Kdo je bil Diedrich Uhlhorn?

Univerza v Ljubljani Pedagoška fakulteta

Oddelek za matematiko in računalništvo

Marko Razpet

DIEDRICH UHLHORN IN NJEGOVE KRIVULJE

Študijsko gradivo Zgodovina matematike

Ljubljana, september 2021

Vsebina

Seznam slik 3

Predgovor 5

Kdo je bil Diedrich Uhlhorn? 6

Uhlhornova knjiga 9

Geometrijske sorazmernice 20

Ofiurida 25

Analitična obravnava ofiuride 27

Ofiurida in parabola 33

Ofiurida in hiperbola 38

Inverz hiperbole na krožnici s središčem na njej 42

Reševanje kubičnih enačb 48

Še nekaj jezikovnih 51

Za konec 53

Pomembni znanstveniki, rojeni v 18. stoletju 54

Viri 56

Seznam slik

1 Diedrich Uhlhorn. . . 7

2 Bockhorn v 19. stoletju. . . 8

3 Naslovnica Uhlhornove knjige. . . 10

4 Ofiurida. . . 12

5 Toksoida, lokarica. . . 13

6 Kukumaida, strofoida. . . 14

7 Kromioida,čebulnica, Pascalov polž. . . 15

8 Didaktiloida, dvoprstnica. . . 16

9 Skifoida,čašnica. . . 17

10 Diloboida, dvostročnica. . . 18

11 Pravokotni trikotnik. . . 21

12 Srednji geometrijski sorazmernici. . . 23

13 Heronova konstrukcija srednjih geometrijskih sorazmernic. . . 24

14 Nastanek ofiuride. . . 26

15 Do geometrijskih sorazmernic z ofiurido. . . 26

16 Ofiurida v koordinatnem sistemu. . . 27

17 Ofiurida in njene značilne točke. . . 30

18 Ofiurida in predznaka konstantainb. . . 31

19 Dioklova cisoida. . . 32

20 Posebni primer: a=0, b≠0. . . 32

21 List ofiuride. . . 33

22 Ofiurida in družina premic skozi točkiCinD. . . 33

23 Ofiurida je nožiščna krivulja parabole. . . 34

24 Ofiuride kot nožiščne krivulje parabole. . . 35

25 Do ofiuride po cisoidnem postopku. . . 37

26 Ofiurida in hiperbola. . . 39

27 Inverzija hiperbole na krožnici s središčem na tej hiperboli. . . 40

28 Inverzija hiperbole na krožnici je lahko strofoida. . . 41

29 Inverz hiperbole na krožnici s središčem na njej. . . 42

30 Skladni inverzi hiperbole na skladnih krožnicah s središči na njej. . 45

31 Ofiurida v okolici svoje dvojne točkeS. . . 47

32 Tangenta hiperbole je lahko pravokotna na njeno asimptoto. . . 48

33 Reševanje enačbey³−2=0 z ofiurido. . . 49

34 Reševanje enačbe 4y³−13y+6=0 z ofiurido. . . 50

35 Tretjinjenje kota z ofiurido. . . 51

36 Načrt Uhlhornove naprave za risanje ofiurid. . . 55

Predgovor

V zgodovini matematike zadnjih nekaj stoletij ni prav veliko samoukov in amaterjev, ki so napisali odmevnejšo matematično knjigo. Eden takih je bil Diedrich Uhlhorn, doma na severu Nemčije. Znano je, da je veliko učenjakov različnih civilizacij že od antike naprej poskušalo rešiti zna- meniti geometrijski problem kvadrature kroga. Poskusili so s šestilom in neoznačenim ravnilom, to se pravi z evklidskim geometrijskim orodjem, na kratko po evklidsko, konstruirati kvadrat, ki ima enako ploščino kot dani krog. Problem so reševali tako matematiki kot amaterji. Problem, ki je vsem lahko razumljiv, je prišel celo v vsakodnevno besedno zvezo, ko govorimo o kakšnem težko rešljivem ali sploh nerešljivem problemu.

Šele v 19. stoletju so matematiki dokazali, da to ni mogoče. V želji, da bi rešili problem, pa so vendarle odkrili marsikaj drugega. Če drugega ne, so odkrili bolj ali manj natančne približne metode za kvadraturo kroga in izračunali vedno bolj natančne približke za krožno konstantoπ.

Prav tako so se trudili rešiti po evklidsko še dva druga antična ge- ometrijska problema, in sicer problem duplikacije ali podvojitve kocke ali deloški problem, poimenovan po otoku Delos, Δῆλος, v Egejskem morju, in problem trisekcije ali tretjinjenja kota. Več o tem lahko najdemo na primer v [2, 4, 5]. Tudi ta dva problema sta po evklidsko nerešljiva, kar so dokazali tudi šele v 19. stoletju.

Pri deloškem problemu gre za konstrukcijo roba kocke, ki ima dvakrat večjo prostornino kot dana kocka. Pri problemu trisekcije kota pa je treba konstruirati tretjino danega kota.

S tema dvema problemoma se je ukvarjal Diedrich Uhlhorn in v nekem smislu v svoji knjigi, ki je izšla leta 1809 in bila ugodno sprejeta, zaokrožil

to takrat že nekoliko pozabljeno problematiko. Že od antičnih časov so si, videč da po evklidsko nikakor ne gre, pomagali s posebnimi ravnin- skimi krivuljami in posebnimi geometrijskimi orodji. Uhlhorn je dodal še nekaj svojih krivulj in jim dal grška in nemška imena ter izdelal za njihovo načrtovanje posebna orodja, kar mu kot spretnemu mehaniku ni bilo težko. Orodja so pri tej problematiki novost. Največjo pozornost je posvetil krivulji, ki jo je poimenoval ”ofiurida”, po naše ”kačjerepa črta”

ali ”kačjerepnica”, po nemško ”Schlangenschwanzlinie”. Ofiuridi je v svoji knjigi posvetil največ prostora, okoli 40 strani. Vključujejo jo tudi naj- novejša dela, ki obravnavajo ravninske krivulje, čeprav je Uhlhorn manj znan in že skoraj pozabljen.

Kdo je bil Diedrich Uhlhorn?

Življenjepis in delo Diedricha Uhlhorna sta povzeta po novejšem delu [5].

Diedrich Uhlhorn (1764–1837) se je rodil v Bockhornu v okrožju Fries- land, sedaj na Spodnjem Saškem. Kot samouk je napravil nenavadno kariero. Njegov oče je bil mizar in kmetovalec. Diedrich je celih prvih 38 let svojega življenja prebil v rojstnem kraju, kjer je obiskoval enorazredno ljudsko šolo, ki je bila zelo natrpana, kajti učitelj je bil plačan glede na število učencev in si zato zelo prizadeval, da je bilo le-tehčim več. Navaden obvezen pouk je bil omejen na branje, pisanje in verouk, za otroke pre- možnejših staršev je bilo na voljo tudi nekaj računstva. Ker je Diedrich v šoli pokazal, da je nadarjen za matematiko in fiziko, mu je mati uredila dodaten pouk matematike v sosednjem kraju pri nekem zemljemercu, ki je obvladal precej matematike in s tem fanta uvedel v svet matematičnih znanosti in učencu nudil tudi strokovno literaturo za branje. Po končani

šoli je Diedricha vzel v uk kar njegov oče. Fanta pa očetovo delo ni kaj dosti zanimalo. Začel izdelovati različne fizikalne in matematične inštru- mente, kar očetu ni bilo prav ničvšeč, tako da je sina celo razdedinil. Zato je najel v Bockhornu neko hišo, kjer je lahko kot obrtnik izdeloval inštru- mente: sončne ure, elektrostatične generatorje, nivelirje in daljnoglede.

Slika 1. Diedrich Uhlhorn.

