Kdo je bil René-François de Sluse?

Univerza v Ljubljani Pedagoška fakulteta

Oddelek za matematiko in računalništvo

Marko Razpet

DE SLUSE IN NJEGOVE KRIVULJE

Študijsko gradivo Zgodovina matematike

Ljubljana, avgust 2021

Vsebina

Seznam slik 3

Predgovor 5

Kdo je bil René-François de Sluse? 5

Eratostenov mesolabum 12

Drugo de Slusovo delo 19

De Slusove perle 22

Poseben primer de Slusove perle 24

Geometrijska konstrukcija in analitična obravnava . . . 25

Spremljajoča parabola . . . 29

Ogrinjače . . . 30

Nožiščne krivulje . . . 32

Ekstremne točke nožiščne krivulje . . . 35

Cisoida . . . 36

Neilova parabola . . . 38

Ploščine in prostornine . . . 42

Tangenta . . . 43

Inverzija krivuljeKna krožnici . . . 45

Inverzija krivuljeK^′na krožnici . . . 48

Pritisnjeni krožnici naK . . . 49

Toksoida 50

De Slusove pomnoževalke hiperkock 57

Evdoksova kampila 67

Pomembni znanstveniki, rojeni v 17. stoletju 74

Viri 77

Seznam slik

1 René-François Walter de Sluse. . . 6

2 Visé na zemljevidu iz sredine 19. stoletja. . . 7

3 Mesolabum, druga izdaja 1668. . . 10

4 Osnovni elementi Eratostenovega mesolabuma. . . 14

5 Premik pravokotnikov Eratostenovega mesolabuma. . . 15

6 Končna lega pravokotnikov Eratostenovega mesolabuma. . . 16

7 Do srednjih geometrijskih sorazmernic s parabolama. . . 17

8 Do srednjih geometrijskih sorazmernic s parabolo in krožnico. . . . 18

9 Slusova konhoida. . . 19

10 Primeri de Slusovih perl. . . 23

11 Zasuk de Slusove perle zam=2, n=3, p=1, k=0.01 okoli osix. . . . 24

12 Konstrukcija točkeT de Slusove perleK. . . 25

13 De Slusova perlaK. . . 26

14 Lokalna ekstrema na de Slusovi perliK. . . 28

15 De Slusova perlaKin spremljajoča parabola. . . 29

16 De Slusova perlaKin ogrinjačeK_s,K_q,K_r. . . 30

17 Nožiščna krivuljaK^′krivuljeKglede na koordinatno izhodišče. . . 34

18 KrivuljaCje cisoida krivuljK₁inK₂glede na točkoO. . . 37

19 De Slusova perlaKkot cisoidna krivulja. . . 38

20 Neilova ali polkubična parabola. . . 39

21 Leibnizeva izohrona. . . 40

22 Ploščini likov, omejenih z zankama krivuljKinK^′. . . 44

23 Dotikalni elementi krivulje. . . 44

24 Tangenta in normala na krivuljoK. . . 46

25 Inverzna slikaK^∗krivuljeK. . . 47

26 KrivuljaK^∗in približka v okolici točkOinD. . . 48

27 Inverzna slikaK^′∗krivuljeK^′. . . 49

28 Pritisnjeni krožnici na krivuljoKv točkiO. . . 50

29 Toksoida. . . 51

30 Konstrukcija točk toksoide. . . 52

31 Konstrukcija srednjih geometrijskih sorazmernic s toksoido. . . 53

32 Prevoja toksoideT in pritisnjena krožnica v točkiD. . . 54

33 Inverzna slikaT^∗toksoideT. . . 55

34 Nekaj krivuljH_m. . . 58

35 KrivuljaH₄in pomnožitev roba trirazsežne kocke. . . 59

36 Nekaj krivuljC_m. . . 60

37 KrivuljaC₄in pomnožitev roba 5-razsežne hiperkocke. . . 61

38 Telo, nastalo z zasukom lika med krivuljo C₂ in njeno asimptoto okoli te asimptote. . . 63

39 Telo, nastalo z zasukom lika med krivuljo C₂ in njeno asimptoto okoli osiy. . . 65

40 Telo, nastalo z zasukom lika, ki ga omejujeH₄, okoli osiy. . . 66

41 Konstrukcija točk Evdoksove kampile. . . 68

42 Podvojitev kocke z Evdoksovo kampilo. . . 69

43 Desna veja Evdoksove kampile, prevoja in pritisnjena krožnica. . . 71

44 Približna podvojitev kocke. . . 72

45 Zrcaljenje Evdoksove kampile na krožnici. . . 73

Predgovor

V prispevku bomo spoznali življenje in delo valonskega matematika in kanonika de Slusa, ki je po svoje zaznamoval buren razvoj matematike 17.

stoletja. V njegovem času je velik napredek doživel infinitezimalni račun in uvedli so ustrezne matematične oznake, ki jih uporabljamo še danes.

Družbeni in ekonomski razvoj, uveljavljanje heliocentričnega svetovne- ga sistema, geografska odkritja in z njimi povezana orientacija na morju, potrebe po točnem merjenjučasa, velika uporaba orodij in strojev, razvoj gradbeništva in geodezije in drugo so terjaličedalje bolj natančno in hitro računanje. Naraščalo je zanimanje za geometrijo, astronomijo, reševanje enačb, reševanje fizikalnih problemov in uporabo logaritmov. Nastajala so nova matematična področja, na primer teorija verjetnosti, infinitezi- malni račun in variacijski račun. Znanstveniki so si med seboj dopisovali, se obiskovali in tako širili nove ideje in teorije. Nastajale so znanstvene akademije kot protiutež univerzam, kjer je še vedno prevladovala sholasti- čna misel. Ustanavljale so se znanstvene revije, ki so zagotavljale večji pregled nad avtorstvom novih odkritij in zamisli.

Kdo je bil René-François de Sluse?

Čeprav je o de Slusu napisanega precej, pa ni toliko znan znanstvenik, kot bi moral biti. Veliko izvemo o njem na primer v [2, 5, 6, 10], od kjer so vzeti podatki, ki sledijo v nadaljevanju.

René-François Walter de Sluse (včasih tudi René de Sluze, latinsko Re- natus Franciscus Slusius ali preprosteje kar René Sluse, izgovarjamo pa njegov priimek kot ”slüz”) se je rodil 2. julija 1622 v Viséju ob reki Meuse,

sedaj v valonskem delu Belgije, v provinci Liège blizu meje med Belgijo in Nizozemsko, v bogati in omikani družini. Njegova domovina je takrat spadala pod Špansko Nizozemsko. V tistih krajih so zemljepisna imena v tamkajšnjih jezikih različna, na primer de Slusov rojstno mesto, ki je v francoščini Visé, je v nizozemščini Wezet, v nemščini Wezen in v latinščini Villa Viesato. Prav tako glavno mesto province: Liège oziroma do 1949 Liége v francoščini, Luik v nizozemščini, Lüttich v nemščini in Leodium v latinščini. Prav tako reka, ob kateri ležita ti dve mesti: Meuse v fran- coščini, Maas v nizozemščini in nemščini ter Mosa v latinščini.

Slika 1. René-François Walter de Sluse.

Po študiju prava na Katoliški univerzi v Leuvenu med letoma 1638 in 1642 (francosko Louvain, nemško Löwen) je odšel v Rim, kjer je ostal nekaj let in si že leta 1643 prislužil naziv doktorja prava na rimski univerzi

La Sapienza, nato pa je imel priložnost študirati v Italiji teologijo, filo- zofijo, zgodovino, matematiko, fiziko, astronomijo in jezike (baje je znal tudi grško, hebrejsko, arabsko in sirsko).

Slika 2. Visé na zemljevidu iz sredine 19. stoletja.

