidimo veˇc posameznih atomov), a po zadosti majhnem, da ˇse vedno lahko sledimo spremembam gostote po telesu. Izkaˇze se, da je takˇsen volumen reda velikosti 10−8min vsebuje okrog 106atomov. Reˇcemo mu hidrodinamski volumen. Hidrodinamski volumen naj bi obstajal pri vsaki snovi, s katero se mehanika kontinuov ukvarja. To jeosnovni postulat mehanike kontinuov.
1.2 Ohranitveni zakoni
Pri obravnavi mehanike zvezno porazdeljenih medijev iz mehanike toˇckastega telesa privzamemo veljavnost naslednjih fizikalnih zakonov:
• zakon o ohranitvi mase,
• zakon o ohranitvi gibalne koliˇcine,
• zakon o ohranitvi vrtilne koliˇcine in
• zakon o ohranitvi energije.
Na osnovi teh postulatov in hidrodinamskega volumna lahko skonstruiramo dinamiko zveznih teles, ki jo imenujemomehanika kontinuov1. Mehaniko kontinuov tvorijo sploˇsniohranitveni zakoni(npr. zakon o ohranjevanju gibalne koliˇcine) in pakonstitutivni zakoni(npr. Hookeov zakon in Newtonov zakon).
Mehaniko kontinuov v grobem delimo naelastomehnikoinhidrodinamiko. Formalno ju loˇcimo po tem, ˇ
ce ima tenzor napetosti v mirovanje izvendiagonalne elemente (strig) ali ne. Pri tem elastiˇcna telesa prenaˇsajo striˇzno obremenitev, tekoˇcine pa ne. ˇZal veˇcina snovi ne sodi striktno ne v eno ne v drugo kategorijo, saj so skoraj vse snovi viskoelastiˇcne. Njihovo obnaˇsanje je odvisno od tega, kako hitro kaj z njimi poˇcnemo.
1Vˇcasih se sliˇsi tudi termin mehanika kontinuumov. Tega preganjam. Latinske besede slovenimo tako, da vzamemo osnovo (pri besedicontinuumje tocontinu), jo prepiˇsemo v slovenˇsˇcino in nanjo nataknemo slovenska obrazila (kontinu−ov)!
1.2. OHRANITVENI ZAKONI POGLAVJE 1. MEHANIKA KONTINUOV
Poglavje 2
Elastomehanika
2.1 Kinematika deformacije
Pri deformaciji se izbran del telesa, torej skupek njegovih atomov oziroma molekul, premakne iz izhodiˇsˇcne v neko drugo lego: ˇce smo pred deformacijo njegovo lego opisali skrajevnim vektorjemr, oziroma v komponentah xi, jo po deformaciji opiˇsemo s krajevnim vektorjemR(r).
Zavedati se moramo, da lahko lego skupka atomov oz. molekul, torej bodisir ali pa R(r) definiramo le v snoveh, kjer imajo atomi (oziroma molekule) poloˇzajski red dolgega dosega. Vsak atom oz. molekulo torej lahko oznaˇcimo tako, da navedemo koordinate toˇcke v prostoru, kjer se nahaja. Za tekoˇcine (pa tudi veˇcino tekoˇcih kristalov) to ni mogoˇce, saj se atomi oz. molekule popolnoma neurejeno gibljejo po prostoru in jih ne moremo povezati z dolˇcenimi toˇckami v prostoru.
Loˇcimo dva opisa deformacije:
• pri enem preberemo dejanske koordinate nekega izbranega delca v telesu v starem, nedeformiranem, koordinatnem sistemu r. To je Lagrangeov opis, ki ga je vpeljal L. de Lagrange v svojem delu Mecanique analytique, Vol II, (1788), stran 268. Uporabljamo ga pri teoriji elastiˇcnosti, kjer nas vedno zanimajo dejanske koordinate delcev snovi pri deformaciji.
• Pri drugem pa preberemo koordinate istega dela telesa v novem - deformiranem koordinatnem sistemu R. Tu koordinate niso veˇc vezane na delce snovi, paˇc pa na element volumna snovi. To pa jeEulerjev opis, ki ga je Leonhard Euler vpeljal v delu Principes generaux du mouvement des fluides, M´emoires de l’Academie de Berlin, (1755), stran 274.. Uporabljamo ga pri hidromehaniki. Mi se bomo zaenkrat ukvarjali s teorijo elastiˇcnosti in bomo uporabljali Lagrangeov opis.
Privzeli bomo princip lokalne akcije: deformacije v telesu so posledice lokalnih sil. Uˇcinke dolgega dosega zanemarimo.
Zakonom, ki povezujejo zunanje uˇcinke z notranjimi odgovori razliˇcnih vrst snovi, pravimokonstitutivni zakoni. Taka sta npr. zakonaD=0Ev elektrodinamiki inF =κ∆l/lpri deformaciji vzmeti. Da bi izpeljali sploˇsne konstitutivne zakone v elastomehaniki, pa moramo najprej znati opisati deformaicjo elastiˇcnega tlesa.
2.1.1 Tenzor deformacije
Posvetimo se najprej kinematikioz. opisu deformacije v zveznem mediju. Oglejmo si transformacijor7−→
R(r); zapisano po komponentah je to:
xi7−→Ri(xk) =xi+ui(xk), (2.1) kjer smo vpeljali vektor deformacije ui(xk), ki pove, za koliko se pri deformaciji premakne toˇcka, ki je bila pred deformacijo v xk. Komponenten zapisui(xk) je popolnoma enakovreden vektorskemu zapisuu(r).
Latinski indeksi seveda teˇcejo od 1−3 in predstavljajo komponentex, y, z.
Razdalja med dvema sosednjima toˇckama na poljubni mnogoterosti se zapiˇse kot
dl20=g(0)ikdxidxk, (2.2)
kjer je g(0)ik metriˇcni tenzor pred deformacijo. dr je seveda vektorska razlika poloˇzajev dveh infinitezimalno sosednjih vektorjev.
2.1. KINEMATIKA DEFORMACIJE POGLAVJE 2. ELASTOMEHANIKA
Pri deformiranem telesu gledamo ustrezno razliko med vektorjemaR(r) inR(r+dr). Tu vpeljemo element razdalje med istima toˇckama po deformaciji z zvezo
dl2=gikdxidxk. (2.3)
Deformacijo potemtakem oˇcitno lahko opiˇsemo kar z metriˇcnim tenzorjem, Lagrangeove koordinate pa ostanejo iste. Razdalja med dvema bliˇznjima toˇckama v telesu pred in po deformacijio zapiˇsemo po definiciji kot
dl2−dl20= (gik−g(0)ik)dxidxk=: 2uikdxidxk, (2.4) kjer je uik (Greenov)tenzor deformacije, ki smo ga vpeljali kot
uik= 1
2(gik−g(0)ik). (2.5)
Tenzor deformacije je oˇcitno tenzor, saj je enak razliki dveh drugih tenzorjev, je pa tudi simetriˇcen,uik=uki, paˇc glede na lastnosti metriˇcnega tenzorja.