Diedrich je začel študirati matematiko iz knjige Christana Wolffa, ki ima naslov ”Auszug aus den Anfangs-Gründen aller mathematischen Wis- senschaften, zu bequemerem Gebrauche der Anfänger”, kar pomeni ”iz- vleček iz začetnih osnov vseh matematičnih znanosti, za udobno uporabo pri začetnikih”. V knjigi je zajetih 19 matematičnih znanosti: aritmetika, geometrija, trigonometrija, mehanika, hidrostatika, aerometrija, hidrav- lika, optika, katoptrika, dioptrika, perspektiva, astronomija, geografija, kronologija, gnomonika, artilerija, nauk o utrdbah, stavbarstvo in alge- bra. Izšla je leta 1772 v Halleju. Avtor Christian Wolff (1679–1754) je

bil nemški matematik in filozof. Leta 1710 je izšla njegova knjiga ”An- fangsgründe aller mathematischen Wissenschaften”, kar pomeni ”začetne osnove vseh matematičnih znanosti”, iz katere je potem nastal prej omen- jeni ”izvleček”.

Slika 2. Bockhorn v 19. stoletju.

Potem ko je bil Diedrich izdelal zelo kvaliteten daljnogled za svojega deželnega gospoda, vojvodo Petra Friedricha Ludwiga, je bil leta 1797 imenovan za dvornega mehanika vojvode holsteinskega-oldenburškega.

Vojvoda ga je tudi gmotno podpiral. Od leta 1801 do 1810 je živel v Old- enburgu, potem pa se je preselil v Grevenbroich v Porenju. Tu je prišel na dober glas kot pionir industrijske dobe. Še danes velja za pionirja nemške industrije. Že v Oldenburgu so bile v težišču njegovega dela konstruk- cije strojev v suknarstvu. Znan pa je Uhlhorn postal predvsem po razvoju

naprave za izdelavo kovancev, stiskalnico s kolenastim vzvodom, ki deluje podobno kot naprava za zapiranje steklenic s pokrovčki. Izdelanih je bilo okoli 200 primerkov. Nekateri so se ohranili po muzejih, v Københavnu so eno tako Uhlhornovo napravo uporabljali vse do leta 1955. Uhlhornu pripisujejo tudi iznajdbo tahometra, naprave za merjenje hitrosti. Beseda

”tahometer” je izvedena iz dveh grških: τάχος, hitrost, naglica, inμέτρον, mera, merilo. Leta 1804 je v nekem nagrajenem spisu razložil optimalno obliko zobnikov pri mlinih. Taki zobniki se sčasom zaradi medsebojnega drgnjenja najpočasneje izrabljajo. S tem je teorija krivulj veliko pridobila na praktični uporabnosti. Diedrich Uhlhorn je znal svoje izjemne prak- tične in teoretične sposobnosti uporabiti tako v lastno korist kot v korist celotne družbe in v življenju mu ni šlo slabo. Umrl je v Grevenbroichu.

Po Uhlhornu so v Grevenbroichu poimenovali realko: ”Diedrich-Uhl- horn-Realschule”. V rodnem Bockhornu je dobil svojo ulico ”Uhlhorn- straße” in svojo spominsko ploščo.

Uhlhornova knjiga

Glede na raznolikost njegovih izumov bi marsikdo zaključil, da je bil Uhl- horn nekakšen ”Jaka Racman”, ki se loti vsega. Na njegovo čisto drugo plat, katere pomena doslej, kot kaže, niso pravilno ovrednotili, pa se je popolnoma pozabilo. Ko je živel še v Oldenburgu, je namrečnapisal knji- go z naslovom ”Entdeckungen in der höhern Geometrie, theoretisch und practisch abgehandelt”, ki je izšla leta 1809 v Oldenburgu.

Naslov in celotno besedilo sta napisana po takratnem nemškem pravo- pisu. Prevod naslova je ”odkritja v višji geometriji, obravnavana teoretično in praktično”. Njegovo ime ima v knjigi enočrko več: namesto uveljavljene

oblike ”Diedrich” so zapisali, kdo ve zakaj, ”Diederich”. Avtor je knjigo posvetil vojvodi Ludwigu.

Slika 3. Naslovnica Uhlhornove knjige.

Na začetku knjige se opravičuje, da ima slabo osnovno izobrazbo, da nikoli ni poslušal kakšnega matematičnega predavanja in da tudi pisanja besedil in nemškega pravopisa ne obvlada dovolj dobro, zahvaljuje pa se prijateljem, ki so mu pri tem pomagali.

Ocena knjige je možna šele na podlagi novejših raziskav antične ge- ometrije. Čudimo se lahko širini in globini Uhlhornovega premišljevanja, polnosti idej, predvsem pa osupljivemu čutu za to, s čim so se ukvar- jali antični geometri, nič manj pa tudi njegovemu smislu za dostavke tis- tim, ki so se imeli za obnovitelje antične geometrije, zlasti Descartesu in Newtonu. Uhlhorn je potemtakem na široko pokazal, da antične rešitve lahko prilagodimo tem novim zahtevam. Z današnjega stališča moramo v Uhlhornu na neki način videti celo ”dovršitelja antične geometrije”. Druga njegova priljubljena krivulja, ”toksoida”, po naše ”lokarica”, po nemško

”Bogenlinie”, se prav tako kot ”ufiurida” pogosto omenja v novejših delih o krivuljah. Žal ime ”toksoida” ni bilo preveč posrečeno izbrano, ker nas prevečspominja na zadeve, ki so povezane s strupi. Uhlhorn je vsekakor reševanje velikih antičnih problemov uskladil z novo Descartesovo ge- ometrijo, v bistvu z analitično geometrijo.

V svoji knjigi Uhlhorn obravnava večalgebrskih krivulj, ki jih tudi po- imenuje z vrstilnimi števniki: prva krivulja, druga krivulja itd. Nekatere so bile sicer včasu njegovega življenja že znane, morda zanje ni niti vedel, vendar pa se je trudil pri vseh pokazati, kako se jih konstruira po točkah.

To je bilo zanj bistveno. Ko je enkrat krivuljo znal narisati, jo je znal tudi uporabiti in zanjo konstruirati geometrijsko orodje.

Prvim sedmim krivuljam je dal Uhlhorn imena, prilagojena nemške- mu jeziku in pravopisu, in ki izvirajo iz grščine, pa tudi domača nemška imena. Ker sam ni obvladal grščine in se je zanašal na pomoč prijateljev, so morda nekatera imena krivulj nekoliko zgrešena. Vsako ime naj bi izvi- ralo iz asociacij, ki jih doživimo ob pogledu na krivuljo. Pokomentirajmo nekoliko vsako posebej in jo tudi slikovno predstavimo. Na prvem mestu je zapisano nemško ime, nato sledi kratka razlaga njegovega izvora.

1. Ophiuride — iz ὄφις, kača; οὐρά, rep — Schlangenschwanzlinie iz Schlange, kača; Schwanz, rep; Linie,črta — ofiurida, kačjerepačrta, kačjerepnica. Nekateri uporabljajo morda pravilnejšo obliko: ofi- uroida, tako da upoštevajo še grško besedoεἶδος, oblika, podoba.

Slika 4. Ofiurida.

V Bibliji najdemo besedoὄφις, kača, na primer v 1 Mz 49, 17:

καὶ γενηθήτω Δὰν ὄφις ἐφ᾿v ὁδοῦ, ἐγκαθήμενος ἐπὶ τρίβου, δάκνων πτέρναν ἵππου, καὶ πεσεῖται ὁ ἱππεὺς εἰς τὰ ὀπίσω

Klasični prevod:

Dan bo kakor kača ob poti, gad bo ob stezi, ki piči konja v kopita, da pade jezdec vznak.