Katoliška univerza v Leuvenu je najstarejša univerza na ozemlju današ- njega Beneluksa, ustanovljena leta 1425. Univerza La Sapienza (”sapienza”

pomeni v italijanščini znanje) je bila ustanovljena kot papeška univerza leta 1303, v zadnjem letu vladanja papeža Bonifacija VIII. Ime je dobila po stavbi, v katero se je naselila. Po doktoratu je de Sluse nekajčasa služil papežema Inocencu X. in Aleksandru VII. kot tajnik. Zadolžen je bil za to, da je papeške uradne dokumente, na primer papeške bule, obrazložil lju- dem na razumljiv način. Papežu Inocencu X. je z znanjem jezikov pogosto prevajal pisma, ki so bila namenjena škofom na Grškem in v Armeniji.

V Rimu se je de Sluse srečal s priznanimi takratnimi znanstveniki, med katerimi sta bila tudi B. Cavalieri, ki je s svojim delom nekako napovedal integralski račun, in E. Torricelli.

Leta 1650 je bil imenovan za kanonika kolegijske cerkve v Viséju,čeprav je bilo to imenovanje le nominalno, da bi mu zagotovilo dohodke. Ni se mu bilo treba takoj vrniti v Visé, ampak je ostal še malo v Rimu, ki ga je

zapustil naslednje leto, ko ga je papež Inocenc X. imenoval za kanonika v katedrali sv. Lamberta v Liègeu. Zaradi svojega znanja prava je v Cerkvi hitro napredoval in kmalu se je povzpel na vplivne položaje. Leta 1659 je postal član zasebnega sveta katedrale v Liègeu, leta 1666 pa kot cis- tercijanski duhovnik opat opatije La Paix Dieu v Amayu (valonsko Ama), jugozahodno od Liègea. Bil je tudi zasebni svetovalec kölnskega nadškofa in volilnega kneza Svetega rimskega cesarstva, tudi škofa v Liègeu, Mak- similijana Henrika Bavarskega (1621–1688). Umrl je 19. marca 1685 v Liègeu.

Renéjev brat Johannes Walter (1628–1687) se je v cerkveni hierarhiji leta 1686 povzpel vse do kardinala. Rojen je bil prav tako v Viséju, umrl pa je v Rimu, kjer je tudi pokopan, in sicer v cerkvi Santa Maria dell’Anima.

Beseda ”hierarhija” je grškega izvora. Njen prvi del izhaja iz besede ἱερός, kar pomeni ”svet, posvečen, božji”, drugi del pa iz besedeἀρχός, kar pomeni ”prvak, gospodar, vladar”.

Omenjena kolegijska cerkev je naziv za tiste cerkve, v katerih je Sveti sedež ustanovil kapitelj ali kolegij klerikov (duhovnikov), imenovanih ka- noniki. Namen te ustanove je bil narediti bolj slovesno bogoslužje v cerk- vah izbranega, določenega pomena. Ustanovitev, posodobitev ali ukinitev kolegijskih cerkva je bil v pristojnosti Svetega sedeža.

Kanonik je v katoliški cerkvi dostojanstvenik, član stolnega kapitlja, škofov svetovalec, izvedenec za cerkveno pravo. Sama beseda kanonik izhaja iz grškeκανών, kar pomeni ”vzorec, predpis, pravilo, vodilo”.

Zaradi zahtevnih cerkvenih dolžnosti de Sluse ni imel več priložnosti potovati toliko, kot bi si želel. Da bi zadovoljil svojo veliko intelektu- alno radovednost, si je stalno dopisoval z nekaterimi velikimi evropskimi učenjaki: B. Pascalom, C. Huygensom, P. Fermatom, R. Boylom, J. Gre-

goryjem, M. Riccijem, J. Wallisom in H. Oldenburgom. Tako je lahko izražal svoje ideje, je pa zaradi drugega dela malo objavljal. H. Olden- burg je bil tista leta tajnik Kraljevega društva v Londonu, katerega član je de Sluse postal leta 1674. Oldenburg je de Slusove zamisli posredoval neposredno angleškim učenjakom in drugimčlanom, kot je bilo takrat v navadi. Do njih je prišlo skoraj 80 pisem, izmenjanih med letoma 1667 in 1676. De Slusovo korespondenco je leta 1884 objavil matematik C. Le Paige iz Liègea. S tem je de Slusovo znanstveno delo postalo širše znano.

De Sluse je umrl 19. marca 1685 v Liègu, ravno tistega leta, ko se je začel spor med Newtonom in Leibnizem glede tega, kdo je avtor infinitezimal- nega računa. Pokopali so ga v kolegijski cerkvi v Viséju v bližini njegovih staršev. Družinski mavzolej je obstajal do 14. avgusta 1914, ko je nemška vojska požgala kolegijsko cerkev sv. Martina in sv. Hadelina. V kolegijski cerkvi v Viséju je ob levem stranskem oltarju spominska plošča, ki govori o slavnem prebivalcu Viséja iz 17. stoletja: kanoniku Renéju-Françoisu de Slusu. Mesti Visé in Liège sta mu posvetili ulici Rue de Sluse, mesto Bassenge, zahodno od Viséja, pa pot Chemin de Sluse.

Matematične teme, ki jih je obravnaval de Sluse, so bile povezane z znanstvenimi interesi tistegačasa. Po eni strani so bili geometrijski prob- lemi, ki segajo v čas Evklida in Arhimeda, oživljeni v drugi polovici 16.

in prvi polovici 17. stoletja. Zlasti Cavalieri je razvil teorijo nedeljivih količin, ki je imela določen vpliv na razvoj matematične analize. Po drugi strani pa se je približno v istem času, ko se je začela razvijati algebra po zaslugi F. Vièta, ki je uvedel algebrski jezik, in predvsem R. Descartesa in njegovega dela ”La Géométrie”, zelo povečalo zanimanje za geometrijo.

Združitev teh dveh tokov je de Slusa in številne druge matematike njego- vega časa pripeljal do tega, da so se začeli zanimati za geometrijske last-

Slika 3. Mesolabum, druga izdaja 1668.

nosti analitično definiranih krivulj, predvsem algebrskih, pa tudi spiral in cikloid, ki so bile takrat modne teme. Pomembni problemi v tistihčasih so bili, kako definirati in konstruirati tangento na krivuljo, kako izračunati ploščino lika, ki ga ograjuje taka krivulja, kako izračunati njeno dolžino in kako izračunati prostornino in površino teles, ki niso omejena samo z ravninskimi ali sferičnimi liki. G. W. Leibniz je pri de Slusu in Descartesu našel marsikatero idejo pri razvoju infinitezimalnega računa in analitične geometrije. Ni čudno, da je Huygens v nekem v pismu H. Oldenburgu dal o de Slusu naslednje mnenje: ”Slusius eõ geometrarum, quos novi, omnium doctissimus candidissimusque.” ”Sluse je od geometrov, kar jih poznam, najbolj učen in jasen.”

Prav tako so bili v de Slusovemčasu še vedno aktualni problemi reše- vanja algebrskih enačb tretje inčetrte stopnje, čeprav so to znali že itali- janski matematiki S. del Ferro, N. Tartaglia, G. Cardano in L. Ferrari. Še vedno pa so bili živi antični problemi kvadrature kroga, trisekcije kota in podvojitve kocke, s katerimi so se ubadali grški geometri. Kot je znano, gre pri problemu podvojitve kocke za konstrukcijo kocke s prostornino, ki je dvakrat večja od prostornine dane kocke. Problema se ne da rešiti z neoz- načenim ravnilom in šestilom, kot si je zamislil Platon, pačpa s pomočjo nekaterih algebrskih krivulj ali pa s posebnimi mehanskimi napravami.

De Sluse je obravnaval geometrijsko reševanje algebrskih enačb tretje in četrte stopnje z uporabo presečišč stožnic. Descartes je pokazal, da se problem lahko rešuje z iskanjem presečiščparabole in krožnice, de Sluse pa je pokazal, da lahko parabolo nadomestimo s katerokoli stožnico, kar se je izkazalo za veliko bolj prilagodljivo in elegantno kot Descartesova metoda. Svojo metodo je pod velikim vplivom Viètovih in drugih del razvil v delu ”Mesolabum” (1659), še posebej v njegovi drugi izdaji (1668).