Poskusimo ga izraziti z vektorjem odmikaui(xk)! Zaˇcnimo s karteziˇcno 3D mreˇzo na nedeformiranem telesu.
Metriˇcni tenzor je kar identitetna matrika, kar pomeni, da od produkta preˇzivijo le diagonalni elementi, torej elementi z enakim indeksom:
dl02=dxidxi=dx2i. (2.6)
Sedaj telo infinitezimalno deformiramo. Vsaka toˇcka xk se preslika v Ri(xk), zato je razdalja med dvema infinitezimalno bliˇznjima toˇckama po deformaciji1:
dl2=dRidRi=dR2i. (2.7)
Tu smo prepostavili, da sta si toˇcki, ki sta si blizu pred deformacijo, blizu tudi po njej. Obiˇcajno je to res, razen v primerih, ko se telo pretrga, s katerimi pa se tu ne bomo ukvarjali. Ker je po definiciji vektorja deformacije R(r) =r+u(r), sledi
dRi=dxi+ ∂ui
∂xk
dxk. (2.8)
Od tod sledi:
dl2=dRidRi=
dxi+ ∂ui
∂xk
dxk
·
dxi+ ∂ui
∂xp
dxp
. (2.9)
Zmnoˇzimo in imamo dxidxi+ ∂ui
∂xkdxidxk+ ∂ui
∂xpdxidxp+ ∂ui
∂xk
∂ui
∂xpdxkdxp= =dl02
+ ∂up
∂xk +∂uk
∂xp + ∂ui
∂xk
∂ui
∂xp
dxpdxk. Pri linearnih ˇclenih smo indeksiv drugem ˇclenu spremenili vp, v tretjem pa vk– to lahko naredimo, saj so i,pin knemi indeksi. Po definiciji je kot vemo
dl2−dl02= 2upkdxpdxk (2.10)
in po primerjavi z prejˇsnjo enaˇcbo ugotovimo, da je Greenov tenzor uik= 1
2 ∂ui
∂xk
+∂uk
∂xi
+∂ul
∂xi
∂ul
∂xk
. (2.11)
Clenˇ ∂x∂ui
k+∂u∂xk
i imenujemo linearna komponenta tenzorjauik, ˇclen ∂u∂xl
i
∂ul
∂xk pa nelinearna (kvadratna) kompo- nenta tenzorja uik. Mi se bomo ukvarjali z linearno teorijo elastiˇcnosti, zato bomo nelinearni del zanemarili.
To pomeni, da se bomo v nadaljevanju omejili na majhne deformacije. V linearnem opisu deformacije je uik uik=1
2 ∂ui
∂xk +∂uk
∂xi
(2.12) ravno simetriziran gradient deformacijskega vektorjaui. Imenujemo ga tudiGreenov tenzor.
1infinitezimalna razlika med dvema toˇckama je ˇse vedno evklidska
POGLAVJE 2. ELASTOMEHANIKA 2.1. KINEMATIKA DEFORMACIJE
2.1.2 Fizikalen pomen komponent tenzorja deformacije
Zanima nas ˇse pomen komponent tenzorja deformacije. Najprej si oglejmo, kako se transformira majhen vektor. ki kaˇze pred deformacijo recimo vxsmeri, (dx1,0,0). Dolˇzina tega vektorja je po deformaciji
dl2=dx12+ 2uikdxidxk =dx21+ 2u11dx12=dx21(1 +u11). (2.13) Oziroma od tod ko korenimo in razvijemo pou11 do najniˇzjega reda
dl=dx1(1 +u11). (2.14)
Od tu dobimo za relativni raztezek vektrojadx1pred in podeformacijo u11= dl−dx1
dx1 . (2.15)
Enako bi lahko dobili za vse diagonalne komponente tenzorja deformacije. Zakljuˇcimo, da diagonalne kompo- nente tenzorja deformacije predstavljajo relativne raztezke v posameznih smereh.
Zanima nas ˇse pomen nediagonalnih elementov v tenzorju. Zato si oglejmo, kako se transformirajo koti med smermi pred in po deformacijo. Vzemimo ortogonalna vektorja v dveh smereh, recimo, (dx1,0,0) in (0, dx2,0).
Prvi vektor naj se transformira vdR(1) = (dR(1)1 , dR(1)2 , dR(1)3 ), drugi pa v dR(2) = (dR(2)1 , dR(2)2 , dR(2)3 ). Pri tem za komponente prvega vektorja po definiciji zapiˇsemo:
dR1(1)=dx1+∂u1
∂x1dx1=
1 + ∂u1
∂x1
dx1, (2.16)
kjer je
dR2(1) = ∂u2
∂x1dx1, dR3(1) = ∂u3
∂x1dx1, (2.17)
in za drugi vektor
dR1(2) = ∂u1
∂x2
dx2, dR2(2) = dx2+∂u2
∂x2
dx2=
1 +∂u2
∂x2
dx2, dR3(2) = ∂u3
∂x2dx2. (2.18)
Sedaj izraˇcunamo skalarni produkt dR(1)·dR(2)=|dR(1)||dR(2)|cosθ12in ohranimo le linearne ˇclene dR(1)·dR(2)≈ ∂u1
∂x2dx1dx2+∂u2
∂x1dx1dx2= 2u12dx1dx2. (2.19) Ker je |dx1| · |dx2| do lieanrnega reda enako |dR(1)||dR(2)| (relativni raztezki so namreˇc po predpostavki majhni), je
dR(1)·dR(2) =|dR(1)||dR(2)|cosθ12≈2u12dx(1)dx(2). (2.20) Od tod pa sledi
2u12= cosθ12. (2.21)
Enak rezultat bi dobili za ostale nediagonalne elemente. Torej je npr. nediagonalni element u12 poloviˇcni kosinus kota med novima smerema prve in druge koordinatne osi, ki sta bili pred deformacijo pravokotni med seboj.
Kaj pa se zgodi z volumnom telesa po defromaciji? Pred deformacijo je volumski element v telesu po definiciji
dV0=dx1dx2dx3, (2.22)
po deformaciji pa
dV =dR1dR2dR3. (2.23)
2.1. KINEMATIKA DEFORMACIJE POGLAVJE 2. ELASTOMEHANIKA
Iz vektorske analize vemo, da lahko diferencial volumna zapiˇsemo z Jacobijevo determinantoJ(r) takole:
dV =
det∂Ri(r)
∂xk
dV0=J(r)dV0. (2.24)
Ker je Ri(xl) =xi+ui(xl) lahko v linearnem redu izpeljemo J(r) = det
∂xi+ui(xl)
∂xk
= det
δik+∂ui(xl)
∂xk
= (1 +Truik) +O(uik), (2.25) ali drugaˇce
dV −dV0
dV0
=Truik. (2.26)
Sled tenzorja deformacije je torej enaka relativni spremembi volumna pri deformaciji. Bilo bi neprijetno, ˇce bi bila ta relativna sprememba volumna odvisna od izbire koordinatnega izhodiˇsˇca. Na sreˇco temu ni tako.