Dalmatinov prevod:

Dan bo ena kazha na potu, inu en madras nastèsi, inu bo kojna v’peto vgrisnil, de njegou iesdez snak bo padèl.

Dan je bil eden od dvanajstih sinov biblijskega očaka Jakoba.

V Bibliji najdemo besedoοὐρά, rep, na primer v Raz 12, 4:

καὶ ἡ οὐρὰ αὐτοῦ σύρει τὸ τρίτον τῶν ἀστέρων τοῦ οὐρανοῦ, καὶ ἔβαλεν αὐτοὺς εἰς τὴν γῆν

Klasični prevod:

Njegov rep je pometel z neba tretjino zvezd in jih vrgel na zemljo.

Dalmatinov prevod Raz 12, 9:

Inu njegou rep je vlejkel tretji dejl teh svesd, inu je nje na semlo vèrgal.

2. Toxoide — iz τόξον, lok, izstrelek, strela puščica, εἶδος, oblika, po- doba — Bogenlinie iz Bogen, lok; Linie,črta — toksoida, lokarica.

Slika 5. Toksoida, lokarica.

V Bibliji najdemo besedoτόξον, lok, na primer v 1 Mz 27, 3:

νῦν οὖν λαβὲ τὸ σκεῦός σου, τήν τε φαρέτραν καὶ τὸ τόξον, καὶ ἔξελθε εἰς τὸ πεδίον καὶ θήρευσόν μοι θήραν

Klasični prevod:

Vzemi zdaj svojo pripravo, tulec in lok, pojdi na polje in ulôvi zame kako divjad!

Dalmatinov prevod:

Satu vsami tvojo pripravo, tvoj tull, inu tvoj lok, inu pojdi na púle, inu vlovi meni eno svirino!

Ker beseda τόξον pomeni tudi puščica, puščice pa so bile pogosto zastrupljene, lahko izvor toksoloških izrazov iščemo v tej besedi.

3. Kukumaide — izκούκκουμα, cucuma (lat.), kuhinjski lonec, kopalni kotel;εἶδος, oblika, podoba — Querkolbenlinie iz Querkolben, prečni bet, prečni kij; Linie,črta — kukumaida.

Beseda κούκκουμαse v grških besedilih pojavi v prvem ali drugem stoletju, ko je rimski imperij v času cesarja Trajana zavzemal naj- večji obseg. Kot kaže, beseda izvira v orientalskih jezikih: sirijščini, aramejščini. Pomenil je neko posodo, morda celo nekakšen mešiček, izdelan iz živalskega mehurja.

Uhlhorn verjetno ni vedel, da gre za znano krivuljo strofoido, ki sta jo poznala že Evangelista Torricelli (1608–1647) in Isaac Barrow (1630–1677). Beseda naj bi izvirala iz grške στροφή, zavoj, obrat, in εἶδος, oblika, podoba.

Slika 6. Kukumaida, strofoida.

V 18. knjigi Odiseje najdemo v 315. verzu besedo, ki ima enak koren:

ἔρχεσθε πρὸς δώμαθ᾿v, ἵν᾿v αἰδοίη βασίλεια:

τῇ δὲ παρ᾿v ἠλάκατα στροφαλίζετε, τέρπετε δ᾿v αὐτὴν Prevod A. Sovréta:

pojdite v izbo sedaj, h kneginji, gospójičastiti, sučite prejo ročnó, skušájte gospo razvedriti

4. Krommyoide — izκρόμμυον, tudiκρόμυον,čebula, εἶδος, oblika, po- doba — Zwiebellinie iz Zwiebel, čebula; Linie, črta — kromioida, čebulnica.

Uhlhornova kromioida je poseben primer v njegovemčasu že znanih krivulj, Pascalovih polžev, imenovanih po Étiennu Pascalu (1588–

1651), ki je bil oče Blaisa Pascala (1623–1662). Pascalovemu polžu na Zahodu pogosto rečejo ”limaçon”. Pascalove polže lahko uvrstimo tudi med konhoide krožnice. Za konhoido dane ravninske krivulje K moramo imeti neko točko O v ravnini te krivulje in neko raz- daljo a. Na K izberemo točko M in skozi O in M potegnemo pre- mico p. Od M nato po premici p odmerimo na obe strani a, da dobimo točki T1 in T2. Ko M preteče K, točki T1 in T2 pretečeta konhoido krivuljeK. Znana Nikomedova konhoida ali školjčnica je konhoida premice. Ime krivulje izhaja iz grške besede κόγχη, kar pomeni školjka. Nikomed, Νικομήδης(280–210 p.n.š.), je bil staro- grški matematik.

Slika 7. Kromioida,čebulnica, Pascalov polž.

Besedo κρόμυον,čebula, najdemo na primer v 19. knjigi Odiseje, v

233. verzu:

οἷόν τε κρομύοιο λοπὸν κάτα ἰσχαλέοιο Prevod A. Sovréta:

tak nekako na pogled ko lup osušênečebule

5. Didaktyloide — izδίς, dvakrat, δάκτυλος, prst,εἶδος, oblika, podoba

— Zweyfingerlinie iz starinsko zwey, moderno zwei, dva; Finger, prst; Linie,črta – didaktiloida, dvoprstnica.

Slika 8. Didaktiloida, dvoprstnica.

V Bibliji najdemo besedoδάκτυλος, prst, na primer v Janezovem evan- geliju, 8, 6:

ὁ δὲ ᾿Ιησοῦς κάτω κύψας τῷ δακτύλῳ κατέγραφεν εἰς τὴν γῆν Klasični prevod:

Jezus se je sklonil in s prstom pisal po tleh.

Dalmatinov prevod:

Iesus pakse je doli pèrpognil, inu je s’pèrstom pissal na semlo.

6. Skyphoide — izσκύφος, kozarec,čaša, kupa — Becherlinie iz Becher, kozarec,čaša, kupa; Linie,črta — skifoida,čašnica.

Besedoσκύφος, kupa, najdemo na primer v 14. knjigi Odiseje, v 112.

verzu:

καί οἱ πλησάμενος δῶκε σκύφον, ᾧ περ ἔπινεν, Prevod A. Sovréta:

kupo nalije pastir, leseno, ki sam jo je rabil

Slika 9. Skifoida,čašnica.

7. Diloboide — izδίς, dvakrat,λοβός, strok, ušesna mečica, jetrno krilo

— Zweyschotenlinie iz starinsko zwey, moderno zwei, dva; Schote, strok; Linie,črta — diloboida, dvostročnica.

Besedoλοβός, jetrno krilo, najdemo na primer pri Plutarhu, v življe- njepisu Lucija Kornelija Sule, 27. razdelek, 2. odstavek:

θύσαντος μὲν γὰρ εὐθέως ᾗ διέβη περὶ Τάραντα, δάφνης στεφάνου τύπον ἔχων ὁ λοβὸς ὤφθη, καὶ λημνίσκων δύο κατηρτημένων.

Slika 10. Diloboida, dvostročnica.

Prevod A. Sovréta:

Ko je takoj po prihodu v Italijo opravil v Tarentu daritev, se je pokaza- lo, da je imelo jetrno krilo obliko lovorovega venca, od katerega sta visela dva traka.

V grškem besedilu opazimo še eno besedo, ki je odigrala neko vlo- go v matematiki: λημνίσκων, kar je množinski rodilnik samostalnika λημνίσκος, kar pomeni volneni trak. To besedo je uporabil Jakob Bernoulli (1655–1705), da je poimenoval osmici podobno krivuljo lemniskata, natančneje jo danes imenujemo Bernoullijeva lemniska- ta, ker obstajajo še druge lemniskate.

V nadaljevanju Uhlhorn obravnava še nekaj drugih algebrskih krivulj, od tretje do osme stopnje. Ne daje jim imena, ampak le vrstilne števnike.

