911911929 a ==+= 41145810828 a ===+= 21179727 a ==+= 3113468626 a ===+= 52157525 a ==+= 2346424 a ===+= 32135323 a ==+= a =+= 2222 a =+= 3121 nna += 2 = ⊂ = nna += 2

Celotno besedilo

(1)Zbirka nalog za srednje šole: MATEMATIKA A. Cokan, I. Štalec: ZAPOREDJE, DIFERENCIALNI IN INTEGRALNI RAČUN Poglavje I.: ZAPOREDJA, Točka 1: Definicija. Lastnosti zaporedij Stran 7, naloga 8: Dokaži, da je zapredje a n =. n+2 strogo padajoče. n. Kateri členi leže na intervalu [1,2 ; 1,5] Razlaga: Preden se lotim te naloge moram najprej vedeti vsaj dve definciji: kaj je zaporedje in kdaj je zaporedje strogo naraščajoče.. n+2 an = n. a) Strogo padajoče. ND A. Rešitev:. Def.: Zaporedje je funkcija, ki preslika množico naravnih števil ℕ v množico realnih števil ℝ: f: ℕ → ℝ ℕ= {1,2,3...} Zaporedje je naravna funkcija realne spremenljivke f: n a a n. a n = f (n). NA. ali. Ker je ℕ ⊂ ℝ je graf zaporedje a n = f (n) podmnožica grafa realne funkcije realne sprememnljivke a n = f (n) Graf zaporedjase imenuje DISKRETNA množica točk. n=1 n=2 n=3. 1+ 2 a1 = =3 1 2+2 a2 = =2 2 3+ 2 5 2 a3 = = =1 3 3 3 4+2 6 3 a4 = = = = 1,5 4 4 2 5+2 7 2 a5 = = =1 5 5 5 6+2 8 4 1 a6 = = = =1 6 6 3 3 7+2 9 1 a7 = = =1 7 7 2 8 + 2 10 5 1 a8 = = = =1 8 8 4 4 9 + 2 11 1 a9 = = =1 9 9 9. SA. n=4. n+2 n. n=5 n=6 n=7. n=8 n=9 n=10. f: ℕ → ℝ. an =. REALNA FUNKCIJE REALNE SPRTEMENLJIVKE f: ℝ → ℝ. 1 n. y=. ali. TC. an =. Primer ZAPOREDJE ali NARAVNA FUNKCIJA REALNE SPREMENLJIVKE. ITA. Za začetek napišem nekaj členov zaporedja:. f ( n) =. 1 n. 1 x. ali f ( x) =. 1 x. Narišem graf obeh funkcij:. 1 1 1 n=1;. a 2 = 2 1 n=3; a3 = 3 1 n=4; a 4 = 4. n=1; a1 =. . . .. 1. člen zaporeja 2. člen zaporeja 3. člen zaporedja 4. člen zaporedja. Ta funkcija je racionalna funkcija. Poiščem Ničle: jih ni Pole: x=0 Asimptote: y os Točko: T(1, 1).

(2) 10 + 2 12 6 1 = = =1 10 10 5 5 11 + 2 13 n=11 a11 = = 11 11 a10 =. 1 SPLOŠNI ČLEN n ZAPOREDJA. Narišem graf zaporedja in ugotovim, da je zaporedje padajoče.. (glej nalogo iz racionalnih funkcij). Oba grafa narišem v isti koordinatni sistem. ND A. R. R 3. x 1. y=. x. 2 3. x. 1 1. 2. 3. 2. x 4. x 5. 1 n. N. 1/3. -2. 1/2. 1/4. 1. -1. 3. 2. 4. N. R. -1. ITA. Zaporedje je celo strogo padajoče, ker je vsak naslednji člen manjši od predhodnega.. a n=. 1. NA. 2. 0. an =. n=n;. Vidim, kako malo je zelenih križcev na modrem grafu. Zeleni križci predstavljajo graf zaporedja in vidim, da vse slike ležijo na grafu pripadajoče realne funkcije.. SA. TC. Sedaj pa narišem graf zaporedja še posebej:. a1 = 1 1 2 1 a3 = 3 1 a4 = 4. R. a2 =. 1 1/3. 1/2. a. 1/4. 1. 2. 3. 4. .... an =. 1 n. Tako kot je realna funkcija realne spremenljivke lahko padajoča ali naraščajoča, tako je tudi zaporedje lahko naraščajoče ali padajoče;. 5. N.