Ponovimo: diagonalni elementi tenzorja napetosti predstavljajo relativne spremembe doˇzine vektorjev, nediagonalni spremembe pravih kotov in sled relativno spremembo elementa volumna.
2.1.3 Fotoelastiˇ cni efekt
Ali lahko deformacijo v telesu opazimo neposredno? ˇZe od Maxwella naprej lahko deformacijo teles vizual- iziramo s po moˇcjo fotoelastiˇcnega efekta. Do fotoelastiˇcnega efekta pride, ko je prozoren material pod
Slika 2.1: Fotoelastiˇcbi efekt na modelu gotskega cerkvenega stebra.
izpostavljen deformacijam. Le-te se ponavadi spreminjajo po volumnu telesa in povzroˇcajo lokalne variacije v lomnem koliˇcniku. To seveda vodi do variacij v lokalni hitrosti svetlobnega valovanja v telesu. ˇCe skozi takˇsno telo potuje polarizirana svetloba pride do interference delov ˇzarka, ki gredo skozi dele telesa z ra- zliˇcnimi svetlobnimi hitrostmi. ˇCe jih pravlno interpretiramo lahko iz interferenˇcnih slik razberemo velikosti lokalne deformacije v telesu. To je torej princip fotoelastiˇcnosti.
2.1.4 Cauchy - Stokesova dekompozicija
S pomoˇcjo deformacijskega tenzorja lahko zelo elegantno ugotovimo, kako se v sploˇsnem premaknejo deli deformabilnega telesa. ˇCe je v toˇskir0vektor deformacijeu(r0), potem je v sosednji toˇcki, oddaljeni zadrod r0, vektor deformacije
ui(r0+dr) =ui(r0) +∂ui(r0)
∂xk
dxk+O(dxk). (2.27)
To lahko zapiˇsemo tudi takole
ui(r0+dr) =ui(r0) +12∂u
i(r0)
∂xk +∂u∂xk(r0)
i
dxk+12∂u
i(r0)
∂xk −∂u∂xk(r0)
i
dxk, (2.28)
POGLAVJE 2. ELASTOMEHANIKA 2.1. KINEMATIKA DEFORMACIJE
oziroma kot
ui(r0+dr) =ui(r0) +uik(r0)dxk+ωik(r0)dxk, (2.29) kjer je seveda
uik= 12∂u
i(r0)
∂xk +∂u∂xk(r0)
i
ωik=12∂u
i(r0)
∂xk −∂u∂xk(r0)
i
. (2.30)
Prvi del predstavlja torej deformacijo, drugi pa vsebuje nek antisimetriˇcni tenzor ωik. Ker je vsak anti- simetriˇcen tenzor ekvivalenten nekemu aksialnemu vektorju, ta ˇclen predstavlja rotacijo. Poglejmo toˇcno kako.
Antisimetriˇcni tenzorωik lahko v sploˇsnem zapiˇsemo kot
ωik=−12 iklωl=
0 −ω3 ω2 ω3 0 −ω1
−ω2 ω1 0
. (2.31)
Ta izraz velja sploˇsno za vsak antisimetriˇcni tenzor. Pravimo, da je antisimetriˇcne tenzor ekvivalenten nekemu vektorju, v zgornjem primeru vektorjuω. Vektor ωimenujemo tudiaksialni vektor. Od tod ˇze sledi, da je ωikdxk =−12 iklωl dxk =12 ω×dr. (2.32) Nazdnje lahko torej zapiˇsemo za vrednost vektorja odmika v dveh sosednjih toˇckah v telesu
ui(r0+dr) =ui(r0) +uik(r0)dxk+12 (ω(r0)×dr)i. (2.33) Oziroma ˇse malo drugaˇce, ˇce uvedemo tole dekompozicijo Greenovega tenzorja
uik(r0) =dik(r0) +13(uii(r0))δik=dik(r0) +13(∇·u(r0))δik (2.34) v kateri je novi tenzordikbrezsleden, dobimo konˇcno za Cauchy - Stokesovo dekompozicijo vektorja deformacije ui(r0+dr) =ui(r0) +13(∇·u)dxi+dik(r0)dxk+12 (ω(r0)×dr)i. (2.35) Zgornjo enaˇcbo preberemo takole: deformacija v bliˇzini toˇcker0 je sestavljena iz
• spremembe volumna, ˇclen 13(∇·u)dxi
• striˇzne deformacije brez spremembe volumna, ˇclendik(r0)dxk zdii = 0.
• rotacije, ˇclen 12 ω(r0)×dr.
Zgornjo trditev imenujemo tudi Cauchy - Stokesov izrek o dekompoziciji deformacije zveznega telesa. Krogla v okolici toˇcker0se bo torej v sploˇcnem deformirala v rotacijski elipsoid s premaknjenimi glavnimi osmi kot ga shematsko prikazuje tudi slika.
2.1.5 Invariante tenzorja deformacije
SledTruikje invarianta tenzorja in ni vezana na doloˇcen koordinatni sistem. To vemo iz linearne algebre. Pri iskanju lastnih vrednosti linearnega operatorjauikso namreˇc koeficienti karakteristiˇcnega polinoma invariante operatorja:
det(uik−tδik) =−t3+I1t2−I2t+I3= 0. (2.36) InvarianteI1,I2,I3 so definirane kot
I1 = 12mnpinpuim=Truik
I2 = 12mnpmjkunjupk=12
(Truik)2−Truik2
= 12(ujjukk−ukjujk)
I3 = 16mnpijkuimujnukp= detuik. (2.37)
V definicijah skalarnih invariant tenzorja smo vpeljali εijk, Levi-Civitajev absolutno antisimetriˇcni tenzor 3.
reda, katerega elementi so:
εijk=
1 ; (ijk) je soda permutacija
−1 ; (ijk) je liha permutacija 0 ; sicer
(2.38) Pomagal nam bo pri bolj simetriˇcnem zapisu razliˇcnih enaˇcb tudi kasneje. Zati si ga zapomnimo.
2.2. LAGRANGEOVA FUNKCIJA IN ENA ˇCBA GIBANJA POGLAVJE 2. ELASTOMEHANIKA
Slika 2.2: Krogla v okolici toˇcke r0 se v sploˇcnem deformira v rotacijski elipsoid s premaknjenimi glavnimi osmi.