Zvrstijo se osma krivulja, deveta krivulja, vse do osemnajste krivulje. Sledi obširna razlaga več načinov, kako konstruiramo Dioklovo cisoido, nato se vrne k svoji kukumaidi, po naše strofoidi, sledijo Nikomedova kon- hoida ali školjčnica in kardioida ali srčnica. Nanizanih je veliko primerov uporabe pri reševanju enačb s pomočjo teh krivulj.

V enajstem razdelku Uhlhorn pokaže, kako z Neilovo ali polkubično parabolo rešimo problem podvojitve kocke. Kot zanimivost povejmo, da Uhlhorn uporablja nemško starinsko obliko vrstilnega števnika enajsti:

eilfter, moderno je elfter. Ustrezni glavni števnik za enajst je bil eilf.

Nemška števnika elf oziroma eilf in zwölf imata pačsvojo zgodovino. Ra- zlaga obeh tiči v končnici -lf, ki je skrajšana germanska končnica -lif, ki pa označuje, da je nekaj več,čez. V našem primeru večkot deset,čez de- set. Johann Wolfgang von Goethe (1749–1832) je uporabljal števnik eilf, ki izhaja iz ei(n)-l(i)f, torej enačez, Martin Luther (1483–1546) pa zwolf, ki izhaja iz zwo-l(i)f, dve čez. Še dandanes slišite nekatere nemško govoreče šteti: eins, zwo, . . . , namesto standardno eins, zwei, . . . (povzeto po [3]).

Uhlhorn proti koncu knjige uporablja ustrezno besedo Eilfeck namesto Elfeck za enajstkotnik.

Naslov Uhlhornove knjige [7] ima, kot lahko opazimo na sliki 3, še nadaljevanje: ”nebst Prüfung, der von A. W. Wlochatius aufgestellten elementar-geometrischen Auflösung des Delischen Problems u. s. w.”, kar pomeni ”skupaj s presojo elementarno-geometrijske rešitve deloškega pro- blema, ki jo je nastavil A. W. Wlochatius itd.” Kdo je bil Wlochatius? Au- gust Wilhelm Wlochatius (1744–1815) se je rodil v Darkehmenu (sedaj Ozjorsk) v Prusiji, v vasi, ki leži približno 100 km vzhodno od Königs- berga (sedaj Kaliningrad). Bil je filozof, matematik in jezikoslovec. Leta 1804 je v Königsbergu objavil članek ”Elementar-geometrische Auflösun- gen des Delischen Problems, der Aufgabe vom Dreischnitt des Winkels und einiger anderen Sätzen, als ein reguläres 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 Eck geometrisch zu zeichnen, nebst einer neuen und sehr leichten Methode, eine Linie proportionaliter ad totam zu theilen”, to se pravi ”Elementarno- geometrijske rešitve deloškega problema, naloge tretjinjenja kota in nekaj

drugih izrekov, kot je geometrijsko načrtovanje pravilnega 7-, 11-, 13-, 17-, 19-, 23-, 29-kotnika, skupaj z novo in zelo preprosto metodo, kako so- razmerno s celoto razdeliti daljico” (zlati rez). Članek je med drugimi ne- gativno recenziral matematik in astronom Friedrich Wilhelm Bessel (1784–

1846). Uhlhorn pa mu je posvetil del svoje knjige in dokazal, da Wlochati- usova metoda podvojitve kocke deluje le v nekaj primerih. Prav tako so sporne Wlochatiusove metode tretjinjenja kota in konstrukcije pravilnih večkotnikov. Dal pa je Uhlhorn nasvete, kako bi metode konstrukcije pravilnih večkotnikov lahko izboljšali. To se mu je zdelo pomembno, ker se je spoznal na zobnike v urah in strojih, ki morajo biti izdelani čim natančneje. Glavna zamera je bila, da je Wlochatius uporabljal ne- dokazane trditve in da je rezultate premalo preverjal na primerih. Ni pa zaslediti pripomb v zvezi s tem, kako sorazmerno s celoto razdeliti daljico.

Geometrijske sorazmernice

Starogrški matematiki so bili pravi mojstri razmerij in sorazmerij, na ka- terih je temeljila večina njihove matematike. V razmerjih so bile lahko samo istorodne količine, na primer dolžine, ploščine in prostornine. Raz- merja so bila v nekem smislu antična različica realnih števil. Pravokotni trikotnik in njegove lastnosti so že dobro poznali. Znali so po evklidsko podvojiti kvadrat, težave pa so nastale s podvojitvijo kocke. Oglejmo si malo pobliže, kako je bilo s tem.

V pravokotnem trikotniku je višinaxna hipotenuzo geometrijska sre- dina pravokotnih projekcij a in b katet na hipotenuzo. Brez škode za splošnost vzemimo, da je a≤b. Posledica podobnosti dveh pravokotnih trikotnikov, na katera razdeli višina dani pravokotni trikotnik (slika 11),

je sorazmerje

a x =x

b. (1)

Vpeljanemuxrečemo srednja geometrijska sorazmernica daljicainb.

Slika 11. Pravokotni trikotnik.

Zato je x² =abin x =√

ab. To ni nič drugega kot znani višinski izrek v pravokotnem trikotniku. Pri tem velja relacija a≤x≤b. Enačaj v njej velja natanko takrat, ko je a=b. Za b=2a dobimo x=a√

2. To pomeni, da ima kvadrat s stranico x ploščino x² =2a², kar je dvakratnik ploščine kvadrata s stranicoa. S tem smo uspeli podvojiti kvadrat. Seveda je bil ves račun brez potrebe, ker je 2a² =(a√

2)², kar pomeni, da ima kvadrat nad diagonalo kvadrata s stranicoadvakrat večjo ploščino.

Ker se pa rešitev podobnega problema, to je problema podvojitve kocke, nikakor ni posrečila, je v 5. stoletju p.n.š. živeči Hipokrat z otoka Hios, v grščini ῾Ιπποκράτης ὁ Χῖος, prišel na idejo, da bi problem rešil z dvema srednjima geometrijskima sorazmernicama, prva naj bo x, druga y, za daljici a in b, kjer je a ≤b. Mimogrede: Hipokrat je reševal tudi prob- lem kvadrature kroga. Srednji geometrijski sorazmernici x in y morata zadoščati relaciji

a x =x

y =y

b, (2)

ki je analogna relaciji (1).Če označimo te tri kvociente zλin jih med seboj zmnožimo, dobimo

a x⋅x

y⋅y b=a

b =λ³. To pomeni, da je

λ=√³ a

b, x=√³

a²b, y=√³ ab².

Pri tem velja relacijaa≤x≤y≤b, ki je posledica relacije a³=a²a≤a²b=aab≤abb=ab²≤bb²=b³, iz katere sledi po kubičnem korenjenju a< √³

a²b≤ √³

ab²≤b. Zato lahko rečemo, da sta x in y sredini daljic a in b, saj sta med a in b. Enačaji v zgornjih relacijah veljajo natanko tedaj, ko jea=b.

Zab=2a je x=a√³

2 in y =a√³

4. To pomeni, da se s tem posreči pod- vojiti in početveriti kocko. Kocka z robomx ima namrečdvakrat, kocka z robomy štirikrat večjo prostornino kot kocka z robomain dvakrat večjo kot kocka z robom x, ker je x³=2a³ iny³=4a³ =2x³. Podvojitev je sicer uspela, a le računsko, ne pa geometrijsko, po evklidsko.

S tem Hipokratovim odkritjem je postal problem podvojitve kocke ena- kovreden iskanju dveh srednjih geometrijskih sorazmernic daljic a in b.

Kaže, da se je problem s tem poenostavil, a to še zdalečni res. Kubičnih korenov, ki nastopajo v izrazih za obe sorazmernici, se namrečne da kon- struirati po evklidsko, kvadratne pa se da, na primer z uporabo višinskega izreka v pravokotnem trikotniku.