(3) V ta namen poiščem še a n +1 − (n + 1) člen. a n +1. a n +1 < a n Dokažem, da je zaporedje iz primera strogo padajoče.. an =. 1 n. a n +1 =. (n + 1) + 2 = n +1 n+3 = n +1. SPLOŠNI ČLEN. 1 n +1. NASLEDNJI ČLEN (za n vstavim n+1). In vstavim v neenačbo a n +1 < a n (To je prepostavka, da je zaporedje strogo padajoče). In vstavim v neenačbo. n+3 n+2 < n +1 n. Ter jo rešim. Dokazati moram, da neenačba velja za vsak n ∈ ℕ, seveda če hočem dokazati, da je zaporedje strogo padajoče. Rešim neenačbo:. ITA. n+3 n+2 <0 − n +1 n (n + 3)n − (n + 1)(n + 2) <0 n(n + 1) n 2 + 3n − (n 2 + 3n + 2) <0 n(n + 1). 1 1 < n +1 n. NA. a n +1. Def.: Zaporedje a n je strogo padajoče ⇔. ND A. Sedaj pa to dokažim še računsko. Dakazati moram, da velja neenačba a n +1 < a n za vsak n ∈ ℕ .. Def.: Zaporedje a n je padajoče ⇔ a n +1 ≤ a n tj. vsak naslednji člen ima manjšo ali enako vrednost kot predhodni člen. Pri strogo padajočem zaporedju pa naslednji člen ne sme biti enak predhodnemu členu.. TC. n 2 + 3n − n 2 − 3n − 2 <0 n(n + 1) −2 <0 n(n + 1). SA. Zaključek dokaza je: • Imenovalec je za vsak n ∈ ℕ pozitiven • števec je vedno negativen • torej je kvocient vedno negativen in neenačba a n +1 ≤ a n ja za naše. n+2 n veljavna za vsak n ∈ ℕ. zaporedje a n =. Torej je zaporedje strogo naraščajoče – Q.E.D.. 1 1 − <0 n +1 n n − (n + 1) <0 n(n + 1) n − n −1 <0 n(n + 1) −1 <0 n(n + 1). Ugotovim, da je leva stran za vsak n ∈ ℕ vedno negativna, ker je imenovalec vedno poziven , števec pa negativen. Torej je neenačba veljavna za vsak n ∈ ℕ. S tem je tudi dokazana predpostavka, da je zaporedje strogo padajoče. __________________________________________ Sedaj se lotim naloge na levi strani..

(4) b) Kateri členi leže na intervalu [1,2 ; 1,5]? Ker je zapisanih dovolj členov, lahko že iz tega odčitamo, da je a 4 = 1,5 na intervalu [1,2 ; 1,5]. Ker je zaporedje strogo padajoče so vsi naslednji členi manjši od 1,5. Iščemo samo še člene, ki so večji ali enaki 1,2. Vidimo, da je a10 natanko enak 1,2. Torej so na intevalu vsi členi od vklučno a 4 do vključno a10 .. 1,2 ≤ a n ≤ 1,5. ND A. Do iste ugotovitve lahko pridemo tudi takole: a n mora biti med 1,2 in 1,5 vključujoč meje. Zapišem neenačbo:. In jo rešim. Zapišem v dveh delih kot sistem neenačb: in. NA. in. (a n ≤ 1,5) n+2 ( ≤ 1,5) in rešim n. in. in. in. in. n+2 3 − ≤ 0) 2 n 2(n + 2) − 3n ( ≤ 0) 2n 2n + 4 − 3n ( ≤ 0) 2n 4−n ( ≤ 0) 2n (. ITA. (1,2 ≤ a n ) n+2 (1,2 ≤ ) n n + 2 12 ≥ n 10 n+2 6 ( − ≥ 0) n 5 5(n + 2) − 6n ( ≥0 5n 5n + 10n − 6n ( ≥0 5n 10 − n ( ≥0 5n. TC. Tu je imenovelec vedno (v levi in desni neenačbi) pozitiven, ker je n ∈ ℕ , zato mora biti števec negativen ali 0.. SA. 10 − n > 0 − n > −10 /(−1) n ≤ 10. 0. 4. 4−n ≤0 − n ≤ −4 n≥4. 10. N. Vidim, da je rešitev n = 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Torej so a 4 , a5 , a 6 , a 7 , a8 , a9 in a10 na danem intervalu..

(5)