2.2 Lagrangeova funkcija in enaˇ cba gibanja
Sedaj imamo opis deformacije telesa in postavi se seveda vpraˇsanje, kakˇsne so ustrezne gibalne enaˇcbe.
Postopali bomo podobno kot v mehaniki toˇckastih teles in najprej zapisali ustrezno Lagrangeovo funkcijo in od tod izpeljali enaˇcbe gibanja.
V klasiˇcni (analitiˇcni) mehaniki toˇckasteih delcev lahko izpeljemo osnovno enaˇcbo gibanja tudi s pomoˇcjo Hamiltonovega naˇcela, tako da poiˇsˇcemo ekstrem klasiˇcne akcije
S= Z
L(r(t),r(t))dt,˙ (2.39)
ki vodi do Euler - Lagrangeove enaˇcbe v obliki d dt
∂L
∂r(t)˙
− ∂L
∂r(t)
= 0. (2.40)
Le-ta ni niˇc drugega kot nekoliko drugaˇcen zapis Newtonovega zakona gibanja. Pri tem je Lagrangeova funkcija ravno razlika med kinetiˇcno in potencialno energijo delcaL=Wk−Wp.
Tudi v elastomehaniki lahko postopamo podobno, le da moramo ves ˇcas upoˇstevati zvezno naravo snovi, ki jih obravnavamo. Posledica tega dejstva je, da se mora Lagrangeova funkcija zapisati kot volumski integral po telesu. Kinetiˇcna energija zveznega deformabilnega telesa, katerega lokalne odmike od ravnovesja opisuje deformacijski vektor u(r) se da zapisati kot
Wk= 1 2
Z
V
ρu˙2(r, t)d3r. (2.41)
Zgornja enaˇcba skorajda ne potrebuje komentarja. Nekoliko manj trivialne so zadeve pri potencialni energiji.
Najprej bomo predpostavili, da so interakcije med posameznimi deli telesakratkega dosega. To pomeni, da so med seboj sklopljeni le najbliˇzji deli okolice neke toˇcke v elastiˇcnem telesu. ˇCe so atomi ali molekule telesa v ravnovesju na mreˇzni razdalji a, potem imamo po predpostavki samo sklopitve medu(r) inu(r+a). Ker pa je
ui(r+a)−ui(r)∼ ∂ui(r)
∂xk
ak+O(a2) =uikak+O(a2) (2.42) to pomeni, da mora biti potencialna energija zgolj funkcija gradientov vektorja deformacije. Pomembni pred- postavki tu sta dve: da imamo v telesu pozicijski red, ki definira najbliˇzje sosede in da med seboj interagirajo zopet le najbliˇzji sosedje. ˇCe nadaljujemo v tej smeri, moramo ugotoviti ˇse, da se gradient vektorja deformacije deli na simetriˇcni del, ki ustreza pravim deformacijam, in antisimetriˇcni del, ki ustreza lokalnemu vrtenju.
POGLAVJE 2. ELASTOMEHANIKA 2.3. NAPETOSTNI TENZOR
To slednje seveda ne more prispevati k potencialni energiji telesa v ravnovseju. Ostane nam torej trditev:
potencialna energija deformaicje mora biti odvisna od Greenovega tenzorja deformacije. Potemtakem se mora dati zapisati kot
Wp= Z
V
f(uik(r, t))d3r− Z
V
ρfz·u(r, t)d3r. (2.43) Drugi del predstavlja zgolj deformacijsko delo zunanjih sil.
V primeru zveznega telesa torej zapiˇsemo nujo v obliki S =
Z L
ui(r, t),u˙i(r, t),∂ui(r, t)
∂xk
d3rdt (2.44)
kjer jeL tokratgostotaLagrangeove funckije podana z L
ui(r, t),u˙i(r, t),∂ui(r, t)
∂xk
=1
2ρu˙2(r, t)−f(uik(r, t)) +ρfz·u(r, t). (2.45) Glede na to, da je nuja sedaj funkcional ˇstirih parametrov: ˇcasatin treh komponent vektorjar, lahko ustrezno Euler - Lagrangeovo enaˇcbo zapiˇsemo v obliki
∂
∂t ∂L
∂u˙i
+ ∂
∂xk
∂L
∂∂x∂ui
k
!
− ∂L
∂ui
= 0. (2.46)
Ker jeuik ravno simetriziran gradient vektorja deformacije velja
∂L
∂∂x∂ui
k
!
= ∂L
∂uik
. Euler-Lagrangeova enaˇcba En. 2.46 pa se torej konˇcno glasi
ρ¨ui=− ∂
∂xk
∂L
∂uik
+ρfiz, (2.47)
oziroma, ˇce upoˇstevamo, da je v Lagrangeovi funkciji lef(uik(r, t)) odvisna od tenzorja deformacije ρ¨ui= ∂
∂xk
∂f(uik(r, t))
∂uik
+ρ fiz. (2.48)
To enaˇcbo ponavadi zapiˇsemo ˇse nekoliko drugaˇce. Najprej uvedemonapetostni tenzorkot pik= ∂f(uik(r, t))
∂uik
, (2.49)
s pomoˇcjo katerega se Euler - Lagrangeova enaˇcba zapiˇse kot ρ¨ui= ∂pik
∂xk
+ρ fiz. (2.50)
Zgornjo enaˇcbo imenujemo ponavadi tudi bf Cauchyjeva enaˇcba. za zvezno telo in nadomeˇsˇca v tem primeru drugi Newtonov zakon. Potencialna energija deformacije pri konstantni tenmperaturi ni niˇc drugega kot prosta energija deformacije. Zgornja definicija tenzorja napetosti torej pravi, da je le ta enak odvodu proste energije deformacije po tenzorju deformacije. Kot tak predstavlja posploˇsitev pojma sile na zvezne medije. A ne pozabimo: pozicijski red in sile kratkega dosega.
Da bi reˇsili zgornjo enaˇcbo nam manjka ˇse konstitutivna relacija pik = pik(ui) = pik(uik). V najbolj preprosti obliki se ta konstitutivna relacija imenuje Hookeov2 zakon in ga bomo izpeljeli nekoliko pozneje.
2.3 Napetostni tenzor
2.3.1 Geometrija sil
Euler-Lagrangeovo enaˇcbo gibanja lahko interpretiramo tudi takole ρ¨ui =∂pik
∂xk
+ρ fiz=ρ fi, (2.51)
2R. Hooke, 1678
2.3. NAPETOSTNI TENZOR POGLAVJE 2. ELASTOMEHANIKA
kjer jeficeltona sila na enoto mase, ki deluje na telo. Sestavljena je torej iz zunanjih sil in napetosti v telesu.
Celotno silo na telo sedaj dobimo tako, da zgornjo enaˇcbo integriramo po volumnu telesaV takole Fi =
Z
V
ρ fid3r= Z
V
ρ fied3r+ Z
V
∂pik
∂xkd3r. (2.52)
Prvi integral predstavlja interakcijo z zunanjimi polji kot npr. teˇznostjo, drugi pa interakcije med deli telesa.