Poskušali so na večnačinov. Načrtali so pod pravim kotom daljicia=

∣BO∣in b=∣AO∣(slika 12). Nato so na premici skozi Ain O izbrali točko C^′, na daljicoBC^′vC^′ postavili pravokotnico, ki preseka premico skoziB inOv točkiD^′. VD^′so na daljico vC^′D^′postavili še eno pravokotnico, ki

seka premico skozi Ain O v točkiA^′. Nato so točkoC^′ premikali sem in tja po premici skozi Ain O, dokler A^′ ni pokrilaA. Pri tem vesčas velja

∣OB∣⋅∣OD^′∣=∣OC^′∣²in∣OC^′∣⋅∣OA^′∣=∣OD^′∣² oziroma

∣OB∣

∣OC^′∣= ∣OC^′∣

∣OD^′∣=∣OD^′∣

∣OA^′∣.

Slika 12. Srednji geometrijski sorazmernici.

Ko je A=A^′, je C^′ =C in D^′ =D. Za ta primer označimo x =∣OC∣ in y=∣OD∣, izčesar sledi

a x =x

y =y b,

kar pomeni, da sta x in y srednji geometrijski sorazmernici daljic ain b.

V praksi je težko doseči, da je A=A^′, zato velja zgornja relacija le prib- ližno. Da bi dosegličim boljši rezultat, so si pomagali z mehanskim orod- jem, na primer z dvema kotnikoma. Tak način pripisujejo filozofu Platonu (427–347 p.n.š.),Πλάτων, je pa malo verjetno, da ga je on odkril, ker je bil naklonjen samo konstrukcijam z neoznačenim ravnilom in šestilom.

Preprosta in razumljiva je rešitev problema srednjih geometrijskih so- razmernic je poznal Heron iz Aleksandrije,῞Ηρων ὁ ᾿Αλεξανδρεύς, ki je živel v 1. stoletju. Podobno rešitev sta našla tudi Apolonij iz Perge (265–170 p.n.š.),᾿Απολλώνιος ὁ Περγαῖος, in Filon iz Bizanca (280–220 p.n.š.),Φίλων ὁ Βυζάντιος.

Slika 13. Heronova konstrukcija srednjih geometrijskih sorazmernic.

Heron je načrtal pravokotnikABCDin poiskal njegovo središčeS(slika 13). Nato je skozi C potegnil premico in presečišči s premicama skozi A inBter skoziAinD označil zE inF. To premico je prilagajal tolikočasa, dokler ni dosegel enakost ∣SE∣=∣SF∣. Tedaj stax=∣DF∣in y=∣BE∣srednji geometrijski sorazmernici daljicainb.

Kako to vidimo? Najprej zaradi podobnosti trikotnikov DCF in BEC velja relacija a/x =y/b oziroma xy =ab, po Pitagorovem izreku za pra- vokotna trikotnikaGES inHSFpa

(a/2+y)²+(b/2)²=(a/2)²+(b/2+x)²,

kar da po poenostavitvi relacijoy(a+y)=x(b+x), iz katere sledi:

x

y =a+y

b+x=y(a+y)

y(b+x)=y(a+y)

by+xy =y(a+y)

by+ab =y(a+y) b(a+y) =y

b. Ko rezultate lepo zložimo skupaj, dobimo

a x =x

y =y b, kar smo želeli dokazati.

Uhlhorn ni bil navdušen nad reševanjem problemov s poskušanjem in uravnavanjem. Zanj je bilo bistveno, da je po točkah znal konstruirati primerno krivuljo, da je izdelal primerno mehansko orodje, s katerim je to krivuljo lahko narisal, tako kot narišemo s šestilom krožnico in z ravnilom daljico, nato pa na krivulji poiskal točke, ki določajo obe srednji geometri- jski sorazmernici. Takih krivulj je našel več, kaže pa, da je bil najbolj ponosen na prvo, ki jo je imenoval ofiurida, kateri je posvetil največpros- tora v svoji knjigi. V nadaljevanju si bomo pobliže ogledali le ofiurido.

Toksoido je avtor tega gradiva predstavil v [6].

Ofiurida

Ponovimo Uhlhornovo konstrukcijo ofiuride, izhajajočiz slike 12.

Na premici skozi točki A in O izberemo točko C in načrtamo daljico BC (slika 14). Skozi C postavimo pravokotnico na BC, skozi A pa BC vzporednico, ki jo seka v točkiD. KoC spreminjamo po premici skoziA inO, točkaD opiše ofiurido, ki pripada daljicamaainb.

Ko ofiurido zaain b imamo, poiščemo njeno presečišče D^′ s premico skoziB inO(slika 15). Nad BD^′ načrtamo polkrog s središčem v točkiS.

Polkrog preseka premico skoziAinOv točkiC^′, daljiciBC^′inC^′D^′tvorita

Slika 14. Nastanek ofiuride.

pravi kot z vrhom vC^′, daljiciAD^′ inD^′C^′ pa pravi kot z vrhom vD^′, ker je D^′ na ofiuridi. Daljici x=∣OC^′∣ in y =∣OD^′∣ sta, kot nam je že znano, srednji geometrijski sorazmernici daljicainb. Za b=2adobimox=a√³

2, kar pomeni, da se nam s tako ofiurido posreči podvojiti kocko.

Uhlhornov načrt orodja za risanje ofiuride kaže slika 36.

Slika 15. Do geometrijskih sorazmernic z ofiurido.

Analiti č na obravnava ofiuride

Diedrich Uhlhorn je s svojim znanjem matematike svojo ofiurido že kar dobro obdelal tudi analitično, v smislu Descartesove geometrije. Najlaže jo obravnavamo, kot smo vajeni, v pravokotnem kartezičnem koordinat- nem sistemuOxy. Dvojno točko ofiuride, na sliki 14 je toA, bomo postavili v koordinatno izhodiščeO. TočkaBbo imela koordinati(b,a), kjer jea>0 inb>0, gibljiva točkaC na abscisni osi pa koordinati(τ,0)(slika 16).

Slika 16. Ofiurida v koordinatnem sistemu.

Premica skozi B in C ima enačbo y(b−τ)=a(x−τ), pravokotnica p skoziC nanjo enačboay=(τ−b)(x−τ)in vzporednica prvi premici skozi Oenačboy(b−τ)=ax. PresečiščeT dobimo kot rešitev sistema enačb

ay=(τ−b)(x−τ), y(b−τ)=ax, ki se glasi:

x(τ)= τ(b−τ)²

a²+(b−τ)², y(τ)= aτ(b−τ) a²+(b−τ)².

To sta parametrični enačbi ofiuride. Lepšo obliko dobimo, če vpeljemo nov, številski parametert z relacijob−τ=at:

x(t)=t²(b−at)

1+t² , y(t)=t(b−at)

1+t² . (3)

Ker je x(t)=ty(t), lahko iz (3) izločimo parameter t. Dobimo implicitno enačbo ofiuride:

y(x²+y²)=x(by−ax). (4) Ofiurida je algebrska krivulja tretje stopnje. Včasih je ugodnejša oblika, urejena kot kubična enačba spremenljivkey:

y³+x(x−b)y+ax²=0. (5) Iz oblike (4) lahko razberemo enačbi tangent v dvojni točkiO. Za točke, ki so dovolj blizu O, lahko kubični del na levi zanemarimo v primerjavi s kvadratnim delom na desni strani enačbe. Ofiurida se tam obnaša kot x(by−ax)=0, to pa pomeni, da ima tam tangenti x=0 inby=ax. Prva je kar ordinatna os, druga pa premica skozi AinB z naklonskim koeficien- toma/b.