Celotna naslova izdaj nista popolnoma identična (glej [11, 12]). Razvil je tudi postopek za iskanje subtangente in s tem tangente katerekoli alge- brske krivulje, in to brez uporabe odvoda funkcije, kakršnega poznamo dandanes.

Na sliki 3 opazimo v letnici izdaje de Slusovega Mesolabuma tudi malo drugačen zapis rimskih številk za 500 in 1000. Navajeni smo ju pisati v obliki D in M. Namesto D so svoj čas pisali I in narobe obrnjen C, torej I C , kar je skoraj D. Za M pa CI C . Število I C je druga polovica od CI C , kar je v soglasju z dejstvom, da je 500 polovica od 1000. Razlog za tako pisavo sega v čas starih Grkov, Etruščanov in Rimljanov. Baje so nekoč uporabljali za 1000črkoΦ, iz katere se je razvila oznaka CI C , iz te pa M.

Eratostenov mesolabum

Beseda ”mesolabum” je zelo stara. Izvira iz grške besedeμεσολάβος(morda tudi iz μεσολάβον), ki je v antiki pomenila posebno geometrijsko orodje za določevanje prve in druge srednje geometrijske sorazmernice. Beseda izvira iz grške μέσος, kar pomeni ”srednji”, in λαμβάνω, kar pomeni ”vza- mem, primem, zgrabim, pograbim, popadem, ulovim”. Glagolska os- nova je λαβ- je tista, iz katere izhajata nedoločnik λαβεῖν in aorist λάβον.

Mesolabum je potemtakem tisto, s čimer lovimo sredino, lovilec sredin.

Podobna beseda je ”astrolab”, starodavna astronomska naprava za določe- vanje položaja zvezd, v grščiniἀστρολάβον ὄργανον.

V grških besedilih je glagolλαμβάνωeden od osnovnih in kot tak zelo pomemben. V taki ali drugačni obliki je zato zelo pogost. Za primer navedimo iz Odiseje (XXIV, 397–399, prevod A. Sovrè ):

ὣς ἄρ ἔφη, Δολίος δ᾿v ἰθὺς κίε χεῖρε πετάσσας

ἀμφοτέρας, ᾿Οδυσεῦς δὲ λαβὼν κύσε χεῖρ᾿v ἐπὶ καρπῷ, καί μιν φωνήσας ἔπεα πτερόεντα προσηύδα . . . To je dejal. Približa se Dolios rok mu razpetih, prime gospoda v zapestju, roko mu ginjen poljubi, z glasom obrne se k njemu pa reče krilate besede . . .

V latinščini imenujejo mesolabum tudi ”mesolabium”, kar se čudno sliši, ker beseda ”labium” pomeni ustnica. Iz besede ”labium” so izvedene še druge. V fonetiki imamo glasove, ki jih sooblikujemo z ustnicami, in se zato imenujejo ”labiali”, na primer ”p” in ”b”.

Mesolabum je iznašel Eratosten iz Kirene (276–195 p.n.š.), grško᾿Ερα- τοσθένης ὁ Κυρηναῖος, ki je deloval v Aleksandriji kot vodja tamkajšnje slavne knjižnice, ki je bila del Muzejona, hiše učenosti in umetnosti, grško Μουσεῖον τῆς ᾿Αλεξανδρείας, in je najbolj znan po svojem situ za iskanje praštevil in po izračunu velikosti Zemlje. Pri mesolabumu gre za to, kako mehansko določiti prvo in drugo srednjo geometrijsko sorazmernicox in y daljic a in b, kjer je 0<a<b. Srednji geometrijski sorazmernici x in y morata zadoščati relaciji

a x =x

y =y

b. (1)

Če označimo te tri kvociente zλin jih med seboj zmnožimo, dobimo a

x⋅x y⋅y

b=a b =λ³. To pomeni, da je

λ= ³

√a b, x=

√3

a²b, y=

√3

ab².

Pri tem velja relacijaa<x<y<b, ki je posledica relacije a³=a²a<a²b=aab<abb=ab²<bb²=b³, iz katere sledi po kubičnem korenjenju a< ³

√

a²b< ³

√

ab²<b. Zato lahko rečemo, da staxinysredini daljicainb, saj sta medainb.

Zab=2a je x=a√³

2 in y =a√³

4. To pomeni, da se s tem posreči pod- vojiti in početveriti kocko. Kocka z robomx ima namrečdvakrat, kocka z robomy štirikrat večjo prostornino kot kocka z robomain dvakrat večjo kot kocka z robomx, ker jex³=2a³ in y³ =4a³=2x³. Prvi, ki je prišel na idejo poiskati srednji geometrijski sorazmernicixiny zaainb=2a, je bil v 5. stoletju p.n.š. živeči Hipokrat z otoka Hios, v grščini ῾Ιπποκράτης ὁ Χῖος. Skušal je rešiti problema podvojitve kocke in kvadrature kroga.

Eratosten je bil nad svojim izumom mesolabuma tako navdušen, da je en primerek baje daroval v nekemu templju, sicer pa ga je posvetil kralju Ptolemaju III. (284–222 p.n.š.), imenovanemu tudi Ptolemaj Dobrotnik, grškoΠτολεμαῖος Εὐεργέτης.

Slika 4. Osnovni elementi Eratostenovega mesolabuma.

Sedaj je čas, da opišemo Eratostenov mesolabum. Njegov je bil sicer izdelan iz lesa, slonove kosti in kovin, mi pa si ga bomo ogledali she- matično, geometrijsko, uporabljajočpravokotnike, trikotnike, daljice, pre- mice, točke, razmerja in sorazmerja.

V ravnini so postavljeni skladni pravokotnikiA1B1C1D1,A2B2C2D2in A3B3C3D4 s stranicamiA1B1, A2B2 inA3B3 na skupni premici, na kateri ostanejo ves čas v nadaljevanju opisanega postopka. Vse stranice pra- vokotnikov, pravokotne na to premico, imajo dolžino b. Dolžina pre- ostalih stranic ni pomembna. Na stranici B3C3 izberemo točko T, tako da je ∣B3T∣=a. Prvi pravokotnik je negiben, preostala dva pa lahko dr- sita po premici tako, da se tretji lahko skrije pod drugega, drugi pa pod prvega. S tem lahko gibljiva dva postavimo tako, da dobimo daljice dolžin

xiny, ki skupaj zainbzadoščajo relaciji (1). Pravokotniki so razdeljeni z med seboj vzporednimi diagonalami na pravokotne trikotnike (slika 4).

Slika 5. Premik pravokotnikov Eratostenovega mesolabuma.

Ko premikamo drugi pravokotnik pod prvega, njegova diagonalaB2D2

prej ali slej seka stranico B1C1 negibnega pravokotnika, denimo v točki E. Ko pa premikamo tretji pravokotnik pod drugega, njegova diagonala B3D3prej ali slej seka stranicoB2C2drugega pravokotnika, denimo v točki F. Cilj premikanja pravokotnikov sem in tja je doseči kolinearnost točk D1,E,F inT. Kot bomo kmalu videli, takratx=∣B2F∣iny=∣B1E∣ustrezata relaciji (1).

Kolinearnost točk D1,E,F in T dosežemo s postopkom, ki mu učeno rečemo ”iteracija”. Malo premaknemo drugi pravokotnik, nato malo tret- jega, pa zopet drugega itd., dokler s svojo spretnostjo ne dosežemo zado- voljive natančnosti. V natančni legi označimo u = ∣B1D1∣, v = ∣B2E∣ in w =∣B3F∣. Te daljice so med seboj vzporedne (slika 6) in zaradi podob- nosti trikotnikovA1B1D1,B1B2E inB2B3F ter trikotnikovB1ED1,B2FEin

Slika 6. Končna lega pravokotnikov Eratostenovega mesolabuma.