Po analogiji z Gaussovim teoremom, po katerem je integral vektorja a po povrˇsini enak integralu divergence tega vektorja po volumnu
I
akdSk = Z ∂ak
∂xkdV
uvidimo da lahko zapiˇsemo podobno relacijo tudi za tenzorpik in sicer kot I
pikdSk = Z ∂pik
∂xk
dV
. To se da pokazati za vsako komponento i posebej, saj imamo opraviti z Gaussovim izrekom za vsako komponentoi.
Celotno silo, ki deluje na zvezno deformabilno telo lahko potenmtakem zapiˇsemo kot Fi=
I
∂V
pikdSk+ Z
V
ρ fie(r)d3r, (2.53)
kjer gre povrˇsinski integral ravno po meji volumna telesa∂V. V primeru, ko nimamo zunanjih sil, drugi ˇclen seveda odpade. Za nek neskonˇcno majhen del povrˇsine je potem pik ravno sila na enoto povrˇsine, ki deluje v smeri i, ˇce normala elementa povrˇsine kaˇze v smeri k. Namesto dSk piˇsimo produkt enotskega vektorja normale na povrˇsino ter elementa ploˇsˇcine:
Fi= I
∂V
piknkdS. (2.54)
Produktpiknksmemo tako interpretirati kotgostoto sile na enoto povrˇsinev smerii. Zaenkrat ˇse ne vemo
Slika 2.3: Lokalna geometrija sile in povrˇsine pri definiciji tenzorja napetosti.
niˇc o simetrijskih lastnostih tenzorja napetosti. Ob te bomo trˇcli ˇsele pri ohranjevanju vrtilne koliˇcine deformi- rane snovi. Obstoj tenzorja napetosti je posledica dejstva, daje potencilna energhija deformacije funkcijauik, kar pa je zopet posledica dejstva, da so interakcije med deli telesa kratkega dosega in da v ravnovesju vlada v telesu pozicijski red dolgega dosega.
2.3.2 Mohrov krog
Poglejmo si v dveh dimenzijah normalno in tangencialno komponento sile na povrˇsino, podano z normalonin tangentot, tako da jen·t= 0,
n= (sinθ,cosθ) t= (cosθ,−sinθ). (2.55)
POGLAVJE 2. ELASTOMEHANIKA 2.3. NAPETOSTNI TENZOR
Za normalni in tangencialni komponenti sil,Fn inFtna to povrˇsino dobimo
Fn=piknink Ft=piknitk (2.56)
oziroma
Fn =p11sin2θ+p22cos2θ+2p12sinθcosθ Ft=p11sinθcosθ−p22sinθcosθ−p12sin2θ+p21cos2θ. (2.57) Upoˇstevajmo vse potrebne trigonometriˇcne zveze sin2θ = 12(1−cos 2θ) in cos2θ = 12(1 + cos 2θ) pa od tod dobimo, ˇce seˇstejemo ustrezne kvadrate ˇclenov, ki nastopajo v En. 2.57
Fn−p11+p22 2
2
+Ft2=p212+
p11−p22 2
2
. (2.58)
Ce sedajˇ Fn in Ft vzamemo za koordinati, potem to ni niˇc drugega kot enaˇcba kroga,Mohrovega 3 kroga, ki ima radij
q
p212+ p11−p2 222
in ima srediˇsˇce na abscisi pri Fn= p11+p22
2 = 12Trpik, (2.59)
kar je ravno povpreˇcna vrednost napetosti, ki je invarianta. Radij Mohrovega kroga pa je najveˇcja moˇzna striˇzna napetost, ki jo lahko torej zapiˇsemo kot
Ftmax=p212+
p11−p22
2 2
. (2.60)
Preseˇciˇsˇci Mohrovega kroga z absciso,Ft= 0, sta doloˇceni z enaˇcbo
Slika 2.4: Mohrov krog v dveh dimenzijah.
Fn0−p11+p22 2
2
=p212+
p11−p22 2
2
. (2.61)
Ce bi imeli tenzor napetosti podan v lastnem koordinatnem sistemu, torejˇ p12= 0, potem bi bili obe preseˇciˇsˇci z absciso ravnop11in p22. Kotθbi v tem primeru prdstavljal kot med lastnimi smermi tenzorja napetosti in pa smerjo normale na povrˇsino, kjer nas zanimata normalna in tangencialna komponenta sile.
Obliko Mohrovega kroga v dveh dimenzijah nam predstavlja slika. Omogoˇca nam, da iz oblike komponent tenzorja napetosti zlahka razberemo ustrezne tangencialne in normalne sile, ki delujejo na poljuben povrˇsinski element v prostoru. To naredimo takole: doloˇcimo kot med smermi koordinatnega sistema v katerem je defini- ran tenzor napetosti in pa smerjo normale povrˇsine, kjer nas zanimata normalna in tangencialna komponenta sile. Ta kot nam v Mohrovem krogu takoj doloˇsi tudi obe komponenti sileFn inFt, glej sliko 2.3.2.
3fizik
2.4. OHRANJEVALNI ZAKONI POGLAVJE 2. ELASTOMEHANIKA
2.4 Ohranjevalni zakoni
2.4.1 Zakon o ohranjevanju gibalne koliˇ cine
V tem podpoglavju bomo izpeljali Newtonov zakon za zvezno telo, ki mu obiˇcajno pravimo tudi Cauchyjev zakonin ki nam dejansko govori o ohranjevanju gibalne koliˇcine v primeru, ko nimamo zunanjih sil.
Euler - Lagrangeovo enaˇcbo En,. 2.50 integrirajmo po volumnu in definirajmo gibalno koliˇcino telesa kot G=
Z
V
ρud˙ 3r, (2.62)
oziroma v komponentah
Gi = Z
V
ρu˙id3r. (2.63)
Potem dobimo
dGi
dt =Fiz+ Z
∂V
piknk dS, (2.64)
kjer je Fiz ravno celotna zunanja sila na telo, enaka volumskemu integralu ρfiz po telesu. Prvi volumskem integralu divergence napetostnega tenzorja a zmo upoˇstevali Gaussov izrek.
Ce nimamo zunanjih sile potem se zgornja enaˇˇ cba reducira na dGi
dt = Z
∂V
piknk dS. (2.65)
Zgornja enaˇcba nam pove, da je celotna sila na telo, torej odvod njegove gibalne koliˇcine, uravnoteˇzena s silami, ki delujejo na njegovo povrˇsino, pri ˇcemer je povrˇsinska gostota teh sil enaka
F(∂V)i =piknk. (2.66)
V kolikor je telo na povrˇsini prosto in torej nanj tam ne delujejo nobene sile, potem je tudi povrˇsinski integral z zgornji enaˇcbi niˇc in dobimo ohranjevanje gibalne koliˇcine
Gi= Z
V
ρu˙id3r=const. (2.67)
Gibalna koliˇcina se torej za zvezno telo ohranja le, ˇce nimamo nobenih zunanjih sil in ˇce je povrˇsina telesa prosta, torej je napetostni tenzor na njej enako niˇc. Ta zahteva je posploˇsitev pogojev za ohranjevanje gibalne koliˇcine toˇckastega telesa.