Točko O ofiuride dobimo, ko je t =0 in t =b/a. Vmes opiše zanko v prvem kvadrantu. Za t<0 so točke v četrtem kvadrantu, za t >b/apa v tretjem. Takoj tudi opazimo, da ∣x(t)∣→∞in y(t)→−a, ko ∣t∣→∞. To pomeni, da je premica y=−avodoravna asimptota ofiuride (3). Ofiurida svojo asimptoto preseka v točkiF(a²/b,−a).

Pri ofiuridi naletimo na kopico kvadratnih in kubičnih enačb. Kje ima ofiurida vodoravni tangenti? V ta namen je treba rešiti enačbo ˙y(t)=0. S piko je označen odvod po parametrut. Iz

y˙(t)=b−2at−bt² (1+t²)² =0

dobimo rešitvi t±=(−a±c)/b, kjer jec =√

a²+b² (na sliki 16 je c=∣OB∣).

Ustrezni točki na ofuiridi sta Y−((c+a)²

2b ,−c+a

2 ), Y+((c−a)² 2b ,c−a

2 ).

Da je odstopanje največje, spoznamo iz sprememb predznakov odvoda

˙

y(t)pri parametrut±.

Kje ima ofiurida navpični tangenti? Eno navpično tangento, x=0, že poznamo, in sicer v dvojni točkiO. Da bi poiskali drugo, moramo najprej izračunati

x˙(t)=t(2b−3at−at³) (1+t²)² .

Pogoj ˙x(t)=0 je izpolnjen zat1=0, ki nam da prvo, že znano tangentox=0 v točkiO. Za drugo pa moramo rešiti kubično enačboat³+3at−2b=0, ki ima realno rešitev, ki je presenetljivo enostavna:

t2= ³

√c+b a − ³

√c−b a .

Ker je at³₂ +3at2−2b =at2(1+t²₂)−2(b−at1) = 0, dobimo y(t2) = at₂²/2 in x(t2)=t2y(t2)=at₂³/2. Nazadnje dobimo na ofiuridi drugo točkoX z navpično tangento:

X(b−3 2(√³

a²(c+b)−√³

a²(c−b)),−a+1 2(√³

a(c+b)²+√³

a(c−b)²)). Ofiurida ima tudi prevoj. Pogoj zanj je

x˙(t)y¨(t)−x¨(t)y˙(t)

x˙³(t) =2(1+t²)³(abt³+3a²t²−3abt+b²) t³(at³+3at−2b)³ =0.

PrevojP nastopi za parametert, ki ustreza enačbi abt³+3a²t²−3abt+b²=0.

Ker jet=x/y, velja enačba

abx³+3a²x²y−3abxy²+by³=0,

v katero vstavimoy³, ki ga izrazimo iz (5). Dobimo lep rezultat:

x(ax−by)(bx+3ay−b²)=0.

Prva dva faktorja nam dasta tangenti v točkiO, na katerih ne leži prevoj, drugi faktor pa premicobx+3ay−b²=0. Ofiurida ima prevojP v presečišču s to premico.

Koordinati prevojaP se izražata zapleteno:

P(3√³

a⁴c²(3√³

a⁴c²+d²)+d⁴

b(6a²+d²) ,a(b²−3a²)−√³

ac²(3√³

a⁴c²+d²) 6a²+d² ), pričemer jec²=a²+b² ind²=3a²+b².

Slika 17. Ofiurida in njene značilne točke.

V enačbi (4) pravzaprav lahko dovolimo tudi negativne konstanteaali b. Todače ohranimo njuni absolutni vrednosti, dobimo še vedno ofiurido, le da je glede na tisto z a>0 inb>0 prezrcaljena: za a>0 in b<0 čez os

y, zaa<0 in b>0čez os x ter zaa<0 in b<0čez koordinatno izhodišče (slika 18). To ustreza izbiri točke B. Zato je dovolj obravnavati primer a>0,b>0.

Slika 18. Ofiurida in predznaka konstantainb.

Kaj pa,če dovolimo, da je v enačbi (4) katera od konstantainbenaka 0? Zaa=b=0 dobimo kar abscisno os,y=0. Zaa≠0 inb=0 pax²(y+a)=

−y³, kar je enačba Dioklove cisoide, ki ima v točkiO namesto zanke ost z navpično tangento ter vodoravno asimptoto y=−a. Ugotovitvi nista v nasprotju s prvotno definicijo ofiuride (slika 19).

Za a=0 in b ≠0 dobimo iz enačbe (4) enačbo y(x²+y²−bx) =0, ki predstavlja unijo premice y=0 in krožnicex²+y²−bx=0 s središčem v točki S(b/2,0) in polmerom % =∣b∣/2. Tudi ta ugotovitev ni v nasprotju z uvodno definicijo ofiuride. Točka B ≠O v tem primeru leži na osi x.

Za C ≠B dobimo vse točke T na osi x. Za C =B pa je treba upoštevati vse premice skozi B, vse pravokotnice skozi B nanje in vse pravokotne projekcije točkeOna slednje. S tem dobimo točkeT, ki ležijo na krožnici

Slika 19. Dioklova cisoida.

s središčem v središču daljiceOBin polmerom%=∣OB∣/2.

Slika 20. Posebni primer: a=0,b≠0.

Zaa>0,b>0 izračunajmo še ploščino S(a,b)lista ofiuride (slika 21).

Če je le-ta dana parametrično z enačbama (3), točka obkroži list v nega- tivni smeri, ko setspreminja od 0 dob/a. Uporabimo formulo

S(a,b)=−1

2∫₀^b/a(x(t)y˙(t)−y(t)x˙(t))dt.

Po daljšem računu dobimo:

S(a,b)=1

2∫₀^b/at²(b−at)² (1+t²)² dt=1

4(b²−3a²)arctgb a+3ab

4 −ablnc a. V posebnem primerua≠0,b=0 jeS(a,0)=0, kar ni presenetljivo, saj ofiurida, kob→0 pria≠0, preide v Dioklovo cisoido, zanka ofiuride pa se stisne v točko.

Slika 21. List ofiuride.

Ofiurida in parabola

Vrnimo se k sliki 16. Kaj se dogaja s premicamipskozi točkiCinT, ko teče C po abscisni osi? TočkaT opiše ofiurido, premiceppa izrazito ogrinjajo neko krivuljo (slika 22).

Slika 22. Ofiurida in družina premic skozi točkiC inD.

Enačba enoparametričnie družine premic p je pri danih konstantaha inbofiuride

F(x,y,τ)=ay+(τ−b)(τ−x).

Parameter je tuτ. Da bi našli njihovo ogrinjačo ali envelopo (večo tem na primer v [8]), to je krivuljo, ki se v vsaki točki dotika enečlanice družine, v različnih točkah pa različnihčlanic, moramo obravnavati sistem enačb

F(x,y,τ)=0, ∂F

∂τ(x,y,τ)=0.

Če se posreči izločiti parameterτ iz sistema, dobimo iskano krivuljo, po navadi v implicitni obliki. Če pa sistem razrešimo nax in y, pa najdemo parametrični enačbi ogrinjače. V našem primeru je

∂F

∂τ(x,y,τ)=2τ−x−b=0 in rezultat izločanja parametraτ je parabola

4ay=(x−b)². (6)

Os parabole je premica x = b, teme ima v točki B^′(b,0), gorišče v točki B(b,a), za vodnico pa premicoy=−a, asimptoto ofiuride.

Slika 23. Ofiurida je nožiščna krivulja parabole.

Lahko pa povemo tudi obratno.Če na tangente parabole (6) pravokotno projiciramo točkoO, ki jo imenujemo pol, potem njene projekcije ali nožišča

T sestavljajo ofiurido. Ofiurida je zato nožiščna krivulja parabole (6) glede na polO, koordinatno izhodišče. Bolj splošno: ofiurida je nožiščna krivulja parabole glede na pol na njeni temenski tangenti. Če je pol teme, je nožišč- na krivulja Dioklova cisoida. Slika 24 kaže nekaj nožiščnih krivulj, ofi- urid, glede na nekaj različnih leg polov na temenski tangenti parabole, ki je dana z goriščemF in vodnicov.