B3T Fdobimo sorazmerja b u =y

v = x w, y

u =x v = a

w,

iz katerih sledijo relacije

xw=av, xv=yw, yv=ux, bv=uy.

Iz prve, druge, tretje inčetrte dobimo po vrsti:

a x =w

v, w v =x

y, x y =v

u, v u =y

b. Sedaj je nedvomno razvidno, da je res

a x =x

y =y b.

Tako lahko z Eratostenovo napravo najdemo prvo in drugo srednjo ge- ometrijsko sorazmernico daljic a in b. Podobno bi lahko našli tudi več srednjih geometrijskih sorazmernic daljicainb.

So pa matematiki že davno odkrili, da se da srednji geometrijski so- razmernici najti tudi s parabolama. Iz relacije (1) namrečsledita preprosti zvezi

x²=ay, y²=bx.

V prvi spoznamo enačbo parabole, ki ima za simetralo ordinatno os, gorišče v točkiF(0,a/4)in vodnicoy=−a/4, v drugi pa enačbo parabole, ki ima za simetralo absciso os, gorišče v točkiG(b/4,0)in vodnicox=−b/4 (slika 7).

Slika 7. Do srednjih geometrijskih sorazmernic s parabolama.

Paraboli se sekata v točkahO(0,0)in A(³

√ a²b,³

√

ab²). Konstrukcijo je odkril Menajhmos, grško Μέναιχμος, ki je živel v 4. stoletju p.n.š. Prvi je vpeljal stožnice kot preseke stožca z ravnino. Teorijo stožnic je temeljito obdelal Apolonij iz Perge (265–170 p.n.š.), grško ᾿Απολλώνιος ὁ Περγαῖος.

Njegove knjige so matematiki uporabljali še vse do Newtonovihčasov.

Prav tako pridemo do srednjih geometrijskih sorazmernic,če poiščemo presečišči parabole x² =ay z goriščem F(0,a/4) in vodnico y = −a/4 ter krožnice x²+y² =bx+ay, ki ima središče v točki S(b/2,a/2) in premer

Slika 8. Do srednjih geometrijskih sorazmernic s parabolo in krožnico.

d =

√

a²+b². Parabola in krožnica se sekata v točkahO inA(³

√ a²b, ³

√ ab²) (slika 8), kar potrdi preprost račun. Opisano konstrukcijo je obvladal René Descartes. Menajhmos in Descartes sta pokazala, da se z njunima kon- strukcijama da rešiti problem podvojitve kocke. Za b je treba v opisanih postopkih vzeti 2a. Pripomnimo še, da je bila starogrška matematika pretežno matematika razmerij in sorazmerij, in tako je bilo še celo vrsto stoletij. Srednjo geometrijsko sorazmernico x daljic dolžin a in b, tako da velja a ∶ x = x ∶ b, iz česar sledi x =

√

ab, se da konstruirati z neoz- načenim ravnilom in šestilom. Spomnimo se na višinski izrek v pravokot- nem trikotniku, ki je pravzaprav posledica podobnosti dveh trikotnikov, na katera višina na hipotenuzo razdeli pravokotni trikotnik.

Pri dveh srednjih geometrijskih sorazmernicah x in y pa se, kot smo videli, pojavi kubični koren, ki pa z omenjenima geometrijskima orodjema ni konstruktibilen. To so matematiki dokazali šele v 19. stoletju. Do takrat so problem skušali rešiti na druge načine in pri tem odkrili nove krivulje, tako da njihov trud le ni bil popolnoma zaman. Geometrijski objekt bo za

nas ”konstruktibilen”,če se ga da konstruirati z neoznačenim ravnilom in šestilom.

Drugo de Slusovo delo

De Sluse še vedno velja za izjemno učenegačloveka, nadarjenega za mate- matiko, izumiteljstvo in posploševanje. Njegovo ime je še danes povezano z njegovimi konhoidami in perlami. De Slusova konhoida (slika 9), ki ima implicitno obliko

(x−c)(x²+y²)−2cx²=0 je precej natančno obravnavana včlanku [9].

Slika 9. Slusova konhoida.

René de Sluse se ni ukvarjal le z matematiko, ampak tudi z astronomijo, fiziko, naravoslovjem in seveda teologijo. Pogosto se je pritoževal nad omejitvami, ki so mu jih nalagale njegove verske in upravne funkcije.

Ni veliko eksperimentiral, ker za to ni imel posebnega veselja, pa tudi ne tehničnih možnosti. Je pa predlagal drugim, zlasti Huygensu, da naj naredijo tak ali drugačen eksperiment. Z zanimanjem je bral prepovedane

knjige N. Kopernika, G. Galileja in J. Keplerja ter kritiziral prizadevanja za obnovitev starih konceptov. Pisal je že o ekscentričnosti v zvezi s Soncem.

Zdi se, da je za svoje izračune uporabljal oba sistema, heliocentričnega in geocentričnega. Rad je opazoval zvezdnato nebo. Tako v kemiji kot drugje se je znašel na razpotju. Prebral je modne knjige o alkimiji in celo ponovil poskus sublimacije antimona v belo barvo, vendar je bila nje- gova razlaga odločno korpuskularna, saj je uporabljal Boylove zamisli o strukturi tekočega in trdnega stanja. V podporo temu je izvajal poskuse zamrzovanja različnih raztopin in študiral sestavo lojevca. V medicinski kemiji se je zanimal za zdravilne vode in jih tudi analiziral.

V fiziki sta ga je posebej zanimala merjenje temperature in praktična termometrija. Če ne upoštevamo odkritij E. Torricellija in B. Pascala o vplivu atmosferskega tlaka na zračni termometer, je de Sluse leta 1664 izumil svoj termometer z voščeno kroglico, pomešano s peskom, ki se je gibala v stekleni cevi, zaprti na dnu, napolnjeni s slano vodo, tako da je bila kroglica bolj ali manj potopljena v sredini cevi, kar je opisal v pismih Huygensu. Kroglica je označevala vsako spremembo v zraku iz toplejšega na hladnejše, ko se je spuščala ali dvigala. Huygens je odgovoril, da je njegov termometer prepočasen, vendar je zanesljivejši od drugih istovrst- nih termometrov, ker je manj podvržen vplivu atmosferskega tlaka. Žal ni poznal florentinskega termometra, ko je svojim dopisnikom, vključno s Huygensom in Oldenburgom, povedal o svojem izumu. Florentinski ter- mometri so pomenili odločilen korak naprej pri merjenju temperature.

Bili so prvi, ki so omogočali natančne meritve. Pred iznajdbo v Firencah okoli leta 1650 so bili stari modeli zelo približni: določali so, ali je pred nami nekaj hladnega ali vročega, ne da bi lahko odčitali ali ocenili tem- peraturo. Razlika je v tem, da je steklena cev zaprta, tako da je vpliv tlaka

odpravljen. Uporabljali so se predvsem petdesetstopinjski termometri.

Taki termometri so večinoma služili za določanje nihanja temperature zra- ka v zaprtih prostorih in na prostem. Oblikovanje termometra je takrat pomenilo tudi določitev njegove merilne lestvice, vendar še brez Celzijevih ali Fahrenheitovih stopinj. Pri tem so bile stopinje enakomerno razpore- jene med dvema skrajnostma, in sicer med nivojem najhladnejše tekočine pozimi (nizka točka) in nivojem najbolj vroče tekočine poleti (visoka točka).

Zaradi teh zelo relativnih vrednosti je primerjava meritev med dvema ter- mometroma nezanesljiva. Ob upoštevanju pripomb jo je večkrat spreme- nil in jo ponovno predložil Oldenburgu do leta 1669, ko je R. Boyle izrazil negativno mnenje glede topnosti voska kroglic v slani tekočini. Po tem da- tumu termometer ni bil nikoli več omenjen. De Sluse je zboljšal različne instrumente: ure, številčnice, barometre. Ker ga je motilo prerekanje med raziskovalci glede avtorstva odkritij, je po Oldenburgovi smrti leta 1677 končal svojo znanstveno dejavnost.

