a1 , a2 , a3 d = 2 cm p = 6 cm 2

Celotno besedilo

(1)Zbirka nalog za srednje šole: MATEMATIKA A. Cokan, I. Štalec: ZAPOREDJA, DIFERENCIALNI IN INTEGRALNI RAČUN Poglavje I.: ZAPOREDJA Točka 2: Aritmetično in geometrijsko zaporedje. A Aritmetično zaporedje Stran 9, naloga10. Stranice trikotnika oblikujejo aritmetično zaporedje z razliko 2 cm . Ploščina. ND A. trikotnika je 6 cm 2 . Kolikšne so stranice?. a1 , a2 , a3 d = 2 cm p = 6 cm 2. Označim stranice a1 , a2 , a3 .. NA. a, b, c =. RAZLAGA: Preden se lotim te naloge moram najprej vedeti vsaj dve definciji: kaj je zaporedje in kdaj je zaporedje aritmetično.. a n = f (n). ali. ITA. Def.: Zaporedje je funkcija, ki preslika množico naravnih števil ℕ v množico realnih števil ℝ: f: ℕ → ℝ ℕ= {1,2,3...} Zaporedje je naravna funkcija realne spremenljivke f: n 6 a n. TC. Ker je ℕ ⊂ ℝ je graf zaporedje a n = f (n) podmnožica grafa realne funkcije realne sprememnljivke a n = f (n) Graf zaporedja se imenuje DISKRETNA množica točk.. SA. Primer: ZAPOREDJE ali NARAVNA FUNKCIJA REALNE SPREMENLJIVKE f: ℕ → ℝ. 1 an = n ali. f ( n) =. 1 n. REALNE FUNKCIJE REALNE SPREMENLJIVKE f: ℝ → ℝ. y=. 1 x. ali f ( x) =. 1 x. Narišem graf obeh funkcij: n=1; a1 =. 1 1. člen zaporeja 1. Ta funkcija je racionalna funkcija. Poiščem.

(2) jih ni Ničle: Pole: x=0 Asimptote: y os Točko: T(1, 1). 1 2. člen zaporeja 2 1 3. člen zaporedja n=3; a3 = 3 1 n=4; a 4 = 4. člen zaporedja 4 1 n=n; a n = splošni člen zaporedja n. n=1;. a 2 =. Oba grafa narišem v isti koordinatni sistem.. R y= 2. 1 1/3. 1. -1. 2. 3. 4. N. R. ITA. -2. 1/2 1/4. 1 n. NA. a n=. ND A. (glej nalogo iz racionalnih funkcij). TC. -1. Vidim, kako malo je zelenih križcev na modrem grafu. Zeleni križci predstavljajo graf zaporedja in vidim, da vse slike ležijo na grafu pripadajoče realne funkcije. Sedaj pa narišem graf zaporedja še posebej:. SA. a1 = 1. 1 2 1 a3 = 3 1 a4 = 4. R. a2 =. .... an =. 1 n. 1 1/3. 1/2. a. 1/4. 1. 2. 3. 4. 5. N.

(3) Def.: Zaporedje a n je aritmetično, kadar je razlika sosednjih zaporednih členov konstantna. Naj bodo a1 , a 2 , a3 , ... a n , a n +1 členi zaporedja. Da bo to zaporedje aritmetično, mora veljati. a n +1 − a n = konstanta in jo označim z d (kot diferenca). Torej:. ND A. a n +1 − a n = d. Velja tudi, da je a 2 − a1 = a3 − a 2 (= d ) , kar uporabim pri nalogi, kjer so podani trije členi in je potrebno izračunati neznanko. To je tudi naša naloga. REŠITEV: Stranice označim:. a1 = a − 2. NA. a2 = a a3 = a + 2. Če naj bodo a1 , a 2 , a3 členi aritmetičnega zaporedja, mora veljati:. ITA. a 2 − a1 = a3 − a2 = d V našem primeru to velja, saj je:. a2 − a1 = a − (a − 2) = 2 = d a3 − a 2 = a + 2 − a = 2 = d. Torej so stranice členi aritmetičnega zaporedja.. TC. Ker je podana še ploščina trikotnika, uporabim še Heronov obrazec za računanje ploščine trikotnika, če so podane vse tri stranice. Glasi se:. p = s (s − a )(s − b )(s − c ) ,. kjer je s srednjica trikotnika. a + b + c ob = 2 2 a1 + a2 + a3 a − 2 + a + a + 2 s= = 2 2 3a s= 2 a, b, c pa so stranice trikotnika. SA. s=. Uporabim Heronov obrazec:. p=. 3a ⎛ 3a ⎞⎛ 3a ⎞⎛ 3a ⎞ ⎜ − a ⎟⎜ − (a − 2 )⎟⎜ − (a + 2 )⎟ 2⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠.

(4) 3a ⎛ 3a − 2a ⎞⎛ 3a − 2a + 4 ⎞⎛ 3a − 2a − 4 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ 2 ⎝ 2 ⎠⎝ 2 2 ⎠⎝ ⎠. 3a a a + 4 a − 4 . . . / 2 2 2 2 3a 2 a 2 − 16 36 = 24 16 . 36 = 3a 2 a 2 − 16 / : 3 6=. (. 2. ). (. (. 16 . 12 = a 2 a 2 − 16. ). ). ND A. p=. 192 = a 4 − 16a 2 a 4 − 16a 2 − 192 = 0 Rešim z vpeljavo nove neznanke. a2 = t. NA. t 2 − 16t − 192 = 0 − b ± D + 16 ± 32 t1, 2 = = 2a 2. t1 = −8. D = b 2 − 4ac D = 1024 D = 32. a2 = t a 2 = −8. t2 =. 48 = 24 2. ITA. D = 16 2 + 4 .192. a 2 = 24. a= 6.4. TC. Ni realne rešitve. a=2 6. Zapišem še stranice:. (. ). SA. a1 = a − 2 = 2 6 − 2 = 2 6 − 1 a2 = a = 2 6. (. ). a3 = a + 2 = s 6 + 2 = 2 6 + 1 in naloga je rešena..

(5)