Slika 24. Ofiuride kot nožiščne krivulje parabole.

Kje se dotikata ofiurida (4) in parabola (6)? Če v (6) upoštevamo (3), dobimo po preureditvi enačbo zat:

(at³+2at−b)²=0, ki ima dvojni koren

t0=

√3√³ 4 6

⎛

⎝

3

√δ+3b√ 3 a − ³

√δ−3b√ 3 a

⎞

⎠,

pri čemer jeδ²=32a²+27b². Ker jeat³₀+2at0−b=at0(t²₀+1)−(b−at0)= 0, dobimo takoj z uporabo (3): x(t0)=at₀³,y(t0)=at₀². Točka, v kateri se

dotikata ofiurida in parabola, je torejT0(at₀³,at₀²)oziromaT0(b−2at0,at₀²). Ker je vrednost polinomaat³+2at−bv krajiščih intervala[0,b/a]različno predznačen, je točkaT0 na zanki ofuride.

TočkaT0je na zanki ofiuride od koordinatnega izhodišča najbolj oddal- jena. Kvadrat razdalje D(t)točkeT(x(t),y(t))ima,če uporabimo enačbi (3), preprosto obliko

D²(t)=x²(t)+y²(t)=t²(b−at)² 1+t² .

Potreben pogoj za nastop ekstrema je (D²(t))˙=0. Po krajšem računu do- bimo za ta pogoj enačbo

t(at−b)(at³+2at−b)=0.

Rešitvit =0 in t=b/ane prideta v poštev, ker nam dasta dvojno točkoO ofiuride. Pravilna rešitev je realni koren enačbeat³+2at−b=0, ki jet0, to je tisto število, ki smo ga našli pri računanju dotika ofiuride in parabole.

Ustrezna točkaT0 je seveda na zanki ofiuride. Za razdaljo dobimo

∣OT0∣=√

(b−at0)(b−2at0).

Do enakega rezultata pridemo, če zapišemo ofiurido v polarnih koordi- natah, ki se glasi

%(ϕ)=asinϕ+bcosϕ− a sinϕ, in poiščemo lokalni ekstrem funkcijeϕz→%(ϕ).

Do ofiuride pridemo tudi po tako imenovanem cisoidnem postopku.

Tako se postopek imenuje zato, ker se tudi običajno, Dioklovo cisoido dobi na podoben način. Posplošiti se ga da na dve krivulji in izbrano točko.

V koordinatnem sistemu Oxy izberemo točko B(b,a). Spet se bomo ukvarjali s primerom, ko je a>0 in b>0. Določimo središčeS(b/2,a/2)

daljice OBin načrtamo krožnico s središčem v S skozi B. Krožnica ima polmer%=√

a²+b²/2=c/2 in poteka skozi koordinatno izhodiščeO. Skozi B načrtamo vzporednicop z osjo x, na p pa poljubno izberemo točkoM.

Nato načrtamo skoziMinOše premicoq, ki preseka krožnico, ki ji odvza- memo točkoO, v točkiN. VektorÐÐ⇀

MN premaknemo vzdolžq, tako da nje- gov začetek pade vO, konec pa v točkoT. S tem jeÐÐ⇀

MN =Ð⇀

OT. Ko točkaM potuje po premicip, točkaT opiše ofiurido s konstantamaainb.

Slika 25. Do ofiuride po cisoidnem postopku.

Krožnica ima enačbo(x−b/2)²+(y−a/2)²=c² oziromax²+y²=bx+ay, premica p pa y = a. Premica q ima enačbo x = ty in preseka p v točki M(ta,a). Pri tem jet parameter, natančneje kotangens naklonskega kota premice q. Kot preteče vse realne vrednosti,M preteče premicop. Da bi določili koordinati točkeN, vstavimox=ty v enačbo krožnice in dobimo t²y²+y² =tby+ay. Rešitev y =0 ne pride v poštev. Na koncu dobimo koordinati točkeN:

xN =t(bt+a)

1+t² , yN =bt+a 1+t².

Koordinati vektorjaÐÐ⇀

MN v standardni bazi sta potem t(bt+a)

1+t² −ta=t²(b−at)

1+t² , bt+a

1+t² −a=t(b−at) 1+t² . Zato sta koordinati vektorjaÐ⇀

OT: x(t)=t²(b−at)

1+t² , y(t)=t(b−at) 1+t² , kar se ujema z enačbama ofiuride (3).

Ofiurida (4) s konstantamaa in bje cisoida premice y =ain krožnice x²+y² =bx+ay glede na koordinatno izhodišče O. Do istega sklepa bi prišli,če bi zapisali enačbo ofiuride v polarnih koordinatah:

%(ϕ)=asinϕ+bcosϕ− a sinϕ.

Prva dvačlena dasta%1(ϕ)=asinϕ+bcosϕ, kar je enačba krožnicex²+y²= bx+ayv polarnih koordinatah, tretjičlen pa%2(ϕ)=a/sinϕ, kar je enačba premicey=av polarnih koordinatah.

Ofiurida in hiperbola

Kaj dobimo,če ofiurido (4) zrcalimo na krožnicix²+y²=r²? Zrcaljenje ali inverzija na taki krožnici je preslikava

ι∶(x,y)z→( r²x

x²+y², r²y x²+y²).

Do rezultata pridemo najhitreje,če enačbo (4) prepišemo v obliko r²y

x =b r²y

x²+y² −a r²x x²+y² in upoštevamo, kako deluje preslikavaι. Takoj imamo

r²y

x =by−ax

in nato enačbobxy−ax²=r²y, iz katere sledi y= ax²

bx−r² =ax b +ar²

b² + ar⁴ b²(bx−r²). Iskana krivulja je stožnica, in sicer hiperbola z asimptotama

x=r²

b in y=ax b +ar²

b² .

Presečišče asimptot je središčeS_h(r²/b,2ar²/b²)hiperbole (slika 26).

Slika 26. Ofiurida in hiperbola.

Poševna asimptota hiperbole je vzporedna tangenti na ofiurido v točki O. Inverzija ι seveda preslika hiperbolo nazaj v ofiurido. Kaj pa asimp- toti? Navpična asimptota, ki je vzporedna tangenti na ofiurido v točki O, se preslika v krožnico x²+y² = bx s središčem v točki S1(b/2,0) in polmerom%1=b/2 in se dotika navpične tangente na ofiurido vO, poševna pa v krožnico a(x²+y²)=b²y−abx s središčem v točki S2(−b/2,b²/(2a)) in polmerom %2=bc/(2a), kjer jec =√

a²+b². Ta krožnica se vO dotika poševne tangente na ofiurido v O. Središče S2 leži namreč na premici

ay=−bx, ki je pravokotna na poševno tangento na ofiurido vO. Opazimo tudi, da je prvi polmer odvisen le od konstanteb.

Obe krožnici, inverzni sliki asimptot hiperbole, sta tudi pritisnjeni krožnici na ofiurido v točki O. Kako to vidimo? V točki, ki jo določa parametertv parametrizaciji (3), je krivinski polmer

ρ(t)= (x˙²(t)+y˙²(t))^3/2

∣x˙(t)y¨(t)−x¨(t)y˙(t)∣=(b²−4abt+4a²t²+a²t⁴)^3/2

2∣b²−3abt+3a²t²+abt³∣ . (7) Zat=0 int=b/ares dobimo

%1=ρ(0)=b

2, %2=ρ(b/a)=bc 2a.