Šele v 18. stoletju so razvijali temperaturne merilne lestvice: C. Re- naldini (1694), O. C. Rømer (1702), G. Fahrenheit (1717), René-Antoine F. de Réaumur (1730) in A. Celsius (1741). Enota kelvin (K – včast lordu Kelvinu 1824-1907), osnovna enota mednarodnega sistema enot za tem- peraturo, je bila uvedena šele leta 1954.

De Sluse je bil tudi zgodovinar. Napisal je knjigo o smrti sv. Lam- berta, škofa v Tongresu, ki je bil ubit na kraju, kamor je sv. Hubert, njegov naslednik, prenesel sedež svoje škofije. Kraj se je kasneje razvil v Liège.

Druga zgodovinska študija se nanaša na slavnega maastrichtskega škofa, sv. Servacija. Med de Slusovimi neobjavljenimi rokopisi je tudi zgodovina Kölna. Pripomnimo še, da je sv. Hubert zavetnik lovcev, matematikov, optikov in kovinarjev.

O širini de Sluzovih interesov priča raznolikost tem, ki so zajete na več sto straneh njegovega dela, neobjavljenih rokopisov, ki jih zdaj hrani Narodna knjižnica, Bibliotheque Nationale v Parizu. Čeprav se je ukvarjal predvsem z matematiko, njegovi rokopisi obravnavajo tudi astronomijo, fiziko in naravoslovje.

De Slusove perle

Po de Slusu so po zaslugi B. Pascala (več o tem v [4]) imenovane tudi krivulje ”de Slusove perle”, to so krivulje, ki se v pravokotnem kartezi- čnem koordinatnem sistemuOxyizražajo z enačbo

y^m=kxⁿ(a−x)^p. (2) Pri tem so eksponenti m,n in p naravna števila, a in k pa pozitivni kon- stanti. Glede na parnost eksponentovm,ninpformalno razlikujemo osem možnosti, od katerih imamo opravka s perlami le v primeru, ko jemsodo število, s pravimi perlami pa v primeru, ko jemsodo število,ninppa lihi števili (slika 10). Skupno tem krivuljam so simetričnost glede na os x in presečišča s to osjo pri x=0 inx=a. De Sluse je po svoje, brez uporabe odvoda, izračunal, da njegove perle dosegajo lokalne ekstreme, največji odstop od osix, med 0 inazax=na/(n+p).

V teh primerih je ploščinaS lika, ki ga ograjuje zanka perle, enaka S=2k^1/m∫

a

0 x^n/m(a−x)^p/mdx=2k^1/ma^(m+n+p)/m∫

1

0 t^n/m(1−t)^p/mdt.

Integracijsko spremenljivkoxsmo zamenjali z novo spremenljivkotprek relacije x =at, da smo dobili obliko, ki jo lahko izrazimo z Eulerjevima

Slika 10. Primeri de Slusovih perl.

funkcijamaBinΓ:

S=2k^1/ma^(m+n+p)/mB(n/m+1,p/m+1)=

=2k^1/ma^(m+n+p)/mΓ(n/m+1)Γ(p/m+1) Γ((n+p)/m+2)

=

=2k^1/ma^(m+n+p)/m np

(m+n+p)(n+p)

Γ(n/m)Γ(p/m) Γ((n+p)/m) . Pri rotaciji okoli osixta lik v prostoru opiše telo s prostornino V =πk^2/m∫

a

0 x^2n/m(a−x)^2p/mdx=πk^2/ma(m+2n+2p)/m

∫

1

0 t^2n/m(1−t)^2p/mdt.

Slika 11. Zasuk de Slusove perle zam=2,n=3,p=1,k=0.01 okoli osix.

Integracijsko spremenljivkoxsmo tudi to pot zamenjali z novo spremenljivko t prek relacijex=at, da smo dobili obliko, ki jo lahko izrazimo z Eulerje- vima funkcijamaBinΓ:

V =πk^2/ma(m+2n+2p)/mB(2n/m+1,2p/m+1)=

=πk^2/ma(m+2n+2p)/mΓ(2n/m+1)Γ(2p/m+1) Γ((2n+2p)/m+2)

=

=2πk^2/ma(m+2n+2p)/m np

(m+2n+2p)(n+p)

Γ(2n/m)Γ(2p/m) Γ((2n+2p)/m) .

Poseben primer de Slusove perle

Natančneje bomo obravnavali de Slusovo perlo samo primer zam=n=2, p =1 in k =1/a, to se pravi krivuljo K, ki ima implicitno enačbo ay² = x²(a−x). To pa zato, ker se posamezne točke te krivulje da preprosto konstruirati z osnovnim geometrijskim orodjem.

Geometrijska konstrukcija in analiti č na obravnava

Do posameznih točkT krivuljeK pridemo s preprosto geometrijsko kon- strukcijo (slika 12). V pravokotnem kartezičnem koordinatnem sistemu Oxy načrtamo premicox=a, kjer je apozitivna konstanta. Skozi koordi- natno izhodiščeO potegnemo premicop, ki ima enačboy=txin preseka premico x=av točkiA(a,ta). Parametert, smerni koeficient premicep, s katerim je sorazmerna ordinata točkeA, bomo kasneje spreminjali. V točki Anappostavimo pravokotnicoq, ki seka osxv točkiB. VBnačrtamo na q pravokotnicor, ki seka premicox=av točkiC, nazadnje pa skoziC še pravokotnico s na r. Presečišče premic pin s naj bo točka T(x,y). Sedaj bomo izrazili njeni koordinatixiny s parametromt.

Slika 12. Konstrukcija točkeT de Slusove perleK.

Premicaq ima enačbo y =−(x−a)/t+at in preseka os x v točki B(a+ at²,0). Premicar ima enačbo y=t(x−a−at²)in preseka premicox=av točkiC(a,−at³), premicas pa enačboy=−(x−a)/t−at³. Koordinati točke T sta rešitvi sistema enačb

y=tx, y=−x−a t −at³.

Po krajšem računu dobimo

x(t)=a(1−t²), y(t)=at(1−t²). (3) To sta parametrični enačbi krivuljeK. Ko spreminjamot po vseh realnih vrednostih oziroma koAdrsi po premicix=a, točkaT(x,y)opiše krivuljo K(slika 13) z zanko, ki spominja na perlo.

Če si mislimo, da je parameter t čas, enačbi (3) predstavljata sestav- ljeno gibanje točkaste mase v dveh med seboj pravokotnih smereh v koor- dinatni ravnini: v smeri osi xpo pravilu prve enačbe, v smeri osiy pa po pravilu druge enačbe. Tirnica takega gibanja je krivuljaK. Podoben, le da bolj preprost primer, imamo tudi pri gibanju točkaste mase pri poševnem metu.

Slika 13. De Slusova perlaK.

Ko se t spreminja od zelo velikih negativnih vrednosti, potuje T po loku v drugem kvadrantu navzdol in doseže za t =−1 prvič točkoO. Za

−1≤t≤0 opiše lok včetrtem kvadrantu odOdo temenaD(a,0), za 0≤t≤1 opiše lok v prvem kvadrantu odD do točkeO, ki jo doseže drugičzat=1, zat>1 pa se spusti po loku v tretjem kvadrantu navzdol.

Če upoštevamo (3), dobimo:

x²(t)(a−x(t))=a²(1−t²)²⋅at²=a(at(1−t²))²=ay²(t).