2.4.2 Zakon o ohranjevanju vrtilne koliˇ cine in simetriˇ cnost p
ikEuler - Lagrangeovo enaˇcbo En,. 2.50 sedaj pomnoˇzimo vektorsko zrin integrirajmo po volumnu telesa. ˇSe pred tema pa definirajmo vrtilno koliˇcino telesa kot
Γ= Z
V
ρr×ud˙ 3r, (2.68)
oziroma v komponentnem zapisu kot
Γi= Z
V
ρ ijkxju˙kd3r. (2.69)
Sedaj upoˇstevajmo, da je ˙r= ˙u, kar najbrˇz ni potrebno posebej utemeljevati. Potemtakem dobimo iz Euler - Lagrangeove enaˇcbe
dΓi
dt =Miz+ Z
V
ijkxj
∂pkl
∂xl d3r. (2.70)
kjer je Miz ravno celotni navor zunanjih sil na telo definiran kot M=
Z
V
ρr×fzd3r, (2.71)
oziroma v komponentnem zapisu kot
Mi= Z
V
ρ ijkxjfkzd3r. (2.72)
POGLAVJE 2. ELASTOMEHANIKA 2.4. OHRANJEVALNI ZAKONI
Sedaj lahko zadnji ˇclen v En. 2.70 razpiˇsemo kot ijk
Z
V
xj
∂pkl
∂xl
d3r=ijk
Z
V
∂(xjpkl)
∂xl
d3r−ijk
Z
V
∂xj
∂xl
pkld3r. (2.73)
Prvi ˇclen je volumski integral divergenceεijkxjpkl. Pri drugem ˇclenu pa upoˇstevamo ijk∂xj
∂xl
pkl=ijkδjlpkl=εijkpkj =1
2(εijkpkj−εikjpkj). (2.74) Indeksi v drugem ˇclenu so nemi, zato smemokinj zamenjati, ter izpostavitiεijk. Tako dobimo na koncu
ijkpkj=1
2ijk(pkj−pjk).
En. 2.70 lahko potemtakem zapiˇsemo v obliki dΓi
dt =Miz+ijk
Z
V
∂(xjpkl)
∂xl
d3r−1 2ijk
Z
V
(pkj−pjk)d3r. (2.75) Po Gaussovem izreku sedaj lahko v zgornji zvezi pretvorimo divergenco temnzorja na povrˇsinski integral in ostanemo z
dΓi
dt =Miz+ijk
Z
∂V
(xjpkl)nldS−1 2ijk
Z
V
(pkj−pjk)d3r. (2.76) Povrˇsinski integral ne vsebuje niˇc drugega kot povrˇsinsko gostoto navorov na mejo telesa definirano kot
M(∂V)i=ijk(xjpkl)nl. (2.77)
Ce nimamo zunanjih navorov in ˇˇ ce je telo na povrˇsini prosto, podobno kot pri ohranjevanju gibalne koliˇcine, potem ostanemo z
dΓi
dt =−1 2ijk
Z
V
(pkj−pjk)d3r. (2.78)
To pa je nesmisel, saj bi iz zgornjega sledilo, da se vrtilna koliˇcina telesa ne ohranja tudi ˇce nanj ne delujejo nobeni volumski ali povrˇsinski navori. Torej mora potemtakem veljati
pkj=pjk. (2.79)
Napetostni tenzor mor atorej bitisimetriˇcen. V tem primeru imamo tudi ohranjevanje vrtilne koliˇcine Γi=
Z
V
ρ ijkxju˙k d3r=const. (2.80) Za neobremenjeno telo se torej celotna vrtilna koliˇcina ohranja. To velja seveda le, ˇce je napetostni tenzor simetriˇcen. Simetriˇcnost deformacijskega tenzorja je sledila skoraj avtomatiˇcno iz definicije.
2.4.3 Zakon o ohranjevanju energije
Zaˇcnimo zopet s Caucyjevo enaˇcbo in jo skalarno pomnoˇzino z vektorjem hitrosti ˙u. Dobimo ρ¨uiu˙i= ∂pik
∂xku˙i+ρ fizu˙i. (2.81)
Sedaj zgornji rezultat integriranmo po volumnu telesa, pa ga lahko zapiˇsemo tudi takole d
dt Z
V 1
2ρu˙2i d3r=R
V ρ fizu˙i d3r+R
V
∂piku˙i
∂xk d3r−R
V pik∂x∂u˙i
k d3r. (2.82)
Upoˇstevajmo sedaj ˇse dejstvo, da je napetostni tenzor simetriˇcen, pa sledi za zadnji ˇclen
−pik
∂u˙i
∂xk
=−1 2
∂u˙i
∂xk
(pik+pki) =−1 2pik
∂u˙i
∂xk
+∂u˙k
∂xi
=−piku˙ik, (2.83) kjer smo pri zadnje enaˇcaju upoˇstevali nemost indeksov pri seˇstevanju in pa definicijo tenzorja deformacije.
Tako lahko zapiˇsemo d dt
Z
V
1
2ρu˙2i d3r= Z
V
ρ fizu˙i d3r+ Z
V
∂(piku˙i)
∂xk
d3r− Z
V
piku˙ikd3r. (2.84)
2.4. OHRANJEVALNI ZAKONI POGLAVJE 2. ELASTOMEHANIKA
To pa sedaj lahko prepiˇsemo v sledˇci obliki d
dt Z
V
1 2ρu˙2i +
Z
pikduik
d3r= Z
V
ρ fizu˙i d3r+ Z
∂V
(piku˙i)nk dS. (2.85) V zadnjem integralu smo zopet upoˇstevali Gaussov izrek in divergenco tenzorja zapisali s povrˇsinskim inte- gralom. ˇClena na desni strani enaˇcbe sedaj prepoznamo kot celotno moˇc vsote vseh sil na telo
P= Z
V
ρ fizu˙i d3r+ Z
∂V
(piku˙i)nk dS. (2.86)
Torej nazadnje velja
d dt
Z
V
1 2ρu˙2i +
Z
pikduik
d3r=P. (2.87)
Kar ni niˇc drugega kot zakon o ohranjevanju celotne energije elastiˇcnega telesa. Namreˇc, ˇce na telo ne delujejo nobene volumske in povrˇsinske sile potem je oˇcitno
Z
V
1 2ρu˙2i +
Z
pikduik
d3r=const. (2.88)
Sedaj se spomnimo, da je napetostni tenzor definiran kot pik= ∂f(uik(r, t))
∂uik , (2.89)
pa torej lahko zapiˇsemo za celotno energijo deformabilnega telesa oziroma za njegovo Hamiltonovo fuinkcijo H[u(r, t)] =
Z
V
1
2ρu˙2(r, t)i+f(uik(r, t))
d3r. (2.90)
Le-ta je seveda funkcional vektorjs deformacije in njegovih odvodov. Cauchyjevo enaˇcbo bi sedaj lahko dobili tudi skozi formalizem ustreznih Hamiltonovih enaˇcb.