To ni nič čudnega in je v soglasju s tisto lastnostjo inverzije na krožnici, ki pravi, da inverzija ohranja kote med krivuljami. Ofiurida s pritisnje- nima krožnicama v O vred se z inverzijo preslikajo v hiperbolo in njeni asimptoti. Asimptoti sta v bistvu tangenti na hiperbolo v neskončnosti.

Slika 27. Inverzija hiperbole na krožnici s središčem na tej hiperboli.

Če zrcalimo hiperbolo na krožnici, ki ima središčeS na tej hiperboli, lahko v izjemnem primeru dobimo ofiurido, v splošnem pa krivuljo, ki se

nam zdi podobna ofiuridi (slika 27).

Da bi se prepričali, da ne dobimo vedno ofiuride, zrcalimo hiperbolo (x+a)²−y²=a²na krožnicix²+y²=r². Hiperbola poteka skozi koordinatno izhodišče O, kjer ima krožnica središče. Zrcalna slika hiperbole na tej krožnici je strofoida y²(r²−2ax)=x²(r²+2ax), ki ni ofiurida (slika 28).

Strofoida ima dvojno točko vO, navpično asimptotox=r²/(2a)in teme v točkiA(−r²/(2a),0). Simetrična je glede na osx.

Slika 28. Inverzija hiperbole na krožnici je lahko strofoida.

Če zrcalimo na krožnici x²+y² =r² hiperbolo ax²−bxy+d²y =0 ali pa hiperbolo, ki se z rotacijo okoli O da prevesti na tako obliko, dobimo ofiurido y(x²+y²)=x(br²y/d²−ar²x/d²). To vemo, ker preslikava ι na krožnicix²+y²=r²tako ofiurido preslika v hiperboloax²−bxy+d²y=0. To nas napelje na misel, da mora središče krožnice, na kateri zrcalimo hiper- bolo, da dobimo ofiurido, ležati na hiperboli v ostrem kotu med asimp- totama. To pa pomeni, da pridejo v poštev samo hiperbole, ki imajo tako imenovano imaginarno polos krajšo od realne polosi. Središče krožnice se prezrcali v dvojno točko nastale krivulje.

Inverz hiperbole na krožnici s središ č em na njej

Da bi lahko to raziskali, vzemimo enačbo hiperbole v standardni obliki b²x²−a²y²−a²b²=0. Pri tem jearealna,bpa imaginarna polos hiperbole.

Njeni asimptoti sta premicibx±ay=0. Zaradi simetrije glede na koordi- natni osi je dovolj obravnavati desno vejo te hiperbole, ki jo parametrizira- mo s x(t)=a/cost,y(t)=btgt, kjer je −π/2<t<π/2. Na hiperboli izbe- remo središčeS(p,q)krožnice s polmeromr, na kateri bomo zrcalili. Vzeli bomo p = a/cost,y =btgt za neki t in hiperbolo vzporedno premaknili tako, da bo točka S padla v koordinatno izhodišče. Naredili bomo torej zamenjavo: koordinatoxbomo nadomestili zx+p, koordinatoypa zy+q.

Enačba hiperbole po tej zamenjavi je

b²(x+p)²−a²(y+q)²−a²b²=0, (8) enačbi njenih asimptot pa stab(x+p)±a(y+q)=0.

Slika 29. Inverz hiperbole na krožnici s središčem na njej.

Pri zrcaljenju na krožnici se asimptoti hiperbole preslikata v krožnici, ki se sekata v točki S, tangenti nanju pa sta vzporedni z asimptotama hiperbole. Krožnici sta vSpritisnjeni krožnici na dobljeno krivuljo. Zanka ofiuride, kot vemo, leži v ostrem kotu med njenima tangentama v dvojni točki oziroma med slikama asimptot. Zato morata asimptoti hiperbole ok- lepati oster kot, v katerem leži hiperbola. To pa gre le, če je v enačbi (8) izpolnjen pogoj b<a. Toda tudi tedaj še ne dobimo ofiuride kot zrcalne slike hiperbole za vsako središčeSna njej. Zagotovo ne, če jeSv temenih hiperbole.

Enačba (8) ima z upoštevanjem parametrizacije točkeSobliko (b²x²−a²y²)cost−2a²bysint+2ab²x=0,

krivulja, dobljena z zrcaljenjem na krožnicix²+y²=r², pa enačbo

r²(b²x²−a²y²)cost−2ab(x²+y²)(aysint−bx)=0. (9) Dobili smo enačbo algebrske krivulje tretje stopnje. Kdaj je ta ofiurida, pa je odvisno od parametrat. Zato bomo zadnjo krivuljo zavrteli okoli točke S za kotϕ, ki ga bomo skupaj st določili tako, da bo enačba dobila tako obliko, kot jo ima ofiurida, to se pravi obliko (4). Naredimo torej v (9) zamenjavo: koordinatox nadomestimo zxcosϕ−ysinϕ, koordinatoy pa zxsinϕ+ycosϕ. Dobimo nekoliko bolj zapleteno enačbo:

r²cost[(b²x²−a²y²)cos²ϕ)+(b²y²−a²x²)sin²ϕ)−xy(a²+b²)sin2ϕ]−

−2ab(x²+y²)(aysintcosϕ+axsintsinϕ−bxcosϕ+bysinϕ)=0.

Ker v (4) ničlena zy², mora, da dobimo ofiurido, veljati enačba

−a²cos²ϕ+b²sin²ϕ=0.

Iz tega sledi za kot rotacije:

tg²ϕ=a² b².

Predx²+y²v (4) lahko nastopa ley, pomnožen s faktorjem, ki ni odvisen od koordinatxiny, zato mora veljati enačba

asintsinϕ−bcosϕ=0, iz katere dobimo

sint= b

atgϕ =±b²

a², cost=±

√a⁴−b⁴

a² , tgt=± b²

√a⁴−b⁴.

S tem imamo koordinati točkeS v začetnem koordinatnem sistemuOxy:

p=± a³

√a⁴−b⁴, q=± b³

√a⁴−b⁴. (10)

Z upoštevanjem dobljenega kota rotacije in parametra t ima krivulja v zasukanem sistemu enačbo

2a²b²√

a²+b²y(x²+y²)=x(±2abr²y√

a⁴−b⁴±r²x(a²−b²)√

a⁴−b⁴), kar je do konstantnega faktorja na levi enako enačbi ofiuride

y(x²+y²)=x(βy−αx). Konstanti dobljene ofiuride sta torej

α=± r²

2a²b²(a²−b²)√

a²−b², β=±r² ab

√a²−b². (11)

Ugotovili smo naslednje. Na hiperbolib²x²−a²y²−a²b²=0 pri pogojub<a obstajajo natančno štiri točke (v vsakem kvadrantu po ena), ki so središča krožnic, na katerih se ta hiperbola prezrcali v ofiurido. Koordinate središč

so dane z izrazi (10), konstanti ofiuride pa z izrazi (11). Asimptota vsake ofiuride je pravokotna na eno od asimptot hiperbole (slika 30). V koor- dinatnem sistemu Oxy imajo asimptote ofiurid za naklonske koeficiente števili a/b in −a/b. Polmeri krožnic, na katerih zrcalimo hiperbolo, so lahko različni.

Slika 30. Skladni inverzi hiperbole na skladnih krožnicah s središči na njej.

Oglejmo si nekoliko natančneje obnašanje dobljenih ofiurid v okolici točkeS v koordinatnem sistemuSxy tako kot na sliki 29. Zaradi simetrije je dovolj obravnavati primer, ko je S v prvem kvadrantu koordinatnega sistema Oxy. Vemo že, da se asimptoti hiperbole z inverzijo na krožnici x²+y² =r² preslikata v pritisnjeni krožnici ofiuride v njeni dvojni točki S in da zanka ofiuride leži med tema krožnicama. Zanju bomo poiskali