To pomeni, da jeay²=x²(a−x)implicitna enačba krivuljeKin da jeKal- gebrska krivulja tretje stopnje. KrivuljaK je simetrična glede na osx. Za točke, ki so zelo blizu koordinatnemu izhodiščuO, ječlenx³zanemarljivo majhen v primerjavi s kvadratnima členoma, zato je tam enačba krivulje Kpribližnoay²=ax² oziroma(y−x)(y+x)=0. Ta enačba razpade na dve:

y=xiny=−x. V točkiOima krivulja tangentiy=x iny=−x, ki se sekata pravokotno. V točkiD je tangenta na krivuljo premicax=a. Krivulja ima na zanki dve glede na osxsimetrično ležeči lokalno ekstremni točki, v ka- terih je tangenta vzporedna z osjo x. To sta točkiM±(2a/3,±2a√

3/9). De Sluse jih je na svojevrsten način pravilno izračunal, čeprav je bilo v nje- govem času računanje z odvodi še v zametkih. Da bi pravilnost ekstrem- nih točk preverili brez odvoda, uporabimo kvadrat ekstremne ordinate, ki jey_M² =4a²/27, in zapišimo izraz

ay_M² −x²(a−x)=4a³/27−ax²+x³=(x−2a/3)²(x+a/3),

ki je za 0 <x <a nenegativen in enak 0 za x =2a/3. To pomeni, da je tedaj x²(a−x)≤4a³/27 in največja ordinata na zanki krivulje je 2a√

3/9, najmanjša pa−2a√

3/9, oboje prix=2a/3 (slika 14).

Z uporabo odvoda gre vse veliko hitreje. Ordinata y doseže ekstrem takrat kotay². Zato je vseeno,če poiščemo ekstrem enostavnejše funkcije g(x) =x²(a−x)=ax²−x³. Potreben pogoj za to je g^′(x)=2ax−3x² =0.

Dobimo stacionarni točkix1=0 inx2=2a/3. Uporabimo šeg^′′(x)=2a−6x.

Ker je g^′′(x1)=2a>0 ing^′′(x2)=−2a<0, ima funkcijag v točkix1 lokalni minimum, ki je enak 0, v točkix2pa lokalni maksimum, ki je enak 4a³/27.

Slika 14. Lokalna ekstrema na de Slusovi perliK.

Ekstremna točka na zanki, kjer je tangenta vzporedna z osjo x, je očitno le v x2, kvadrat ekstremne ordinate je tedaj g(x2)/a=4a²/27=12a²/81.

Ekstremni ordinati sta torej±2a√

3/9 pri abscisi 2a/3.

Abscise 2a/3 ni težko geometrijsko konstruirati, prav tako tudi ne or- dinate 2a√

3/9, ki je 2/9 razdalje ∣P−P+∣=a√

3, kjer sta P− in P+ presečišči krožnih lokov s središčema v točkahOinDin polmerom∣OD∣. To pomeni, da sta točkiP− inP+konstruktibilni.

Če bi načrtali celotna krajša krožna loka medP− in P+, bi dobili med njima lečast lik, ki so mu nekočrekli ”vesica piscis”, kar dobesedno pomeni

”ribji mehur”. Lik je bil zelo znan v srednjeveški sakralni umetnosti.

Čeprav v de Slusovem času še niso poznali odvoda funkcije v današn- jem smislu, so že vedeli, zahvaljujoč Fermatu, da ima funkcija v točki lokalnega ekstrema vodoravno tangento.

Spremljajo č a parabola

Nastajanje krivulje K spremljajo še nekatere druge, bolj ali manj znane krivulje. Najprej si oglejmo, kaj dobimo, če točko O pravokotno projici- ramo na premice r in spreminjamo parameter t. Dobljena projekcija naj boR(slika 15).

V prispevku se pogosto sklicujemo na povezavo med smernima koe- ficientoma premice in pravokotnice nanjo. Koeficienta sta si inverzna in nasprotna. Zato zlahka napišemo enačbo premicer in pravokotnice skozi Onanjo:

y=t(x−a−at²), y=−x t. Njuno presečiščeRima koordinati

x(t)=at², y(t)=−at.

Z izločitvijo parametratdobimoy²=ax, kar pomeni, da točkeRpri spre- minjanju točkeApo premicix=aopišejo parabolo, ”spremljajočo parabolo”, ki ima gorišče v točkiF(a/4,0)in vodnicovz enačbox=−a/4.

Slika 15. De Slusova perlaKin spremljajoča parabola.

Ogrinja č e

Ko drsi točka A po premici x =a, premice s ogrinjajo neko krivuljo K_s. Premice s so v točki T krivulje K pravokotne na premice skozi O in T. Njeno enačbo dobimo po standardnem postopku. Enačba premicsje

F(x,y,t)=y+x−a

t +at³=0.

To je enoparametrična družina premic, ki ogrinjajo krivuljo K_s, imeno- vano ”ogrinjača” te družine (slika 16). V vsaki točki ogrinjače se jo dotika ena premica, v različnih točkah različne premice družine. Enačbo njihove ogrinjače v implicitni obliki dobimo tako, da iz sistema enačb

Slika 16. De Slusova perlaKin ogrinjačeK_s,K_q,K_r.

F(x,y,t)=0, ∂F

∂t(x,y,t)=0 izločimo parametert. Iz enačbe

∂F

∂t(x,y,t)=−(x−a)/t²+3at²=0

dobimo najprejx−a=3at⁴, kar vstavimo v prvo enačbo v sistemu in imamo y=−4at³. Dobili smo ogrinjačo v parametrični obliki:

x(t)=a(1+3t⁴), y(t)=−4at³.

Izločimotin enačba iskane ogrinjačeK_s v implicitni obliki je pred nami:

27y⁴=256a(x−a)³.

Ker je y dobljene krivulje sorazmeren s potenco (x−a)^3/4, lahko rečemo, da je ogrinjača premicsčetrtkubična parabola.

Podobno poiščemo ogrinjačoK_qpremicq:

F(x,y,t)=yt+x−a−at²=0, ∂F

∂t(x,y,t)=y−2at=0.

Ogrinjača v parametrični obliki je to pot

x(t)=a(1−t²), y(t)=2at.

Z izločitvijo parametrat dobimo njeno enačbo v implicitni obliki:

y²=−4a(x−a).

Dobljena krivulja K_q je parabola z vodnico x=2a in goriščem v točki O (slika 16).

Nazadnje po enakem postopku kot doslej poiščemo še ogrinjačo K_r premicr:

F(x,y,t)=y−tx+at+at³=0, ∂F

∂t(x,y,t)=−x+a+3at²=0.

Ogrinjača v parametrični obliki je potem

x(t)=a(1+3t²), y(t)=2at³.

Z izločitvijo parametrat dobimo njeno enačbo še v implicitni obliki:

27ay²=4(x−a)³.

Dobljena krivulja K_r je polkubična ali Neilova parabola z ostjo v točki D(a,0), kjer ima vodoravno tangento (slika 16). Krivuljo K_s smo up- ravičeno imenovali četrtkubična parabola. Slednja ima v točki D(a,0) navpično tangento.

Edinole premice pod tistih, ki sodelujejo v konstrukciji točk krivulje K, nimajo ogrinjače. Vse premice p namreč potekajo skozi koordinatno izhodiščeOin očitno ne ogrinjajo nobene krivulje.

Nožiščne krivulje

Novo krivuljoH^′dobimo,če na tangente dane krivuljeHpravokotno pro- jiciramo izbrano točkoΦ. Vse projekcijeP, nožišča točkeΦ na tangentah krivuljeH, sestavljajo krivuljoH^′, ki jo imenujemo ”nožiščna” ali ”pedalna krivulja” krivuljeHglede na točkoΦ.

Beseda ”pedalen” izhaja iz latinske ”pedalis”, kar pomeni ”nožen”. Os- novna beseda je ”pes”, v rodilniku ednine ”pedis”, kar pomeni ”noga”. Od tod izvirajo tudi besede ”pedalo”, ”pedalar” in ”pedalin”.