2.4.4 Ohranjevanje energije in nemehanski energijski tokovi
Doslej smo vedno govorili o mehaniki, torej o odmikih in gibanju. Izvori spreminjanja energije pa niso vedno mehanski. Lahko so tudi termodinamski kot recimo kemijske reakcije, toplotni tokovi, masni tokovi ipd. V tem primeru ima energijski zakon nekoliko drugaˇcno obliko.
V primeru nemehanskih energijskih tokov moramo k moˇci priˇsteti ˇse en del, ki je posledica teh tokov.
Oznaˇcimo gostoto nemehanskega energijskega toka z q, potem sledi P =
Z
V
ρ fizu˙i d3r+ Z
∂V
(piku˙i)nk dS+ Z
∂V
qink dS. (2.91)
Enaˇcbo o ohranjevanju energije lahko potemtakem zapiˇsemo kot d
dt Z
V
1
2ρu˙2i +f(uik(r, t))
d3r= Z
V
ρ fizu˙i d3r+ Z
∂V
(piku˙i)nk dS+ Z
∂V
qink dS. (2.92) Sedaj vse povrˇsinske integrale s pomoˇcjo Gaussovega izreka predelajmo v volumske integrale, pa dobimo
Z
V
d dt
1
2ρu˙2i +f(uik(r, t))
−ρ fizu˙i−∂(piku˙k)
∂xi −∂qi)
∂xi
d3r= 0. (2.93)
To pa lahko zapiˇsemo tudi kot
˙ ui
ρu¨i−∂pik
∂xk
−ρ fiz
+ρd
dtf(uik(r, t))−pik∂u˙i
∂xk
− ∂qi
∂xi
= 0, (2.94)
kjer smo nekajkrat upoˇstevali simetriˇcnost tenzorja napetosti. Spomnimo se sedaj ˇse Cauchyjeve enaˇcbe En.
2.50, upoˇstevamo definicijo deformacijskega tenzorja in simetriˇcnost tenzorja napetosti, pa dobimo na koncu ρd
dtf(uik(r, t)) =piku˙ik+ ∂qi
∂xi
. (2.95)
To je najbolj sploˇsen zakon o ohranjevanju energije, ki ga lahko izpeljemo za zvezno deformabilno telo. Pravi, da so spremembe v prosti energiji telesa posledica toka gibalne koliˇcine in nemehanskih tokov energije, oziroma
ρ df(uik(r, t)) =pik duik+dq, (2.96)
kjer jedq gostota dovedenega nemehanskega dela. V principu velja ta energijski za poljubne tudi nemehanske izvore energijskih sprememb v telesu in predstavlja zvezno enaˇcico prvega zakona termodinamike. Zapomnimo si ga.
POGLAVJE 2. ELASTOMEHANIKA 2.5. EKSTREMALNI PROBLEM V ELASTOMEHANIKI
2.5 Ekstremalni problem v elastomehaniki
Zgoraj smo torej ugotovili, kako iz Lagrangeove funkcije elastiˇcnega telesa kot funkcije deformacijskega tenzorja pridelamo napetostni tenzor. Ponovimo: ˇce imamo gostoto proste energije v oblikif = f(uik) potem lahko tenzor napetosti izpeljemo iz En. 3.224.
Namesto tega, bi lahko sedaj definirali nov termodinamski potencial oblike
e(pik) =f(uik)−uikpik, (2.97)
pri ˇcemer je seveda
pik= ∂f(uik(r, t))
∂uik
. (2.98)
To ni niˇc drugega kot Legendrova transformacija elastiˇcne proste energije. Oˇcitno smo preˇsli iz neodvisne spremenljivke uik na neodvisno spremenljivko pik! Torej je e = e(pik). Postopek je popolnoma analogen prehodu iz neodvisne spremenljivkeV v prosti energiji Ana neodvisno spremenljivkopv prosti entalpijiG:
G=A−pV. (2.99)
Sedaj postopajmo analogno kot v termodinamiki. Ravnovesno stanje pri ustreza minimumu proste entalpije, oziroma
∂G
∂V
= 0−→p= ∂A
∂V
. (2.100)
Podoben razmislek velja tudi za elastiˇcni termodinamski potencial En. 2.97 ∂e
∂uik
= 0−→pik= ∂f
∂uik
. (2.101)
Ravnovesno stanje v elastomehaniki lahko torej dobimo tudi tako, da poiˇsˇcemo minimum elastiˇcnega potenciala eglede na tenzor elastiˇcne deformacije.
S tem smo problem elastiˇcnega ravnovesja prevedli na ekstremalni problem: poiˇsˇcemo f(uik), izpeljemo prispevek zunanjih napetosti k prosti energiji−uikpikin vsoto obeh minimiziramo po deformaciji! Velikokrat namestoeuporabimo kar isto ˇcrkof.
2.6 Hookeov zakon
2.6.1 Elastiˇ cna energija homogenega, izotropnega telesa
Imejmo izotropno in homogeno snov (npr. polikristalitna snov) in skuˇsajmo izraˇcunati gostoto proste energije za to snov v okviru linearne elastiˇcne teorije. Ker je prosta energija od koordinatnega sistema neodvisen skalar je lahko zgolj funkcija skalarnih invariant tenzorja deformacije. Omejimo se le na skalarne invariante do drugega reda glede na deformacijo, kar je v skladu z linearizacijo tenzorja deformacije.
Kot ˇze vemo, so skalarne invariante koeficienti sekularne enaˇcbe lastnih vrednosti tenzorja deformacije, in smo jih ˇze zapisali v poglavju o kinematiki deformacije. Zapiˇsimo z njimi gostoto proste energije kot linearno kombinacijo skalarnih invariant do drugega reda:
f(uik) =f0+A1I1+A2I12+A3I2+A4I3, (2.102) oziroma
f(uik) =f0+A1Truik+A2Tr2uik+1
2A3(Tr2uik−Tru2ik) +A4detuik. (2.103) Faktor 12pri koeficientuA3je pisan iz zgodovinskih razlogov in nima globljega pomena. KoeficientA1mora biti niˇc, saj sicer napetostni tenzor nikoli ne bi mogel biti niˇceln in bi potemtakem vedno obstajala neka napetost v telesu, ˇcetudi to ne bi bilo deformirano. ˇClen s koeficientom A4 je tretjega reda in ga zato zanemarimo.