Poiščimo nekaj nožiščnih krivulj glede na koordinatno izhodišče O.

Najprej za krivuljo K, ki je poseben primer de Slusove perle. Za odvod v točkiT ∈K, ki ustreza parametrut, dobimo:

dy

dx(x)=y˙

˙

x(t)=3t²−1 2t .

Enačbi tangente vT in pravokotnice skoziOnanjo pa se glasita:

y−at(1−t²)=3t²−1

2t (x−a(1−t²)), y= 2t 1−3t²x.

Sekata se v točkiP s koordinatama:

x(t)=a(t²−1)²(1−3t²)

9t⁴−2t²+1 , y(t)=2at(t²−1)²

9t⁴−2t²+1. (4) S tem smo našli parametrični enačbi krivuljeK^′ (slika 17). Do implicitne enačbe je dolga pot prek rezultante dveh polinomov spremenljivke t, od katerih je prvi druge, drugi pa pete stopnje. Najprej opazimo, da je v (4) y/x=2t/(1−3t²), kar lahko zapišemo kot p(t)=3yt²+2xt−y=0, drugo enačbo pa zapišemo v obliki q(t)=2at⁵−9yt⁴−4at³+2yt²+2at−y =0.

Zaradi enostavnosti smo pisali x in y brez argumenta t. Da izločimo pa- rameter t, je treba zapisati ”rezultanto” R(p(t),q(t)) polinomov p(t) in q(t)in jo izenačiti z 0 (glej [14]):

R(p(t),q(t))= RR RR RR RR RR RR RR RR RR RR RR RR RR RR RR RR RR RR RR RR RR RR RR R

2a −9y −4a 2y 2a −y 0 0 2a −9y −4a 2y 2a −y

3y 2x −y 0 0 0 0

0 3y 2x −y 0 0 0

0 0 3y 2x −y 0 0

0 0 0 3y 2x −y 0

0 0 0 0 3y 2x −y

RR RR RR RR RR RR RR RR RR RR RR RR RR RR RR RR RR RR RR RR RR RR RR R

=0.

Zadnji stolpec je deljiv zy. Kery=0 ni del iskane nožiščne krivulje, pre- ostane, ko izračunamo determinanto in jo okrajšamo zyin preuredimo:

27y²(x²+y²)²+4ax(x²−9y²)(x²+y²)−4a²(x²−y²)²=0.

Rezultat je torej algebrska krivulja šeste stopnje. Krivulja je simetrična glede na abscisno os, točka Opa je njena posebna točka. Za zelo majhne x inyprevlada zadnjičlen, kar pomeni, da sta premiciy=x iny=−xvO tangenti na krivuljo.

Slika 17. Nožiščna krivuljaK^′ krivuljeKglede na koordinatno izhodišče.

Zanka krivulje K^′ nekoliko spominja na srčnico ali kardioido, ki jo opisujejo točke krožnice, ki se brez drsenja kotali po enako veliki krožnici.

KrivuljaK^′ima še neomejeni del, ki se razteza po drugem in tretjem kvad- rantu. Poglejmo, kako potuje točka po krivulji v parametrizaciji (4), ko parametertteče po številski premici. Zat<−1 poteka krivulja po tretjem kvadrantu, pri čemerx(t)→−∞iny(t)→−∞, kot→−∞. Prit=−1 točka doseže O v obliki osti, ki ima za tangento premico y =x. Za −1<t <0 potuje točka po četrtem kvadrantu, doseže točkoD pri t =0, za 0<t <1 potuje naprej po prvem kvadrantu in pri t =1 spet doseže O, kjer ima ost s tangentoy=−x, nato nadaljuje pot po drugem kvadrantu, pričemer x(t)→−∞iny(t)→∞, kot→∞.

Nožiščna krivulja malo prej obravnavane krivuljeK_s glede na točkoO ni ničdrugega kot krivuljaK. Premicesso namrečtangente naK_s, nožišča točkeOna njej pa so točke krivuljeK. Lahko pa to preverimo z računom

tako, kot smo poiskali nožiščno krivuljoK^′ zaKglede na točkoO.

Za odvod v poljubni točki naK_s, ki ustreza parametrut, dobimo:

dy

dx(x)=y˙

x˙(t)=−1 t.

Enačbi tangente v tej točki in pravokotnice skoziOnanjo pa se glasita:

y+4at³=−1

t(x−a(1+3t⁴)), y=tx.

Sekata se v točki s koordinatama:

x(t)=a(1−t²), y(t)=at(1−t²).

To sta ravno parametrični enačbi krivuljeK, tako da veljaK^′_s=K.

Podobno ugotovimo tudi, da je premicax=anožiščna krivulja za para- bolo K_q. Premica x =a je tangenta te parabole v temenu. V splošnem je temenska tangenta parabole kar njena nožiščna krivulja glede na gorišče.

Ugotovili smo torej, da je nožiščna krivulja krivuljeK_r spremljajoča para- bola krivuljeK

Ekstremne to č ke nožiš č ne krivulje K

Ekstremne točke na zanki krivuljeK^′dobimo iz odvodov:

x˙(t)=2at(1−t²)(3t²+1)(9t⁴+2t²−3) (9t⁴−2t²+1)² , y˙(t)=2a(t²−1)(3t²+1)(3t⁴+6t²−1)

(9t⁴−2t²+1)² .

Za t=0 doseže v točkiD(a,0)abscisa svojo največjo vrednost. Zat =±1 poteka krivulja skozi točkoO, kjer sama sebe preseka pod pravim kotom, ker jey^′(0)=(y˙/x˙)(±1)=∓1.

Najmanjšo absciso na zanki ima krivuljaK^′ v točki, ki jo določa para- metert, za katerega velja pogoj 9t⁴+2t²−3=0. To je bikvadratna enačba, katere realni rešitvi sta t± = ±

√ 2√

7−1/3, ustrezni točki na krivulji pa izračunamo z enačbama (4) in dobimo

X±(a(17−7√

7)/27,±a

√ 74√

7−172/27).

Ekstremni ordinati na zanki ima krivulja takrat za tisto vrednost para- metra t, za katerega velja pogoj 3t⁴+6t²−1 = 0. Realni rešitvi te bi- kvadratne enačbe stat±=±(3√

2−

√ 6)⁴

√

3/6, ustrezni točki na krivulji pa Y±(a(3−

√

3)/3,±a√⁴ 12/3).

Ker v koordinatah ekstremnih točk nastopajo poleg osnovnih aritmetičnih operacij le kvadratni in bikvadratni (četrti) koreni, so te točke konstruk- tibilne.

Cisoida

Spoznali smo enega od načinov pridobivanja novih ravninskih krivulj iz danih, to je z nožišči izbrane točke na tangentah dane krivulje. Krivulji s tem priredimo nožiščno krivuljo glede na izbrano točko. Drug tak pre- prost način, kako iz znanih krivulj dobimo nove, je cisoidni način. Kako pa ta poteka?

Denimo, da sta znani krivulji K₁ in K₂ ter točka O, ki ležijo v isti ravnini. Pri tem sta K₁ in K₂ taki krivulji, da vsaka premica p skozi O, ki seka K₁ v neki točkiT1, seka tudi K₂, recimo v točkiT2 (slika 18). Za vsak T1 označimo na ptočkoT tako, da veljaÐ⇀

OT =

ÐÐ⇀T1T2. KoT1 potuje po K₁, T opiše krivuljo C, ki jo imenujemo cisoida krivuljK₁ inK₂ glede na točkoO. Definicije take cisoide se nekoliko razlikujejo od vira do vira.

Slika 18. KrivuljaC je cisoida krivuljK₁ inK₂ glede na točkoO.

Dioklova cisoida, s katero rešimo problem podvojitve kocke, je cisoida krožnice x²+y² =ax in premice x=a glede na koordinatno izhodiščeO.

Večo cisoidah in njihovi uporabi je napisanega na primer v [8].

Krivulja K je povezana tudi s polkubično ali semikubno ali Neilovo parabolo, poimenovano po Williamu Neilu (1637–1680). Parametrični enačbi (3) lahko zapišemo v vektorski obliki v standardni bazi kot razliko kolinearnih vektorjev:

r⃗(t)=(x(t),y(t))=

Ð⇀OT =(a(1−t²),at(1−t²))=(a,at)−(at²,at³). Vektor⃗r1(t)=(a,at)=(a,0)+at(0,1)je enačba premicex=av parametrični obliki, vektorr⃗2(t)=(at²,at³)pa polkubične parabole, ki ima enačboay²= x³in ost v točkiO. Parametertgeometrijsko pomeni tangens naklonskega kota premiceOA(slika 13).

Premicay=tx poteka skozi koordinatno izhodiščeO in seka premico x=av točkiA(a,at), zato jeÐ⇀

OA=⃗r1. Ista premica seka polkubično parabolo P, ki ima enačbo ay²=x³, v točkiP(at²,at³), tako da je Ð⇀

OP =r⃗2. S tem je Ð⇀P A=

Ð⇀OA−

Ð⇀OP =⃗r1−r⃗2=r. To pomeni, da je⃗ r⃗= Ð⇀OT =

Ð⇀OA−

Ð⇀OP .Potemtakem je krivulja K cisoida polkubične paraboleP z enačbo ay² =x³ in premice

Slika 19. De Slusova perlaKkot cisoidna krivulja.

x=aglede na točkoO(slika 19).

Neilova parabola in lo č na dolžina

Neilova ali polkubična parabola ay² =x³ je bila v zgodovini matematike pomembna kot ena prvih krivulj, za katero so znali izračunati ločno dolžino.

Prav prvi je to znal John Wallis (1616–1703) leta 1657.

Denimo, da nas zanima ločna dolžina `(b)te krivulje nad intervalom [0,b] (slika 20). Znano je, da lahko uporabimo formulo za ločno dolžino krivulje, ki je dana v eksplicitni obliki:

`(b)=∫

b 0

√

1+y^′2dx.

Pri tem je y=f(x)enačba krivulje in y^′ =f^′(x). V našem primeru jey =

Slika 20. Neilova ali polkubična parabola.

f(x)=±

√

x³/a. Kratek račun nam day^′2=9x/(4a)in

`(b)=∫

b 0

√ 1+9x

4adx.

Z uvedbo nove integracijske spremenljivke u z relacijo u² =1+9x/(4a) dobimo

`(b)=8a 9 ∫

c

1 u²du=8a

27(c³−1), pričemer jec=

√

1+9b/(4a).

Leibnizeva izohrona je krivulja, po kateri se je leta 1687 vprašal G. W.

Leibniz. Poiskati je treba v navpični ravnini krivuljo, po kateri se brez trenja giblje točkasta masa, ki je podvržena konstantnemu težnostnemu polju, tako da je navpična komponenta njene hitrosti vesčas konstantna.

Nalogo je prvi rešil C. Huygens, nizozemski astronom, fizik in matema- tik, znan tudi po odkritju Saturnovega satelita Titana in znamenitih Sat- urnovih obročev ter po izdelavi prve ure na nihalo, kar je bilo za tistečase velik napredek v merjenju točnegačasa.

Slika 21. Leibnizeva izohrona.

IzhodiščeO postavimo v najvišjo točko krivulje (slika 21). V tej točki je horizontalna hitrost premikajoče se masem enaka 0. Naj bov0 njegova navpična hitrost navzdol. Os y je vodoravna, os x pa usmerjena navz- dol. Potencialno energijo mase računamo nad izbranim nivojem spodaj. V skladu z načelom ohranitve mehanske energije v času t in času 0 potem velja:

1

2mv²(t)+mg(h−x(t))=1

2mv²₀+mgh.

Pri tem je g težni pospešek. Po poenostavitvi dobimo v²(t)=2gx(t)+v₀². Vektor hitrosti ima v vsakem trenutku med seboj pravokotni komponenti:

v⃗(t)=(x˙(t),y˙(t)), za t =0 pa v⃗(0)=(v0,0). Upoštevamo, da je ∣ ⃗v(t)∣² = v²(t) = x˙²(t)+y˙²(t) in da je ˙x(t) = v0, pa imamo sistem diferencialnih enačb:

x˙(t)=v0, y˙(t)=

√

2gx(t),

ki ga rešimo pri začetnih pogojihx(0)=y(0)=0 in dobimo:

x(t)=v0t, y(t)=2 3

√

2gv0t³.

Koordinati točk na dobljeni krivulji zadoščajo enačbi ay²=x³, a=

9v₀² 8g . Pri dani konstanti a je v0 =(2/3)

√

2ag. Iskana krivulja je torej Neilova parabola. Ime izohrona je dobila zato, ker točkasta masa po vertikali v enakih časih prepotuje enake razdalje. V grščini beseda ἴσος pomeni

”enak”,χρόνοςpa ”čas”.

Dolžina` zanke krivuljeK nas pripelje do zapletenega eliptičnega in- tegrala, za katerega zapišimo približno vrednost:

`=2a∫

1 0

√

9t⁴−2t²+1dt≐2.71559186a.

Pačpa je dolžina loka`četrtkubične paraboleK_s, ogrinjače premics, bolj prijazna. Za dolžino loka od točkeD, ki ustreza parametrut=0, do točke, ki ustreza parametrut=α, dobimo:

`=12a∫

α 0 t²

√

1+t²dt=3a

2 (α(1+2α²)

√

1+α²−ln(α+

√

1+α²)). Prav tako dolžina loka` navadne paraboleK_q, ogrinjače premicq, ne dela težav. Za dolžino loka od točke D, ki ustreza parametru t =0, do točke, ki ustreza parametrut=α, dobimo:

`=2a∫

α 0

√

1+t²dt=a(α

√

1+α²+ln(α+

√

1+α²)).

Za spremljajočo parabolo dobimo prav tako enostaven rezultat za ločno dolžino od točkeOdo točke, ki ustreza parametrut=α:

`=∫

α 0

√

1+4t²dt=a 4(2α

√

1+4α²+ln(2α+

√

1+4α²)). Nazadnje zapišimo še ločno dolžino polkubične paraboleK_r:

`=6a∫

α 0 t

√

1+t²dt=2a((1+α²)

√

1+α²−1).

Pri vseh zgornjih primerih je parametert strmina premicepv prvotni konstrukciji krivuljeK.

Ploš č ine in prostornine

PloščinaS lika, ki ga omejuje zanka krivuljeK, je S= 2

√a∫

a 0 x√

a−x dx.

Z uvedbo nove integracijske spremenljivket z relacijoa−x=t² je S= 4

√a∫

√a

0 t²(a−t²)dt= 4

√a∫

√a

0

(at²−t⁴)dt=8a² 15.

Lahko pa jo izrazimo tudi s splošno formulo, ki smo jo izpeljali na začetku razdelka. S to formulo lahko izrazimo še prostornino V telesa, ki ga pri rotaciji okoli osixopiše lik:

V =π a∫

a

0 x²(a−x)dx=πa³ 12 . To je ravno polovica prostornine krogle s premeroma.

Pačpa je izraz za ploščinoS^′lika, ki ga omejuje zanka krivuljeK^′, bolj zapleten izraz. Uporabimo parametrični enačbi (4) in dobimo:

S^′=∫

1

0 (x(t)y˙(t)−x˙(t)y(t))dt=2a²∫

1 0

(1−t²)³(1+2t²−3t⁴) (9t⁴−2t²+1)² dt.

Če se zanesemo na računalniško računanje določenih integralov, potem je S^′= 2a²

729(3(43π−28)+52

√

2ln(1+

√ 2)),

kar je približno S^′ ≐ 1.059206796a². Do enakega rezultata pridemo z navidez enostavnejšo formulo

S^′=2∫

a

0 y(x)dx,