Razvoj proste energije do kvadratnega reda po tenzorju deformacije je potemtakem f(uik) =f0+1
2λ(Truik)2+µTru2ik, (2.104) kjer staλinµLam´ejeva elastiˇcna modula in sta odvisna od snovnih lastnosti snovi.
2.6. HOOKEOV ZAKON POGLAVJE 2. ELASTOMEHANIKA
2.6.2 Ut tensio, sic vis
Izraˇcunajmo zdajpik na na¸cin, ki smo ga izpeljali v prejˇsnjem poglavju.
pik= ∂
∂uik
f0+λ
2(Truik)2+µu2ik
. (2.105)
Odvod ˇclenaf0 je 0, druge pa odvajamo, kot smo vajeni:
∂f
∂uik
=λ(Trulj)δik+ 2µuik (2.106)
in tako dobimo
pik=λTruljδik+ 2µuik. (2.107)
To je ravno Hookeov zakon, ki pove, kako so napetosti v telesu odvisne od deformacij. Hooke ga je formuliral kot Ut tensio, sic vis. Za homogeno izotropno telo sta torej dovolj dve snovni konstanti (v Lam´ejevem naboru sta toµin λ), da popiˇsemo zvezo med napetostmi in deformacijami. Za anizotropen kristal imamo v sploˇsnem lahko do 21 elastiˇcnih konstanat.
Delujmo na Navierovo enaˇcbo s sledjo. Dobimo
Trpik= (3λ+ 2µ)Truik. (2.108)
Ob vstavitvi te enaˇcbe v izraz zapikin razreˇsevanjem zauik dobimo:
uik= 1 2µ
pik− λ
2µ+ 3λδikTrpik
. (2.109)
Izpeljali smo torej odvisnost tenzorja napetosti od deformacije in odvisnost deformacije od tenzorja napetosti.
2.6.3 Izotropno telo pod izotropno obremenitvijo
Zgornje enaˇcbe nam povedo, kako se obnaˇsa izotropno telo pod vplivom (v sploˇsnem) neizotropnih napetosti.
Ce bi bile tudi napetosti izotropne, tedaj je namreˇˇ c deformacijski tenzorpik=−pδik, kjer jepravno tlak, bi se morala naˇsa teorija reducirati na termodinamsko zvezo med izotropno deformacijo, torej spremembo volumna, in tlakom. Poglejmo, ˇce to drˇzi.
Iz Hookeovega zakona lahko za izotropno obremenitev izpeljemo
Trpik=−3p= 2µTruik+ 3λTruik= (2µ+ 3λ)Truik. (2.110) Spomnimo se enakostiTruik= dVV , kjer smo privzeli, da je pritisnjeni tlak majhen in je zato tudi sprememba volumna (diferencialno) majhna. To nesemo v prejˇsnji rezultat
−3p= (2µ+ 3λ)dV
V . (2.111)
Ce to obrnemo, dobimo enaˇˇ cbo
3
2µ+ 3λ=−1 V
∂V
∂P
T
(2.112) (predpostavili smo, da je temperatura ves ˇcas konstantna). Po drugi strani je to znan izraz iz termodinamike:
−1 V
∂V
∂P
T
=χT −→χT = 3
2µ+ 3λ. (2.113)
Naˇsa teorija je torej v dani limiti popolnoma konsistentna s termodinamiko! Razliˇcni deli fizike so sicer neodvisni, vendar pa vedno med seboj konsistentni.
2.6.4 Young-Poissonovi snovni konstanti
V tem poglavju se bomo omejili na homogene deformacije, kot je npr. razteg ali skrˇcitev teles vzdolˇz njihovih osi. Imejmo palico, ki jo usmerimo v smeri osiz; Ob raztegu ali skrˇcevanju vzdolˇz te osi so sile na robni ploskvi enakomerne, zato jih bomo opisovali s tlakom p. Ker je deformacija homogena, je deformacijski vektor uik
konstanten po celem telesu, ravno tako tudi napetostni tenzor pik, ki ga lahko zapiˇsemo brez veˇcjih teˇzav ob
POGLAVJE 2. ELASTOMEHANIKA 2.6. HOOKEOV ZAKON
analizi robnih pogojev. Zunanjih sil na plaˇsˇc ni in je zatopiknk = 0; na povrˇsini je od 0 razliˇcna le komponenta pzz=p. Zaradi homogenosti deformacije privzamemo, da to velja tudi v notranjosti palice.
Zapiˇsimo Hookov zakon za diagonalne elemente deformacijskega tenzorja:
uxx = uyy =− λ 2µ(3λ+ 2µ)p, uzz = µ+λ
µ(3λ+ 2µ)p. (2.114)
Komponentauzz nam meri vzdolˇzno deformacijo palice; za laˇzji zapis vpeljimo novo koliˇcino:
E= p uzz,
ki ji pravimoYoungov modul. Komponentiuxxinuyy podajata preˇcno deformacijo palice; tokrat vpeljemo:
σ=−uxx uzz
=−uyy uzz
, (2.115)
ki ji pravimoPoissonovo ˇstevilo. Ti dve koliˇcini nadomestita Lam´ejevi konstantiµinλ; zapiˇsimo transfor- macijske enaˇcbe, ki prevedejo Youngov modul in Poissonovo ˇstevilo v stari nabor:
λ= Eσ
(1−2σ)(1 +σ), µ= E
2(1 +σ). (2.116)
V obratni smeri:
E= (3λ+ 2µ)µ
µ+λ , σ= λ
2(µ+λ). (2.117)
Vidimo, da jeE pozitivno definiten,σpa omejen na [−1,1/2]. To ugotovimo na sledeˇc naˇcin: ˇce izrazimoσs pomoˇcjo sisljivosti κin µ, dobimo
σ= 3κ−2µ
2(3κ+ 2µ), (2.118)
µpa se seveda lahko spreminja na obmoˇcju [0,∞)!
Za Poissonovo razmerje ni nobene univerzalne vrednosti, ˇceprav je Poisson sam, na osnovi teorije mikroskop- skih sil trdil, da mora biti σ = 14. To sledi iz njegove izpeljave Navierove enaˇcbe, ki ustreza dejansko pred- postavki, da je µ = λ. Kadar ne vemo drugaˇce, velikokrat vzamemo sicer v sploˇsnem napaˇcno Poissonovo oceno, da je σ = 14. Za ˇzelezo recimo imamo σ = 0.3, kar res ni daleˇc odσ = 2.5. Prepiˇsimo tudi enaˇcbo
Slika 2.5: Youngov modul za razliˇcne snovi kot funkcija njihove gostote
